L’intégrale

Piste rouge 28 juillet 2010  - Ecrit par  Laurent Decreusefond Voir les commentaires (2)

Fort comme un haltérophile

Commençons par une question au résultat surprenant. Qui est le plus fort :

  • un haltérophile qui soulève 200 kilos à l’arraché au dessus de sa tête ?
  • une jeune fille de 50 kilos qui monte au troisième étage sans ascenseur ?

Eh bien les physiciens nous disent d’abord que le mot « fort » est particulièrement mal choisi. Il faudrait parler d’« énergique ». On reviendra sur le concept de fort plus bas. Du point vue énergétique, l’haltérophile et la jeune fille sont sur un pied d’égalité. Si on
suppose que l’haltérophile amène à la barre à deux mètres au dessus du sol, l’énergie
qu’il aura dépensée sera proportionnelle au produit de la masse de la barre et de la
hauteur atteinte :
\[\mbox{Énergie}= 9,81 \times 200 \times 2 = 9,81 \times 400 \ \mbox{Joules} = 3924 \; \mbox{Joules}. \]

Le facteur $9,81$, qui s’exprime en mètres par secondes carrées, est « l’accélération » due à la pesanteur. Il traduit le fait que nous soyons soumis à la gravité : sur la lune, nous soulèverions tous des barres de 100 kilos sans aucun effort car là-haut, l’accélération de la pesanteur est de l’ordre de $1,635.$

D’un autre côté, si la frêle jeune fille de 50 kilos transporte son propre poids
jusqu’à une hauteur de 8 mètres [1], l’énergie dépensée sera
\[\mbox{Énergie} = 9,81\times 50 \times 8 = 9,81 \times 400\ \mbox{Joules} = 3924\; \mbox{Joules}.\]

Évidemment, il y a une différence entre les deux : dans un cas, pour l’haltérophile, l’énergie est produite en quelques secondes ; pour la jeune fille, l’échelle de temps est de l’ordre de la minute. L’haltérophile dégage plus de puissance que la jeune fille, il est donc plus « fort » !
Il est pratique de représenter ces deux situations par un dessin : en abscisse, on représente les déplacements, en ordonnée l’intensité de la force.

Travail de l'haltérophile
L’énergie de l’haltérophile est représentée par l’aire du rectangle
rouge.
L’énergie de la jeune fille est représentée par l’aire du rectangle bleu.

Dans les deux cas, au coefficient $9,81$ près, on voit que l’énergie représente l’aire du rectangle colorié. Cette approche nous donne le bon outil pour calculer des
énergies dans des situation plus compliquées.

Supposons que la jeune fille veuille calculer l’énergie qu’elle dépense à chaque fois
qu’elle monte ses escaliers. Quand elle revient de courses, elle est chargée donc elle
dépense plus d’énergie. Sa masse varie en fonction de la quantité de courses qu’elle
ramène. Disons qu’entre elle et son chargement, sa masse varie d’une fois sur l’autre
tout en restant comprise entre 50 et 55 kilos. Au cours d’une semaine, son
énergie dépensée pour remonter chez elle est égale à l’aire bleue de la figure

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Figure 3 : l’énergie dépensée par la jeune fille au cours d’une semaine est l’aire totale des rectangles. L’échelle de la représentation est différente de celle de la figure précédente.

Lançons une fusée

Plus on dépense d’énergie plus on dépense d’argent, il est donc important de prévoir
ce que l’on va dépenser. On peut reprendre les définitions précédentes mais
maintenant on ne peut plus dire que l’accélération de la pesanteur ne varie pas au
cours du vol puisqu’une fusée monte à des altitudes où la pesanteur est
quasi-inexistante. D’autre part, une fusée va (volontairement) perdre de la masse
très rapidement pour accélérer. En fonction de l’altitude le poids de la fusée, qui est défini par les
physiciens comme le produit de l’accélération de la pesanteur par la masse, varie
en fonction de l’altitude selon une figure qui ressemble à celle de la figure 4.

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Figure 4 : variation du poids en fonction de l’altitude.

Pour calculer l’énergie que l’on dépensera pour un tel vol, il faut calculer l’aire
comprise entre l’axe horizontal et la courbe depuis l’altitude $0$ jusqu’à l’altitude finale, par exemple quelques centaines de kilomètres pour lancer un satellite en orbite basse. ll nous faut donc déterminer l’aire de la zone hachurée en orange dans la figure 5.

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Figure 5 : l’énergie est représentée par l’aire de la partie orange.

< !—l.>


< !—l.>

C’est d’abord Cauchy en 1823 puis Riemann en 1845 qui ont donné une solution à
ce problème (on trouvera ici une histoire de la théorie de l’intégration).

< !—l.>

Il suffit de découper la partie orange en rectangle de plus en plus petits. Si tout
se passe bien, quand la base des rectangles devient de plus en plus petite, cette somme
d’aires de rectangles doit s’approcher aussi près que l’on veut de l’aire de la zone
orangée. On appelle ce nombre <span
class="ecti-1000">l’int<span
class="ecti-1000">égrale de la fonction représentée dans la figure
4. On pourrait croire qu’à partir de là, le problème de l’intégration est résolu.
Hélas, il existe des fonctions tellement irrégulières qu’on peut ne pas les
dessiner et qu’on ne peut pas en calculer l’intégrale, c’est-à-dire, qu’on aura beau
diminuer la base des rectangles, la somme des aires ne convergera pas : soit
elle devient arbitrairement grande, soit elle hésite entre plusieurs valeurs
indéfiniment.
< !—l.>

Plus tard, au vingtième siècle, Lebesgue eut l’idée de découper l’aire orange en
rectangles horizontaux de taille de plus en plus petite. Bizarrement, une telle
approche permet de calculer des intégrales de fonction un peu plus irrégulière que
celles que l’on peut traiter avec des rectangles verticaux. Pour illustrer cette approche alternative, on peut regarder un exemple simple. Un marchand veut faire ses comptes à la fin du mois.
Il peut le faire de deux manières : tous les jours, il compte combien il a gagné pendant la journée et il ajoute ça
à la somme déjà gagnée depuis le début du mois. A la fin du mois, il a son gain total : c’est le principe déjà expliqué au début.
Deuxième méthode : à la fin du mois, il regarde dans son tiroir et il compte le nombre de billets de 100 euros,
celui de billets de 20, de billets de 10, de 5, etc. Pour toutes les valeurs de billets possibles, il multiplie la valeur du billet par le nombre de billets de ce type. Il somme ensuite toutes ces valeurs. Cela doit évidemment lui donner le même nombre que par la première méthode. Une différence subtile mais néanmoins essentielle dans la théorie des probabilités est que dans l’approche dite de Lebesgue, on n’a pas besoin de savoir combien on a gagné chaque jour, on peut se contenter de savoir le nombre de jours où on a gagné 1 billet de 100 euros, le nombre de jours où on a gagné 2 billets de 100 euros, etc. Idem pour les autres billets. Pour vous, cette différence n’est peut-être pas grand chose mais pour un probabiliste, ça veut dire beaucoup !

Les martingales n’existent pas

Pourquoi se préoccuper d’intégrer des fonctions irrégulières si ce n’est par le
masochisme pur qui caractérise certains mathématiciens  ? Imaginons un jeu de
hasard où vous avez autant de chances de gagner que de perdre à chaque coup : par
exemple, un jeu de pile/face ou parier sur pair/impair à la roulette, etc.
Si vous gagnez, vous récupérez deux fois votre mise, si vous perdez, vous
perdez votre mise. Vous allez le choix de votre mise à chaque coup. Pour
simplifier les choses, vous disposez d’une fortune sans limite ainsi que votre
adversaire.
< !—l.>

Encore une fois, on peut représenter votre gain par un dessin basé sur des
rectangles  : les rectangles vont vers le haut si vous gagnez, vers le bas si vous
perdez. Les aires correspondantes ont donc un signe  : positif en cas de gain,
négatif en cas de perte. Votre gain total est la somme de ces aires « signées » [2].
< !—l.>

Une martingale au sens commun et pas au sens mathématique, est une stratégie,
donc un choix des mises, qui doit vous permettre d’avoir un gain positif en jouant
suffisamment longtemps. Depuis le temps que ce problème et d’autres similaires ont
été étudiés, on sait qu’il est intéressant de considérer non pas la suite des <span
class="cmr-10">+1 ou <span
class="cmsy-10">-<span
class="cmr-10">1
qui traduisent un gain ou une perte à chaque coup mais qu’il est plus intéressant de
considérer le cumul des gains et des pertes  : pour une suite de gains/pertes
comme
< !—l.>

+1, +1, -1, +1, +1, -1, -1, -1,...
on préfère regarder la suite 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 0, ...

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Au bout de 10 pas.
PNG - 5.2 ko
Au bout de 100 pas.
PNG - 8.8 ko
Au bout de 10000 pas.

Quand le nombre de coups augmente, cette suite donne une courbe de plus en
plus irrégulière. Au point que si l’on va jusqu’au bout, c’est-à-dire pour un nombre
infini de coups, on obtient une courbe qui n’est plus dessinable de manière lisse (il devient impossible de construire une tangente). Précisément, on obtient un objet bien connu des probabilistes qui s’appelle
un mouvement brownien (voir par exemple Le mouvement brownien et son histoire, réponses à quelques questions).
< !—l.>

Supposons maintenant qu’à chaque coup, vous puissiez miser une quantité de votre choix. Si vous gagnez ce coup, vous récupérez deux fois votre mise, sinon vous perdez votre mise. Conclusion, votre richesse au terme de $4$ coups avec le tirage ci-dessus, s’exprime par

\[ \rm{Richesse}_4 =\rm{Richesse}_0+ \rm{Mise}_1 (+1) +\rm{Mise}_2 (+1) +\rm{Mise}_3 (-1) + \rm{Mise_4} (+1) . \]

Dans le cas général, votre richesse s’exprime comme l’intégrale des mises par rapport aux variations des gains. Quand cette variation des gains est assimilée à un mouvement brownien, cette notion d’intégrale est techniquement plus compliquée à définir que la précédente. Néanmoins, depuis Young (1936) puis Itô dans les années 50, on sait donner
un sens à cette intégrale. Et le résultat est
sans appel, quelle que soit votre stratégie, votre gain moyen est nul !

Article édité par Jacques Istas

Notes

[1Je sais, ça fait des petits étages. Mettez-en deux si
vous préférez.

[2signées veut dire que l’on tient compte du signe de l’aire dans le calcul du gain

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Pour citer cet article :

Laurent Decreusefond — «L’intégrale» — Images des Mathématiques, CNRS, 2010

Commentaire sur l'article

  • L’intégrale

    le 30 octobre 2010 à 09:26, par Marc JAMBON

    Il est remarquable que l’intégrale de Cauchy ou de Riemann soit continue par rapport aux données, en d’autres termes, si on change très peu une représentation graphique, son intégrale est très peu modifiée ce qui a permis d’utiliser efficacement cette notion d’intégrale dans toutes les sciences applicables : physique, biologie, économie etc...

    L’extension de l’intégrale dont vous parlez, à savoir l’intégrale de Lebesgue permet d’accepter des fonctions plus irrégulières comme vous le dites, ces fonctions plus irrégulières sont en fait des fonctions pathologiques réservées aux mathématiciens du type : fonction définie sur [0, 1] qui vaut 1 sur les réels non rationnels et 0 sur les rationnels, à noter qu’on s’appuie ici sur le tiers-exclu. Le graphe de telles fonctions est indessinable et, ce qui va de pair, elles n’ont aucune signification en sciences applicables au sens déjà signalé.

    Répondre à ce message
  • L’intégrale

    le 8 mars 2014 à 10:12, par nakhil

    Bonjour
    Ce sont de bons exemples pour appeocher la notion d’intégrale aux élèves, ils permettent de mieux comprendre le pourquoi de la notion ce qui peut motiver les élèves à la suite du cours. Je trouve que c’est un excellent moyen didactique, pour les élèves et les enseignants , pour mieux comprendre l’intégrale

    Répondre à ce message

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