La Vérité réside dans la limite

10 juin 2013  - Ecrit par  Antonio Duran Voir les commentaires (2)

Cet article a été écrit en partenariat avec L’Institut Henri Poincaré

Cet article a été écrit en partenariat avec RBA

L’Institut Henri Poincaré et Images des Mathématiques ont uni leurs efforts pour superviser la réédition de la collection Le monde est mathématique,
publiée par RBA en partenariat avec Le Monde. En 40 ouvrages, cette collection de qualité, issue
d’un projet collectif de mathématiciens espagnols, vise à présenter,
à travers une grande variété de points de vue, de multiples facettes
des sciences mathématiques, sous un aspect historique, humain, social,
technique, culturel ...

Reprise et améliorée au niveau de la forme, cette nouvelle édition a été
entièrement lue et corrigée par l’équipe d’Images des Mathématiques ;
des préfaces et listes bibliographiques ont été ajoutées. Le Monde consacre un cahier spécial au lancement de cette collection présentée par Cédric Villani, qui en a écrit la préface générale.

Chaque semaine, à l’occasion de la sortie d’un nouveau numéro de la série,
un extrait sélectionné sera présenté sur Images des Mathématiques. Il sera accompagné du sommaire du livre et d’une invitation à prolonger votre lecture.

Révolution sur la terre comme au ciel !

Préface de Jérôme Buzzi, directeur de recherches au CNRS

La science moderne est peut-être née il y a 347 ans dans le village de Woolsthorpe
en Angleterre : Newton y invente une théorie qui va révolutionner les
mathématiques et bouleverser la nature même de la physique.
Ses prédécesseurs, Kepler et Galilée, ont donné des descriptions géométriques et
numériques de la chute des corps ou de l’orbite des planètes. Ils ont déjà l’intuition,
comme le dit Galilée, que la nature est un livre écrit dans un langage mathématique.
Newton identifie ce langage : le calcul infinitésimal. Cette théorie a pour origine
certains travaux d’Archimède qui viennent alors d’être retrouvés. Ils sont étudiés
après un hiatus de presque vingt siècles, et progressivement compris, puis dépassés.
Cavalieri, Descartes ou Fermat résolvent ainsi de nombreux problèmes géométriques
de détermination d’une tangente ou d’une aire.

Mais les raisonnements géométriques, modèles de rigueur depuis Euclide, s’avèrent
inadaptés. Ils nécessitent une approche trop spécifique de chaque problème.
Comme nous le lirons, un langage plus souple et plus adéquat apparaît petit à petit.
Il est fondé sur deux éléments cruciaux :

  • les fameux « infinitésimaux », des segments de droite infiniment courts
    ou en nombre infini en lesquels ces mathématiciens décomposent une courbe
    ou une surface.
  • l’introduction de coordonnées qui rapprochent ces problèmes de l’algèbre en
    remplaçant les courbes par des fonctions.

Nous verrons Newton compléter ce cercle d’idées. Il réduit les problèmes de
tangente puis de quadrature aux calculs de dérivée et d’intégrale en utilisant son
« théorème du binôme », le « théorème fondamental de l’analyse » et les découvertes
de Wallis et Barrow. Sous le nom de « calcul des fluxions », Newton obtient
une première version du calcul infinitésimal. La laborieuse recherche géométrique
est devenue une opération algébrique de routine.

Malheureusement, Newton ne publie pas ses découvertes. Bientôt, Leibniz
découvre sa propre version de ce calcul, qu’il nomme « différentiel et intégral
 ». Leibniz est bien plus pédagogue et diffuse largement l’invention, la dotant
de notations, encore utilisées aujourd’hui, qui la rendent presque automatique.
S’agit-il réellement de deux inventions indépendantes ? Nous lirons comment une
triste querelle s’ensuit, entretenue par des personnages de second ordre et un nationalisme
exacerbé.

Nous découvrirons comment la rigueur de ce calcul est également controversée.
Une démonstration est alors un raisonnement qui n’admet que ce qui est
« évident ». Or, en matière d’infinitésimaux, tout le monde n’est pas d’accord sur
l’évidence et les justifications géométriques sont délicates voire douteuses. Ce n’est
que grâce à l’intuition des meilleurs mathématiciens que le progrès des mathématiques
n’en est pas entravé pendant plus d’un siècle. Les définitions et constructions
précises ne seront formulées qu’au xixe siècle sous la pression du développement de
l’analyse et de l’enseignement.

Le bilan scientifique est extraordinaire. Les problèmes de tangente et de quadrature
sont devenus des calculs à mener selon une méthode uniforme. Mais les
concepts introduits sont bien plus importants. La physique et bientôt presque
toutes les sciences ont un nouveau langage et une nouvelle démarche hypothético-déductive.
Une puissante branche des mathématiques est née, l’analyse. Elle va
révolutionner jusqu’à l’arithmétique comme l’illustre le résultat suivant.

La répartition des nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11,… est encore très mystérieuse
de nos jours. Il est très laborieux de calculer le nombre exact $P (n)$ d’entiers premiers
plus petits qu’un nombre donné n dès que celui-ci est très grand. Mais la
formule intégrale suivante lève un coin du voile [1] :

\[ \int_2^n \frac{dt}{\ln t}\]

Pour $n = 10^{15}$, elle donne $29 844 571 475 286,535... $alors que la valeur exacte
de $P (10^{15})$ est $29 844 570 422 669$. L’erreur relative est extraordinairement petite :
moins d’un dixième de millionième.

Place maintenant à la découverte des secrets de Monsieur Newton !

[...]

PDF - 2.1 Mo

Pour aller plus loin

Post-scriptum :

L’extrait proposé est choisi par le préfacier du livre : Jérôme Buzzi. Celui-ci répondra aux commentaires éventuels.

Notes

[1C’est le théorème des nombres premiers de Hadamard et La Vallée-Poussin. Il s’agit de l’intégrale entre
$t = 2$ et $t = n$ de l’inverse du logarithme $ln \, t$, lui-même défini comme ayant pour dérivée $1 = t$ et prenant
la valeur $0$ en $t =1$.

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Pour citer cet article :

Antonio Duran — «La Vérité réside dans la limite» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013

Commentaire sur l'article

  • La Vérité réside dans la limite

    le 10 juin 2013 à 19:58, par madgel

    bonjour à tous,

    Je ne suis ni scientifique , ni mathématicien, mais j’ai un sens aigu de la logique et c’est cette logique , qui m’a permis de résoudre le mystère de la répartion des nombres premiers.
    Une fois le mystère de la répartition levé, cela m’a permis de résoudre la conjecture sur les nombres premiers jumeaux et en même temp de rendre caduque la théorie de Bernhard RIEMANN
    Dorénavant la répartition des nombres premiers, n’est plus un mystère , j’ai mis cette découverte su youtube et j’attends avec impatience votre avis
    voici le lien qui lève le secrêt sur la logique de fonctionnement des nombres premiers
    https://www.youtube.com/watch?v=ldNV7YfOULg

    Répondre à ce message
  • La Vérité réside dans la limite

    le 15 juin 2013 à 13:36, par Ronan

    Si j’ai bien compris , il faut savoir expliquer sa théorie en écrivant un livre qui saura être enseigné indépendamment de son écrivain et de ses capacités de logique ou d’un sens aigu de la concentration sur un problème très spécialisé.

    c’est regrettable que ce livre ne soit pas en vente en librairie, on doit hélas se contenter de vulgarisation sur : la relativité, le big bang ou bien de la chimie des particules. Ce sont des livres utiles pour ceux qui ont étudié beaucoup de mathématiques et qui savent ignorer encore la relation entre chaque théorèmes ou domaine de cette discipline.

    Répondre à ce message

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