La Trisection du Carré

Piste verte 4 octobre 2011  - Ecrit par  Serge Cantat Voir les commentaires (8)

Il s’agit à nouveau de découpage, comme le mois dernier dans la même rubrique. Nous verrons comment découper un carré pour former trois nouveaux carrés identiques.

Les trois protagonistes de l’histoire qui va suivre sont Aboûl Wafâ, F. G. Frederickson, et C. Blanvillain. Ils se sont tous penchés, à des époques différentes, sur le problème suivant.

La trissection du carré.—
Comment découper un carré puis ré-assembler les morceaux obtenus afin d’obtenir trois nouveaux carrés identiques entre eux ?

Il s’agit non seulement de trouver une solution simple, aisée à effectuer en pratique, mais aussi de trouver une solution plaisante à l’oeil. Nous ne considérerons que des découpages rectilignes ; les pièces des puzzles ainsi construits seront donc des polygones. Il sera donc facile de les découper.

Avant de commencer, remarquons que le problème admet une réponse simple si l’on cherche à couper le carré non pas en trois mais en deux ou quatre carrés identiques. Quatre carrés s’obtiennent directement en deux découpes parallèles
aux côtés passant par les milieux de ceux-ci. Pour obtenir deux carrés identiques, il suffit de découper le carré initial le long de ses diagonales, puis d’assembler les morceaux obtenus par paires.

Aboûl Wafâ — figure de base

Le premier plan de découpe qui nous intéressera semble dû à Aboûl Wafâ,
vers la fin du dixième siècle. Il s’appuie sur une première figure qui
sera utilisée à deux reprises dans ce texte.

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Figure de base d’Aboûl Wafâ

En voici la recette.

  • Partir d’un carré, et tracer les milieux de ses quatre côtés. Noter ces milieux $M_1$, $M_2$, $M_3$, $M_4$ en tournant dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
  • Avec un compas, sélectionner l’écart d’une demi diagonale ; cet écart est donc égal à la distance entre le centre du carré et ses sommets (si le côté du carré est égal à $L$, l’écart du compas est égal à $L/\sqrt{2}$).
  • Reporter alors cette distance à partir de chaque sommet le long d’un des côtés qui lui est issu, ceci en tournant de sommet en sommet dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Chaque côté du carré est donc maintenant muni d’un « point spécial » $S_i$.
  • Joindre ces points entre eux comme sur la figure : en tournant dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, on relie le milieu $M_i$ de chaque côté au point
    spécial $S_{i+1}$ du côté suivant.

Apparaît alors, au centre du grand carré initial, un carré plus petit. Il se trouve que l’aire de ce petit carré est trois fois plus petite que celle du grand.

C’est à partir de cette figure que nous allons couper notre carré afin de construire trois carrés égaux.

Aboûl Wafâ — trissection du carré

Tout d’abord, modifions le schéma précédent en supprimant certains segments. Nous obtenons un dessin qui ressemble au suivant

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Étape intermédiaire

et qui fait délicieusement penser à certains décors muraux.

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Décor mural de la mosquée d’Ispahan (Iran, Xème siècle)

Pour poursuivre la construction, précisons quelques notations directement sur notre figure précédente : quatre points d’intersection $I_1$, $I_2$, $I_3$ et $I_4$ sont apparus, et les sommets $A_1$, $A_2$, $A_3$ et $A_4$ ont été numérotés. On relie alors $A_1$ à $I_1$, puis $A_2$ à $I_2$, et ainsi de suite, puis l’on colorie chaque pièce, le carré central excepté, ce qui donne la figure suivante.

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Patron du découpage d’Aboûl Wafâ

On découpe, et voici le miracle, en deux photographies.

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Découpage effectué
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Et trois carrés assemblés

Ainsi, partant d’un grand carré initial, nous obtenons trois carrés identiques, ceci
avec un puzzle de neuf pièces polygonales et huit coup de scie.

G. N. Frederickson

Le deuxième plan de découpe que j’aimerais présenter a un avantage que j’apprécie beaucoup : certaines des pièces peuvent être attachées entre elles
par des articulations, et lorsqu’on les fait danser les unes autour des autres en dépliant le mobile ainsi construit, le puzzle passe naturellement d’un carré d’un seul tenant à trois carrés identiques.

Commencons par décrire le schéma. Reprenant la figure initiale d’Aboûl Wafâ, seuls le grand carré et son carré central sont conservés. Deux côtés opposés du petit carré sont alors prolongés, ce qui forme quatre pièces autour du petit carré. Les deux plus grandes sont découpées à leur tour.
Pour cela, étudions le côté du petit carré qui a été prolongé et se trouve dans la partie inférieure gauche de la figure. Il coupe le grand côté gauche en son milieu, c’est-à-dire au point noté $M_2$ précédemment. Prenez le symétrique de $I_2$ par rapport à $M_2$, et notez le $S_2$. Alors le point d’appui $N_2$ du trait de coupe est situé à une distance de $S_2$ égale au côté du petit carré. La direction du trait de coupe est perpendiculaire au segment joignant $I_2$ et $I_3$.

Une découpe similaire doit être effectuée dans la partie supérieure droite.

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Plan de coupe de Frederickson

Après découpage des sept pièces du puzzle, accrochons maintenant les pièces par de petit pivots aux emplacements indiqués sur la figure suivante par quatre flèches : il faut imaginer que le puzzle est en bois, épais, et que ses morceaux vont pouvoir s’articuler autour des attaches.

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Position des articulations

Ceci étant fait, nous pouvons maintenant déplier la figure en utilisant les articulations placées.

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Dépliage intermédiaire
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Et position finale

L’auteur aura remarqué au passage que deux traits de découpe n’ont pas été effectués afin de garder un mobile d’un seul tenant. Le patron proposé par Frederickson fournit donc lui aussi une trissection du carré en trois carrés identiques, avec l’avantage d’être articulable une fois les quatre charnières convenablement placées.

C. Blanvillain

Les plans de coupe de Aboûl Wafâ et G. N. Frederickson comportent respectivement neuf et sept pièces. Voici maintenant la solution proposée par C. Blanvillain, en six pièces seulement [1]. Ce n’est pas la seule connue, puisque Henry Perigal en a également présentée une au dix-neuvième siècle, mais c’est sans aucun doute la plus jolie que je connaisse. Elle est toute récente, puisqu’elle a été publiée l’an passé (celle de Frederickson, datant de la toute fin du vingtième siècle, n’est pas beaucoup plus âgée).

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Les six pièces du puzzle de Blanvillain

Le lecteur pourra trouver lui même comment emboîter convenablement les
pièces pour obtenir les trois carrés désirés ; c’est simple une fois le découpage effectué.

Et voici maintenant, ci-dessous, comment construire la figure. Il faut tout d’abord prendre garde au fait que l’orientation du carré central n’est pas celle de la figure de base d’Aboûl Wafâ. Les deux segments de droites issus de chaque sommet coupent l’angle droit en trois angles égaux : puisque l’angle droit correspond à un quart de tour, les trois angles qui apparaissent en chaque sommet valent donc un douzième de tour (soit $\pi/6$).

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Construction à la règle du patron de Blanvilain

Ces quatre fois deux, soit huit, droites déterminent la plupart des points nécessaires à la figure. Il reste ensuite deux points à tracer, qui apparaissent
lors d’une seconde étape du dessin : ce sont les points à l’intersection des segments en pointillé et en trait mixte.

Deux questions

Outre leur intérêt esthétique, et donc sans doute aussi pédagogique, ces découpages illustrent le théorème de Bolyai et Gerwien, suivant lequel deux figures polygonales planes de même aire peuvent toujours être transformées
l’une en l’autre par une séquence de découpage et ré-assemblage.

Ce théorème ne dit pas quel est le nombre de morceaux minimum nécessaire pour effectuer un tel découpage collage ; il ne dit pas non plus comment obtenir de jolis plans de coupe pour des figures simples. Je profite donc de cette rubrique pour poser deux questions, la seconde volontairement un peu floue. Existe-t-il une trissection du carré en seulement cinq pièces, soit une de moins que celle de Blanvillain ? En existe-t-il une qui soit articulable et comporte moins de sept pièces ?

Post-scriptum :

La rédaction d’Images des maths, ainsi que l’auteur, remercient pour leur relecture attentive,
les relecteurs dont le pseudonyme est le suivant : Ulysse, Olivier, bruno_martin et Mohwali Awamar.

Notes

[1Voir l’article « Square Trissection, Dissection of a square in three congruent partitions », de Christian Blanvillain et Janos Pach, paru au Bulletin d’Informatique Approfondie et Applications, volume 86 (2010), 7-17. Je m’en suis largement inspiré ici.

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Pour citer cet article :

Serge Cantat — «La Trisection du Carré» — Images des Mathématiques, CNRS, 2011

Commentaire sur l'article

  • La Trissection du Carré

    le 4 octobre 2011 à 09:22, par Serge Cantat

    Je profite des commentaires pour mentionner deux sites web qui viennent de m’être signalés, l’un par christian.blanvillain, l’autre par Etienne Ghys.

    Le premier est quadratum cubicum, voir le site et notamment ce lien

    Le second est le site de Thérèse Eveilleau. Voir ici, les nombreux découpages, par exemple celui de Dudeney.

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  • La Trisection du Carré

    le 7 octobre 2011 à 18:12, par Pierre de la Harpe

    Merci Serge !
    La demonstration d’Airy a aussi été attribuée à Henry Perigal,
    mathématicien amateur anglais (1801—1898).
    Même s’il est bien difficile de décider qui de Airy ou Perigal
    fut le premier à produire cette démonstration,
    le lecteur devrait trouver son plaisir à regarder
    le fac-simile d’un article de Perigal de 1873 sur
    « les dissections géométriques et les transformations »
    (en anglais mais avec des figures).
    J’y avais fait allusion dans un article d’Images des Maths
    http://images.math.cnrs.fr/Ornement...,
    mais la version en ligne disponible à l’époque (mai 2009)
    semble ne plus l’être ; aujourd’hui, voir
    http://www.pandd.demon.nl/perigal.htm.
    Voir aussi un texte fouillé et charmant de Bill Casselman sur Perigal
    http://plus.maths.org/content/os/is....

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    • La Trisection du Carré

      le 8 octobre 2011 à 15:46, par Serge Cantat

      Merci Pierre pour la référence à Perigal. Pour les lecteurs qui ne connaissent pas, une des animations de Thérèse Eveilleau montre l’un des découpages de Perigal (et explicite comment l’on peut lier les pièces entre elles, ce qui n’est pas évident a priori).

      En fait, je n’ai pas vraiment compris ce qui permettait d’attribuer le « découpage d’Airy » à Perigal ; les découpages de Perigal que j’ai pu voir sont plus subtils que celui que je décris dans l’objet du mois de septembre .

      Merci pour la référence à ton texte sur les ornements : je l’avais complètement raté.

      Amicalement,

      Serge

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  • La Trisection du Carré

    le 8 octobre 2011 à 14:45, par électron

    A la fin de l’article, la première question amène à rechercher un découpage constitué d’un carré et de quatre autres morceaux qui s’assemblent 2 à 2 pour former deux carrés identiques au premier. Cela parait difficilement réalisable. Il faudrait donc prouver que c’est impossible ... peut-être en commençant par le cas « simple » où toutes les pièces sont des polygones convexes.
    Est-ce une question ouverte ?

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    • La Trisection du Carré

      le 8 octobre 2011 à 15:48, par Serge Cantat

      ... je n’ai justement pas envie de donner des pistes ...

      Bon courage dans votre recherche d’une solution.

      Cordialement,

      Serge Cantat

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  • La Trisection du Carré

    le 8 octobre 2011 à 18:50, par François Gramain

    Merci pour ce bel article qui donne très envie de se ruer, scie sauteuse en main, sur la caisse de bordeaux achetée à la dernière foire aux vins (je ne fais pas de publicité pour le vin de Bordeaux, mais seulement pour le bois des caisses qui est très agréable pour ce genre de travaux).

    La phrase « Il se trouve que l’aire de ce petit carré est trois fois plus petite que celle du grand. » me donne l’occasion de sauter sur un de mes dadas : Tout le monde comprend ce qu’il faut comprendre, mais je trouve qu’il y a un mélange inopportun de la structure multiplicative (trois fois) et de la structure additive (moins).

    Pour simplifier parlons de « deux fois plus », que tout le monde aujourd’hui comprend comme « deux fois autant », c’est-à-dire une quantité double (et là aucune notion additive n’est présente). Dans l’Encyclopédie, Diderot lui-même et les spécialistes d’histoire naturelle utilisent dans ce sens l’expression « une fois plus », que je trouve beaucoup plus correcte (on ajoute une fois la même quantité : « le mâle de l’Aselle d’eau douce [est] une fois plus grand que la femelle »), même si elle choque un peu les oreilles au XXIième siècle. Dans la littérature plus récente on trouve « une fois plus » dans Maurin des Maures de Jean Aicard et dans Gaspard des montagnes d’Henri Pourrat. Certains grammairiens expliquent que « deux fois plus » est correct au sens de double, car ici « plus » n’a pas de sens additif, mais comparatif, contrairement à l’emploi des Encyclopédistes. Passons à « deux fois moins », qui signifie actuellement « la moitié » ; mais « moitié moins » a le même sens (et il est purement additif, de même que « moitié plus »...) ! Le plus naturel est-il d’utiliser comme « contraire » de « deux fois plus » l’expression « deux fois moins » ou « moitié moins » ? Cela dit, il est assez jouissif de constater que, pour signifier la moitié, les Encyclopédistes n’utilisent aucune de ces deux expressions, mais « une fois moins », qui ne semble pas très cohérent avec la structure additive ! Quelle est la logique des utilisateurs de la langue française ?

    Cordialement. FG

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  • La Trisection du Carré

    le 12 octobre 2011 à 12:50, par Guichard Jean-Paul

    Merci pour cet article très intéressant.

    La trisection articulée enrichit nos exemples de tables transformables que nous utilisons à l’IREM de Poitiers pour enseigner les aires en classe de sixième.

    Par contre je trouve que l’exposition du procédé de découpage ne donne pas l’idée de comment le trouver. Du coup je suis allé revoir le problème d’Abul Wafa que j’avais donné à étudier naguère à des étudiants mais avec un énoncé inverse : comment découper 3 carrés identiques pour fabriquer un carré ? Or c’est apparemment sous cette forme qu’il est traité dans le livre d’Abul Wafa « Sur l’indispensable aux artisans en fait de construction » (voir par exemple l’article de Sharhangl et Jablan. La figure de découpage-assemblage d’Abul Wafa éclaire alors le découpage de la trisection du carré.

    Prendre un problème difficile à l’envers est toujours une bonne démarche, nous le savons d’expérience.

    On peut trouver les figures d’Abul Wafa sur le Net dans le diaporama de Chritian Blanvillain, De l’art de découper un carré, réalisé lors des Journées Portes Ouvertes « Objectif Sciences » 29-30 Mai 2010.

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