L’interpolation linéaire

Obsolète ? On dirait que oui ! En tout cas, son principe n’est plus enseigné !

Le 18 avril 2017  - Ecrit par  Aziz El Kacimi Voir les commentaires (3)

Les nombreux problèmes qui se posent dans l’enseignement des mathématiques n’indiffèrent personne. Beaucoup de gens en parlent, mais peu les posent de façon concrète. C’est que le débat est déjà difficile à porter auprès de la communauté mathématique, et il l’est encore plus au niveau du public. C’est à cet effet que le site Images des Mathématiques souhaite offrir un espace de discussions ouvert à tous ceux qui se sentent touchés par ces questions. Ils pourront y échanger leurs idées, leurs points de vue et éventuellement apporter des éléments de réponse. Le débat sera « provoqué » chaque mois par la publication d’un billet portant sur un point précis, écrit par l’un des responsables de la rubrique ou par toute autre personne qui le souhaiterait.

A. El Kacimi, F. Recher, V. Vassallo

L’interpolation linéaire, une méthode de calcul que beaucoup utilisent, souvent de façon implicite
et probablement sans comprendre ce qu’il y a derrière. J’en ai découvert le principe en Terminale, juste après la leçon sur la fonction logarithme
$\ell n:{\Bbb R}_+^\ast \longrightarrow {\Bbb R}$ qu’on nous a définie par
$\ell n(x)=\int_1^x{{dt}\over t}$ au seul motif que la formule classique Primitive de $x^n={{x^{n+1}}\over {n+1}}$ n’est valide que si $n\neq -1$.
La propriété fondamentale de cette fonction $\ell n(xy)=\ell n(x)+\ell n(y)$ fut presque une révélation lorsqu’on nous a montré ce
qu’on peut en faire, en particulier calculer des valeurs approximatives de certaines quantités « compliquées », telles par exemple :
\[x={{\sqrt{917}(333)^{1\over 3}(425)^{1\over 11}}\over {(777)^{1\over 7}}}.\]
À cette époque, nous savions extraire (à la main) la racine carrée d’un entier naturel mais pas la racine cubique et encore moins la racine septième, onzième...
Nous n’imaginions pas l’existence de la calculatrice, nous étions loin de penser
qu’une machine pouvait se substituer à une tête humaine pour une telle tâche. (Moi, personnellement, je ne me doutais même pas
de celle de la règle à calcul !)
La fonction logarithme était notre seul recours : calculer $\ell n(x)$, en usant de la relation fondamentale susmentionnée et chercher
sur la table de logarithmes la
valeur approchée qui lui correspond. Mais on ne tombait pas toujours dessus. Il fallait
y repérer deux valeurs encadrant la nôtre et procéder à une interpolation linéaire. C’était donc l’occasion d’user de cette méthode
de calcul approché.

Nous avions appris (auparavant en classe de première) qu’en zoomant sur un morceau du graphe d’une fonction dérivable, on peut le voir comme un segment de droite. C’est
ce qui se passe par exemple sur le dessin du logo représentant le graphe du logarithme népérien : sur l’intervalle $[11,14]$, il
est presque un segment, ce qui signifie que la fonction $\ell n$ peut y être pratiquement considérée comme une fonction linéaire. Ceci facilite par exemple le calcul
approximatif de la valeur de $x$ dont le logarithme $2,46$ (en supposant qu’on ne le voit pas sur la table) est encadré par $\ell n(11)=2,39$ et $\ell n(14)=2,64$.

Comme la fonction $\ell n$ est supposée linéaire sur l’intervalle $[11,14]$, on a ${{x-11}\over {14-11}}= {{\ell n(x)-\ell n(11)}\over {\ell n(14)-\ell n(11)}}$. En remplaçant par les valeurs numériques que nous avons, on trouve $x\simeq 11,84$. Le calcul direct de
$\ell n(11,84)$ donne $2,47$ qui n’est pas loin de $2,46$.

Beaucoup diront que tout cela est maintenant obsolète : il y a des calculatrices perfectionnées, des ordinateurs puissants...
pour faire tous ces calculs et d’autres encore plus compliqués. C’est vrai, et j’en conviens si c’est juste pour quelqu’un
qui n’a besoin que du résultat numérique pour une raison ou une autre (un banquier, un industriel... ) et qui se fout systématiquement des maths. Mais peut-on tolérer
que beaucoup d’étudiants en Master de Mathématiques ne sachent pas faire
cela ? (Et surtout s’ils se destinent à la fonction d’enseignant.) Cette méthode d’interpolation mélange des idées très utiles,
présentes dans pléthore de mathématiques et, surtout, simples à comprendre :

— ce qu’il y a derrière la dérivabilité ;

— la notion de proportionnalité, capitale ;

— des calculs pratiques qu’on rencontre dans la vie réelle ;

— $\cdots $

Alors pourquoi continuer à abandonner ce genre de choses sous prétexte qu’il y a des machines qui peuvent faire le job ? C’est drôlement
curieux qu’actuellement, dans l’enseignement des mathématiques, on ait toujours recours aux facilités au détriment
de toutes les notions de base, qui demandent de l’effort certes, mais qui sont le socle et la solidité du savoir dans cette discipline !

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Pour citer cet article :

Aziz El Kacimi — «L’interpolation linéaire» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Commentaire sur l'article

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  • L’interpolation linéaire

    le 23 avril à 14:59, par Samuel

    On ne dit pas affine plutôt que linéaire ici ? (supprimer mon post après correction)

    Répondre à ce message

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