L’effet Casimir

par Miguel Bermudez

Le 28 octobre 2015  - Ecrit par  Marie Lhuissier Voir les commentaires (6)

Cet article a été écrit en partenariat avec La Maison des Mathématiques et de l’Informatique

La Maison des Mathématiques et de l’Informatique accueille chaque semaine les exposés mathématiques, originaux, ludiques et détendants dont ces notes sont issues. Allez faire un tour sur son site !

Combien fait la somme de tous les entiers ?
Dans ce carnet de route : des séries divergentes, des carnets de Ramanujan, et de l’électromagnétisme dans le vide.
Pour d’autres pépites mathématiques expliquées simplement et en dessins, retrouvez l’ensemble des carnets de route ici.

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Pour citer cet article :

Marie Lhuissier — «L’effet Casimir» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Illustration de Igor Novozhilov

Commentaire sur l'article

  • L’effet Casimir

    le 29 octobre 2015 à 10:44, par Quentin

    Merci Marie pour ce très beau billet (comme à chaque fois) !

    Je voulais juste signaler ces excellents billets pour ceux qui veulent en savoir plus :
    https://sciencetonnante.wordpress.com/2013/05/27/1234567-112/
    https://sciencetonnante.wordpress.com/2014/01/20/le-scandale-des-series-divergentes/
    https://sciencetonnante.wordpress.com/2015/09/11/leffet-casimir-et-le-retour-de-12345-112/

    Amicalement.

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  • L’effet Casimir

    le 30 octobre 2015 à 12:38, par Bodler

    Ce genre d’article m’énerve car il affirme des énormités et des horreurs sans justification aucune.

    1. La manipulation sur la série qui permet de trouver -1/12 est du pur pipeau. J’ai la flemme de rechercher mais il me semble qu‘avec ce genre de raisonnement on peut associer plusieurs valeurs à une série divergente.

    2. Le coup de l’analyse complexe est aussi du pipeau, on peut étendre la fonction zêta définie sur ]1,+infini[ sur C{1}, ok. Mais rien ne permet d’affirmer que la notation en série est légitime du C{1}, simplement sur ]1,+infini[. C’est un raccourci mensonger !

    3. Le coup de la physique me semble simplement affirmer que le modèle utilisé par les physiciens est mauvais, puisque divergent. La fait que l’observation vaut zêta(-1) est vraiment déconcertant et cela ne peut pas être une coïncidence. Mais l’explication donnée est horrible ; elle me fait l’effet d’un élève qui invente des théorèmes pour répondre à une question dont il sait le résultat correct. C’est de la triche : un raisonnement foireux est un raisonnement foireux même lorsque le résultat est juste.

    Comprenez-moi bien, j’apprécie vraiment votre travail et le sujet de l’article est passionnant, mais la beauté des maths est justement de se moquer des arguments d’autorités (Euler et Ramanujan l’ont dit) des mesures directs (Pythagore n’est pas affirmer vrai parce qu’on l’observe, mais parce qu’on le démontre) et des affirmations rapides. Et pourtant quand on parle de zêta(-1) tous les articles de vulgarisation tombe dans le même travers.

    L’effet casimir est intriguant et le rapport avec la fonction zêta est un vrai mystère passionnant. Mais les justifications de cet article sont malhonnêtes : on ne comprends pas vraiment pourquoi la fonction zêta apparaît en physique.

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    • L’effet Casimir

      le 8 décembre 2015 à 15:10, par Jérôme Buzzi

      Ce genre de commentaire m’énerve car il est agressif sans justification aucune.

      1. Comme l’auteur l’écrit, c’est l’analyse complexe qui justifie ces calculs : il existe un unique prolongement méromorphe de la fonction définie pour s>1 par la série.

      2. L’utilisation de la notation Sigma pour désigner ce prolongement vous étonne, c’est votre droit, mais c’est au moins autant le droit de l’auteur de choisir ses notationsdès qu’elles sont expliquées.

      3. Une manipulation purement formelle aboutissant à un résultat en accord avec l’expérience pose question. Il s’agit donc d’y répondre - peut-être qu’un physicien théoricien passant par là pourrait éclairer notre lanterne. [Dans la théorie des équations différentielles, certaines équations, résolues formellement, produisent des séries divergentes à partir desquelles on peut estimer les solutions de façon rigoureuse mais subtile.]

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      • L’effet Casimir

        le 8 décembre 2015 à 15:53, par Bodler

        Pour votre point 1. sur l’existence d’un unique prolongement, je suis au courant et je le cite dans mon commentaire. En ce concerne votre point 2, pour utiliser une notation, il faut qu’elle soit justifiée. Si je dis que j’appelle « un » le nombre 3 et « trois » le nombre 6 alors certes je peux alors affirmer que « un plus un vaut trois », mais il y a quelque chose de mensonger car je change le sens des mots. C’est un jeu de vocabulaire plus que des mathématiques.

        Voilà l’impression que me fait ce genre d’article. Considérons f(x) = x^2 et g(x) = x. Supposons que l’on trouve expérimentalement que ce que nous avions modélisé par la fonction f/g tend en fait vers 1, alors que dans le modèle c’est censé diverger. Si quelqu’un me dis que lim f/g = (lim f)/(lim g) = infini/infini = 1. Je vois ça comme de la manipulation.

        Le rôle des math est quand même de convaincre et ce que je vois dans cette article n’a rien de convainquant. Le sigma que les physicien utilise est bien celui correspondant à la somme classique alors que la définition donné par l’article ne généralise la somme que dans un cas extrêmement particulier, tellement particulier que ça semble être une simple manipulation de vocabulaire (au contraire de la sommation d’Abel par exemple).

        Quand je dis que cela m’énerve, ce n’est aucunement un insulte envers l’auteur et ce n’est nullement agressif. Mais quand en terminal, la prof nous avais dis que l’on définissait la fonction exp(ix) par cos(x) + i sin(x), ça m’a aussi énervé, car la formule exp(i Pi) +1 = 0, n’était plus un résultat mais une simple définition, et de ce fait perdait toute sa beauté. (depuis je me suis convaincu que cette définition n’était pas qu’une simple convention mais la seul et unique généralisation vérifiant les propriétés de l’exponentielle réelle)

        Faire des math, c’est chercher à comprendre, et les définitions ne permette pas de comprendre mais court-circuite le raisonnement. Dire 1+2+3+...=-1/12, n’as du sens que si ce résultat est autre chose qu’un jeu d’écriture. Que répondre à celui qui se contente d’un « ben c’est une régularisation théta », si ce n’est par « ah, non, c’est un peu court jeune homme ! ». Pourquoi une régularisation théta serait légitime pour généraliser la somme, si ce n’est que ça marche en physique ? C’est la frustration de ne pas comprendre qui m’énerve. L’article peut se résumer par 1+2+3+...=-1/12, car 1) si on fait n’importe quoi, ça marche, 2) si on fait un truc qui n’as rien à voir et qu’on utilise le symbole somme par convention (régularisation théta) ça marche aussi et 3) en physique ça marche mais on sait pas pourquoi.

        Cette formule ne serait donc qu’un jeu d’écriture pour satisfaire les physicien ? Dans ce cas elle n’est ni belle ni surprenante. Est-elle plus que cela ? L’article ne permet pas d’y répondre et c’est ça qui m’énerve. :)

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    • L’effet Casimir

      le 12 décembre 2015 à 12:27, par Miguel Bermudez

      La notion de somme infinie est, je l’admets, contre-intuitive, et tout effort pour en fournir une définition rigoureuse va venir accompagnée de son lot de paradoxes. La définition la plus classique, qui est celle de limite de la suite de sommes partielles, n’en est qu’une parmi d’autres. Même si elle peut sembler plus intuitive ou plus rigoureuse à certains, elle n’est pas absente de paradoxes, comme par exemple que les termes de série convergente 1-1/2+1/0-1/4+... (ou de n’importe quelle autre série convergente mais non absolument convergente) peuvent être réarrangés pour obtenir n’importe quelle valeur réelle. Mais nous avons d’autres approches tout aussi rigoureuses mais moins classiques car plus sophistiquées et absentes des manuels scolaires, comme les sommations d’Abel (que vous mentionnez), mais aussi Borel, Euler, le prolongement analytique, et j’en passe, et qui s’avèrent tout à fait convenables dans beaucoup de contextes. Les règles de manipulation des séries dépendent du type de sommation utilisé, mais elles son parfaitement cohérentes. La démonstration de Ramanujan de 1+2+3+4+…=-1/12, par exemple, est tout à fait valable dans le cadre des techniques de régularisation par les fonctions zeta. Je ne sais pas s’il en était conscient, mais Euler, lui, le savait très bien.

      En théorie quantique des champs, en général, et dans le Modèle Standard en particulier, les prédictions théoriques sont présentées sous forme de séries ou intégrales qui, la plupart du temps, s’avèrent divergentes au sens classique. Le plus fascinant est qu’on peut utiliser d’autres techniques de sommation pour associer de façon canonique des valeurs à ces séries et intégrales qui sont bien plus qu’une curiosité mathématique, car elles peuvent être testés en laboratoire avec une précision inouïe. Pour information, l’électrodynamique quantique est la théorie physique dont les prédictions ont été vérifiées expérimentalement avec le plus de précision.

      La tentation est grande de penser que le modèle mathématique est mauvais puisque divergent, et vous n’êtes pas le seul à le faire. Beaucoup de physiciens sont de votre avis et croient qu’il doit exister un modèle mathématique de la réalité dont les observables sont donnés par des séries convergentes au sens « classique ». Mon avis est plutôt que le succès de ces soi-disant mauvais modèles devrait plutôt remettre en cause nos préjugés.

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  • L’effet Casimir

    le 1er décembre 2015 à 13:15, par Von H

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