L’infini à Saint Denis

Piste bleue 5 mai 2016  - Ecrit par  Serge Cantat Voir les commentaires (1)

Ou comment un architecte s’empare et s’inspire d’un symbole mathématique pour guider sa réflexion et construire un nouveau bâtiment.

Le nouveau forum des Halles de Paris vient d’ouvrir. Mais ce n’est pas de lui qu’il sera question ici : une autre réalisation de Patrick Berger va nous intéresser. Il y a deux ans, le cabinet d’architectes de Patrick Berger et Jacques Anziutti livrait à Saint Denis une église « infinie », l’église Saint Paul de la Plaine. En se rendant au centre Georges Pompidou, on peut observer les croquis et maquettes de cette église et du forum des Halles, et écouter une interview de Patrick Berger ; le vocabulaire mathématique est omniprésent, « bissectrice », « triangle », « théorème », « infini » sont autant de termes qui ponctuent ses phrases.

L’infini

C’est donc d’infini qu’il sera question car c’est son symbole mathématique $\infty$ qui structure l’église Saint Paul de la plaine. Voici l’un des croquis disponibles sur le site du centre Pompidou.

Vue du dessus (croquis de P. Berger).

On distingue l’agencement des bancs sur la gauche et l’autel en turquoise au centre ; sur la droite, la seconde boucle de l’$\infty$ délimite un petit jardin fleuri. Cet enclos est formé d’une hélice métallique qui suggère un ruban de Möbius.

L’église, vue de son jardin.

La référence à l’infini n’est guère surprenante pour la réalisation d’un lieu de culte, mais la référence au symbole mathématique m’a semblé plus frappante.
De fait, cet $\infty$ semble bien faire partie du bagage culturel commun, et a fortiori du bagage scientifique des architectes. Dès la classe de seconde, les élèves utilisent ce symbole pour décrire des intervalles non bornés, par exemple l’intervalle $[2,\infty[$ des nombres supérieurs ou égaux à $2$. Ainsi, tous les lycéens, qu’ils se destinent à des études scientifiques ou non, manipulent l’$\infty$ au quotidien. Et sans s’en apercevoir, ils enferment en un symbole unique une multitude de notions fort différentes !

Les infinis

La façon la plus simple d’interroger l’infini, je l’ai apprise d’une enfant qui demandait « c’est quoi la différence entre l’infini du temps et l’infini de l’univers ? ». Le temps, c’est ici ce qui s’écoule du passé vers le futur, une quantité uni-dimensionnelle à laquelle on attache deux infinis : l’infiniment ancien $-\infty$, et le futur ultime $+\infty$.

Dans un univers plan, deux voyageurs s’éloignant du même point en ligne droite dans des directions distinctes s’écarteraient l’un de l’autre indéfiniment, et partiraient ainsi vers des infinis distincts. En ce sens, l’infini du plan renferme de multiples points distincts qui s’organisent en un horizon [1]. Dans l’espace (de dimension $3$) il y a encore plus de façons de partir à l’infini.

Donnons une autre illustration géométrique. Pour cela, considérons un arbre trivalent infini $A$ ; cela signifie tout d’abord que $A$ est une union de segments de longueur égale à $1$ (un centimètre, par exemple) qui sont recollés les uns aux autres par leurs extrémités ; et l’on impose deux choses, la première étant que les extrémités sont recollées trois par trois (c’est la trivalence), la seconde étant que les recollements ne forment pas de boucle (c’est la structure d’arbre) : en parcourant une succession de
segments de $A$ sans faire demi-tour, il est impossible de décrire un circuit fermé qui retourne à sa position initiale. Voici une approximation d’un tel arbre :

Approximation d’un arbre trivalent.

Un voyageur qui se déplace sur cet arbre sans jamais se retourner doit choisir une nouvelle direction à chaque carrefour qui s’offre à lui : tous les centimètres, il peut choisir de poursuivre sa route sur l’un des deux segments
qui lui font face. Partant d’un des nœuds de l’arbre, il dispose de trois directions initiales, puis seulement de deux à chaque embranchement.
Chacun de ces choix correspond à une stratégie de fuite différente vers l’infini ; ainsi, une infinité de stratégies s’offrent au voyageur pour marcher vers l’infini dans l’arbre $A$ (l’« horizon » de l’arbre est lui aussi infini, [2]).

Ces trois exemples, le temps, l’espace, ou l’arbre $A$, montrent qu’on dispose de plusieurs infinis suivant les contextes géométriques.

On dispose aussi de plusieurs infinis de dénombrement. L’infini des nombres entiers n’est pas le même que celui des nombres réels : chacun de ces ensembles contient bien une infinité d’éléments, mais le second en contient plus ; le premier ensemble, celui des entiers, est dénombrable et le second, celui des réels, ne l’est pas : il est beaucoup plus « gros », beaucoup plus « infini » [3]. Différentes valeurs sont donc cachées sous le terme « infini », et les mathématiciens utilisent alors la première lettre de l’alphabet hébreu, aleph $\aleph$, pour distinguer ces valeurs : $\aleph_0$, $\aleph_1$, etc.

L’infini, tout un symbole

Le symbole $\infty$ renferme donc plusieurs sens mathématiques cachés et souvent ignorés. En tout cas, il est plus que probable que John Wallis n’avait pas conscience des distinctions entre cardinaux (dénombrabilité, non démontrabilité, etc) lorsqu’il a introduit le symbole $\infty$ dans son ouvrage intitulé « De Sectionibus Conicis ».

John Wallis, « De sectionibus conicis, nova methodo expositis tractatus ». Extrait de la page 4 de l’ouvrage, d’après la version disponible sur google.books.

Et lorsque Patrick Berger expose le cheminement qui l’a conduit de la notation $\infty$ de Wallis au plan de l’église Saint Paul de la Plaine, l’infini s’accommode sans doute un peu vite d’une identification à un symbole qui cache en fait une pluralité de notions complémentaires. Il est intéressant d’observer comment cet infini « symbolique » est passé dans l’usage courant ; c’est peut-être son caractère restrictif, et donc illusoire mais réconfortant, qui lui donne un charme indéniable.

Intérieur de l’église Saint Paul de la Plaine

Post-scriptum :

La rédaction d’Images des Mathématiques ainsi que l’auteur, remercient pour leur relecture attentive : Pierre-Antoine Guihéneuf, Gregoire Dubost et Jacques Lafontaine.

Article édité par Serge Cantat

Notes

[1Cet horizon peut être identifié à un cercle ; à chaque angle entre $0$ et $360$ degrés correspond exactement une direction de fuite vers l’infini.

[2Dans le cas de l’arbre $A$, les points à l’infini, ceux qui forment son horizon, peuvent être organisés ainsi : partant d’un nœud fixé une fois pour toutes, on a trois choix pour la direction initiale, que l’on note $a$, $b$ ou $c$ ; puis à chaque embranchement on a 2 choix, gauche ou droite, notés $g$ et $d$ ; une stratégie de fuite est alors une succession infinies de lettres : par exemple, elle peut commencer par $bgggddgdggd...$, ce qui signifie « partir en haut, tourner trois fois à gauche, deux fois à droite, puis à gauche, à droite, deux fois à gauche, à droite, ... ». À chaque stratégie correspond un mot infini, à chaque mot correspond une stratégie. Deux stratégies qui diffèrent ne serait-ce qu’une fois conduisent les voyageurs à des trajectoires de plus en plus éloignées, donc à des points à l’infini distincts. Avec ce point de vue, l’infini de l’arbre est un ensemble de Cantor.

[3L’ensemble de tous les entiers positifs $\{0, 1, 2, 3, 4, ...\}$ est souvent noté ${\mathbf{N}}$. Les ensembles dénombrables sont de deux types : il y a ceux qui sont finis, et il y a ceux qui sont infinis et dénombrables. Un ensemble fini, qui comporte $n$ éléments, peut être numéroté : on peut attribuer un numéro entre $0$ et $n-1$ à chaque élément de l’ensemble, ceci de manière univoque (chaque numéro correspond à un et exactement un élément). De même, un ensemble infini dénombrable est un ensemble infini, certes, mais qui peut être numéroté de manière exacte par l’ensemble ${\mathbf{N}}$ des entiers positifs : à chaque élément correspond un unique nombre entier positif, et à chaque entier correspond un unique élément.

Il se trouve que l’ensemble des nombres réels $\mathbf{R}$ est trop gros pour être dénombrable. L’argument diagonal de Cantor montrant cela est expliqué ici. En fait, chaque nombre réel peut être décrit par un développement décimal (une suite d’entiers qui peut être infinie, avec une virgule, par exemple $12,3$, dont le développement décimal est fini, ou $\pi=3,1415926535...$ dont le développement continue indéfiniment) ; et il y a beaucoup plus de suites d’entiers que d’entiers.

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Pour citer cet article :

Serge Cantat — «L’infini à Saint Denis» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Crédits image :

Image à la une - Centre Pompidou, MNAM-CCI/Georges Meguerditchian/Dist. RMN-GP © Patrick Berger et Jacques Anziutti architectes
img_15595 - Photographie de Sergio Grazia, pour Berger et Anziutti, tirée du site de P. Berger
img_15594 - © Centre Pompidou, MNAM-CCI/Georges Meguerditchian/Dist. RMN-GP © Patrick Berger
img_15606 - Cyberarchi.com, article du 28 mai 2014.

Commentaire sur l'article

  • L’infini à Saint Denis et au Pecq

    le 2 septembre à 13:53, par Frydman Charles

    On trouvait déjà cette idée de suggérer l’infini à l’Église Saint Thibaut au Pecq en 1964 . Des voiles en bois en forme de paraboloide hyperbolique afin de suggérer un élan vers l’infini !

    Ci-après un extrait de la plaquette éditée lors de la construction .

    Fichier PDF , le téléchargement peut prendre un certain temps .

    http://myreader.toile-libre.org/frychar.pdf

    Répondre à ce message

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