L’enseignement des mathématiques

Toujours dans le désarroi et la tourmente !

Le 18 mars 2018  - Ecrit par  Aziz El Kacimi Voir les commentaires (4)

Les nombreux problèmes qui se posent dans l’enseignement des mathématiques ne laissent personne indifférent. Beaucoup de gens en parlent, mais peu les posent de façon concrète. C’est que le débat est déjà difficile à porter auprès de la communauté mathématique, et il l’est encore plus au niveau du public. C’est à cet effet que le site Images des Mathématiques souhaite offrir un espace de discussions ouvert à tous ceux qui se sentent touchés par ces questions. Ils pourront y échanger leurs idées, leurs points de vue et éventuellement apporter des éléments de réponse. Le débat sera « provoqué » chaque mois par la publication d’un billet portant sur un point précis, écrit par l’un des responsables de la rubrique ou par toute autre personne qui le souhaiterait.

A. El Kacimi, F. Recher, V. Vassallo

Les problèmes de l’enseignement des maths sont toujours là et ne cessent de hanter
les responsables, constamment inquiets
par la publication des enquêtes successives sur le sujet, en particulier celles de PISA (Programme for International Student Assessment) et du TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study). Chaque gouvernement fraîchement élu promet de les éradiquer en mettant en place des commissions de réflexion, en lançant des initiatives... Mais après les premiers remous et quelques gesticulations, les bonnes volontés s’estompent et sont renvoyées aux calendes grecques. Rien n’a jamais réellement bougé !
Espérons que la mission confiée dernièrement à Charles Torossian et Cédric Villani - qui ont rendu récemment leur
rapport
avec dedans leurs vingt et une mesures - aboutira à quelque chose.

Mais ce qui est tout de même curieux, c’est qu’on ne dit jamais comment ces problèmes sont nés ni comment ils ont été cultivés depuis lors !

La situation a commencé à se dégrader il y a presque trente ans, quand des politiques zélés, pensant sans doute bien faire, ont dénoncé ce qu’ils qualifiaient de "domination
des maths, leur côté matière de sélection..." Le plus désolant est que ceci, bâti souvent sur une méconnaissance de la discipline, a trouvé - et trouve encore à nos jours - écho auprès de beaucoup
de monde : ceux dont
les enfants n’arrivent pas à franchir un cap « à cause » des maths (disent-ils !), ceux qui en gardent de mauvais souvenirs, ceux qui les détestent
ou qui avaient un contact difficile avec l’enseignant... moult raisons qui font qu’ils n’hésitent pas
à porter main forte à tous ceux qui profèrent ces récriminations. Il n’est pas rare d’entendre certains répéter (avec
fierté !) des « J’étais nul en maths ! », « Je n’aimais pas les maths ! », « J’avais un mauvais prof ! »...
Cet acharnement s’est amplifié et a été relayé par les médias. Voici par exemple ce qu’on pouvait lire en 2006 :

« Le monde parle en langage mathématique », écrivait Galilée.
L’école française aussi, pourrait-on
ajouter, tant cette discipline y occupe
une place centrale. A tous les
niveaux, jongler avec les fonctions,
les équations ou les notions les plus
abstraites détermine la réussite. Les
forts en maths voient toutes les
portes s’ouvrir devant eux, pendant
que les autres souffrent ! Les études
portant sur les cours particuliers que
les familles font donner à leurs
enfants font bien ressortir que ces
heures supplémentaires sont majoritairement
dédiées aux fractions et
équations, dès le début du collège.
Sans les maths, donc, peu de
chance !

Les comptes rendus du rapport
sur l’enseignement des disciplines
scientifiques dans le primaire et le
secondaire montrent combien cette
domination fait jouer un rôle assez
peu confortable à une discipline qui
chez nombre de nos voisins est
importante, certes, mais à peine plus
que les autres ! Ainsi, la majorité des
jeunes qui choisissent la filière S
(scientifique) ne le font pas pour les
sciences mais pour s’assurer le
meilleur avenir possible...

D’un côté, il y a quasi-obligation à
réussir dans cette discipline, afin de
réaliser un parcours scolaire sans
trop de fautes pour accéder au
métier de son choix... De l’autre, ce
positionnement sur un piédestal
entraîne une regrettable confusion
sur le sens de cet apprentissage. On
oublie souvent son côté discipline de
culture autant que son côté formateur
des esprits, puisque son intérêt se
réduit pour une bonne part au tri des
élèves qu’elle permet... Les maths
seraient devenues un outil de
sélection plutôt qu’un outil de
formation.

(Le Monde de l’éducation / 351 - octobre 2006 / Non à la dictature des maths !)

Ce n’était donc pas si étonnant qu’une masse de gens ait accepté cette idée de « dictature des maths », soutenue par des décideurs,
qui ont même promis en passant, et de façon quelque peu démagogique, de relever très haut le taux de réussite au baccalauréat. Comment est-il possible de faire cela si ce n’est en
baissant drastiquement le niveau des enseignements, et en particulier celui des maths qui passe pour être le catalyseur de tous les maux ? (Mais on y est arrivé quand même : ce taux
a failli atteindre les 80% en 2017 ! Reste à voir ce que va donner la nouvelle réforme de ce diplôme au niveau de l’enseignement des sciences en général. Personnellement, elle me laisse sceptique !)

Alors pour ce faire, on a commencé à taillader
les maths (à tous les niveaux), les alléger, les vider de leur substance, c’est-à-dire le raisonnement et la réflexion qui sont non seulement leurs piliers mais
aussi le but
même de leur enseignement... Place aux recettes que les élèves n’ont qu’à mémoriser et à appliquer directement. Des notions ont disparu presque entièrement, par
exemple des bribes de certains thèmes ont ravi une bonne part de la place qu’occupait la géométrie qui est la colonne vertébrale des mathématiques et par laquelle on apprend
le plus (tout le monde le sait) à mener un raisonnement
qualitatif sans toujours être obligé de faire appel à un mécanisme calculatoire.

Beaucoup des élèves ayant subi cette « réforme à reculons » sont aujourd’hui des enseignants ou en passe de le devenir. Et le constat est sans appel : faiblesse
du niveau et surtout manque de compétence, de recul, de capacité de réflexion... en somme de tout ce qui est indispensable à celui dont le métier est de
transmettre ce savoir à des apprentis.

Le problème de l’enseignement des mathématiques est essentiellement celui-là !

Et on n’est pas prêt à le résoudre : il se posera encore durant plusieurs des années qui viennent.
Actuellement on ne peut que le colmater pour en sauver une partie tout en réfléchissant sérieusement à une vraie stratégie pour la suite :
il faut sûrement plus de vingt ans pour que la situation regagne sa « normalité. »

Le professorat des écoles

C’est à l’école primaire que débute l’enseignement des maths et c’est là aussi qu’apparaissent ses premières
difficultés. Une attention spéciale doit donc être portée à la formation des maîtres, surtout que près de 70 % des
« élèves PE » viennent de branches littéraires où la discipline en question est souvent perçue, pour diverses raisons, tout à fait secondaire. Les étudiants
eux-mêmes n’y prêtent pas beaucoup d’intérêt, les intégrant en pensant au départ qu’ils ne s’orienteraient jamais vers une carrière d’enseignant du primaire.
C’est actuellement l’offre de postes et le nombre faible de candidats qui les y attirent. D’un autre côté, leurs difficultés en maths sont mesurablement au moins les
mêmes que celles des étudiants des branches scientifiques en français, matière aussi importante car elle est l’outil principal qui permet la communication
aussi bien à l’oral qu’à l’écrit.
Je pense que dans cette direction une des solutions est la :

1. Création (à l’université) d’un parcours spécial « Professorat des écoles » sanctionné au bout de trois ans par une
Licence. Les étudiants
y accéderaient dès la première année pour suivre une formation portant sur ce
qu’ils auraient à enseigner à l’école primaire avec une prédominance en français et en mathématiques.

Cette idée n’est pas nouvelle, elle est apparue il y a quelques années ; il me semble que des universités l’ont même déjà mise à l’essai
et certaines la pratiquent encore (et si je ne me trompe pas, une Licence assez proche est ouverte au Département des Sciences de l’Éducation à l’Université Charles de Gaulle
à Lille).
Mais la fameuse réforme qui a rallongé inutilement d’un an toutes les préparations au métier d’enseignant en créant le Master enseignement
a stoppé net ce genre d’initiative. C’est une piste sérieuse qui mérite d’être retracée. Je me réjouis de découvrir qu’elle est aussi la première mesure proposée
par Charles Torossian et Cédric Villani :

1. Formation initiale. Construire, dès 2018, la formation initiale des professeurs des écoles démarrant à
Bac+1, de façon à assurer, dans une licence adaptée ou un parcours pluridisciplinaire,
un volume suffisant d’enseignements dédié aux disciplines fondamentales.

2. Une remise à niveau en mathématiques des professeurs des écoles recrutés ces dernières années est absolument indispensable.
Mais une vraie : bien organisée dans les université, les ÉSPÉ, les IREM et éventuellement au sein de tout organisme prêt à aller dans ce sens
(ça existe). « Vraie formation continue » signifie disposant des
moyens nécessaires à cet effet : humains, financiers, matériels...

C’est une bonne chose que ceci apparaisse aussi dans le dit rapport :
les mesures 14, 15 et 16.

14. Référent mathématiques. Développer la formation continue en mathématiques des professeurs des écoles. Dans
chaque circonscription, favoriser le développement professionnel entre pairs et en
équipe, et nommer un troisième conseiller pédagogique, « référent mathématiques ».

15. Développement professionnel en équipe. Développer la formation continue des professeurs de mathématiques à l’échelle locale,
dans une logique de confiance, entre pairs et en équipe ; promouvoir l’observation
conjointe ; dégager un temps commun dans les emplois du temps ; identifier les
personnes ressources.

16. Laboratoire de mathématiques. Expérimenter, financer et évaluer sous trois ans, dès septembre 2018, dans au moins
cinq établissements et un campus des métiers par académie, la mise en place de
laboratoires de mathématiques en lien avec l’enseignement supérieur et conçus
comme autant de lieux de formation et de réflexion (disciplinaire, didactique et
pédagogique) des équipes.

Les laboratoires de mathématiques existent déjà par-ci par-là. Nous (François Recher, Valerio Vassallo et moi) avons participé à leur création
dans des établissements des Hauts-de-France et les avons expérimentés, depuis des années, dans le cadre des activités que nous avons menées à la Cité des Géométries
(Val de Sambre) et à l’École de la Deuxième Chance du Grand Hainaut. (Nous avons relaté certaines
séances de travail : voir par exemple ici ou
.)

Le professorat du secondaire

Les difficultés ne sont pas les mêmes bien qu’elles soient drainées par celles que trimbalent les élèves depuis l’école primaire. Et là encore il y a un
vrai problème chez beaucoup d’enseignants recrutés ces dernières années : leur qualification au niveau des connaissances mathématiques
et des méthodes d’enseignement n’est pas celle qu’il faut vraiment. Si depuis deux ans les contenus des programmes de la préparation au CAPES ont été améliorés et adaptés
(ce billet en donne une idée brève mais concrète), les étudiants qui intègrent la formation en Master 1 - MEEF ont d’énormes lacunes
héritées antérieurement.

Il est aussi déroutant de voir que les programmes de maths changent souvent, et de manière pas toujours cohérente. Petite histoire.

Les étudiants du M2 - MEEF suivent la formation en alternance :
ils ont un demi-service d’enseignement dans un établissement secondaire et terminent le Master à l’université. Depuis
quelques années j’y assure un cours de Didactique des mathématiques. Je le dispense sous deux formes. La première en traitant un exemple
qu’on dévisse, qu’on découpe en plusieurs étapes, on fait le tour de tous ses recoins... La deuxième (la plus fréquente) en faisant exposer chacun des étudiants une de ses leçons ;
ce qui amène à un débat pendant lequel nous (ses camarades et moi) apportons des commentaires, des remarques, faisons des suggestions... Une façon
de procéder qui s’avère enrichissante et bénéfique, pour nous et plus particulièrement pour l’orateur. Dans le cadre de cette activité, une étudiante nous a exposé sa leçon sur
les triangles
semblables
en classe de Quatrième. À un moment donné elle a voulu nous montrer comment deux triangles (que nous noterons $ABC$ et $A'B'C'$ comme
dans le dessin du logo) semblables — mais non isométriques pour ne pas rester dans un cas évident — ont la même forme, plus précisément
que l’un est l’agrandissement de l’autre comme pour une photo d’identité et le portrait qu’on en tire.
Elle superpose l’angle $\widehat {A'}$ du plus petit (des deux triangles) sur son homologue $\widehat A$ du plus grand dans le but de nous faire voir que les côtés opposés $BC$ et $B'C'$ sont parallèles.
À cet effet, elle rallonge le côté $B'C'$
et utilise l’égalité des angles alternes internes
comme critère de parallélisme. Quelqu’un dans l’assistance lui fait remarquer qu’elle n’avait pas besoin de cette « rallonge », elle pourrait utiliser à cet effet les angles correspondants
qu’elle avait déjà à sa disposition. Dans la salle, la réaction a été immédiate : « Ils ne figurent pas au programme de Quatrième ». J’ai vérifié sur le document officiel et j’ai vu qu’on parle
effectivement d’angles alternes internes mais pas d’angles correspondants (ni d’angles alternes externes non plus). Naïvement j’ai demandé pourquoi
cette omission et quels en sont les auteurs.
« Ceux qui n’ont jamais été devant des élèves » m’ont-ils répondu. Eh oui ! quand ça n’est pas clair, ils sont
dans la confusion et ont l’impression qu’on ne fait pas ce qu’il faut pour leur faciliter la tâche : ils n’osent pas prendre de risque, ils préfèrent s’en tenir à ce qui est
« autorisé ». C’est aussi ce « manque de confiance en soi et de prise d’initiative » dont il faut que nos jeunes enseignants du primaire et du secondaire
se débarrassent !

À bon entendeur ! Qui n’entendra peut-être jamais ? Alors tant pis !

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Pour citer cet article :

Aziz El Kacimi — «L’enseignement des mathématiques» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

  • L’enseignement des mathématiques

    le 19 mars à 00:33, par gtort

    Tout à fait d’accord avec avec ce qui est dit dans l’article et plus généralement sur ce site splendide.
    Depuis quelques années je m’occupe de la formation version maths des candidats au professorat des écoles ( académie de Versailles), après avoir sévi dans la filière des lycées professionnels désormais épuisée par siphonnage par les universités.
    Un monde extraordinaire, mélange de non sens mathématique et de finesse humaine. Il y a du travail en amont pour en arriver là. Le travail en aval n’en est pas forcément plus simple. L’algèbre manque mais aussi le nombre : l’arithmétique en particulier. La confusion entre les deux opérations élémentaires est du même ordre que celle entre les deux auxiliaires en français.
    Exemple amusant et récent dont l’énoncé a été récupéré peut être sur ce site ou bien ailleurs :
    « une marchande de crêpes va au marché. Elle vend les 3/5 de sa production le matin et, l’après midi, le quart de ce qui lui reste. Le matin elle vend 200 crêpes de plus que l’après midi. Combien de crêpes avait-elle le matin ? »
    Au départ ce qui compte c’est le résultat : 300 ! 345 ! 400 ! 500 ! Le pourquoi, le comment n’a aucun intérêt. Certains s’y essaient : « mais si ! il y a des x et comme.... ».
    A la fin, je sors des petits bouts de papiers et mime la situation :

    • trois à gauche et deux à droite : la situation du matin
    • je ne veux pas découper mes précieux papiers. J’en rajoute donc une couche.
    • maintenant j’en ai : 2 fois trois à gauche, 2 fois deux à droite. Même rapport et 10 bouts de papier en tout et de plus j’en ai 4 à droite.....
    • un bout à droite matérialise la vente de l’après midi, j’associe un bout d’un côté et un de l’autre.
    • il reste à gauche 1 fois trois plus 2 bouts, ce qui fait 5 bouts pour 200 crêpes. - un bout de papier, c’est 40 crêpes donc 10 bouts de papiers 400 crêpes,
    • conclusion : la marchande arrive avec 400 crêpes le matin.
      Une étudiante vient essayer de raconter l’histoire : l’oralisation n’est pas aisée. Le métier se construit là.... Entre l’artisan et l’artiste.
      Que de questions en salle !!! les bouts de papier changeant de valeurs durant l’expérience ont semé le trouble.
      Une semaine après beaucoup semblaient avoir compris le dispositif...... Je ne garantis rien. Les méthodes explicites ne le sont que pour ceux qui les préconisent. Les étudiants regardaient les cartons comme si c’étaient des « x » et bien sûr si un « x » change de valeur en cours de route, cela sème le doute.

    Quelques remarques d’humeur :
    1. Après avoir détruit l’image des maths comme instrument aveugle de sélection.
    2. Après avoir réduit l’image du professeur à un être rétrograde, inhumain et inadapté socialement.
    3. Après avoir refusé à ces êtres incultes et fainéants, une quelconque renégociation de leur(s) statut(s) lors du passage au 35h tout en sachant que la grille salariale des professeurs était la plus faible des grilles de la fonction publique.
    4. Après avoir nié la capacité d’apprentissage des enfants, substantiellement incontinents, scolarisés à la maternelle.

    Qui ose se plaindre d’un manque d’enseignants en France ?
    Doit-on parler des élites ?

    Répondre à ce message
  • L’enseignement des mathématiques

    le 19 mars à 06:57, par orion8

    « La situation a commencé à se dégrader il y a presque trente ans, quand des politiques zélés, pensant sans doute bien faire, ont dénoncé ce qu’ils qualifiaient de « domination des maths, leur côté matière de sélection... » Le plus désolant est que ceci, bâti souvent sur une méconnaissance de la discipline »

    Tout le problème est là... Pour « punir » les maths, « ils » ont allégé le programme de S, réforme après réforme, rendant -paradoxalement- cette section plus attirante pour les bons élèves pas spécialement scientifiques. Et on arrive à des classes de S qui sont plus littéraires que les classes de L ! Et à des classes de L qui ne font plus un gramme de maths, comme si les S ne faisaient plus de français...

    Répondre à ce message
  • L’enseignement des mathématiques

    le 19 mars à 11:01, par Geoffrey Letellier

    « Création (à l’université) d’un parcours spécial « Professorat des écoles » sanctionné au bout de trois ans par une Licence. Les étudiants y accéderaient dès la première année pour suivre une formation portant sur ce qu’ils auraient à enseigner à l’école primaire avec une prédominance en français et en mathématiques. »

    Ayant donné des cours particuliers à une étudiante passant son CRPE en étant passé par des filières littéraires, l’existence d’une telle licence me paraît une telle évidence, que je ne comprend pas comment elle peut ne pas exister aujourd’hui (et même être prédominante chez les aspirants au métier de professeur des écoles).

    Concrètement, cette étudiante était pleine de bonnes volontés, mais elle a eu de grandes difficultés en mathématiques tout le collège, puis via son bac L, ses études littéraires (pour la validation d’une Licence) : 5 ans sans faire de mathématiques !

    Et encore, elle n’avait pas redoublé plusieurs années de licence, ni connu de réorientation en cours de route, ce qui peut énormément augmenter ce temps sans avoir à pratiquer un fondamental qu’il lui faudrait enseigner ensuite.

    En autant de temps, les automatismes, même les plus simples, sont perdus. Il fallait revoir comment résoudre une équation aussi simple que « x - 1 = 0 ». Il fallait aussi lui faire redécouvrir que certains nombres sont irrationnels (et ce ne sont que des exemples).

    Son cas, loin d’être isolé, rend des élèves qui abandonnent aujourd’hui les maths avant même l’entrée au collège, à cause d’un enseignant de primaire n’ayant pas pu transmettre un savoir qui était un peu là, mais posé sur des bases bien trop friables.

    Je n’imagine pas non plus forcer les futurs enseignants du primaire à avoir des connaissances de mathématiques trop élevées, mais il s’agit juste de leur faire garder (au moins un peu) les mathématiques dans leur cursus, qu’ils ne disparaissent plus entre leurs 16 ans et leur entrée en Master.

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  • L’enseignement des mathématiques

    le 19 mars à 16:40, par John

    Une impression personnelle sur la question du rôle des mathématiques comme outil de sélection : je crois qu’en trente ans, et même en soixante ans, ce qui est fondamental n’a pas vraiment changé.

    Les mathématiques restent un outil central de sélection. Bien sûr les programmes de lycée sont allégés et ont évolué avec l’introduction très progressive de ce qui concerne l’informatique.

    Mais regardez la hiérarchie des rémunérations à la sortie de l’enseignement supérieur, et sa corrélation avec le niveau en mathématiques des formations (et donc de la sélection qui va avec). Là très peu de choses ont changé. Certes, aujourd’hui comme hier, on peut « réussir » avec peu de mathématiques, mais c’est toujours aussi difficile me semble-t-il. Alors qu’un très bon élève en mathématiques a peu de souci à se faire, il aura une grande liberté de choix dans son parcours, et une certaine assurance de « réussite » professionnelle.

    Et je ne vois pas de signes de changement là dessus (est-ce que ça peut/doit changer ?). Ces faits me paraissent déterminants pour le statut et le devenir de cette discipline, mais aussi pour les difficultés qu’elle connaît.

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