La Cuarta Dimensión

Le 24 avril 2013  - Ecrit par  Raúl Ibáñez
Le 5 juillet 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : La Quatrième Dimension Voir les commentaires
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El Instituto Henri Poincaré e Images des Mathématiques han unido sus esfuerzos para supervisar la reedición de la colección El mundo es matemático, publicada por RBA en convenio con Le Monde. En 40 obras, esta colección de calidad -resultado de un proyecto colectivo de matemáticos españoles- aspira a presentar, a través de una gran variedad de puntos de vista, de múltiples facetas, las ciencias matemáticas bajo un aspecto histórico, humano, social, técnico, cultural...
Revisado y mejorado al nivel de la forma, esta nueva edición fue completamente leída y corregida por el equipo de Images des Mathématiques. Fueron agregados prefacios y listas bibliográficas. Le Monde dedica un suplemento especial para el lanzamiento de esta colección, presentada por Cédric Villani, quien escribió el prefacio original.
Cada semana, con la salida de un nuevo número de la serie, un extracto seleccionado será presentado en Images des Mathématiques. Será acompañado por un índice del libro y una invitación a prolongar su lectura.

¿Por qué quedarse en lo estrecho de la tercera dimensión ?

Prefacio de Valerio Vassallo, profesor de la Universidad Lille 1 y matemático de la Cité des Géométries.

En la escuela se aprende primero la línea recta con ayuda de una regla u observando la huella del pliegue de una hoja de papel. En el colegio o en el liceo, se enseña después el plano y el espacio, que uno comprende con imágenes como una pizarra negra o un mar quieto, una sala de clases o un edificio. Saliendo del liceo, uno sabe que la línea recta es de dimensión uno, el plano de dimensión dos, y el espacio de dimensión tres. Pero, ¿qué significa eso exactamente ? Para comprender, partamos del ejemplo del plano. Para indicar un punto cualquiera del plano, se sabe que basta con fijar dos ejes ortogonales pasando por un mismo punto, llamado origen, al cual se le atribuyen, según ciertos criterios precisos, dos números : las coordenadas cartesianas. En el liceo, esas coordenadas son la mayoría del tiempo números reales. Para expresar la idea en imágenes, se puede decir que en un plano se tiene la libertad de ir hacia adelante y hacia atrás, a la izquierda o a la derecha. En el espacio, si nosotros fuéramos seres alados, podríamos también subir o bajar. Sobre una recta, solamente es posible ir hacia adelante o hacia atrás. Así, en matemáticas se habla de un grado de libertad sobre la recta, de dos grados en el plano, y de tres grados en el espacio.

El espacio de dimensión tres, o espacio tridimensional, parece familiar ya que se tiene la cuasi-certeza de evolucionar en un espacio semejante, el de nuestra vida cotidiana. En el liceo, es raro encontrar dimensiones superiores. Y sin embargo, la dimensión cuatro no es otra cosa que el conjunto de todos los cuádruples de números reales. Se la conoce también bajo los nombres de ’’espacio de dimensión cuatro’’ o de ’’espacio cuadridimensional’’. Los liceanos la han encontrado en clases de física o en las películas de ciencia-ficción. En física, esta dimensión se revela especialmente útil cuando se estudia la teoría de la relatividad. Gracias a numerosas obras de difusión que abordan esta teoría, todo el mundo conoce el ’’espacio-tiempo’’ de dimensión cuatro : está formado por todos los cuádruples de números, de los cuales tres son para las coordenadas de un punto del espacio y el cuarto para el tiempo. Lo que sea que es, la dimensión cuatro resulta difícil de visualizar.

Esta obra ayudará al lector a familiarizarse con la dimensión cuatro. Para comprender el origen de los espacios de dimensión cuatro, o más, basta con recorrer la historia de las ciencias, que testimonia la voluntad de los matemáticos de pasar sin cesar de una dimensión a otra. Esos científicos han hecho también el camino inverso, representando por ejemplo un edificio (en dimensión tres) sobre papel (en dimensión dos), o realizando mapas geográficos con ayuda de proyecciones cartográficas.

Entre los objetos más importantes en matemáticas están los polígonos en el plano (triángulos, cuadrados, pentágonos, hexágonos...) y los poliedros en el espacio (tetraedros, cubos, octaedros...). Pero, ¿en qué se convierten estos en dimensión cuatro, o más ? Para responder a esta pregunta es útil e instructivo regresar a las dimensiones conocidas y comprender cómo han sido definidos esos objetos. Partamos así por un objeto simple : el cubo. Se sabe que una vez que los vértices están enumerados de 1 a 8, el cubo puede ser reducido en el plano a seis cuadrados (es el patrón del cubo), con los perímetros convenientemente identificados ; y luego, a un conjunto de doce segmentos, con los extremos convenientemente identificados gracias a números escritos al lado de cada vértice. ¿Y por qué entonces no inspirarse en esta descomposición para describir todos los demás poliedros en el espacio tridimensional, incluso en el espacio cuadridimensional ? Ahora viene la pregunta : ¿hay poliedros regulares en la dimensión cuatro y en las siguientes ?

En el espacio de dimensión cuatro, el análogo del cubo se llama un hipercubo. Es uno de los primeros objetos ’’simples’’ a partir del cual el autor del libro pone en marcha una reflexión apasionante sobre el espacio cuatridimensional.

Numerosos son los conceptos matemáticos que han sido el objeto de estudios en dimensión cuatro y más : la distancia entre dos puntos, los nudos marineros, las esferas... Esta lista de conceptos, mucho más allá de toda imaginación, ha generado tanto problemas como conjeturas –una de las más famosas, la conjetura de Poincaré, fue resuelta luego de un siglo de investigaciones por Grigori Perelman– y ha dado material para pensar a un montón de matemáticos de todas partes del planeta.

La dimensión cuatro está presente en otras partes más allá de las matemáticas. Se la encuentra en literatura –la novela más famosa que trata este tema es seguramente Flatland de E. A. Abbott–, en las ciencias ocultas, en pintura o en escultura, pero también en arquitectura, en el cine y como tema de documentales. La imaginación del ser humano, que no tiene límites, una vez más ha encontrado material para nutrirse.

Extracto del libro

El Hipercubo en el Arte

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A izquierda, el Arco de la Defensa de París, un hipercubo destinado a conmemorar el bicentenario de la Revolución Francesa. A derecha, el Monumento de la Constitución (1979) en Madrid, obra del arquitecto Miguel Ángel Ruiz Larrea, la cual utiliza la proyección en perspectiva del hipercubo.

Las diferentes representaciones del hipercubo, incluida la de proyección está en perspectiva, han cautivado a los artistas desde que la cuarta dimensión adquirió un interés cultural. Arquitectos, pintores y escultores lo han convertido en el tema central de buen número de sus obras. El monumento a la Constitución, situado en los jardines del Museo de Ciencias Naturales de Madrid, es un ejemplo de escultura utilizando la proyección en perspectiva del hipercubo. Realizada en mármol blanco andaluz —símbolo de pureza—, su cubo exterior de 7,75 metros de arista tiene las cuatro caras laterales abiertas. Sobre cada una de estas caras, seis escalones llevan al cubo central, de manera que uno pueda acceder ahí por los cuatro puntos cardinales, una alusión a los valores democráticos. El hipercubo representa una realidad superior a nuestro espacio tridimensional, correspondiente a los valores de la constitución : justicia, libertad... Podemos encontrar un ejemplo arquitectónico del hipercubo en el Arco de la Defensa de París. Concebido por el arquitecto danés Otto von Spreckelsen en 1989, este impresionante edificio de 110 metros de lado, al tener la forma de una proyección en perspectiva de un hipercubo, alberga en su parte superior un centro de congresos y de exposiciones, un museo de informática y un mirador, mientras que las oficinas ministeriales ocupan las partes laterales.

[...]

PDF - 1.5 Mo
Sommaire du livre

Para profundizar más

Post-scriptum :

El extracto propuesto fue elegido por el autor del prefacio del libro Valerio Vassallo. Él responderá los eventuales comentarios.

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