La Brazuca, la pelota cúbica de la Copa del Mundo

Piste verte Le 12 juin 2014  - Ecrit par  Étienne Ghys
Le 9 mai 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Le Brazuca, le ballon cubique de la Coupe du monde Voir les commentaires
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La pelota oficial de la Copa del Mundo de fútbol fue oficialmente revelada en diciembre de 2013.

Después de una gran consulta nacional en Brasil, se decidió que llevaría el nombre de ’’brazuca’’, un diminutivo familiar que significa ’’brasileño’’.

Me gustaría revelar aquí una verdad que las presentaciones de la brazuca parecen esconder :

¡La pelota de fútbol de la Copa del Mundo es un cubo !

¿Increíble, no ?

Aquí están las fotos de las pelotas oficiales de las copas del mundo desde 1970 (hasta 2014). Por supuesto, cada una trata de aportar algo de originalidad con respecto a la anterior, pero tengo que decir que la idea de hacer pelotas cúbicas es simplemente una pequeña revolución futbolística.

¿Cómo se fabrica una pelota de fútbol ?

Consiste en recortar una cierta cantidad de piezas (antiguamente de cuero y en la actualidad de polietileno) y de coserlas o pegarlas para fabricar una bola lo más esférica posible.
En su interior se infla una cámara de aire, cuya presión mejora la redondez de la pelota.

Las piezas se recortan de un material plano. Tal vez para la Copa 2018 se pueda fabricar directamente las piezas esféricas, pero parece que aún no es el caso [1]. La primera idea es fabricar un poliedro que se obtiene pegando polígonos. Vemos que para que el poliedro ’’tenga la forma más esférica posible’’, es necesario que haya muchas caras, lo más pequeñas que se pueda.
Vemos también que la disposición de esas caras debe ser lo más regular y posible, es decir, lo más simétrica posible. Una buena pelota, bien redonda, debe parecer idéntica, sin importar el punto desde donde se la observe.

Se sabe desde Platón que no hay más que cinco poliedros regulares : el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro, que tienen respectivamente 4, 6, 8, 12 y 20 caras.

En un comienzo, los diseñadores de pelotas se orientaron naturalmente hacia aquél que tiene la mayor cantidad de caras : el icosaedro, con sus 20 lados que son triángulos equiláteros.

Para mejorar aun más la redondez de la pelota se puede tratar de ’’cortar las puntas’’ : decimos entonces que se trunca el icosaedro. En cada vértice imagine los planos perpendiculares al radio que lo une al centro. En la medida que ese plano se acerca a la punta, este plano corta el icosaedro sobre un pequeño pentágono y las caras triangulares se convierten en hexágonos (cuyos tres lados son pequeños). Cuando el plano se acerca progresivamente al centro, los pequeños lados de los hexágonos aumentan y llega el momento en el cual los hexágonos y los pentágonos se hacen todos regulares. Esa es la forma tradicional de una pelota de fútbol : un icosaedro trunco con 20 caras hexagonales y 12 caras pentagonales.

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Un artículo en Paisajes Matemáticos (IdM) describió todo esto para la Copa del Mundo anterior. Si usted quiere aprender a dibujar esos ico-dodeca-edros, un bonito artículo en IdM le ayudará.

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Para las pelotas de tenis y otros balones, vea este otro tema del mes.

Evidentemente, la evolución tecnológica de las pelotas no se limita a su geometría : es claro que la manera de coserlas o de unir las piezas del rompecabezas ha cambiado mucho también.

Los origamis curvos : caras que no son necesariamente planas

La pelota estándar (icosaedro truncado) está formada por polígonos planos que se unen sin deformarlos ni torcerlos. Al inflarla, se estiran y toman una forma esférica (pero esa es otra historia)

Para la brazuca, las piezas a unir también son planas, pero serán ’’plegadas’’ al momento del ensamblaje, y luego estiradas de nuevo cuando haya que inflarla.

Veamos esto con un poco más de detalle.

Cuando uno recorta un pedazo de papel, uno lo puede deformar en el espacio de múltiples maneras, sin romperlo. En geometría, se habla de superficies ’’desenvolvibles’’ [2].

He aquí un ejemplo :

Uno puede imaginar entonces poliedros cuyas caras no son polígonos planos, sino superficies desarrollables, que uno puede recortar en un papel antes del ensamblado. Abajo aparece un ejemplo de poliedro curvo.

¿Podría uno crear poliedros más redondos con caras que no son necesariamente planas ? ¿Por qué no pelotas de fútbol ?

Un teorema de Alexandrov-Pogorelov

Comencemos con un ejemplo simple.

Una figura es convexa si el segmento que une cualquier par de sus puntos está completamente contenido en la figura.

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Convexo
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No convexo

Considere ahora dos figuras convexas en el plano cuyos bordes tengan la misma longitud. Recorte las figuras en el papel, elija un punto sobre el borde de cada uno de ellos y una esos puntos.

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Ahora, con una cinta adhesiva, o pegamento, continúe uniendo los bordes de los dos campos. Pogorelov mostró en los años 70 que siempre se puede seguir uniendo hasta toda la vuelta, es decir, no hay ningún momento en el cual se crean dobleces en el borde, impidiendo continuar. Usted fabrica entonces un objeto en el espacio, y Pogorelov muestra que este objeto es convexo en el espacio [3]. ¡No es en absoluto evidente ! Uno podría pensar que no se llega nunca a unir las das figuras sin rasgarlos por aquí o por allá. Tampoco hay a priori una razón para que el objeto construido sea convexo. El objeto que usted construyó está constituido por dos superficies desarrollables unidas sobre sus bordes.

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Un artículo de Paisajes Matemáticos explicita un ejemplo simple de este teorema, a propósito de la pelota de tenis.

Mejor aún.

En vez de partir de dos figuras, usted puede -por ejemplo- partir de seis figuras convexas pensadas como ’’caras cuadradas’’ de un cubo. Sobre los bordes de cada una de esas figuras, elija cuatro puntos, que pensaremos como los vértices del ’’cuadrado’’. Uno supone que las cuatro puntos que usted ha elegido son en efecto esquinas, es decir, que las figuras presentan ángulos en esos vértices.

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Supongamos además que las longitudes de todas las ’’aristas curvas’’ sean iguales Tome su cinta adhesiva y empiece a unir como para hacer un cubo.
Como recordatorio, ¡aquí le muestro un cubo !

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Falta aún una hipótesis : cada vértice de un cubo es común a tres de sus caras.
Es necesario que la suma de tres ángulos correspondientes sea inferior o igual a 360 grados. El teorema de Pogorelov garantiza que, bajo estas hipótesis, ¡todo funciona ! Usted fabrica una especie de cubo, cuyas aristas son curvas, y sus seis caras son desarrollables y no necesariamente planares.

¡Más fuerte aún !

Para poder aplicar el teorema no se necesita que las figuras sean convexas.
La condición importante es que mientras se unan dos puntos, la suma de las curvaturas de las dos figuras en cada uno de los puntos de contacto sea positiva [4].
En términos menos precisos, hay que unir una concavidad con una convexidad más fuerte.

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La brazuca

La brazuca se fabrica aplicando el teorema de Pogorelov. Aquí están las seis caras ’’cuadradas’’ que uno pega para crear un ’’cubo esférico’’.

Note que cada pieza tiene en efecto cuatro ’’esquinas’’ que uno ve en negro.
El ángulo en cada una de esas esquinas es de 120 grados.

Vea cómo se ensamblan las seis superficies desarrollables :

Aquí se ve un ’’vértice’’ del cubo : tres caras se juntan, como corresponde en un cubo. Hay seis caras pegadas y ocho vértices. Note que los tres ángulos de 120 grados suman un total de 360 grados, es decir, una vuelta completa, pese a que la brazuca no presenta un ’’vértice puntudo’’, como es el caso de un cubo corriente [5].

Algunas imágenes adicionales para comprender mejor la estructura cúbica.

¡Listo !

Aún faltaba encontrar esas formas que -siendo bonitas- conducen a una pelota casi perfectamente esférica.

Este video muestra la fabricación de la brazuca.

William Thurston, la alta costura y el octaedro

De manera sorprendente, al mismo tiempo que los ingenieros de Adidas concebían la brazuca, el gran matemático W. Thurston llegaba a la misma idea pero por otro camino [6].

Thurston, como muchos geómetras del pasado, estaba interesado en... ¡la manera de recortar piezas de vestuario para cubrir la superficie del cuerpo humano ! En uno de sus últimos artículos, en colaboración con Kelly Delp, Thurston explica sus ideas y sus fracasos. Como buen matemático teórico, él tendía a suponer que la superficie que se procura vestir es perfectamente esférica [7] Él parte del octaedro y busca qué forma darle a las caras triangulares para que el objeto resultante sea lo más esférico posible.

Estos son los ocho ’’triángulos’’ que él propone.

Y este es el resultado.

Al final, todo eso se parece a la brazuca ¿no ?

A modo de conclusión

Estoy maravillado por la inventiva de los ingenieros de Adidas que han simplemente ’’redescubierto’’ el teorema de Pogorelov. Estoy convencido que ellos no lo conocían (y que incluso todavía no se lo saben).

Estoy también maravillado por la creatividad de Delp y Thurston que buscan inspiración ¡en la moda !. Para hacer matemáticas, ¿es útil conocer el trabajo de sus predecesores ? El asunto es complejo. Por supuesto, si nadie estudiara lo que hicieron los geómetras del pasado, no llegaríamos muy lejos... Por otro lado, para apropiarse de las cosas del pasado, a veces es útil redescubrirlas por sí mismo.

Post-scriptum :

DESCONFÍE DE LAS IMITACIONES : Veo aquí una brazuca falsa a la venta. Se nota claramente que es un icosaedro truncado disfrazado de cubo. ¡No la compre ! [8]

Article original édité par Serge Cantat

Notes

[1N.d.T. : Este artículo fue escrito originalmente en 2014, previo al Munidal de Brasil. Por ello el autor manifiesta su ilusión de que esas piezas esféricas existieran 4 años más tarde. Lo concreto es que no fue así, y el modelo de balón para 2018 fue más bien un retroceso respecto al de 2014.

[2Para más detalles, vea este artículo

[3Pogorelov, Extrinsic geometry of convex surfaces, 1973, desafortunadamente sin acceso libre en internet (pero hay largos extractos aquí).

[4Se habla de la curvatura de una curva aquí (en francés)

[5Tres ángulos de 90 grados solo suman 270 grados, y es por esta razón que el cubo tiene ’’vértices puntudos’’.

[6W. Thurston falleció recientemente. Él ejerció una influencia fundamental en la geometría del siglo 20. La búsqueda automática de Paisajes Matemáticos señala 25 artículos que contienen su nombre.

[7La historia de la vaca esférica es famosa entre los científicos.

[8N.d.T. : En el artículo original figuraba otro enlace, hoy inexistente. El nuevo enlace fue escogido al azar navegando en internet, aunque no resistimos a la tentación de conectar este balón falso con los resultados del equipo español en el Mundial de 2014...

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «La Brazuca, la pelota cúbica de la Copa del Mundo » — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

img_12101 - http://www.mathcurve.com/polyedres/icosaedre_tronque/icosaedre_tronque.shtml
img_12114 - http://www.soccerballworld.com/HistoryWCBalls.htm
img_12118 - http://en.wikipedia.org/wiki/File:Face_colored_cube.png
img_12124 - http://images.math.cnrs.fr/Geometrie-de-Hilbert.html
img_12125 - http://images.math.cnrs.fr/Geometrie-de-Hilbert.html
img_12097 - http://www.soccerballworld.com/HistoryWCBalls.htm
img_12120 - http://maths.amatheurs.fr/index.php?page=saf
img_12099 - https://www.flickr.com/photos/jon_tucker/4744898836/sizes/z/in/photostream/
img_12100 - http://www.grasshopper3d.com/forum/topics/tangent-matching-for-developable-surfaces
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img_12109 - https://www.flickr.com/photos/dmswart/6049438045/
img_12112 - http://www.selectism.com/2013/12/04/adidas-unveils-the-brazuca-world-cup-match-ball/
img_12113 - http://fr.wikipedia.org/wiki/Brazuca#mediaviewer/Fichier:Brazuca.jpg

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