L’arbre pythagoricien en classe

Piste bleue 14 octobre 2013  - Ecrit par  Catherine Combelles Voir les commentaires (1)

L’équipe de la rubrique « Ressources pédagogiques »

Les articles d’Images des maths sont intéressants pour le professeur du secondaire, mais il y a loin d’un article de vulgarisation, même simple, à une activité pour la classe.

Le professeur a toujours besoin de sujets intéressants, mais il est soumis à de nombreuses contraintes : le programme, le niveau de la classe le nombre d’élèves, le temps dont il dispose. En outre, toute activité est au service d’un ou de plusieurs objectifs bien précis : introduire une notion, évaluer, faire travailler la lecture, la rédaction, le calcul, la mathématisation dune situation etc.

Cette nouvelle rubrique, assez différente des autres rubriques axées recherche, veut s’attaquer à ce chantier et propose des exemples d’activités pour la classe, construites à partir de quelques articles de ce site.

Vos commentaires constructifs sont les bienvenus !

L’arbre Pythagoricien de l’article d’Étienne Ghys et Jos Leys nous plonge dans le monde des suites géométriques.
Ce thème est abordé en classe de Première, et sert d’entrée en matière dans le monde beaucoup plus vaste des suites. Il accompagne les premières grandes découvertes des élèves : découverte de « l’infini », de la notion de limite, de l’usage du raisonnement par récurrence. C’est dans ce contexte que les élèves découvrent qu’une somme infinie peut être finie, par exemple, et les antiques paradoxes de Zénon sont aujourd’hui encore une source sûre d’étonnement extrêmement féconde.

Cet arbre montre un dessin et ce dessin questionne immédiatement comme le font les preuves sans mots. Il offre une situation riche et motivante.
Citons en d’autres :
La courbe de von Koch et le triangle de Sierpiński sont devenus des classiques (quels sont le périmètre et l’aire à l’étape $n$ ?).

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La courbe de Von Koch
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Le triangle de Sierpiński

dont une version en géométrie interactive est disponible ici.

Le document d’accompagnement des programmes de 2001 (l’institution est parfois oublieuse)

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Document d’accompagnement des programmes de Premières S et ES 2001

en proposait plusieurs :

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Toute activité de ce type commence par un moment où les élèves s’approprient l’objet : on dessine à la main quelques étapes pour comprendre le mode de construction.
Que faire ensuite ? Tout dépend de ce que veut faire le professeur, et le point essentiel qui va guider l’activité des élèves est alors la question posée.
On peut n’en poser aucune, et on aura un problème ouvert, qui peut conduire à tout… ou rien.
On peut au contraire découper en multiples étapes la marche vers le but, et les élèves risquent fort de s’ennuyer.
La solution dépend aussi des contraintes pratiques : de quelle plage de temps dispose-t-on ? Les élèves sont-ils motivés et suffisamment confiants en eux-mêmes pour chercher en autonomie ? Sont-ils trop nombreux pour que le professeur assure un suivi individuel des recherches ? Peut-on compter sur des avancées intéressantes ? L’expérience montre que ce type de situation motive les élèves et que les idées, en général ne manquent pas !

Revenons à l’arbre pythagoricien.
Nous choisissons ici pour objectif la mise en place des formules donnant le terme général et la somme des n premiers termes d’une suite géométrique. Ce peut être aussi une occasion d’introduire le vocabulaire des suites : suite croissante (le nombre de carrés de chaque dessin), suite décroissante (l’aire des carrés ajoutés à chaque étape en négligeant le recouvrement), suite majorée (la « hauteur » de l’arbre). L’arbre pythagoricien sera donc ici une activité de découverte pour introduire le cours sur les suites.

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L’arbre pythagoricien étape 2.

Dans une classe active et motivée, on peut se permettre de poser une question un peu « lointaine ». Ici, elle pourrait être, après dessin de l’étape 2 : si on continue, est-ce que le dessin va forcément sortir de la feuille ?
Dans une classe plus difficile, la question risque de décourager et le questionnement doit paraître plus abordable pour avoir une chance de motiver les élèves. Un dialogue avec la classe peut aider à affiner l’analyse du dessin de cette étape 2 : il y a là des carrés de tailles différentes. Combien de carrés en tout ? Combien de sortes de carrés ? Combien de chaque taille ? De quelles tailles, si on commence à un carré de côté 1 ? ( Le Ménon n’est pas loin, bien sûr…C’est peut-être une occasion de l’évoquer si les circonstances s’y prêtent !)
Le questionnement pourrait alors commencer par : répondre à ces questions à la 20ème étape puis à l’étape n.
Le tableur rend ici de grands services : le nombre de carrés de chaque sorte donne la suite des puissances de 2 et le nombre total de carrés est l’occasion d’aborder la somme des puissances. L’intérêt du tableur est de faire apparaître une formule : il y aura toujours dans la classe un élève assez observateur pour constater que le nombre de carrés à l’étape n est égal au nombre de nouveaux carrés à l’étape n+1, diminué de 1.
Ainsi il semble bien que : $1+2+2^2+2^3+…+2^n= 2^{n+1}-1$.
On peut le prouver par récurrence. On peut ensuite faire calculer et simplifier le produit $(1+a+a^2+a^3+…+a^n)(a-1)$ pour obtenir une formule plus générale.
On pourra alors s’intéresser à la taille des carrés. Ce ne sera pas si facile ! Mais les souvenirs de collège aidant, les élèves finiront par calculer les côtés des premiers carrés, puis celui du vingtième, puis celui du n-ième.
C’est l’occasion de faire apparaître une deuxième suite géométrique et celle-ci est décroissante. Pourquoi décroissante ? Parce que sa raison est comprise entre $0$ et $1$. Voici encore une pierre à l’édifice.
On peut alors répondre à la première question de l’article (en éludant ou pas le recouvrement des carrés à partir d’un certain rang) : « montrez qu’à chaque étape de la construction, l’aire de l’arbre augmente d’une même quantité égale à l’aire du carré initial. »
Il ne reste plus qu’à ramasser les morceaux pour mettre en place les premiers éléments de cours prévus !

Une variante de cet article est à paraitre dans le Bulletin Vert n°505 de l’APMEP.

Post-scriptum :
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Proposition de devoir maison

La rédaction d’Images des maths, ainsi que l’auteur, remercient pour leur relecture attentive et leurs commentaires : Henri Lemberg, Sylvain Barré et
Jean Lefort.

Article édité par Christian Mercat

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Pour citer cet article :

Catherine Combelles — «L’arbre pythagoricien en classe» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013

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