L’éventail mystérieux

Le 11 juin 2014  - Ecrit par  Patrick Popescu-Pampu Voir les commentaires (4)

En 1891 et 1892 parurent en plusieurs tomes les « Récréations mathématiques » d’Edouard Lucas [1].

JPEG - 32.4 ko

Il s’agit d’une excellente source de jeux ouvrant de nombreuses perspectives d’exploration pour les petits et les grands. Il en a déjà été question sur ce site dans l’article de Michel Coste consacré au jeu de Taquin.

Afin de mieux faire percevoir le style du livre, je vais présenter un tour de magie que Lucas appelle l’Éventail mystérieux [2].


Dans ce tour on demande à une personne de penser à un nombre compris entre $1$ et $31$. Puis on lui présente cinq cartons disposés en éventail, sur chacun desquels est écrite une liste de nombres et on lui demande sur lesquels d’entre eux se trouve écrit le nombre auquel elle a pensé. Au moment où elle a fini de nous les indiquer, on lui communique ce nombre sans aucune hésitation !

Comment est-ce possible ? Cela tient bien sûr au choix soigneux des listes de nombres à écrire sur les 5 cartons. Les voici :

  • 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31
  • 2, 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15, 18, 19, 22, 23, 26, 27, 30, 31
  • 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 28, 29, 30, 31
  • 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31
  • 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31

Si un enfant a apprécié ce tour de magie et qu’il désire se glisser dans le rôle du magicien, il voudra savoir quel est le « truc ». Sa curiosité mathématique est éveillée, quelle formidable occasion de le faire apprendre de belles choses ! Au lieu de lui révéler le secret, on peut le lui faire découvrir. Voici quelques questions qui peuvent le mener à la solution et lui suggérer d’autres variantes :

  1. Quelle est la règle suivie par la suite 1, 2, 4, 8, 16 des nombres situés en tête de chaque liste ?
  2. Si on a pensé à l’un de ces nombres de tête, sur quelles listes se trouve-t-il ?
  3. Si on a pensé à la somme de deux des nombres de tête, sur quelles listes se trouve-t-elle ?
  4. Que devrait-il se passer pour la somme de trois d’entre eux ? Vérifiez-le dans quelques cas !
  5. Arrivés à ce point, voyez-vous quel est le « truc » ?
  6. Si on choisit de deux manières différentes des nombres parmi 1, 2, 4, 8, 16, leurs sommes peuvent-elles être égales ?
  7. Combien de manières y a-t-il de choisir des nombres parmi cette suite de 5 nombres ?
  8. Quelle est la somme de ces 5 nombres ?
  9. Comment est fabriquée chaque liste [3] ?
  10. Comment fabriquer un jeu analogue à 4 ou à 6 cartons ?

Ces questions sont difficiles pour un élève de CP, mais deviennent abordables bien avant le collège, pouvant être des prétextes à l’exploration de la numération binaire ou des notions basiques de combinatoire. Par contre, dévoiler directement le « truc » à un élève de CP a aussi ses avantages : cela l’encouragera a apprendre à faire très vite des additions mentalement. On peut aussi utiliser ce « mystérieux éventail » pour déboucher sur des maths plus sophistiquées, par exemple sur la problématique des codes correcteurs d’erreurs, en comparant ce tour de magie au jeu présenté par Xavier Caruso dans cet article sur le code de Hamming.

Je n’en dirai pas plus, j’espère seulement avoir donné envie aux personnes soucieuses de développer l’esprit d’exploration mathématique des enfants d’aller chercher des idées dans ce livre. Cela réjouirait sûrement Lucas, qui concluait ainsi sa préface :

Si ces pages plaisent à quelques savants, si elles intéressent quelques gens du monde, si elles inspirent à quelques jeunes intelligences le goût du raisonnement et le désir des jouissances abstraites, je serai satisfait.

Notes

[1Les trois premiers sont aussi accessibles
via le site Gallica : I, II, III. Ils sont tous accessibles via cette page du site consacré à l’œuvre de Lucas. Je remercie Etienne Ghys de me l’avoir fait découvrir.

[2On le trouve présenté dans le chapitre « La numération binaire » du tome I.

[3Un élève peut découvrir la manière dont on saute d’un nombre à l’autre dans chaque liste. Mais avoir réfléchi aux bases de numération permet de décrire simplement la fabrication des listes de la manière suivante : la $k$-ème liste contient les nombres dont l’écriture en base $2$ contient le chiffre $1$ en $k$-ème position, si l’on compte à partir des unités. Indiquer les listes qui contiennent le nombre auquel on a pensé revient donc à indiquer ses chiffres en base 2 !

Partager cet article

Pour citer cet article :

Patrick Popescu-Pampu — «L’éventail mystérieux» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - La photo provient de Wikimedia Commons :
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Eventail_chinois_asymétrique_Alcazar_Seville_Spain.jpg?uselang=fr
Il s’agit d’un éventail chinois du XVIII-ème siècle, de l’Alcazar de Séville.

Commentaire sur l'article

  • L’éventail mystérieux

    le 11 juin 2014 à 11:32, par Aziz El Kacimi

    Bonjour,

    Un sujet intéressant, et qui passionne les enfants ! Pour ceux qui veulent un peu plus de détails sur le « jeu de la devinette », peuvent jeter un coup d’œil sur ce document. Il m’a servi de support pour des ateliers que j’ai animés dans certains établissements secondaires.

    Aziz

    Répondre à ce message
    • La seule suite possible

      le 13 juin 2014 à 06:03, par Patrick Popescu-Pampu

      Merci Aziz pour la précision que ce tour de magie marche en effet bien en ateliers mathématiques ! Ton fichier sera sûrement utile à ceux voulant développer avec les élèves les maths concernant ce tour.

      Entre temps j’ai compris que l’on pouvait montrer élémentairement que la suite $1, 2, 4, ... , 2^n$ était la seule suite
      $a_0 < a_1 < ... < a_n$ telle
      que tout nombre compris entre $1$ et $a_1 + \cdots + a_n$ puisse s’écrire une et une seule fois comme somme de termes de la suite (sans répétitions). Cela peut donc être rajouté à la liste de questions que je suggère dans le billet, et qui peuvent être proposées aux élèves qui ont compris l’interprétation du tour en termes d’écriture binaire.

      Répondre à ce message
  • L’éventail mystérieux

    le 14 juin 2014 à 18:03, par Dasson

    Bonjour,

    Merci pour l’article.
    J’ai utilisé l’idée dans ce programme :
    http://rdassonval.free.fr/flash/eve...

    Répondre à ce message
  • L’éventail mystérieux

    le 29 juin 2014 à 14:54, par Romain Bondil

    Bonjour Patrick
    je viens de tomber sur ton article. C’est amusant car j’avais il y a quelques années trouvé ce tour dans une valise de magie de mes enfants, avec des cartes. J’en avais tiré un sujet d’olympiade de maths de 1ere pour les élèves de nonS : voir
    http://mathematiques.ac-montpellier.fr/IMG/pdf/Olympiades-nons_2011.pdf

    Certains élèves avaient compris :-) youpi, car la base 2 devait au départ leur être bien étrangère.

    N.B. 1 Ces olympiades académiques ne sont pas élitistes, elles sont plutôt destinée à faire faire un peu des maths différentes à un maximum d’élèves.

    N.B. 2. Pour ce qui est du « Non S » : c’est dur de faire des sujets pour ces « Non S »

    Mais j’avoue que j’ai été un peu étonné par sujet de l’émission avec E. Ghys et F. Sauvageot sur les sujets du bac sur France Culture (Continent Science du mois de juin), les sujets à poser dans ces séries non S sont ce que l’on aurait envie de définir comme problème de collège ! Les sujets en questions étaient ouvert à ceux qui savent ce qu’est une fraction : un club ressemble 60 hommes et 40 femmes, on tire un nom au hasard quelle est la probabilité que ce soit un homme…. hum…

    Même si à la question d’après il y a un ’sachant que’ (qui change le dénominateur de la fraction) on en reste vraiment à des choses qui font penser qu’entre la sixième et la Terminale ces élèves n’auraient presque rien appris … aie...

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

registros

Cet article fait partie du dossier «Recensions» voir le dossier

Suivre IDM