4 septembre 2010

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L’union fait la force

ou les anneaux borroméens

Étienne Ghys

Directeur de recherche CNRS, École Normale Supérieure de Lyon (page web)

Observez les trois anneaux représentés ci-dessous.

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http://en.wikipedia.org/wiki/Borromean_rings

Le rouge est au dessus du vert.

Le vert est au dessus du bleu.

Le bleu est au dessus du rouge.

Aucun des trois anneaux n’est au dessus des deux autres. Chacun est au dessus d’un autre et en dessous d’un troisième. Impossible de les classer du plus haut au plus bas... Trois objets, pas de supérieur, pas d’inférieur, tous différents... Beau symbole.

Par la pensée, supprimez l’un des trois anneaux. On peut alors dissocier sans difficulté les deux anneaux restants ; deux anneaux quelconques ne sont pas noués. Et pourtant l’ensemble des trois anneaux est noué : il est impossible de les dissocier même en les déformant. La seule solution pour les dissocier serait de les couper ! Deux à deux, ils sont indépendants mais c’est bien l’ensemble des trois anneaux qui est solidaire. Là encore, beau symbole.

Pas étonnant que ce symbole ne fascine pas que les mathématiciens :

On peut y voir la Trinité chrétienne.

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http://en.wikipedia.org/wiki/File:BorromeanRings-Trinity.svg

Jacques Lacan y voit un modèle pour la subjectivité humaine : le réel, l’imaginaire et le symbolique.

Et d’ailleurs l’Union mathématique internationale a choisi ces anneaux comme symbole de l’unité des mathématiques.

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On les appelle les anneaux borroméens. Selon Wikipedia, « le nœud doit son nom de borroméen à l’utilisation qui en était faite dans les armoiries d’une famille italienne, les Borromeo ».

Pour un mathématicien, il faut démontrer ce que nous avons énoncé plus haut. Comment prouver qu’il est impossible de dénouer l’ensemble ? On pourrait dire que c’est bien évident, mais il faut reconnaître que certains casse-tête, même s’ils paraissent impossibles à résoudre, possèdent une solution. La topologie algébrique a développé des méthodes pour démontrer que dans certaines situations on ne peut pas séparer deux anneaux, même si on s’autorise à les déformer à volonté (comme s’ils étaient en caoutchouc) mais sans aller cependant jusqu’à les couper. Mais ici, le défi est tout autre, puisqu’il est évidemment possible de les séparer deux à deux et qu’il s’agit de montrer qu’on ne peut pas séparer les trois ! C’est le topologue Massey qui a mis au point les produits de Massey dans les années 1950 qui sont les outils adaptés à ce nouveau type de problèmes [1].

Et si nous démontrions quelque chose ?

La figure initiale de cet article laisse penser que les trois anneaux sont parfaitement circulaires.
C’est une erreur.

Nous allons démontrer qu’il est impossible de réaliser des anneaux borroméens circulaires en suivant un article de Lindström et Zetterström datant de 1991 [2].

Il s’agit d’une preuve par l’absurde. On suppose qu’il est possible de réaliser des anneaux borroméens circulaires et on en déduit une contradiction !

Supposons donc qu’on dispose de trois anneaux circulaires en position « borroméenne », de trois couleurs, comme sur la figure.
Imaginons les anneaux bleu et vert rigidement fixés dans l’espace (par quel moyen, je ne sais pas, mais ça ne m’importe pas beaucoup). L’anneau rouge, quant à lui, est libre de se déplacer dans l’espace. Prenez-le et tirez-le vers vous, jusqu’à un moment où il bute sur l’anneau bleu en deux points. Lors de ce mouvement, l’anneau rouge ne rencontrera pas l’anneau vert puisque celui-ci est derrière le rouge qui ne fait que s’approcher de vous.

Les deux anneaux rouge et bleu sont alors deux cercles dans l’espace qui ont deux points en commun.

Exercice de géométrie élémentaire : montrez que si deux cercles dans l’espace ont deux points en commun, ou bien ils sont dans un même plan ou bien ils sont dans une même sphère. Je vous laisse le plaisir de la démonstration. Notez que je ne suppose pas que les cercles ont les mêmes rayons.

Si les anneaux rouge et bleu sont dans un même plan, observez ce qui se passe quand on fait le tour de l’anneau vert. L’anneau vert passe deux fois en dessous du rouge et deux fois au dessus du bleu. Lorsqu’on en fait le tour, l’anneau vert devrait passer en dessus, en dessous, en dessus et en dessous du plan. Mais c’est impossible : un cercle ne peut pas couper un plan quatre fois sans y être complètement contenu !

Si les anneaux rouge et bleu sont tracés sur une même sphère, c’est la même chose. L’anneau vert devrait entrer, sortir, entrer puis sortir de la boule bordée par cette sphère. Là encore, c’est impossible car un cercle ne peut couper une sphère en quatre points sans y être contenu.

CQFD

Pour en savoir plus

Un site internet (en anglais) uniquement consacré à ces anneaux !

Pour se faire plaisir, un tour de prestigiditateur qui n’a qu’un lien lointain avec les anneaux mais qui montre bien que parfois une association à trois (ou plus !) est utile.

P.S. :

Un grand merci aux relecteurs de cet article : Jérôme Germoni, Olivier Faugeras et Barbara Schapira.

Notes

[1Si vous connaissez déjà pas mal de topologie algébrique, voici les définitions.

[2Lindström, Bernt ; Zetterström, Hans-Olov (1991), « Borromean Circles are Impossible », American Mathematical Monthly 98 (4) : 340–34.

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Pour citer cet article : Étienne Ghys, « L’union fait la force »Images des Mathématiques, CNRS, 2010.

En ligne, URL : http://images.math.cnrs.fr/L-union-fait-la-force.html

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