L’erreur comme source de progrès en mathématiques ?

Le 18 février 2009  - Ecrit par  Jean-Marc Schlenker Voir les commentaires (2)

Un billet récent expliquait l’angoisse que peut avoir un mathématicien
à l’idée d’avoir laissé une erreur dans un article. Mais existe-t-il des
cas où une erreur dans une preuve a durablement égaré la recherche mathématique ?
Il existe en tous cas des erreurs fructueuses : ainsi, dans un article célèbre
de 1960, Yamabe montrait l’existence dans chaque classe conforme d’une métrique à courbure scalaire constante. Sa « preuve » contenait une erreur, mais la
conjecture correspondante allait devenir l’un des moteurs du développement de
l’analyse géométrique au cours des 20 années suivantes.

Vers 1900, Henri Poincaré jette les bases d’une des principales branches des mathématiques contemporaines, la topologie algébrique ; il découvre comment
associer à un objet topologique a priori bien compliqué, une variété, des objets algébriques beaucoup plus simples [1], qui en sont des invariants algébriques. Il affirme
 [2]
un énoncé remarquable : l’un des invariants topologiques qu’il vient de définir, l’homologie, suffit pour reconnaître la sphère parmi les variétés de dimension 3. Quatre ans plus tard [3], il
réalise qu’il s’est trompé, produit un contre-exemple, et demande si un autre
invariant qu’il a introduit un peu plus tôt, le groupe fondamental, est suffisant pour reconnaître la sphère. C’est la célèbre conjecture de Poincaré, qui va devenir le Graal des topologues jusqu’à sa résolution par Perelman en 2002.

Dans ces deux cas, l’erreur commise, et la nécessité de la réparer, ont peut-être été de puissants moteurs du progrès mathématique. On pourra trouver un autre
exemple, et des analyses, dans un
exposé récent d’Etienne Ghys.

La rigidité des polyèdres

Un exemple moins connu (qui m’a été signalé par Idjad Sabitov) concerne un résultat célèbre publié par Cauchy en 1813 : si deux polyèdres de l’espace euclidien ont même combinatoire et si leurs faces correspondantes sont identiques, alors ils sont
superposables. Ce résultat a eu une influence historique
considérable. D’une part par sa preuve particulièrement élégante, qui a très
longtemps été enseignée dans les cours de géométrie. Mais aussi pour sa « descendance »,
en géométrie [4] voire en analyse [5].

L’origine de ce théorème de Cauchy est intéressante. D’une part, l’énoncé n’est
pas vraiment de Cauchy, mais de Legendre, qui ne l’a pas vraiment démontré
mais en a donné en 1793 plus tôt une preuve dans un cas particulier tout à fait non trivial,
pour l’icosaèdre. La preuve de Legendre contient déjà les deux idées principales,
respectivement combinatoire et géométrique, qui sont au cœur de celle de Cauchy.
Mais Legendre était peut-être trop occupé par des tâches plus importantes, ou
distrait par les évènements révolutionnaires, pour démontrer un résultat général.
La preuve de Legendre se trouve à la toute fin de la première édition (note XII) de ses
Eléments de géométrie, tirée à quelques centaines d’exemplaires seulement, mais
dans aucune des dizaines d’autres éditions de cet ouvrage rapidement devenu classique.

Une erreur de traduction

La motivation de Legendre, qu’il explique dans son
introduction, est tout aussi
intéressante. Il disposait apparemment d’une traduction incorrecte des
Eléments d’Euclide, dans laquelle les définitions 9 et 10 du livre XI, concernant
l’équivalence des polyèdres, sont trop similaires. Legendre écrit que « nous
observerons avec Robert Simson que la définition 10 n’est pas à proprement parler
une définition, mais bien un théorême qu’il faudroit démontrer ; car il n’est pas
évident que deux solides soient égaux, par cela seul qu’ils ont les faces égales »
.
Euclide n’avait très probablement pas laissé une telle incohérence dans ses
Eléments. C’est donc une erreur de traduction qui a conduit Legendre à conjecturer une
propriété fondamentale des polyèdres, puis à en donner une ébauche de démonstration terminée
par Cauchy. Et voilà comment un traducteur médiéval a, par la mauvaise compréhension
qu’il avait de son sujet, fait faire un grand pas à la géométrie.

Au fait, la preuve donnée par Cauchy en 1813 contenait deux erreurs, corrigées
respectivement par Lebesgue en 1909 et l’autre par Steinitz et Rademacher en 1934.
Ce qui ne l’a pas empêché d’avoir l’influence qu’on lui connaît. Mais que ceci
ne vous décourage pas, amis mathématiciens, de relire plutôt deux fois qu’une
vos articles avant de les mettre sur arXiv...

Notes

[1Comme des groupes ou des espaces vectoriels.

[2Dans le Second complément à l’Analysis Situs, Proceedings of the
London Mathematical Society, 32 (1900), pages 277-308.

[3Cinquième complément à l’analysis situs, Rendiconti del Circolo matematico di Palermo 18 (1904) pages 45-110.

[4Il a conduit au théorème de rigidité d’Alexandrov pour les polyèdres, et donc
aux résultats de réalisation isométriques des métriques polyèdrales dans les espaces
de dimension 3, puis de réalisation de métriques non régulières
à courbure positive sur les bords de convexes euclidiens, et à la notion d’espace
d’Alexandrov.

[5Dans une autre direction le théorème de rigidité de
Cauchy conduit à la rigidité des surfaces convexes
régulières, aux immersions isométriques de surfaces régulières à courbure minorée, puis
aux équations de Monge-Ampère elliptiques sur les surfaces, etc.

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Pour citer cet article :

Jean-Marc Schlenker — «L’erreur comme source de progrès en mathématiques ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

Commentaire sur l'article

  • L’erreur comme source de progrès en mathématiques ?

    le 18 février 2009 à 15:19, par Charles Boubel

    Le résultat de Cauchy de 1813 n’est-il pas que si deux polyèdres convexes de l’espace euclidien ont même combinatoire et si leurs faces correspondantes sont identiques, ils sont superposables ? Ou bien Cauchy a-t-il commis une erreur d’énoncé, et pas seulement de preuve ?

    Ce résultat est faux en général si le polyèdre n’est pas convexe. Voir notamment le « flexaèdre » bien connu, par exemple ici (je n’ai pas trouvé sur le net de photo plus grande).

    Pour les non-habitués : il s’agit d’un polyèdre, c’est-à-dire matériellement ici d’un assemblage de faces rigides (métalliques) reliées entre elles deux à deux le long de leurs arêtes, par des charnières. Si la construction est convexe, comme un cube par exemple, le solide ainsi construit, une fois totalement refermé, devient « rigide » : les faces ne peuvent plus pivoter les unes par rapport aux autres le long des arêtes. La forme du cube est fixée. C’est ce qu’affirme le théorème de Cauchy. Avec le flexaèdre en revanche, qui est un polyèdre non convexe bien choisi, un (léger) pivotement des faces les unes par rapport aux autres reste possible.

    Si mes souvenirs sont bons, un résultat qui reste vrai est que, malgré le possible pivotement des faces, le volume du polyèdre, lui, ne varie pas.

    Vocabulaire : une forme quelconque du plan ou de l’espace est dite convexe si toute droite qui la traverse la rencontre le long d’une portion de droite d’un seul tenant. Un œuf est convexe, pas une banane.

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    • L’erreur comme source de progrès en mathématiques ?

      le 18 février 2009 à 15:52, par Jean-Marc Schlenker

      Merci pour la remarque, j’aurais en effet pu préciser qu’il faut considérer seulement des polyèdres convexes. En fait tout dépend de la définition d’un polyèdre ; la définition la plus classique est que c’est un domaine borné de R^3 qui est l’intersection d’un nombre fini de demi-espaces. Dans ce sens (qui était je pense celui d’Euclide et de Legendre) un polyèdre est toujours convexe.

      Il existe aussi une définition plus générale, qui autorise des polyèdres non convexes comme celui qui est montré sur la photo. Ces polyèdres sont parfois flexibles, et leur rigidité conduit à des questions que je trouve très intéressantes, mais c’est une autre histoire...

      Répondre à ce message

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