L’expérience par le dessin

18 juillet 2009  - Ecrit par  Patrick Popescu-Pampu Voir les commentaires (2)

Faire ou ne pas faire de dessins ? Leur faire confiance pour les
intuitions qu’ils peuvent communiquer ou bien les bannir car ils
peuvent induire en erreur et empêcher d’accéder à l’absolu
qu’ils figurent imparfaitement ? Il serait intéressant d’examiner
comparativement les diverses attitudes envers ce dilemme,
dans les religions et dans les mathématiques, deux des domaines
où l’esprit humain a tenté avec le plus d’énergie d’atteindre
les fondements ultimes. Et d’un côté comme de
l’autre, il y a eu des iconoclasmes. Mais aussi une utilisation
exacerbée de la figuration. Et là, bien sûr, les représentations
religieuses dépassent de très loin celles consacrées aux
mathématiques : il n’y a encore jamais eu de plafond consacré
à la preuve dernière...

Lorsque l’on se met à réfléchir à l’utilisation des dessins
en mathématiques, viennent en premier à l’esprit ceux des livres
d’école et de leurs leçons de géométrie. Il y en a aussi dans
les manuels plus avancés, où l’on découvre que l’on ne fait pas de
dessins qu’en géométrie : il y en a dans les livres d’analyse et dans
ceux d’algèbre. Ce que l’on explique en disant qu’en fait ces
domaines ne sont pas si cloisonnés qu’un certain enseignement
pourrait en donner l’impression, mais qu’ils communiquent à la manière
des organes dans un être vivant.

En tout cas, de ce point de vue les dessins illustrent des théories
déjà constituées, ils sont perçus comme une aide pour accéder
à une compréhension plus profonde de ces théories.

Mais ce que l’on perçoit plus rarement, c’est le rôle des dessins
dans le processus de recherche. Ils sont alors une partie de la matière
expérimentale dont dispose le mathématicien ; ils complétent les calculs.
Car les mathématiques sont aussi une science expérimentale ! Pourquoi
cet aspect est-il si peu reconnu ? Peut-être à cause de l’idée
préconçue que l’expérience est une manipulation de la matière.
En fait l’expérience est un cheminement à travers des représentations
mentales, à la recherche d’une cohérence. Ces représentations
peuvent être suscitées par
une manipulation de la matière chez les physiciens, chimistes, biologistes,
mais aussi de documents d’archive
chez les historiens, des rêves et des souvenirs chez les patients
des psychanalystes... et enfin des calculs ou des dessins chez les mathématiciens.

Pour illustrer cet aspect de l’utilisation mathématique des dessins,
je voudrais offrir ici à la réflexion une lettre d’Henri Poincaré,
adressée le 9 décembre 1911 à G. B. Guccia, éditeur des Rendiconti del Circolo
Matematico de Palermo et que l’on
trouvera à la page 296 du tome XI de son œuvre complète
(Gauthier-Villars, 1956) :

Mon cher ami,

Je vous ai parlé, lors de votre dernière visite, d’un travail qui me
retient depuis deux ans. Je ne suis pas plus avancé et je me décide à
l’abandonner provisoirement pour lui donner le temps de mûrir. Cela
irait bien, si j’étais sûr de pouvoir le reprendre ; à mon âge, je ne puis
en répondre, et les résultats obtenus, susceptibles de mettre les chercheurs
sur une voie nouvelle et inexplorée, me paraissent trop pleins de promesses
malgré les déceptions qu’ils m’ont données pour que je me résigne à les
sacrifier. Dans ces conditions, trouveriez-vous convenable de publier un
mémoire inachevé où j’exposerais le but que j’ai poursuivi, le problème
que je me suis proposé, et les résultats des efforts que j’ai faits pour le
résoudre ? Cela serait un peu insolite, mais cela serait peut-être utile.
Ce qui m’embarrasse, c’est que je serai obligé de mettre beaucoup de
figures, justement parce que je n’ai pu arriver à une règle générale, mais
que j’ai seulement accumulé les solutions particulières. Dites-moi, je vous
prie, ce que vous pensez de cette question et ce que vous me conseillez.

Votre ami dévoué,

Poincaré

L’on découvre ainsi que, pour Poincaré, les dessins doivent disparaître
des articles publiés, une fois le but de la
recherche atteint, comme les échafaudages lorsque l’œuvre architecturale
a été finalisée. C’est bien sûr une affaire de goût. Mais on peut regretter de savoir
ainsi disparues bien des traces graphiques du cheminement de sa réflexion.

D’autre part, Poincaré avait auparavant attiré l’attention sur l’utilité des dessins dans
son article
Analysis Situs” (Journal de l’École Polytechnique, 1895),
fondateur de la topologie algébrique en dimensions
quelconques. C’est un article intéressant pour notre réflexion, puisque en 121 pages
il ne contient aucun dessin !
Pourtant il y écrit dans l’introduction :

[...] les figures suppléent d’abord à l’infirmité de notre esprit en appelant
nos sens à son secours ; mais ce n’est pas seulement cela. On a bien souvent
répété que la Géométrie est l’art de bien raisonner sur des figures mal faites ;
encore ces figures, pour ne pas nous tromper, doivent-elles satisfaire à certaines
conditions ; les proportions peuvent être grossièrement altérées, mais les
positions relatives des diverses parties ne doivent pas être bouleversées.

Et l’Analysis Situs telle que la voit Poincaré, appelée de nos jours
Topologie, est justement la science de ces figures mal faites, mais aux
positions relatives des diverses parties respectées, vivant par contre
en dimension quelconque !

L’attitude de Poincaré est comparable à celle des peintres européens
jusqu’à la Renaissance : ils faisaient des esquisses, qu’ils ne gardaient pas une
fois l’œuvre réalisée. Mais, de même que depuis s’est développé le goût
de voir les esquisses ayant mené aux œuvres d’art qui nous
plaisent, pourrait aussi se développer celui de voir celles ayant mené aux
œuvres mathématiques jugées par leur auteur suffisamment achevées pour qu’il ait
enlevé tous les échafaudages. Reste-t-il un cahier avec les dessins préparatoires
faits par Poincaré lors de la réflexion ayant mené à l’ “Analysis Situs” ?


Pour finir, un mot sur la réponse de Guccia à Poincaré : il lui conseilla de
publier. Cela donna l’article “Sur un théorème de géométrie”, paru
en 1912, peu avant le décès de Poincaré. Ce fut son dernier article.
Lorsque l’on sait cela, sa lettre
devient d’autant plus poignante. L’article a été republié dans le tome VI de
son œuvre complète (Gauthier-Villars, 1953). En le feuilletant, on découvre
que c’est, de loin, celui contenant le plus de figures (24) ! Il y est précédé d’un article
ayant, lui aussi, plusieurs figures (4) : “Cinquième complément à
l’Analysis Situs”
(Rendiconti del Circolo Matematico de Palermo, 1904).
Les deux posaient des questions
devenues célèbres.
C’est G.D.Birkhoff qui a répondu en 1912 même à celle de l’article
de 1912. Le théorème démontré ainsi est vu en ce début du XXI-ème
siècle comme un prototype de théories très générales en géométrie
symplectique. La question de l’article de 1904 est la très célèbre
conjecture de Poincaré, Graal de la topologie en dimension 3 tout
au long du XX-ème siècle, et démontrée au début du XXI-ème siècle par
G.Perelman.

Mais avant de démontrer des conjectures, il faut que ces dernières aient été formulées.
Dessiner est l’un des procédés expérimentaux permettant d’y arriver...

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Pour citer cet article :

Patrick Popescu-Pampu — «L’expérience par le dessin» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

Commentaire sur l'article

  • L’expérience par le dessin

    le 15 janvier 2009 à 06:33, par adrienlucca

    où peut-on trouver les dessins de Poincaré ?

    Répondre à ce message
  • L’expérience par le dessin

    le 8 août 2014 à 02:10, par bayéma

    bien ! bien ! bien !!! j’approuve à 200% !
    en tant que plasticien, en tant qu’amatheur.
    pour suivre, je vais paraître lourdaud en citant la préface d’un livre (dont je ne donnerais pas le titre afin d’éviter l’accusation « d’agent commercial »).

    "nous faisons de la topologie des [...] dans le style des {}études préliminaires écrites par listing en 1847. nous raisonnons avec des dessins, sans recourir à un appareil algébrique.
    [...]
    les dessins font le propos, le texte est illisible sans eux. son vocabulaire se constitue au fur et à mesure, proche des traits et des motifs. le récit se développe autour de la question des [...], nous avons tenté en ce récit topologique d’exercer la souplesse du regard et du geste, d’écrire avec les dessins des [...]
    cependant, ces choses faites pour la main et pour l’œil n’en sont pas moins référées aux notions de la topologie."

    la mise en petites lettres du réel a été, peut-être ?!, le pas le plus décisif de l’humanité (au moins en ce que l’on appelle traditionnellement le progrès). le discours mathématique, inséparable de son écriture, a aussi été le pas décisif de ce décisif. et c’est peut-être l’apport structural le plus gigantesque que la culture grecque a offert au monde.

    l’écriture scientifique s’adresse d’abord aux scientifiques ; quoi donc de plus normal que cette écriture se professionnalise elle-même, se technicise, au point de demander de longues études qui visent en fin de compte l’efficacité. on trouve ça aussi en art, mais avec une résistance libidinale plus grande d’où, à mon avis, le peu d’échos populaires des expériences textuelles comme le nouveau roman ou l’oulipo.
    la poésie, la chanson, le roman, le cinéma restent encore très peu « efficaces », de ce point de vue ; c’est une question de « serrage » des idées.

    ne nous y trompons pas : en mathématique (comme ailleurs, en fait !) le dessin c’est le corps. alors ?...
    josef bayéma, plasticien, guadeloupe.

    Répondre à ce message

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