La banda que ’’todo el mundo conoce’’

Piste rouge Le 4 juin 2010  - Ecrit par  Patrick Popescu-Pampu
Le 22 novembre 2020  - Traduit par  Andrés Navas
Article original : La bande que « tout le monde connaît » Voir les commentaires
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La denominada “banda de Möbius” es uno de los raros objetos matemáticos que no es desconocido para el público en general. Su característica fascinante es que solo tiene un lado, lo que da lugar a comportamientos sorprendentes al cortar. En este artículo exploraremos algunas de sus propiedades, hablaremos sobre el trabajo de Listing y Möbius en el que apareció por primera vez en la década de 1860, y finalmente explicaremos cómo permite ilustrar algunos conceptos esenciales de la geometría contemporánea.

Construcción

Hacia fines del siglo XIX, la banda de Möbius, también llamada cinta de Möbius, ya era un objeto bien conocido, al menos en la comunidad matemática. De hecho, así es como Henri Poincaré describió su construcción en 1895 [1] :

Todo el mundo conoce el ejemplo de una superficie unilateral que se obtiene al doblar un rectángulo de papel ABCD (cuyos lados opuestos son AB y CD por una parte, y BC y DA por la otra), y luego pegar los lados AB y CD de modo que A se pegue con C y B con D.

Para realizar concretamente la operación descrita por Poincaré, es conveniente recortar a lo largo de una hoja de papel A4 un rectángulo con un ancho máximo de 2 cm, siendo los lados cortos AB y CD. Luego, doblamos el rectángulo juntando los lados cortos, mientras lo giramos para que el punto A se acerque a C y el punto B a D. Un poco de cinta terminará el trabajo. Estos son algunos pasos de este proceso de construcción :

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Sigamos las instrucciones de Poincaré.

Aunque no sea obvio, existen ambigüedades en la descripción precedente. De hecho, si queremos pegar concretamente los lados opuestos AB y CD del rectángulo de papel, debemos -como dice Poincaré- “doblar este rectángulo”. Pero podemos hacerlo de muchas formas, sometiendo los extremos a más o menos vueltas antes de volver a pegarlos :

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Banda obtenida al añadir vueltas suplementarias.

También podemos hacer que la banda tome una forma anudada, como en la siguiente figura, en la que la banda toma la forma de un nudo de trébol :

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Una banda de Möbius anudada.

Hay muchas formas entonces de realizar concretamente una banda de Möbius. De hecho, hay una infinidad si consideramos la elección del nudo y la elección del número de vueltas.

La superficie abstracta y sus incrustaciones

Sin embargo, si respetamos las instrucciones de pegado dadas por Poincaré, obtenemos siempre la misma banda vista en sí misma, pero encarnada de diversas maneras en el espacio. Técnicamente, se dice que está incrustada de distintas maneras. Esta forma de concebir los objetos geométricos primero como existentes abstractamente y luego como seres vivos inmersos en un determinado entorno es fundamental en las matemáticas contemporáneas. Ella es comparable a la forma de concebir a un individuo, primero como un ser independiente que alberga un universo psíquico interno, y luego como parte de una sociedad. Detengámonos por un momento para explicar los detalles desde un punto de vista matemático.

En primer lugar, ¿qué es ver la cinta por sí misma, es decir, de forma abstracta ? Como sugiere el último término, esto significa que ignoramos el espacio ambiente, y miramos solo la estructura interna de la banda. Por ejemplo, el área de la cinta depende solo de la estructura interna, ya que es igual al área del rectángulo de papel que se usó para construirla, independientemente de cómo se dobló y ató para fabricarla. Asimismo, la longitud de su borde es una propiedad interna.

Hay un punto sutil aquí. Se trata efectivamente de propiedades internas solo si se asume que el rectángulo usado para hacer la banda es rígido durante el proceso de fabricación, como es el caso si se usa un rectángulo de papel. Pero supongamos ahora que un panadero usa un rectángulo de masa de pan para hacer una banda de Möbius. Durante el proceso de fabricación, el rectángulo de masa es mucho menos rígido que un rectángulo de papel. Si el panadero decide hacer varias tiras con rectángulos inicialmente idénticos, no logrará hacer tiras estrictamente idénticas, precisamente por esta falta de rigidez. Por lo general, estas tendrán diferentes áreas y bordes de diferente longitud. Sin embargo, serán idénticos si olvidamos la parte de la estructura interna que hace de la banda una estructura rígida. Geométricamente, en general esta nueva estructura se modela adecuadamente mediante una regla para medir las longitudes de las curvas dibujadas en la superficie.

Si, por el contrario, solo conservamos la forma en que se dispone la superficie
a partir de piezas muy pequeñas -en términos modernos, decimos que solo conservamos su estructura topológica-, entonces todas las bandas de Möbius son homeomorfas. Esto significa que, si tenemos dos bandas de Möbius construidas a partir de rectángulos que posiblemente tienen diferentes tamaños, los cuales retorcidos y anudados arbitrariamente antes de volverlos a pegar respetando las instrucciones de Poincaré, entonces hay un homeomorfismo entre ellos. Por definición, un homeomorfismo es una biyección que conserva las relaciones de proximidad entre puntos, es decir, que es continua, así como su inversa. Ésta es la forma precisa de decir que todas las bandas de Möbius son topológicamente idénticas. Por esta razón, a continuación nos centraremos en las propiedades topológicas de las bandas de Möbius.

Hemos tocado aquí un aspecto fundamental de la libertad de la matemática : se puede decidir qué propiedades de los objetos se ignora, lo que permite apuntar mejor a otras propiedades, a veces ocultas por las primeras. Es como la riqueza del cielo estrellado, que solo se revela cuando, al caer la noche, logramos ignorar al sol...

Propiedades internas y relación con el ambiente

Una primera propiedad topológica de la cinta vista en sí misma es que su borde está formado por una sola pieza ; técnicamente, se dice que es conexo. En efecto, basta con mirar las figuras precedentes para convencerse de que, si uno se mueve por el borde siempre en la misma dirección, vuelve al punto de partida habiéndolo recorrido por completo. Por esta propiedad, la banda de Möbius ya contrasta fuertemente con las superficies cilíndricas obtenidas al pegar los lados opuestos de un rectángulo sin “doblar”, pues estos tienen un borde formado por dos piezas.

A continuación, puede tomar un rotulador y comenzar a colorear, sin pasarse nunca del borde. Vemos que, cuando volvemos al punto de partida, se colorea toda la banda, ¡incluida la cara opuesto a la cara inicial ! Por tanto, podemos ver que la banda tiene un solo lado. Sin embargo, acabamos de hablar de cara opuesta a la cara de salida... ¿Hay alguna contradicción en alguna parte ?

El problema proviene del uso automático de nuestra cotidianidad de la noción de cara. Echemos un vistazo más de cerca. Este es un atributo que no es interno de la banda, sino que refleja su relación con su entorno. Para entender de qué se trata, tomemos un ejemplo similar en una dimensión más pequeña. Considere un segmento de línea $ D $ ubicado en un rectángulo plano $ P $, que se encuentra en el espacio, que denotaremos por $ E $. Si miramos el segmento $ D $ como parte del rectángulo $ P $, entonces tiene dos lados, que son las dos partes del rectángulo que obtendríamos si dividiéramos este último a lo largo de $ D $. Pero si abstraemos el rectángulo y miramos $ D $ como parte del espacio $ E $, ¡ya no hay lados ! Podemos darle la vuelta continuamente y acercarnos, por ejemplo, a todos los semiplanos que lo contienen en su borde. El segmento tendría, pues, un infinito de lados, teniendo este infinito mismo la forma de una circunferencia. De hecho, si consideramos una circunferencia centrada en un punto de $ D $ y contenida en un plano perpendicular a $ D $, cada uno de los semiplanos anteriores pasa por un solo punto de esta, y por cada punto de la circunferencia pasa un semiplano de estos.

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Un segmento en el espacio posee una infinidad de lados.

A fortiori, ¡el segmento de línea en sí mismo no tiene lados ! Un ser unidimensional que viviera en este segmento, sin ninguna información sobre un posible espacio que lo rodea, no tendría forma de elegir una salida por un lado en lugar de otro. La situación análoga bidimensional fue explorada en la novela fantástica « Flatland » publicada por Edwin A. Abbott en 1884 : allí son presentadas las aventuras de seres geométricos dotados de razón y que viven sobre un plano.

Al aumentar aún más la dimensión en uno, no tenemos forma de decidir si nos movemos de nuestro espacio tridimensional al espacio tetradimensional a lo largo de un lado o de otro. Por eso, no podemos hablar de caras de nuestro espacio. Por otra parte, cuando aprendemos a pensar geométricamente sobre el espacio-tiempo de dimensión 4, el espacio en un momento dado (en un marco de referencia que permite separar el espacio del tiempo) se visualiza como un corte que tiene dos caras, uno dirigido hacia el pasado y otro dirigido hacia el futuro.

Volvamos a nuestra banda de Möbius. Supongamos que esta se construyó en el espacio de una de las formas indicadas anteriormente. Si imaginamos un ser puntual -lo cual no es más que una abstracción, evidentemente, análoga a la de las masas puntuales en física-, el cual ve solo una distancia muy corta en comparación con las dimensiones de la banda (de la misma manera que nosotros vemos a una distancia corta en comparación con el tamaño de la Tierra), entonces detectará dos lados de ella. De hecho, verá que la cinta corta en dos piezas la región del espacio que es potencialmente visible para él. Dirá que cada una de estas piezas es un lado de la cinta, y puede que diga que una de estas caras es la de arriba y la otra es la de abajo, o bien que una es la derecha y la otra la izquierda. Los problemas surgen cuando este ser comienza a viajar. En efecto, él puede llevar consigo -por continuidad- su elección de nombre de las caras, pero si da un giro completo, entonces al regresar al punto de partida se da cuenta de que se han intercambiado las dos denominaciones. Si seguimos a este ser imaginario con nuestro rotulador, comenzando a colorear en la cara que llamó la de arriba, entonces cuando el ser ha vuelto a su punto de partida nos encontramos coloreando la cara inicialmente llamada la de abajo. Esto explica por qué finalmente logramos colorear toda la cinta.

Pensemos ahora la banda de Möbius de forma abstracta. Ya sabemos que no tiene sentido hablar de caras. Sin embargo, una propiedad especial puede ser detectada por un ser bidimensional que vive dentro de la banda. Para entender esto conviene imaginar la tira transparente, y atravesada por una línea circular que es una especie de corazón de la cinta. Nuestro ser bidimensional, que no vive de un lado o del otro sino en la banda, elegiría moverse a lo largo de esta línea, siempre yendo en la misma dirección. Inicialmente, habría decidido cuál es su lado derecho y cuál su izquierdo -en la cinta, obviamente. Pero al regresar al punto de partida, encontraría que su izquierda y derecha fueron intercambiadas. Quizás aquí radica el misterio de las vueltas de chaqueta en política : algunas personas viajarían sin ser conscientes de ello a lo largo de las bandas de Möbius, como en la siguiente figura, en la que el lado izquierdo se muestra en rosa, el lado derecho en azul, y la posición inicial del ser bidimensional como un pequeño disco verde :

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Intercambio de lados.

De hecho, esto es un experimento similar al realizado previamente para resaltar la relación entre la banda y el espacio que lo rodea. Esta vez, destacamos la relación entre el corazón y la banda, donde esta última desempeña el papel de espacio ambiental para el corazón.

Y así hemos llegado a una propiedad interna : no hay forma de elegir continuamente un significado de los términos « derecha » e « izquierda » a lo largo de la cinta a medida que uno avanza a lo largo del corazón. Decimos entonces que la banda de Möbius no es orientable.

¿Qué se obtiene al cortar ?

Acabamos de ver que, avanzando por el corazón de la banda hasta volver al punto de partida después de un giro completo, intercambiamos los lados derecho e izquierdo. Ahora tomemos tijeras y cortemos la cinta a lo largo del corazón. Obtenemos una nueva cinta de una sola pieza (conexa) :

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Corte a lo largo del corazón.

El borde de esta nueva cinta tiene dos componentes, una procedente del
borde de la cinta inicial, y la segunda creada por el corte. Por lo tanto, ¡ya no es una banda de Möbius ! De hecho, esto es lo que llamamos un cilindro, una superficie que tiene topológicamente la misma forma que un cilindro circular recto habitual : ambos son homeomorfos. Pero como muestra el experimento ilustrado en la figura anterior, este cilindro está dispuesto de manera retorcida en el espacio.

Es interesante hacer el mismo experimento de corte con una banda de Möbius dispuesta de forma diferente en el espacio. Por ejemplo, si partimos de la que se muestra en la segunda ilustración de este artículo, obtenemos un cilindro colocado de forma anudada en el espacio, siendo el nudo del mismo tipo que el de la banda de Möbius representada en el tercer dibujo :

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Corte de una banda aún más torcida.

En lugar de cortar la banda a lo largo del corazón, también podemos cortarla a lo largo de una línea que recorre el corazón sin intersecarlo nunca. Obtenemos entonces dos nuevas cintas, de las cuales una es todavía de Möbius (la que contiene el corazón del inicial) y la otra es cilíndrica (la que contiene el borde de la cinta inicial). Pero lo más sorprendente es que estas dos bandas, además de estar cada una retorcidas, ¡también están entrelazadas entre ellas !

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Corte que lleva a una banda y un cilindro enlazados.

Es divertido hacer lo mismo con bandas de Möbius dispuestas de manera diferente en el espacio, y comparar los resultados. ¡Inténtalo ! ;)

Se puede encontrar imágenes de bandas y superficies de Möbius obtenidas cortándolas de diversas formas en las páginas 270-274 del libro « Mathématiques en instantanés » de Hugo Steinhaus, publicado por Flammarion en 1964, del cual ya he hablado en el artículo
« Hexagones et démocratie » de este sitio.

Para Möbius, la banda es una obstrucción a la medición del volumen

Veamos ahora cómo la banda intervenía en las reflexiones de Möbius. August Ferdinand Möbius (1790-1868) fue estudiante Johann Carl Friedrich Gauss. Puede hallarse más detalles de su vida y su obra en el libro « Möbius and his band. Mathematics and astronomy in nineteenth-century Germany » [2], así como en la página redactada por O’Connor y Robertson en el sitio Mac Tutor History of Mathematics Archive. En lo que concierne a los trabajos examinados aquí, me serví principalmente de lo que aparece descrito en el libro « La topologie algébrique des origines à Poincaré » de Jean-Claude Pont [3], y en el libro « Elementary mathematics from an advanced standpoint. Geometry » de Felix Klein [4].

Möbius publicó una descripción de su banda en un artículo que data de 1865 [5]. En este artículo examinó la cuestión de cómo asignar una medida de volumen a un poliedro cuyas caras se superponen entre sí. Buscó así extender en dimensión 3 la teoría que había desarrollado unos treinta años antes para la medición de las áreas de polígonos planos cuyas aristas pueden ser cortarse [6]. Para comenzar, examinemos la primera teoría.

Consideremos una línea poligonal cerrada en el plano, de vértices consecutivos $A_1, A_2, ... , A_n$. Si no se autointerseca, entonces es intuitivamente claro que contiene un área determinada, que se puede medir descomponiendo primero el interior del polígono en triángulos (como en la siguiente figura) para luego ir sumando sus áreas.

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Triangulación de un polígono.

La pregunta que se hizo Möbius fue cómo extender esta definición para un polígono que se interseca a sí mismo, como en la siguiente figura (que encontramos en su obra y es reproducida en la página 104 del libro de Pont) :

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Polígono que se interseca a sí mismo.

Obviamente, ya no podemos hablar de interior del polígono, por lo que
ya no podemos dividirlo en triángulos. Möbius comprendió que, no obstante, se podía desarrollar una teoría algebraica del área, es decir, una teoría que asigna una medida de área con signo, siempre que orientemos tanto el polígono como el plano en el que se encuentra. Orientar el polígono significa elegir una de las dos posibles direcciones de viaje a lo largo de sus lados. De hecho, tomamos esa decisión tan pronto como los vértices son numerados consecutivamente. Orientar el plano significa elegir una dirección de rotación alrededor de cada punto del plano, opción que varía continuamente cuando varía el punto. Tal elección es posible pues, a diferencia de la banda de Möbius, el plano es orientable.

Ahora, si $A, B, C$ son los vértices de un triángulo en el plano, denotemos $ABC$ el área del triángulo, contada positivamente si la orientación elegida para el triángulo coincide con la orientación elegida para el plano, y negativamente en el caso contrario. Decimos que el número real así definido es el área algebraica del triángulo. El valor absoluto de esta área es el valor clásico, igual a la mitad del producto de un lado y la altura correspondiente.

Ahora escojamos cualquier punto $ P $ del plano y consideremos la siguiente suma de áreas algebraicas de triángulos obtenidos al unirlo con los vértices del polígono :
\[PA_1 A_2 + PA_2 A_3 + \cdots + PA_n A_1.\]
Möbius probó que esta sume no depende del punto $P$.

Probémoslo nosotros también. Tomemos un segundo punto $Q$ del plano. Entonces, para cualquier par de puntos $ A $ y $ B $, tenemos la igualdad fundamental :
\[ PAB -QAB = PAQ - PBQ. \]
Esto se puede demostrar geométricamente, por ejemplo, analizando las posibles posiciones, o algebraicamente, expresando el área algebraica de un triángulo en términos de las coordenadas cartesianas de sus vértices [7].
Gracias a esta igualdad fundamental, obtenemos :
\[\begin{array}{c} (PA_1 A_2 + PA_2 A_3 + \cdots + PA_n A_1) - (QA_1 A_2 + QA_2 A_3 + \cdots + QA_n A_1)= \\ = (PA_1 A_2 - QA_1 A_2) + (PA_2 A_3 - QA_2 A_3) + \cdots + (PA_n A_1 - QA_n A_1) = \\ = (PA_1Q - PA_2 Q) + (PA_2 Q - PA_3 Q) + \cdots + (PA_n Q - PA_1 Q) =0. \end{array}\]

Por lo tanto, podemos llamar a esta suma el área algebraica del polígono, pues en el caso en que este último es convexo y el punto $ P $ está dentro de él, obviamente recuperamos la noción clásica de área, pero ahora provista de un signo. Con esta definición, un polígono que tiene la forma del símbolo de infinito y que es simétrico con respecto a su centro es de área cero, y esto sucede para cualquier elección de la orientación de la curva y el plano :

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¡El área del infinito es nula !

En su artículo de 1865, Möbius plantea el problema de definir una noción análoga de volumen algebraico encerrado por un poliedro que puede autointersecarse. Según la definición dada por Möbius, resumida en la página 103 del libro de Pont :

[...] un poliedro será definido como un sistema de polígonos del espacio, unidos entre ellos de tal manera que cada arista pertenezca a dos, y solo dos, superficies.

Su idea es entonces hacer lo mismo que para los polígonos : tomar cualquier punto $ P $ en el espacio, y considerar la suma de los volúmenes de las pirámides que tienen a $ P $ como vértice y las caras del poliedro como base. Por supuesto, el punto clave es atribuir signos coherentes a estos volúmenes. Aquí la situación es complicada por el hecho de que las bases de las pirámides pueden ser polígonos autointersecantes. Pero puesto que la cuestión clave, -que conduce directamente a la banda torcida- no tiene nada que ver con la forma de estas bases, asumiremos que todas las caras del poliedro son
triángulos
.

En el caso de polígonos, al escribir la suma $ PA_1 A_2 + PA_2 A_3 + \cdots + PA_n A_1 $, el punto esencial fue que cada vértice apareció una vez como
vértice inicial de un segmento y una vez como vértice de llegada de otro segmento. En el espacio ocurre lo mismo : la suma de los volúmenes de las pirámides $ PABC $, donde $ ABC $ recorre las caras del poliedro, es independiente de la elección del punto $ P $, siempre que podamos orientar las caras de tal manera que cada borde aparezca una vez atravesada positivamente y una vez atravesada negativamente.

Para que se respete esta regla, si se ha elegido una de las dos orientaciones posible para una cara, entonces tenemos una manera única de orientar las caras vecinas (esto es, las que tienen un borde en común con ella) para que se respete la regla anterior. Así, paso a paso, todas las caras del poliedro quedan orientadas. ¿Todas ? No, porque es posible que al pasar de una cara a otra ¡volvamos la cara inicial con la orientación cambiada ! En este caso, la unión de los triángulos así atravesados ​​es una banda de Möbius, la cual eventualmente se autointerseca. En la siguiente figura, vemos un ejemplo de banda de este tipo obtenida de cinco triángulos :

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Una banda de Möbius poliédrica.

Para completarlo en un poliedro sin borde, podemos considerar un punto adicional $S$ y sumar como caras los triángulos de vértice $ S $ y base los lados laterales de la banda. Acerca de de este poliedro (que se autointerseca), Möbius escribe (la traducción proviene de la página 107 del libro de Pont) :

La particularidad de la estructura del poliedro que acabamos de construir se demuestra por el siguiente hecho : podemos atravesar la superficie de este poliedro de tal manera que después de haber realizado una vuelta completa, nos encontramos al otro lado de la superficie, y esto sin que el camino recorrido haya traspasado ninguna de las caras recorridas.

Möbius llama zona a una banda de triángulos de este tipo a lo largo de la cual volvemos invirtiendo la orientación inicial. He aquí cómo explica en la sección 11 de su artículo un método para fabricar la banda que llevaría su nombre, que es exactamente el método que Poincaré iba a recordar después (la traducción proviene de la página 108 del libro de Pont) :

Podemos hacernos una idea muy clara de la gran diversidad de zonas de este tipo usando una hoja de papel cortada en forma de rectángulo $ABB'A'$. Primero, doblemos esta hoja para que $AB$ permanezca constantemente paralelo a sí mismo hasta que $A$ se fusione con $A'$ y $B$ con $B'$. Obtenemos entonces una zona con dos lados que tienen como frontera a las aristas circulares $AA'$ y $BB'$. Luego, traemos $A$ hasta coincidir con $B'$ y $B$ con $A'$ guardando el segmento $ AB $ fijo y rotando $A'B'$ en $180$ grados. Esta superficie tiene solo un borde y un lado, porque se puede pintar completamente sin cruzar la frontera.

Por tanto, vemos que la banda aparece en el trabajo de Möbius como una obstrucción para definir el volumen algebraico de un poliedro : podemos orientar continuamente sus caras y por lo tanto definir tal volumen si y solo si el poliedro no contiene una banda de Möbius que eventualmente se cruce consigo misma.

Los resultados anteriores fueron presentados por primera vez por Möbius en una memoria escrita para el Gran Premio organizado por la Academia de Ciencias de París en 1861. Fueron parte de la segunda mitad de su escrito ; la primera mitad trató de la clasificación de superficies del espacio euclidiano que no se cruzan, y que además no tienen borde. Como veremos más adelante, tales superficies no pueden contener una banda de Möbius. Lo que es fundamental para abordar esta clasificación es decidir cuándo dos superficies se consideran iguales. Aquí es donde Möbius introdujo lo que se convertiría en la relación de homeomorfismo, bajo el nombre ’’correlación elemental". Así es como él lo define en el artículo originado a partir de la primera mitad de su escrito [8] :

Se dirá que dos figuras están en correlación elemental si a cada elemento infinitamente pequeño de uno corresponde un elemento infinitamente pequeño del otro, de modo que a dos elementos que se tocan en la primera corresponden dos elementos que se tocan en la segunda. O también : dos figuras están en correlación elemental cuando a cualquier punto de uno corresponde un punto del otro, de modo que a dos puntos infinitamente vecinos siempre corresponden a dos puntos infinitamente vecinos. Por lo tanto, una línea no puede estar en correlación elemental sino con una línea, una superficie con una superficie y un cuerpo espacial con un cuerpo espacial.

La noción de homeomorfismo se formularía de manera diferente a principios del siglo XX utilizando la noción -bastante complicada a primera vista- de conjunto provisto de una topología, esto debido a las dificultades para encontrar una base teórica para la noción intuitiva de puntos infinitamente vecinos. Sin embargo, en las explicaciones de la noción de homeomorfismo dada al comienzo de este artículo, intenté acercarme a la definición anterior de Möbius.

Cómo aparece la banda en el trabajo de Listing

Johann Benedikt Listing (1808-1882) también era estudiante de Gauss. Para los detalles de su vida y obra, se puede consultar la página redactada por O’Connor y Robertson en el sito Mac Tutor History of Mathematics Archive, la nota necrológica escrita por Peter Guthrie Tait [9], el artículo de Breitenberger [10], así como el Capítulo I de la segunda parte del libro de Pont citado anteriormente.

Listing había publicado desde 1862 una ilustración de la ’’banda que todo el mundo conoce’’ [11]. La siguiente imagen, que contiene la ilustración original de Listing, así como el párrafo que se refiere a él, está tomado de la página 48 del libro de Pont :

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La banda de Listing y un acompañante.

La obra de la que procede la figura anterior propone estudiar ’’topológicamente’’ los ’’complejos espaciales’’. Así es como Listing los define, según la traducción que aparece en la página 46 del libro de Pont :

Por complejo espacial entenderemos cualquier configuración de puntos,
líneas y superficies en el espacio ; líneas y superficies que pueden ser rectas o curvas, abiertas o cerradas, limitadas o ilimitadas. Sin embargo, les pediremos que sean de una sola pieza, de lo contrario, habrá tantos complejos como configuraciones distintas. También tendremos en cuenta el complejo que no contiene ningún elemento.

El hecho de que se trata de realizar un estudio topológico, es decir, independiente de consideraciones de mediciones de distancia o área, es un punto esencial del trabajo de Listing. De hecho, es él quien, hacia 1836, creó el término ’’topología’’ para un campo de investigación del cual él se consideraba uno de los pioneros. He aquí cómo habla de esto en una carta datada del 1 de abril de 1836, dirigida a su antiguo profesor Müller [12] :

Leibniz fue probablemente el primero en pensar, pero no más que eso, en su desarrollo teórico ; después de él, nada se ha hecho en esa dirección. El campo parecía demasiado vasto, las dificultades demasiado grandes y el lenguaje demasiado pobre. Fue Gauss quien me animó a ocuparme por este campo, durante mis muchos trabajos prácticos en el observatorio de Göttingen. Leibniz definía esta ciencia como el estudio de la conexión y leyes de la situación recíproca de los cuerpos en el espacio, independientemente de las proporciones de magnitud que surgen de la geometría ; le dio el nombre de analysis situs. Sin embargo, como el término ’’geometría’’ no puede caracterizar decentemente una ciencia en la cual el se excluyen las nociones de medida y extensión, así como ya se ha asignado el término ’’geometría de la posición’’ a otra disciplina, y como, finalmente, nuestra ciencia aún no existe, usaré el nombre -que me parece adecuado- de topología. [...] Una definición de la topología podría ser : estudio de las leyes cualitativas de las relaciones entre lugares. Estoy profundamente convencido de que esta ciencia es susceptible de un método de investigación preciso.

Listing es el primer autor de un tratado de topología, publicado en 1847 con el título « Vorstudien zur Topologie » [13], del cual se puede ver ciertos pasajes en este sitio. He aquí cómo él hace preciso allí la definición del campo de investigación para el cual había creado un nombre (la traducción proviene de la página 44 del libro de Pont) :

Por topología entenderemos por tanto el estudio de los aspectos cualitativos de las formas espaciales o de las leyes de conexión, de posición mutua o de orden entre los puntos, líneas, superficies y cuerpos, así como sus partes o uniones, haciendo abstracción de su medida y magnitud.

Listing era un inventor prolífico de neologismos, algunos de los cuales han llegado hasta nosotros : « fenómenos entópticos »,
« puntos nodales », « geoide »,
« micrón » [14].

Desde 1830, año en que Listing propuso el nombre ’’topología’’ para un campo futuro de investigación matemática, esta área ha experimentado un desarrollo excepcional, y está en el centro de toda reflexión geométrica moderna. Aprendimos en particular a dar sentido preciso al número de vueltas de una cinta así como al número de enlaces de dos nudos entrelazados, y establecimos criterios de distinción que señalan que un nodo dado no puede deformarse en otro. Si bien Listing ya había indicado estas preguntas para ser abordadas por la topología, se debe tener en cuenta que él todavía no tenía un criterio completo para decidir si, dadas dos superficies en el espacio, es posible deformar una en la otra -en términos técnicos, uno pregunta si se puede determinar si son isotópicas.

En cuanto a los términos ’’analysis situs’’ y ’’topología’’, estos compitieron para designar este nuevo campo de las matemáticas hasta alrededor de 1930. Hoy en día, el primero solo se encuentra en los ’’museos del pensamiento’’. Al parecer, la aceptación universal del segundo término data del éxito del libro ’’Topology’’ de Solomon Lefschetz, publicado en 1930. Que Lefschetz también dudó entre los dos términos se puede deducir del hecho de que en 1924 había publicado un libro titulado ’’El análisis Situs y la geometría algebraica’’.

Listing, Möbius o Gauss ?

Como hemos visto, Listing publicó un artículo que contenía una imagen de la banda en 1862 y Möbius publicó en 1865 un artículo que la exhibe como una obstrucción para definir el volumen algebraico de un poliedro. Sin embargo, encontramos referencias a la cinta cinta en los artículos de Listing y Möbius que datan de 1858. Esto es lo que Pont dice sobre este tema, en la página 109 de su libro :

Entre los manuscritos de Listing encontramos, en una hoja separada que data del 24 de julio de 1858, el boceto y la descripción de la superficie que llamamos hoy la banda de Möbius. Esta figura se repite en su artículo de 1862 [...] En los bocetos del trabajo que Möbius estaba preparando para el Gran Premio, C. Reinhardt encontró, en un documento fechado en septiembre de 1858, la indicación del descubrimiento de poliedros de una sola cara y la
superficie que nos concierne [...] Un hecho aparentemente secundario
permite imaginar la existencia de una influencia externa explicando, al menos en parte, esta coincidencia. Encontramos, tanto en el listado de manuscritos como en el ’’censo’’, el boceto de una superficie [aquella representada en la figura de la derecha de la foto que reproducimos arriba] previamente inusual en matemáticas [15] [...] Pero podemos ver esta misma superficie en los artículos de Möbius [...] ¿Es esto una coincidencia ? Probablemente no, porque Möbius añade : ’’De una comunicación oral de Gauss ; ignoro cómo Gauss llegó a considerar esta superficie’’.

Quizás Gauss también mostró la cinta de una cara a sus dos antiguos alumnos, Listing y Möbius. Por el momento, ningún documento nos permite para saber qué les dijo de esta, o qué vías de investigación les sugirió. En cualquier caso, como acabamos de ver, en cada uno de ellos, la banda alimentaba ideas diferentes.

Desde entonces, la cinta ’’que todos conocen’’ grabó parte de la panoplia imaginaria de todos los amantes de geometría como un ejemplo simple pero significativo de varios conceptos esenciales. Veremos algunos ejemplos de este tipo en la última sección de este artículo. Pero antes, hablemos un poco más sobre el borde de la banda.

En el espacio no hay superficies sin borde no orientables

Hemos aprendido a ver en la banda de Möbius una superficie abstracta no orientable, que se puede incrustar de varias maneras en el espacio habitual. Vamos a explicar ahora que esto es posible gracias a su borde. De hecho, explicaremos por qué cualquier superficie sin borde del espacio (sin auto-intersecciones) es necesariamente orientable.

Solo consideraremos el caso de una superficie lisa, es decir, que admite un plano tangente en cada punto, variando continuamente cuando el punto varía continuamente. Hacemos esta suposición para simplificar la explicación. Sin embargo, los argumentos pueden ser levemente modificados para que también se apliquen a las superficies cuyos planos tangentes sufren cambios repentinos
de dirección (por ejemplo, poliedros sin autointersecciones).

Razonemos por el absurdo. Supongamos que $ S $ sea una superficie en el espacio tridimensional habitual, sin borde, sin intersección consigo misma, pero que no es orientable. Existe entonces un camino circular $ C $ situado íntegramente en $ S $ tal que, al seguirlo, invertimos la orientación inicial. Una zona en la superficie que rodea a este camino es, entonces, una banda de Möbius. Ahora, imaginemos un ente tridimensional caminando a lo largo de $C$ de tal manera que en todo momento sea perpendicular a la superficie en el punto de apoyo. De hecho, se trata de un ente estilizado al extremo, a la Giacometti : él se reduce a un segmento perpendicular a $ S $ en un punto de $ C $. Además, elijamos la longitud del segmento pequeña, de modo que en cada punto de $ C $ interseque a $ S $ solo en su punto de apoyo.

Veamos ahora la curva $C'$ dibujada por el punto final del segmento que no se encuentra en $C$ cuando el ente da un giro completo a lo largo de $ C $. Esta es un arco que no interseca la superficie $ S $ en ningún momento ; sin embargo, sus extremos $ A $ y $ B $ están ubicados a ambos lados de $ S $, en las proximidades del punto de partida $ O $. Esta es una consecuencia del hecho de que la orientación de la superficie cambia cuando uno se mueve a lo largo de $ C $, pero no así la orientación del espacio ambiental. Unamos entonces los puntos $ A $ y $ B $ por el segmento que resulta al unir la posición posición inicial y la final del segmento del segmento viajero.

Denotemos $ D $ la curva obtenida como la unión del arco $ C '$ y el segmento $ AB $. Su propiedad fundamental es que interseca transversalmente, es decir, no tangencialmente, la superficie $S$ en un solo punto, que es el punto de partida O.

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Inversión.

Movamos ahora la curva $ D $ continuamente, disminuyendo su tamaño mientras la acercamos a un punto $ P $ fuera de la superficie $ S $, por ejemplo, haciendo homotecias centradas en $ P $ con una razón de homotecia que varíe continuamente de 1 a 0. Como $ P $ es disjunto de $ S $, en algún momento obtenemos una curva $ D '$ disjunta de $ S $.

Veamos cómo evoluciona el número de puntos de intersección de la curva variable $ D_t $ con la superficie $ S $, donde $ t $ designa el parámetro de variación de la curva. Después de haber posiblemente deformado ligeramente la curva inicial, este número cambia solo un número finito de veces, y cada vez aumentando o disminuyendo en dos. Observe el escenario siguiente, el cual debe ser leído en una dirección o en la otra :

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Escenario elemental.

Como partimos de una situación en la que teníamos exactamente un punto de
intersección, solo podemos acceder a situaciones donde la curva $ D_t $ y la superficie $ S $ tienen un número impar de puntos de intersección. Pero esto contradice el hecho de que $ D'$ ya no se cruza con la superficie $ S $. Se demuestra así el teorema anunciado en el título de la sección.

Este teorema muestra que estamos obligados a introducir realizaciones que se intersecan cuando queremos presentar una imagen de una superficie no orientable y sin bordes. Tales superficies son fáciles de construir de forma abstracta a partir de una banda de Möbius : basta con pegarla de forma abstracta a una superficie que tiene un solo componente de borde mediante una identificación a lo largo de sus bordes. Por ejemplo, si esta segunda superficie es un disco, obtenemos una superficie homeomorfa al plano proyectivo, y si se trata de una nueva banda de Möbius, obtenemos una botella de Klein, como se puede ver en el « Kit Klein », de Aurélien Alvarez.

La banda en las matemáticas contemporáneas

Finalmente, ilustraré algunos conceptos esenciales de geometría contemporánea utilizando la banda ’’que todo el mundo conoce’’. De hecho, parte de su encanto proviene del hecho de que ella permite ver fácilmente varios conceptos incorporados de una manera no trivial, lo cual nos ayuda a apreciarlos y hacerlos más familiares [16]. Esta sección requiere más madurez matemática que el resto del texto para ser entendida, por lo que pido las excusas pertinentes al público no científico. Sin embargo, este último puede que tal vez aprecie la poesía de algunos de los términos usados ​​por
matemáticos, los cuales he resaltado en negrita.

Volvamos al proceso de construcción explicado al principio del artículo, pero esta vez dibujemos en el rectángulo inicial varios segmentos paralelos a sus lados. Por supuesto, hay que imaginarlos dentro de la superficie de la cinta, pero en la práctica uno se ve obligado a dibujarlos sobre ambos lados de la hoja de papel. De hecho, imaginemos todos los segmentos paralelos a los lados del rectángulo, tanto horizontales como verticales en nuestra figura (los que hemos dibujado sirven para evocar en nuestra imaginación su infinitud). Obtenemos así dos descomposiciones del rectángulo en una infinidad de segmentos dos a dos disjuntos. Después de pegar los extremos para hacer la banda, obtenemos dos descomposiciones de la misma usando curvas, las cuales tienen localmente el aspecto de la descomposición del plano por un sistema lleno de líneas paralelas entre sí. Decimos que tenemos dos foliaciones de la cinta de Möbius.

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Dos foliaciones de la banda de Möbius.

De manera más general, hablamos de foliaciones de una variedad [17] de cualquier dimensión por variedades de menor dimensión. Estos son objetos que permiten pensar geométricamente algunos problemas que pueden modelarse mediante ecuaciones diferenciales. Una hoja es la variedad abstracta obtenida siguiendo una subvariedad local de la
descomposición en la medida de lo posible y en todas las direcciones. En nuestro caso, todas las hojas de la laminación horizontal son circunferencias, y todas los de la foliación vertical son segmentos.

Al considerar una hoja, es muy importante estudiar el comportamiento de las hojas en las proximidades de una hoja determinada $ F $ : ¿Tienen la misma forma ? ¿Se aproximan en algunas direcciones y se alejan en otras ? Lo más simple sería que en las proximidades de la hoja estudiada $ F $, todas las hojas tienen la misma forma y cierran al mismo tiempo cuando se regresa al punto de partida después de haber caminado dentro de $ F $. En este caso, decimos que, en la vecindad de $ F $, la foliación es localmente trivial.

En nuestro ejemplo, la laminación horizontal tiene una estructura de producto en las proximidades de cualquier hoja que no sea la hoja central (el corazón). Por el contrario, cuando damos un giro completo a lo largo del corazón, las hojas cercanas no se cierran, sino que vuelven por el otro lado del corazón. Se necesitan dos vueltas completas para que cierren. Decimos que el grupo de monodromía asocia a esta hoja está el grupo cíclico de orden $ 2 $, que notaremos $\mathbb{Z} _2 $.

En cuanto a la foliación vertical, esta es localmente trivial en una vecindad de cada una de sus hojas. Decimos entonces que ella equipa la banda de una estructura de espacio fibrado localmente trivial. Las fibras son aquí homeomorfas a los segmentos. Cuando tenemos un espacio fibra como este, es importante tener en cuenta la variedad cuyos puntos representan fibras. Esta es la base del fibrado. En nuestro caso, para la banda fibrada por segmentos, la base es una circunferencia. En cuanto al caso de la laminación horizontal, debido al corazón -en cercanía de la cual el grupo de monodromía es cíclico de orden $2$- se puede definir un espacio base no como una variedad, sino como orbivariedad (orbifold en inglés). Este es un segmento, una de cuyas extremidades es un punto singular de orden $2$.

Veamos de nuevo la laminación vertical. Asociemos a cada punto $ P $ del borde de la franja el punto del corazón que está en la intersección del segmento que pasa por $ P $. Obtenemos una proyección del borde sobre el corazón, la cual equipa la circunferencia (borde de la banda de Möbius) de una estructura espacial de fibra localmente trivial sobre la circunferencia (el corazón de la banda). En este caso, las fibras se componen de dos puntos. Más generalmente, cuando las fibras son grupos de puntos separados entre sí, es decir, provistos de una topología discreta, decimos que la proyección del espacio fibrado sobre la base es un revestimiento.

El revestimiento que acabamos de obtener aparece también en teoría de grupos de la siguiente manera. Partimos del conjunto $ R $ de las rotaciones alrededor de un punto del plano. Sus elementos formar un grupo, es decir, uno puede componerlos y considerar sus inversos (si giramos en una dirección y luego
en la otro por el mismo ángulo en valor absoluto, entonces no se hace nada). Este grupo también tiene una estructura de variedad -en este caso decimos que es un grupo de Lie-, aquí homeomorfa a la de una circunferencia. Para verlo,
simplemente asociamos a cada rotación el punto del círculo trigonométrico
identificado por el ángulo de rotación. Hagamos entonces corresponder a cada rotación la rotación del doble del ángulo. Obtenemos un morfismo, que denotaremos por $ \phi $, del grupo $ R $ en sí mismo. Su núcleo, es decir el subgrupo de rotaciones enviadas en la identidad, está formado por la rotación de identidad y por la de 180 grados. Así que este es nuevamente el grupo cíclico de dos elementos $\mathbb{Z} _2$. Visto topológicamente, el morfismo $ \phi $ es un revestimiento isomorfo al del borde de la banda de Möbius en su corazón descrito en el párrafo anterior.

El grupo $ R $ aparece entonces como una extensión de $ R $ por el grupo cíclico $ \mathbb{Z} _2 $. Esta extensión no es trivial en el sentido de la teoría de grupos (pues no nos permite concluir que $ R $ es el producto cartesiano de $ \mathbb{Z} _2 $ con $ R $, porque $ R $ posee dos elementos de orden que divide a $ 2 $, mientras que el producto cartesiano anterior tiene cuatro). Esto refleja el hecho de que el revestimiento asociado no es trivial, es decir, no se obtiene apilando dos copias de un círculo enviado sobre sí mismo por la aplicación identidad. Exportando a la teoría de grupos la intuición de que esto se debe a un fenómeno de torsión, claramente visible en la banda de Möbius, hablamos de extensión torcida de grupos.

El grupo $ \mathbb{Z} _2 $ es el grupo más simple que no es trivial. Es de torsión, es decir, todo elemento admite un múltiplo distinto de cero que es igual al elemento identidad. De hecho esta denominación fue introducida por Poincaré, probablemente inspirado por la banda de Möbius. De hecho, esto es lo que escribió en su artículo ’’Segundo complemento del Analysis Situs’’ [18] :

Esta denominación [variedades con / sin giro] [19] se justifica porque la presencia de invariantes superiores a $ 1 $ se debe, como veremos más adelante, a una circunstancia comparable a un verdadero giro de la variedad en sí misma. [...] Volvamos a [los invariantes] que no son iguales a $0$, ni a $ 1 $ y que llamaremos coeficientes de torsión.

Podríamos continuar esta lista de ejemplos explicando por qué el conjunto de rectas del plano está naturalmente provisto de una estructura de variedad
homeomorfa a una banda abstracta de Möbius, pero prefiero dejar eso como ejercicio para quienes no lo hayan ya hecho leyendo mi artículo ’’Variedades’’.

Las personas que deseen descubrir otras representaciones de cintas de Möbius, así como novelas, películas u obras de arte que hayan inspirado, y mucho más, pueden navegar en los sitios en Castellano,
en Français,
en Anglais
ou en Allemand que le son consagrados en Wikipedia.

Post-scriptum :

Agradezco calurosamente a Vincent Beffara, Serge Cantat, Damien Gaboriau, Étienne Ghys y Christine Huyghe por sus comentarios.

Article original édité par Serge Cantat

Notes

[1En « Analysis Situs », Journal de l’École Polytechnique 1 (1895), 1-121. Republicado en « Œuvres de Henri Poincaré », Tome VI, Gauthier-Villars Editor, 1953. El extrato proviene de la sección 8, página 215 de l’Œuvre complète.

[2Editado por John Fauvel, Raymond Flood, Robin Wilson. Oxford University Press, 1993.

[3Publicado en Presses Universitaires de France en 1974.

[4Publicado por Dover en 2004. La primera edición (en alemán) data de 1908. Es el Capítulo 1 de la primera parte lo que nos concierne aquí.

[5Se trata de « Ueber die Bestimmung des Inhaltes eines Polyeders », Ber. Verh. Sachs., t. 17, Leipzig, 1865, 31-68. Puede ser hallado en las páginas 473-512 del Tomo II de la Obra Completa de Möbius, Leipzig, S. Hirzel, 1886.

[6La cual había sido publicada en « Der barycentrische Calcul, ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie », Leipzig, J. A. Barth, 1827. Este trabajo fue reeditado en las páginas 1-388 del Tomo I de la Obra Completa de Möbius, Leipzig, S. Hirzel, 1885.

[7Si los vértices $ A, B, C $ tienen coordenadas cartesianas $ (a_1, a_2), (b_1, b_2), (c_1, c_2) $ con respecto a una base que define la orientación elegida del plano, entonces se muestra que :
\[ ABC = \frac{1}{2} (a_1 b_2 - a_2 b_1 + b_1 c_2 - b_2 c_1 + c_1 a_2 - c_2 a_1). \]

[8Se trata de « Theorie der elementaren Verwandtschaften ». Ber. Verh. Sächs t. 15, Leipzig (1863), 18-57. También puede ser hallado en las páginas 433-472 del Tomo II de la Obra Completa de Möbius, Leipzig, S. Hirzel, 1886. La traducción dada aquí proviene de la página 90 del libro de Pont.

[9P.G. Tait, « Johann Benedict Listing », Nature 27 (1882-83), 316.

[10E. Breitenberger, « Johann Benedict Listing », en I. M. James (ed.), « History of Topology » (Amsterdam, 1999), 909-924.

[11En « Der Census räumlicher Complexe oder Verallgemeinerung des Euler’schen Satzes von den Polyedern », Abhandlungen der königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, t. 10, Göttingen, 1862, 97-180.

[12Estos detalles son recogidos de la página 914 del artículo de Breitenberger citado anteriormente. En cuanto a la traducción, ella es tomada de las páginas 41-42 del libro de Pont.

[13En Göttinger Studien, Göttingen, 1847.

[14Esta información proviene de la primera página del artículo de Breitenberger.

[15El topólogo contemporáneo puede reconocer allí el resultado del llenado de dos superficies cilíndricas.

[16Este es, por supuesto, un guiño al poema ’’Correspondencias’’, de Baudelaire ...

[17Una introducción a la noción de variedad se puede encontrar en mi artículo ’’Variedades’’.

[18Este es un artículo publicado en Proceedings of the London Mathematical Society 32 (1900), 277-308, y reeditado en el volumen VI de su Obra Completa, en las páginas 338-370. El extracto que estoy dando es del último párrafo de la sección 3, así como de la sección 5.

[19Estas son variedades con o sin torsión, dependiendo de si, en el lenguaje moderno, sus grupos de homología con coeficientes enteros tienen, o no, elementos de torsión.

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Pour citer cet article :

Andrés Navas — «La banda que ’’todo el mundo conoce’’» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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