L’enseignement de l’arithmétique au féminin au XVIIe siècle

Piste verte Le 10 mai 2018  - Ecrit par  Martin Muffato Voir les commentaires (2)

Au XVIIe siècle, l’enseignement de l’arithmétique était-il différent pour les jeunes filles ?

Cet article présente un traité d’arithmétique publié en 1655 par Marguerite de Bramereau, étudiante avignonaise de douze ans.
Par son exploration, nous pourrons découvrir les structures et conditions d’enseignement existantes pour les jeunes filles, ainsi que le contenu des cours, et les ressemblances ou différences éventuelles avec les cours pour garçons.

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Introduction

Au XVIIe siècle en France, l’enseignement des mathématiques pour les jeunes filles se développe, notamment dans les classes attenantes aux couvents des Ursulines, ordre féminin qui développe un système d’éducation accessible aux jeunes filles.

Parmi la centaine de textes traitant de la pratique de l’arithmétique publiés au XVIIe siècle, en France, notre attention a été captée par le Rudiment d’arithmétique que Marguerite de Bramereau rédige à l’âge de douze ans à la suite de sa scolarité chez les Ursulines [1]. L’étude d’une arithmétique pratique reprenant le programme enseigné par les Ursulines nous permettra d’avoir un aperçu de cet enseignement pour les jeunes filles de l’époque [2]. Ce sera également pour nous l’occasion de voir que ces textes ne semblent pas genrés (il n’y a pas de différence avec un texte sur le même sujet et écrit par un homme, et/ou pour des hommes ou garçons), ni montrer un lien entre auteur, public visé et contenu.

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Page de titre du traité

Marguerite de Bramereau [3] est née en 1642 (Registre) à Avignon. Elle est la fille de Jacques Bramereau, imprimeur « de sa sainteté, de la ville & université ». Ce dernier est issu d’une famille d’imprimeurs comptant quatre générations, qui ont œuvré de 1590 à 1681 [4].
Pendant deux ans, Marguerite suit l’enseignement dispensé par les Ursulines, comme elle l’indique dans l’adresse au lecteur :

[...] joint le desir de témoigner l’obligation que j’ay aux Reverendes Dames Religieuses de Sainte Ursule de l’Isle, qui m’ont avec grand cœur enseignée ce peu que je sais, durant deux ans, que j’ai eu l’honneur d’être fille d’education dans leur sainte Maison. (Bramereau, 1655, Au lecteur)

L’établissement fréquenté par Marguerite est très certainement le couvent des Ursulines de l’Isle-sur-la-Sorgue, qui a été le premier couvent ursulin construit en France. Elle y fut répétitrice : une classe était séparée en plusieurs bancs, chacun dirigé par l’élève sachant le mieux sa leçon, la répétitrice, qui la faisait réciter aux autres, puis rapportait le résultat à la maîtresse (Annaert, 2012, p. 20).

À la suite de ces années passées chez les Ursulines, Marguerite de Bramereau, alors âgée de douze ans, rédige son Rudiment d’arithmétique. L’édition de ce traité a certainement été favorisée par le métier de Jacques Bramereau, qui, fier du travail de sa fille, a imprimé son texte, peut-être en guise de cadeau. Ce Rudiment d’arithmétique nous offre un témoignage précieux de l’enseignement qu’a reçu Marguerite en arithmétique.
Dans la préface, l’auteure souligne, rhétoriquement peut-être, l’imperfection de son travail :

Je vous prie de ne reprouver pas la hardiesse que j’ay prise, d’exposer au public mon apprentissage de l’Arithmetique sous forme de rudiment, qui ne peut être qu’imparfait, provenant d’un sexe, d’un âge, & d’un esprit imparfaits. (Bramereau, 1655 , Au lecteur)

Rédigé par une personne très jeune, dont l’esprit n’est pas jugé complètement mature, et qui plus est par une fille, le résultat de cet opuscule ne pourrait selon elle être sans faille. En effet, à l’époque, le sexe féminin était considéré comme imparfait : plus faible et à l’esprit nécessairement moins bien fait que celui des hommes. On lui relie facilement des stéréotypes, comme celui de la sorcière (Nassiet, 2006 , p. 56). On peut associer aux filles et femmes un rôle culturel certain dans « l’apprentissage de l’honnêteté » par exemple (Nassiet, 2006, p. 246), mais celui-ci reste limité et ne nécessite pas une éducation aussi importante que les garçons (Nassiet, 2006, p. 254-258). Les femmes savantes de Molière présentent assez bien les idées de l’époque quant à l’éducation que devraient recevoir les femmes [5]. Henriette, jeune fille courtisée par le faux-savant Trissotin, représente la volonté d’une véritable éducation. Les autres femmes de la famille au contraire, sont subjuguées par Trissotin et son savoir qui n’est qu’apparent et pédant. La pièce intervient alors qu’au début du XVIIe siècle, la « querelle des femmes » cherchait à déterminer la supériorité éventuelle d’un sexe ou de l’autre (Collin, 1992).

L’enseignement chez les Ursulines

Pour mieux comprendre la portée de ce texte, il convient de le situer dans le cadre de l’enseignement chez les Ursulines [6].
La compagnie de Sainte Ursule est fondée le 25 novembre 1535 (Annaert, 1992, p. 17). En se basant sur l’exemple des collèges jésuites, elle crée un système éducatif nouveau, destiné aux filles. Les Ursulines entretiennent des relations avec les Jésuites, qui les aident. En 1650, 305 maisons ursulines ont déjà une activité d’enseignement (Chapron, 2012, p. 34).

Les Meres Regentes auront un grand soing de bie(n) instruire leurs filles : & apres la crainte & amour de Dieu, qu’elles doivent graver en leur cœurs, elles les aprendro(n)t à bie(n) lire en Latin & en François, à escrire, conter, chiffrer à la plume, & aux gets, & leur apprendront toute sorte d’ouvrage & de mestiers ; afin que les pauvres puissent gaigner leur vie. (Anonyme, 1650)

Le but de cet enseignement explicitement destiné aux filles est utilitaire. Il faut que chaque élève possède à la sortie les connaissances de base, ainsi que ce qui est nécessaire à la pratique d’un métier qui lui permette de vivre. Ainsi, les jeunes filles qui suivent l’enseignement des Ursulines pourront plus tard aider au travail de leurs parents ou de leur mari [7]. Le public visé est très large et regroupe théoriquement toutes les classes de la population. Les familles riches ont accès à un internat payant, tandis que les familles plus pauvres ont accès à un externat gratuit (Annaert, 1992, p. 162). Toutefois, les familles les plus riches préférent s’offrir les services d’un précepteur privé, même si les pensionnats s’adaptent aux modes de vie et aux habitudes des grandes familles. Les familles les plus pauvres ont, elles, tendance à garder leurs enfants pour travailler avec eux plutôt que de les envoyer à l’école. Les institutions scolaires mettent pourtant en place un congé pendant l’été, quand la main d’œuvre pour travailler aux champs est la plus nécessaire (Annaert, 2012, p. 15). Ainsi le véritable public visé par des institutions comme celles des Jésuites ou des Ursulines est la bourgeoisie, dont les familles ont les moyens de continuer le travail sans leurs enfants, mais ne peuvent pas forcément se permettre de louer les services d’un précepteur. La famille Bramereau en est un bon exemple : Jacques Bramereau, avec son statut d’imprimeur de la ville, est bourgeois. Son entreprise fonctionne, sans qu’il ait besoin que Marguerite ne l’aide à l’atelier. En revanche, nous n’avons pas d’information sur le statut d’interne ou d’externe de Marguerite au collège des Ursulines.

Pour ce qui est de l’arithmétique, les jeunes filles apprennent la numération (conter), ainsi que la pratique des opérations sur le papier (chiffrer à la plume...) ou à l’aide de jetons (..., & aux gets) [8]. De manière plus générale, l’enseignement chez les Ursulines est une adaptation de l’enseignement dispensé aux garçons (Annaert, 2012, p. 9). Cette adaptation passe par une formation à la correspondance, au droit, à la comptabilité et aux tâches ménagères. Parfois s’ajoutent des cours de niveau supérieur de langue, de rhétorique, ou de disciplines plus artistiques comme par exemple le théâtre, la musique ou la danse, le dessin, la broderie. (Annaert, 2012, p. 18-19) Les enseignements se font en français.

Contenu mathématique du Rudiment d’arithmétique

Les quatre opérations de base

Les opérations

Le programme du Rudiment d’arithmétique reprend celui des institutions scolaires de l’époque. Le texte est donc destiné à un public novice en mathématique, sans prérequis.
L’ouvrage commence par le Livret d’Arithmétique. Cette page regroupe les résultats des tables de multiplications de 2 à 10. Y sont omis les doublés. Par exemple y figure 2×6 mais pas 6×2. La commutativité de la multiplication est donc supposée naturelle. Cette page est à connaître avant d’apprendre à effectuer une multiplication et servira de base à la méthode enseignée.

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Le livret d’arithmétique

La première notion réellement introduite dans le traité est la numération et l’utilisation du système décimal positionnel.

Comme il y a vingt-trois lettres à l’Alphabet, par le moyen desquelles on compose toutes les sillabes, mots, & dictions imaginables, qui sont, A, B, C, D. & les autres, Ainsi, de mesme & avec plus de facilité, il y a dix chiffres en l’Arithmétique, par le moyen desquelles on peut nombrer toute somme imaginable. (Bramereau, 1655, p. 3)

À bien parler il y a neuf nombres, figures, ou caractères, & une chiffre ou un zéro qui de soy ne vaut rien. Et ces neuf nombres avec ce zéro sont les Éléments de toute l’Arithmétique. (Bramereau, 1655, p. 3)

Suivant une conception archaïque, le zéro n’est pas considéré comme un nombre à part entière. Contrairement aux autres, il n’a pas de valeur et ne représente que l’absence d’un autre chiffre à position donnée.
Une fois les symboles à utiliser introduits, Marguerite de Bramereau présente le système décimal positionnel. À la suite de l’explication du vocabulaire utilisé (unité, dizaine, millier, &c.), Marguerite expose le système des monnaies (Un denier vaut soixante sous, qui valent trois livres, ou cinq florins par exemple.).

À l’instar de la plupart des traités de l’époque, les énoncés généraux, comme ici les quatres opérations ou les utilisations de la proportionnalité, sont appelées des règles. La première règle enseignée est celle de l’addition. L’apprentissage se fait par l’exemple. On y voit comment positionner les nombres, puis comment ajouter l’un à l’autre. Après un exemple général, suivent des applications avec des unités et sous-unités de monnaie, ou des longueurs de tissu, des quantités de grains ou autres. Les exemples sont alors plus ou moins concrets.

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Exemple d’utilisation de l’addition

Dans l’exemple ci-dessus, un marchand a six débiteurs, listés chacun avec la somme qui lui correspond. Le symbole ∇ représente l’écu, ß représente le sous et d le denier. Pour calculer la somme totale due au marchand, on additionne les six sommes en commençant par la plus petite sous-unité, le denier, ce qui créera des sous en utilisant la conversion 1ß=12d. On procède ainsi jusqu’à trouver la somme totale (Bramereau, 1655, p. 12).
Dans un autre exemple d’illustration de l’addition, Marguerite présente un problème qu’elle situe à la foire de Beaucaire et qui fait intervenir un seigneur vendant son blé.

Comme autre application pratique de l’addition, Marguerite de Bramereau propose un livre de raison de marchandise. Elle explique comment faire un livre de comptes et comment l’addition permet de faire les totaux. Elle met alors en scène plusieurs personnages : Mr Gautier, Sieur Gentil, Mathieu, Mr Blanc, Maistre Verdet de Cavaillon, Maistre Jean Pradel, Sire Martin, Mr le Baron de la Molete, Messire Aymé Chanoine de l’Eglise de Carpentras, Mr l’Abbé de Vatan, Mr Gervais advocat. La précision des noms et des titres ou professions laisse penser qu’elle introduit alors de vraies personnes qu’elle a rencontrées ou dont elle a entendu parler. On voit peut-être ici simplement un effet de son jeune âge. Les exemples utilisés au fil du texte semblent toujours présenter des personnes de l’entourage de l’auteure. Dans les applications, les mêmes prénoms reviennent régulièrement. On pourrait ainsi supposer qu’en plus de George qui est un des successeurs de son père à l’imprimerie, d’autres frères de Marguerite sont Martin et Gautier, qui interviennent dans des exemples.

La deuxième règle exposée est celle de la soustraction, qui est en fait abordée à la toute fin de la section précédente :

[...] & cette somme totale nous donnera entrée à la seconde Règle d’Arithmétique, appelée Soubstraction, ainsi nommée parce que c’est soustraire ou oster d’une grande somme une moindre. (Bramereau, 1655, p. 26)

Comme précédemment, l’explication est donnée à partir d’un exemple, en l’occurrence le livre de comptes exposé un peu plus haut.
Après un exemple basique, le cas où il faut emprunter une dizaine au rang suivant est abordé.

Qui de 6. paye 8. ne le peut, car 8. est plus que 6. Ce 6. qui n’a pas moyen de payer 8 emprunte son voisin qui est un 9. lequel luy preste une dizaine, & faut dire qui de 10. paye 8. reste 2. Lequel 2. joint avec le 6. fait 8. (Bramereau, 1655, p. 28)

\[ \begin{array}{ccccc} & 4 & 5 & 9 & 6 \\ - & 1 & 9 & 9 & 8 \\ \hline & 2 & 5 & 9 & 8 \end{array} \]

Si, au rang considéré (par exemple les unités), on ne peut pas directement effectuer la soustraction, la méthode consiste toujours à « prendre » 1 du rang suivant (ici, une dizaine, ou donc dix unités) pour lui soustraire le nombre voulu. Dans l’exemple il n’y a pas assez d’unités, on « prend » donc une dizaine. Il n’y en aura ainsi plus que 8. Il faut donc faire 10 (la dizaine empruntée) -8 (le nombre à soustraire) = 2. On ajoute ensuite au résultat le chiffre qui devait au départ subir la soustraction (2+6=8). Les deux méthodes sont évidemment équivalentes.
Après cette explication de la méthode, Marguerite de Bramereau donne des exemples qui utilisent de la monnaie en livres, sous et deniers. Ceux-ci ne sont pas expliqués entièrement, seul le résultat est indiqué [9].

La troisième règle présente la multiplication. Après avoir expliqué comment placer les nombres à multiplier (La Multiplication se fait en escrivant la somme plus grande au dessus qui s’appelle le nombre multiplié, ou superieur, & au dessous le nombre multiplieur ou inferieur, & faut tirer une petite ligne dessous lesdits nombres. (Bramereau, 1655, p. 33)), Marguerite de Bramereau écrit que l’ordre des facteurs de la multiplication n’est pas important, ou plutôt que dans la multiplication posée de deux facteurs, on peut toujours mettre le plus grand en tant que multiplié, qu’importe l’ordre original des nombres. C’est en fait une présentation de la commutativité de la mutiplication :

Quand le nombre multiplieur est plus grand que le nombre multiplié, l’on peut multiplier l’un par l’autre, à sçavoir le plus grand par le moindre. (Bramereau, 1655, p. 33)

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Exemple de multiplication posée

L’apprentissage de la méthode, toujours par l’exemple, se fait progressivement, en étudiant d’abord une multiplication par un chiffre, puis par deux, puis par trois. Dans un exemple détaillé, l’auteure explique que dans une multiplication par un nombre à plusieurs chiffres, la première multiplication par un des chiffres voit toujours son résultat placé sous celui-ci.
Marguerite de Bramereau suppose ici acquis le résultat de la multiplication de a par b pour a & b deux entiers naturels compris entre 0 et 9. Les produits de ces opérations sont compilés dans le livret d’arithmétique contenu en début de traité. Elle n’explique pas comment obtenir ces résultats qui sont considérés comme un pré-requis pour le lecteur.
Comme pour les règles précédentes, plusieurs exemples sont ensuite présentés. On trouve en particulier un Bordereau d’argent (Bramereau, 1655, p. 39) pour convertir différentes unités de monnaies, et un Bordereau de marchandise (Bramereau, 1655, p. 41) qui suit le principe du livre de compte présenté avec l’addition, mais en ajoutant la quantité de marchandise considérée à chaque fois. Le bordereau est en fait composé de deux colonnes. Dans celle de gauche, les quantités de marchandise, ainsi que le prix à l’unité. Dans la colonne de droite, on peut trouver le prix pour la quantité de marchandise considérée. Pour avoir le prix total, il faut donc faire l’addition des différents prix.

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Exemple de bordereau d’argent (partie 1)
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Exemple de bordereau d’argent (partie 2)

Vient finalement la règle de Partition, ou Division (Bramereau, 1655, p. 42). L’explication est encore une fois menée sur des exemples, d’abord simples, puis avec une difficulté. Marguerite de Bramereau explique comment opérer quand le diviseur est plus petit que le dividende. Comme pour les explications précédentes, viennent ensuite des exemples faisant intervenir des unités de monnaie, avec entre autre des exercices de conversion. Les derniers exemples font intervenir à la fois multiplication et division.

Pour poser une division, on sépare le dividende du diviseur par un trait horizontal. Le quotient sera lui écrit sur la droite, isolé par une parenthèse. À chaque étape de calcul, on réécrit le diviseur sous les rangs concernés, et le reste au dessus du dividende. Chaque nombre utilisé lors d’une étape est barré.

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Exemple de division posée

Dans notre exemple, pour diviser 14 836 par 12, on écrit 14 836 que l’on sépare du 12 par une barre horizontale.

\[ \begin{array}{c c c c c c c c c c c c } 1 & 4 & 8 & 3 & 6 & ∇ & ( & & & & & \\ \hline 1 & 2 & & & & & & & & & & \\ \end{array} \]

Les étapes sont les mêmes qu’actuellement. On commence par regarder combien de fois 12 (qui est écrit juste sous le 14) est contenu dans 14 : une fois, que l’on reporte sur la droite, dans la partie isolée par une parenthèse ouvrante. Puis on fait 14-12=2, que l’on vient écrire au dessus du 14, au bon rang.

\[ \begin{array}{c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c } & \color{red}{2} & & & & & & & & & & \\ \color{blue}{1} & \color{blue}{4} & 8 & 3 & 6 & ∇ & ( \color{red}{1} & & & & & \\ \hline \color{blue}{1} & \color{blue}{2} & & & & & & & & & & \\ \end{array} \]

L’étape terminée, on peut barrer les chiffres des nombres utilisés 14 et 12.

\[ \begin{array}{c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c } & \color{red}{2} & & & & & & & & & & \\ \color{blue}{\bar1} & \color{blue}{\bar4} & 8 & 3 & 6 & ∇ & ( \color{red}{1} & & & & & \\ \hline \color{blue}{\bar1} & \color{blue}{\bar2} & & & & & & & & & &\\ \end{array} \]

Pour la deuxième étape, on considère maintenant le nombre 28 (formé du reste obtenu précédemment 2, et du 8 du rang suivant du dividende). Le « 28 » est donc écrit en diagonale sur notre exemple. On recopie le diviseur 12 sous le 28. Il sera donc lui aussi inscrit en diagonale, dans l’autre sens.

\[ \begin{array}{c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c } & \color{blue}{2} & & & & & & & & & & \\ \bar{1} & \bar{4} & \color{blue}{8} & 3 & 6 & ∇ & ( 1 & & & & &\\ \hline \bar{1} & \bar{2} & \color{blue}{2} & & & & & & & & & \\ & \color{blue}{1} & & & & & & & & & & \\ \end{array} \]

On peut alors recommencer le procédé jusqu’à l’obtention du résultat. La division de 14836 par 12 donne ainsi 1236, et il reste 4.

\[ \begin{array}{c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c } & & \bar1 & \bar1 \\ & \bar2 & \bar4 &\bar7 & (4 & & & & & & & \\ \bar1 & \bar4 & \bar8 & \bar3 & \bar6 & ∇ & ( 1 & 2 & 3 & 6 & ∇ & \\ \hline \bar1 & \bar2& \bar2 & \bar2 & \bar2 & & & & & & & \\ & \bar1& \bar1 & \bar1 & & & & & & & & \\ \end{array} \]

Les preuves

À la suite de ces quatre premières règles, Marguerite de Bramereau explique au lecteur comment vérifier que ses calculs sont corrects. Pour les quatre opérations, elle utilise ce qu’elle nomme la preuve et qui correspond à ce que nous appelons la preuve par neuf.

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Les « preuves » de plusieurs nombres

Marguerite présente ici les preuves de différents nombres. Le mot « preuve » désigne pour Marguerite à la fois la méthode pour vérifier un calcul (ce que nous appelons la preuve par neuf), et l’outil utilisé pour le faire. La preuve d’un nombre est le reste de la division de ce nombre par 9 (C’est, en termes modernes, la congruence du nombre modulo 9). Marguerite n’explique pas ce résultat, mais présente les preuves des différents nombres, et comment les trouver, à partir d’un tableau. Sur l’extrait présenté ici, les quatre listes de nombres séparées par des lignes sont à lire comme un tableau. Les lignes 1 et 3 du tableau sont les nombres et les lignes 2 et 4 du tableau sont leurs preuves respectives. Sous chaque nombre, on additionne chaque chiffre le composant jusqu’à obtenir un résultat compris entre 0 et 8. Les nombres de 0 à 8 sont donc égaux à leur preuve. La preuve de 9 est 0. Pour les nombres supérieurs, par exemple pour 66, on additionne 6+6=12, puis 1+2=3 qui est donc la preuve du nombre 66 (Bramereau, 1655, p. 52).
Cette méthode nous donne le même résultat que le reste de la division euclidienne 66÷9=7×9+3 C’est un procédé souvent présenté dans les textes d’arithmétique de l’époque. Néanmoins, nous pouvons noter qu’une erreur de l’ordre d’un multiple de 9 est toujours possible.
Pour la soustraction et la division, une autre méthode de vérification est proposée. L’auteure utilise le fait que la soustraction est l’inverse de l’addition.

La preuve de la Soubstraction se fait en adjoustant la somme payée avec la somme restante du payement, lesquelles deux sommes faut que rendent la somme principale deuë. (Bramereau, 1655, p. 61)

On peut donc par addition prouver une soustraction. De la même manière, bien que cela ne soit pas écrit dans le traité, la division est l’inverse de la multiplication. Marguerite de Bramereau nous indique ainsi que l’on peut vérifier une division par une multiplication :

La preuve de la partition se fait en multipliant le quotient par le diviseur, ou le diviseur par le quotient, & s’il reste quelque nombre à diviser, le faut adjouster au produit de la multiplication, & l’addition donnera un nombre esgal à celuy de la somme divisée. (Bramereau, 1655, p. 62-63)

Notons que les preuves proposées par l’auteure sont également réalisées dans le cadre de calculs avec unités, la plupart du temps de monnaies. Elle propose à ce sujet une preuve du bordereau dont elle a parlé avant. Le bordereau correspond à une conversion d’unités de monnaies. La conversion inverse servira alors de vérification.

La règle de trois et ses dérivées

L’étape suivante dans l’apprentissage de l’arithmétique est l’application des quatres opérations au sein d’une nouvelle règle : la règle de trois.

La Regle de trois est ainsi appellée, parce qu’il y a trois nominateurs. (Bramereau, 1655, p. 73)

La méthode expliquée pour réaliser ce calcul est en fait celle encore utilisée actuellement. En arrangeant les valeurs que l’on connait en deux lignes, on peut trouver la valeur manquante en effectuant une multiplication, suivie d’une division. Ce sont ces deux opérations, prises l’une après l’autre qui constituent ici la méthode présentée. Il n’y a pas de règle de trois ou de produit en croix rédigé comme nous pouvons le faire de nos jours. Plusieurs exemples sont présentés. Ils représentent des situations qui peuvent être rencontrées par des marchands, dans différents domaines (vente de vin, de tissus, &c.). La preuve d’une règle de trois se fait en effectuant les calculs à rebours. L’on doit alors retrouver le nombre de départ.

La règle de trois de compagnie (plus communément appelée règle de compagnie à l’époque), dérivée de la règle de trois, est utilisée quand plusieurs personnes investissent différentes sommes d’argent dans un projet, pour lancer une entreprise par exemple. Les personnes concernées forment ainsi une compagnie.

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Énoncé d’un exemple utilisant une « règle de trois de compagnie »

Chaque participant donne un certain montant, en livres, pour créer le fond de départ. La proportion de ce fond donnée par chacun sera la proportion de profits qu’ils récolteront ensuite (Bramereau, 1655, p. 77).
Quand vient le temps de calculer le revenu de chacun, on utilise alors une règle de trois pour trouver quelle proportion du bénéfice total revient à chacun selon ce qu’il a mis dans l’apport initial.

La dernière partie du traité aborde une application de la proportionnalité aux aliquotes de douze deniers pour faire des sols. Un sou, ou sol, vaut douze deniers. Une partie aliquote d’un nombre est un entier qui est contenu un nombre entier de fois dans ce nombre ; ce sont ses diviseurs. Les aliquotes de 12 sont donc 6, 4, 3, 2 et 1. On peut rapidement associer à chacune de ces parties des fractions de 12 qui sont respectivement $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{6}$ et $\frac{1}{12}$ de 12.

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Exemple d’aliquote (1)

Les exemples présentés dans cette partie consistent à calculer le prix d’un nombre donné de livres d’une marchandise pour une quantité donnée à un certain prix l’unité [10]. L’astuce consiste en fait à partir de l’hypothèse qu’une livre de marchandise coûte 1 sou.
Par exemple 572 livres de pommes coûteraient 572 sous. Considérons maintenant qu’une livre coûte 4 deniers. En utilisant la conversion 1 sou = 12 deniers, on remarque qu’il faut prendre le tiers pour obtenir le prix total. C’est à la fois le calcul d’un prix et la conversion en une unité de monnaie plus simple à manipuler. En réutilisant les notations introduites plus haut, quatre deniers sont le tiers d’un sou. Si une livre de pommes coûte 4d, alors en divisant la quantité de pommes par 3, on obtient directement le prix en sous, puis en deniers (Bramereau, 1655, p. 84).
Maintenant, comment faire pour calculer ce que Marguerite de Bramereau appelle les autres aliquotes 5. 7. 8. 9. 10. 11. ? Comme pour les autres règles, l’auteure explique la méthode avec un exemple. Il suffit en fait de décomposer le nombre en une somme d’aliquotes. Cette méthode utilise ce que l’on appelle aujourd’hui la linéarité de la proportionnalité.

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Exemple d’aliquote (2)

Le but est de trouver le prix de 837 livres de raisins muscats si une livre coûte 5 deniers (Bramereau, 1655, p. 85). On peut décomposer 5 deniers comme la somme de 2 deniers et de 3 deniers. Cinq deniers (5d) sont ainsi la somme entre le sixième et le quart d’un sou (noté s), qui sont toutes les deux des parties aliquotes calculables par une division.

5d=2d+3d
Or : 2d=$\frac{1}{6}$s & 3d=$\frac{1}{4}$s
Donc : 5d=$\frac{1}{6}$s + $\frac{1}{4}$s

En utilisant les propriétés de la proportionnalité, il nous suffit de sommer les résultats des deux divisions par 6 et 4 pour obtenir le résultat. En effet, (837 × 5) ÷ 12 = 348,75, tout comme (837 ÷ 6) + (837 ÷ 4) = 348,75
La preuve de ces aliquotes se fait comme précédemment, par le calcul inverse.

Conclusion

Le texte de Marguerite de Bramereau nous donne un aperçu des connaissances en arithmétique d’une jeune fille du XVIIe siècle, de famille bourgeoise et instruite chez les Ursulines. Comme nous venons de le voir, l’enseignement dans les collège des Ursulines n’est pas très différent de celui dispensé aux jeunes garçons (Romano, 1999, p. 55), ce qui n’est pas si surprenant si l’on se rappelle que les Ursulines ont pris comme modèle l’enseignement dans les collèges jésuites. Sans avoir connaissance de la personne ayant écrit le texte ici étudié, nous n’aurions pas été capables de déterminer son sexe. Le contenu et la manière de le présenter ne sont visiblement pas genrés.
Pour prendre un exemple, le mode de fonctionnement d’un livre de compte, ou d’un bordereau se retrouve également dans des textes à l’attention des jeunes garçons, ou des travailleurs hommes. Un bordereau sert à faire un total de plusieurs quantités dans des unités différentes, mais mesurant une même chose. Le texte de Marguerite de Bramereau en présente un concernant la monnaie.

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Exemple de bordereau d’argent (bis)

Les premières lignes présentent les résultats, tandis que le procédé est expliqué en dessous (Bramereau, 1655, p. 39).
Pour prendre un exemple parmi d’autres, le traité d’arithmétique de Claude Irson, datant de 1674, présente également un bordereau. Tout comme le texte de Marguerite de Bramereau, ce traité n’a pour vocation que d’enseigner les bases de l’arithmétique. La différence est qu’il est écrit par un homme, et pour un public vraisemblablement masculin (Irson, 1674, p. 29). Le bordereau concerne cette fois-ci une unité de longueur : l’aune. Les bordereaux sont un point souvent abordé dans les arithmétiques commerciales de l’époque.

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Exemple de bordereau d’aunage chez Claude Irson

Claude Irson n’explique pas dans ce paragraphe comment convertir les unités entre elles, mais la méthode est explicitée. La disposition des différentes quantités est la même que pour le bordereau d’argent de Marguerite de Bramereau. Il n’y a aucune différence de méthode ni de traitement entre les deux textes.

Notons par ailleurs que d’autres textes d’enseignement de l’arithmétique abordent les suites numériques (alors appelées des progressions) ou les extractions de racines. Ces points sont absents du traité de Marguerite de Bramereau. Ceci est peut-être la conséquence de l’âge de l’auteure ou de son degré d’avancement en mathématiques. L’apprentissage est ancré dans un contexte très pratique et concret, avec des manipulations d’unités de mesure et de monnaie. On aurait pu s’attendre à des exemples stéréotypés, rendant compte de situations appartenant au monde féminin supposé de l’époque, mais ceux-ci appartiennent à un univers commercial. Comme nous l’avons dit, le rôle de l’enseignement des jeunes filles est de les préparer à seconder leur père ou leur mari dans leur travail, leur commerce.
Notons enfin que, comme dans les livres à destinations des jeunes garçons, les démonstrations sont absentes du texte. Le but de cet enseignement est l’apprentissage de règles que l’on peut retenir facilement et que l’on peut appliquer aussi facilement dans des cas concrets.

Le texte de Marguerite de Bramereau n’est bien sûr qu’un traité parmi la centaine regroupée dans le corpus des arithmétiques pratiques écrites en français et publiées au XVIIe siècle. De plus, comme pour les autres textes du corpus, l’inexistence de contenu original rendrait cet ouvrage presque anecdotique quant à l’intérêt purement mathématique. La particularité de ce texte est l’originalité, et la non-originalité de son auteure. Marguerite de Bramereau est, à notre connaissance, l’une des deux seules françaises à avoir publié un ouvrage de mathématiques au XVIIe siècle [11]. Son sexe, et la vision dépréciative que l’on pouvait en avoir à l’époque de la publication font du texte de Marguerite un sujet d’étude tout désigné car rare. D’un autre côté, son texte décrit l’éducation arithmétique que toute jeune fille bourgeoise pouvait recevoir. Marguerite ne devient alors qu’une fille parmi les autres.

Références bibliographiques

Anon., Constitution des ursulines de Bordeaux, Liège, 1650

a et b : Philippe Annaert, Les collèges au féminin, les ursulines aux XVII et XVIIIièmes siècles, Bruxelles, C.D.R.R. (Centre de Documentation et de Recherche Religieuses), 1992

a, b, c et d : Philippe Annaert, « L’apport des religieuses enseignantes à l’éducation des filles dans les villes du Nord-Ouest de l’Europe, XVIIe - XVIIIe siècles », Revue du Nord, Vol.1, n°394, 2012, p. 9-31.

a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s et t : Marguerite de Bramereau, Rudiment d’arithmétique, ou apprentissage des quatre Regles d’Arithmétique, & preuves d’icelles ; Ensemble des Bordereaux, nombres pairs & impairs, Aliquotes, Regle de trois, & de Compagnie avec leurs preuves. Par Marguerite de Bramereau d’Avignon, Avignon : Jacques Bramereau, 1655.

Emmanuelle Chapron, « Écoles charitables et économie du livre au XVIIIe siècle : les livres à l’usage des élèves des Ursulines », Revue d’Histoire moderne et contemporaine, 2012, Vol.4, n°59, p. 33-50

a et b : Jeanne Peiffer, « Femmes savantes, femmes de science » dans F. Collin, Le sexe des sciences : les femmes en plus, Paris, Éditions Autrement, 1992, p. 32-41

Claude Irson, L’arithmetique universelle demontree contenant en six Regles principales disposées dans un ordre naturel, les applications convenables aux Finances & au Negoce de Banque & de Marchandise ; à l’Art Militaire & à la Geometrie pratique, Paris : Pierre Baudoüyn, 1674

a, b, c et d : Michel Nassiet, La France au XVIIe siècle - Société, politique, cultures, Paris : Belin Sup, 2006

 : Registre des baptêmes de la paroisse catholique Saint-Didier - 1641-1642, Archives départementales de Vaucluse, Avignon, p. 12, consulté le 02 février 2018

Antonella Romano, La contre-réforme mathématique - Constitution et diffusion d’une culture mathématique jésuite à la Renaissance, Rome : École française de Rome, 1999

Post-scriptum :

Tous mes remerciements aux éditeurs Hélène Gispert & Marc Moyon, ainsi qu’ à Sabine Rommevaux-Tani, pour leurs remarques et aide précieuses.
L’auteur et la rédaction d’Images des Maths remercient les relecteurs Olivier Reboux et P. Levallois pour leur relecture attentive et leurs commentaires.

Article édité par Marc Moyon

Notes

[1Marguerite de Bramereau, Rudiment d’arithmétique, ou apprentissage des quatre Regles d’Arithmétique, & preuves d’icelles ; Ensemble des Bordereaux, nombres pairs & impairs, Aliquotes, Regle de trois, & de Compagnie avec leurs preuves. Par Marguerite de Bramereau d’Avignon, Avignon : Jacques Bramereau, 1655.

[2Il conviendrait de replacer cette analyse dans une étude plus large des arithmétiques pratiques produites en Europe après l’introduction du calcul indien d’al-Khwārizmī. Ceci dépasserait le cadre de cette courte présentation. On peut toutefois se référer aux articles suivants :
Maryvonne SpiesserLa naissance d’un genre, le traité d’arithmétique commerciale (XIVe-XVIe s.)
&
Maryvonne Spiesser & Marc MoyonL’arithmétique des fractions dans l’œuvre de Fibonacci : fondements & usages, Archive for History of Exact Sciences, 69/4, p.391-427.

[3Dans ce traité, le nom de Marguerite est toujours accompagné d’une particule, alors que celle-ci n’est pas utilisée pour les autres membres de sa famille.

[4L’exemplaire du traité de Marguerite de Bramereau détenu par la bibliothèque Diderot de Lyon contient sur la troisième de couverture des notes manuscrites avec les années de début et de fin de travail de chaque imprimeur. Jacques I officiait de 1590 à 1621 ; Jean de 1622 à 1631 ; Jacques II de 1633 à 1659 ; et Georges de 1659 à 1680. Cette main anonyme semble plus récente, étant donnée la couleur de l’encre. Elle pourrait dater de l’époque contemporaine.

[5Molière, Les femmes savantes, Paris, 1672

[6Pour plus d’informations sur l’enseignement pour les jeunes filles au XVIIe siècle, on pourra lire Nassiet, 2006, p. 256-258.

[7À ce sujet, voir Rebecca Rogers, « L’éducation des filles » dans F. Jacquet Francillon, Une histoire de l’école, anthologie de l’éducation et de l’enseignement en France, XVIIIe-XIXe siècles, p. 165-171, Paris, Retz, 2010

[8À propos du calcul avec les jetons, on peut lire Sophie Couteaud, « Mise en perspective de L’arithmetique par les gects de Pierre Forcadel de Béziers (1558) », dans É. Barbin et M. Moyon, Les ouvrages de mathématiques dans l’histoire. Limoges : PULIM, 2012, p. 247-260.

[9On peut d’ailleurs relever une erreur de calcul dans l’un des exemples présentés, bien que celle-ci puisse être un oubli de la part de l’éditeur.

[10Attention, ici, la livre représente l’unité de masse.

[11La seconde, Marie Crous, a publié deux traités :
Marie Crous, Avis aux filles exerçantes l’arithmétique, sur les axiomes ou dixième du sieur Stevin, Paris, 1636
&
Marie Crous, Abrégé recherché de Marie Crous pour tirer la solution de toutes les propositions d’Arithmétique ...Divisé en trois parties. Ensemble un avis sur les axiomes ou Dixième du Sieur Stevin, Paris : J. Aurray, 1641.
À ce sujet, voir Collin, 1992, p. 33-34

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Pour citer cet article :

Martin Muffato — «L’enseignement de l’arithmétique au féminin au XVIIe siècle» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

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  • L’enseignement de l’arithmétique au féminin au XVIIe siècle

    le 6 juin à 14:18, par Mauricio Garay

    Très bel article. Merci !
    Pour information, sur Gallica on trouve deux manuscrits édités par Bramereau.

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