La boule et le cube, en grande dimension

(calculs de volumes)

Piste bleue Le 4 novembre 2014  - Ecrit par  Serge Cantat Voir les commentaires (4)

Le segment, le carré et le cube sont les trois premiers d’une longue lignée : on dispose d’un hypercube pour chaque dimension. De même, le disque et la boule ont des grandes sœurs en dimension $4$, $5$, $6$, etc. Nous allons étudier ces objets, mettre des boules dans des cubes, des cubes dans des boules, et comparer leurs volumes. Ce sera l’occasion de décrire un problème résolu depuis une quinzaine d’années : le problème de Busemann et Petty.

Carrés, cubes, et volumes

Une projection plane de l'hypercube de dimension 4. Le carré et le cube sont des objets familiers et appréciés (les passionnés de « minecraft » ou les nostalgiques des jeux vidéos pixelisés en raffolent).
À chaque dimension correspond un cousin du cube :

  • en dimension $1$ : le segment
  • en dimension $2$ : le carré
  • en dimension $3$ : le cube
  • en dimension $4$ : l’hypercube de dimension $4$
  • en dimension $5$ : l’hypercube de dimension $5$
  • etc.

Le site de Wikipedia correspondant à l’« hypercube » est très riche et comporte de nombreuses images et animations. On y trouve par exemple des projections planes des cubes de dimension au plus $12$ ; seuls les sommets et arêtes sont représentés, et l’angle de projection est choisi pour fournir de jolies images (voir ci-contre et le logo de l’article pour les projections des hypercubes de dimension $4$, $5$ et $12$
respectivement).

$ $

Une fois choisie une unité de longueur, on utilise les cubes pour fixer — pour normaliser — la notion d’aire et de volume. Ainsi, par convention, un carré de côté égal à $1$ (disons à $1$ mètre) a une aire égale à $1$ (mètre carré). L’aire d’un carré de côté $R$ est égale à $R\times R$ ; en guise d’exemple, un carré de côté $3,5$ a une aire égale à $12,25$.

L’aire d’une forme plane plus complexe peut être obtenue en la découpant en petits carrés, et en sommant la contribution surfacique de chacun d’entre eux. L’aire d’un disque de rayon $R$ se trouve ainsi être égale à $\pi R^2$, avec $\pi=3,141592...$ [1]

De même, le volume d’un cube de côté $R$ est égal à $R\times R\times R$, plus souvent noté $R^3$, qu’on lit d’ailleurs « $R$ cube ».

Ceci peut-être généralisé en dimension quelconque.
L’(hyper)volume d’un hypercube de dimension $n$ et de côté $R$ vaut $R\times \ldots \times R$ ($n$ fois), que l’on note $R^n$. Comme nous le verrons, on dispose de formules pour calculer les volumes des boules, mais elles sont plus compliquées.

Volumes des boules

Considérons maintenant un carré de côté $1$ (disons $1$ mètre), et cherchons à inscrire un disque dans ce carré qui soit le plus grand possible. Un seul disque convient, c’est celui dont le centre coïncide
avec le centre du carré et dont le rayon $R$ vaut $1/2$ ; il est tangent au carré en les milieux des côtés. L’aire de ce disque est égale à $\pi R^2$, soit $\pi/4$ puisque $R=1/2$. Comme $\pi$ vaut approximativement $3,141592$, nous voyons que ce disque occupe à peu près $78,5\%$ de la superficie du carré.

Attaquons-nous au même problème en dimension $3$. La plus grande boule inscrite dans un cube de côté $1$ a, à nouveau, un rayon égal à $1/2$. Son volume est donné par la formule
\[ \frac{4\pi R^3}{3} \]
et est donc égal à $ \pi/6$ car $R^3=1/8$. Ce coup-ci, la boule occupe donc
environ $52,3\%$ du volume du cube.

Que se passe-t-il en dimension plus grande ? Il y a une formule pour le volume de la boule (devrait-on dire « de l’hyperboule ») de rayon $R$. Pour les petites dimensions, cette formule générale donne les résultats suivant :

  • dimension $4$, volume $= (\pi^2/2) R^4$,
  • dimension $5$, volume $=(8\pi^2/15) R^5$,
  • dimension $6$, volume $= (\pi^3/6)R^6$,
  • dimension $7$, volume $=(16\pi^3/105)R^7$,
  • dimension $8$, volume $=(\pi^4/24) R^8$...

La boule maximale inscrite dans un cube de côté $1$ ayant un rayon $R$ égal à $1/2$, nous trouvons les volumes et taux d’occupation suivant :

  • dimension $4$, volume $=\pi^2/32$, soit $30,8 \%$ environ,
  • dimension $5$, volume $=\pi^2/60 $, soit $16,4 \%$ environ,
  • dimension $6$, volume $=\pi^3/384$, soit $8,0 \%$ environ,
  • dimension $7$, volume $=\pi^3/840$, soit $3,6 \%$ environ,
  • dimension $8$, volume $=\pi^4/6144$, soit $1,5 \%$ environ.

Ainsi, à partir de la dimension $4$, la boule occupe moins de la moitié du cube, et
en dimension $8$ elle n’occupe plus que $2\%$ de la place disponible !

Théorème (bien connu des mathématiciens)

La part qu’occupe la plus grande boule inscrite dans un cube de dimension $n$ décroît avec $n$. Elle devient arbitrairement petite à mesure que la dimension augmente. Ainsi, en grande dimension, l’immense majorité des points situés à l’intérieur d’un cube de côté $R$ sont à une distance plus grande que $R/2$ du centre.

Pour l’instant, nous n’avons pas démontré ce théorème ! Nous avons seulement pu observer le phénomène pour de petites dimensions. La démonstration la plus simple repose sur le fait suivant [2] :

le volume de la boule de rayon $R$ est égal au volume de la boule de même rayon et de dimension $n-2$, multiplié par $(2\pi R^2/n)$.

Puisque le rayon qui nous intéresse est égal à $1/2$, nous multiplions par $\pi/2n$. La dimension $n$ étant supérieure ou égale à $2$, le facteur $\pi/2n$ est inférieur à $1$, si bien que le volume décroît à mesure que la dimension augmente. Puisque $\pi/2n$ tend vers $0$ lorsque $n$ croît, nous voyons que la place occupée par la boule au sein du cube devient négligeable. Ainsi, la majeure partie des points du cube sont hors de la boule et sont donc à une distance du centre plus grande que $R=1/2$.

Le cube contient d’ailleurs des points qui sont très éloignés du centre. Les sommets
du carré sont à une distance $\sqrt{2}/2$ du centre, comme on le voit en appliquant le théorème de Pythagore. Les sommets du cube usuel, celui de dimension $3$, sont à distance $\sqrt{3}/2$ du centre, et ainsi de suite : les sommets du cube de dimension $n$ et de côté $1$ sont à distance $\sqrt{n}/2$ de son centre.

Deux remarques

$\bullet$ Nous venons de voir et d’utiliser que le volume d’une boule de rayon $1/2$ tend vers $0$ lorsque la dimension $n$ devient de plus en plus grande. Ceci est valable quelque soit le rayon $R$ ; en effet la formule de transfert pour les volumes des boules, à savoir
\[ {\text{Volume en dimension}} \; n=({\text{Volume en dimension}} \; n-2)\times \frac{2\pi R^2}{n}, \]
montre que les volumes commencent par croître lorsque la dimension est assez petite
pour que $2\pi R^2 /n>1$ puis décroissent dès que $2\pi R^2/n<1$, et ce phénomène de décroissance fini toujours par prendre le dessus si l’on fixe le rayon $R$ et laisse croître la dimension $n$. Les volumes tendent alors inexorablement vers $0$ à mesure que $n$ augmente.

Par exemple, le volume d’une boule de dimension $n$ et de rayon $1$ est une fonction croissante de la dimension lorsque celle-ci varie entre $1$ et $5$ ; elle devient ensuite décroissante et tend vers $0$ lorsque $n$ tend vers l’infini. [3]

$\bullet$ Puisque les sommets d’un cube de côté $1$ sont à distance $\sqrt{n}/2$ du centre,
la plus petite boule contenant le cube a un rayon égal à $\sqrt{n}/2$.
Ce rayon dépend maintenant de la dimension.
La formule de
transfert montre que le volume de cette boule est multiplié par $\pi/2$ lorsque la dimension augmente de $2$. Comme $\pi/2>1$, on multiplie donc le volume par une quantité plus grande que $1$, et ce volume va devenir arbitrairement grand avec la dimension.

Ces phénomènes de croissance et décroissance des volumes des boules peuvent être analysés avec précision. C’est un sujet mathématique classique, qui est au cœur de certains calculs de probabilité, de combinatoire, et d’informatique. Comme quoi géométrie, informatique et probabilité n’étudient parfois qu’une seule et même chose, offrant des points de vue complémentaires sur des phénomènes essentiels.

Sections (hyper)planes et problème de Busemann-Petty

Le problème de Busemann-Petty concerne les ensembles convexes.
La convexité est une notion que l’on rencontre fréquemment, y compris sur ce site (voir par exemple ici, , ou encore ) :

une partie $C$ du plan, ou de l’espace — ou de l’espace de dimension $n$ quelconque — est convexe si les segments à extrémités dans $C$ sont entièrement contenus dans $C$ ; il revient au même de dire qu’une partie $C$ est convexe si l’intersection de $C$ avec une droite $L$ est soit vide soit un segment, soit une demi-droite (mais n’est jamais formée de deux parties ou plus), ceci quelle que soit la droite $L$. Sur la figure ci-contre, la partie jaune à gauche est convexe, et la partie orange à droite ne l’est pas ; pour obtenir une partie convexe à partir de ce haricot orange on doit lui ajouter, au minimum, la petite zone jaune qui lui est accolée.

Choisissons un point du plan une fois pour toutes, que l’on appelle « origine ».
Donnons-nous maintenant une partie $C$ du plan qui est convexe et qui contient l’origine, et supposons que $C$ est symétrique (par rapport à la symétrie centrale centrée en l’origine). Si $H$ est une droite passant par l’origine, l’intersection $H\cap C$ de $H$ et de $C$ est un segment, dont on peut calculer la longueur ${\text{Longueur}}(H\cap C)$.

Par exemple, si $C$ est un carré de côté $1$, la symétrie signifie que l’origine est le centre du carré ; la longueur ${\text{Longueur}}(H\cap C)$ varie alors entre $1$ et $\sqrt{2}$ suivant la position de la droite : elle vaut $1$ quand $H$ est parallèle à un côté, et atteint son maximum lorsque $H$ est une diagonale. Lorsque $C$ est un disque, la longueur de $H\cap C$ est constante, égale au diamètre du disque.

La remarque de Busemann pour les figures planes est la suivante : étant donnés deux convexes plans $C$ et $D$, tous deux symétriques par rapport à l’origine, si
\[ {\text{Longueur}}(H\cap C)< {\text{Longueur}}(H\cap D) \]
quelle que soit la droite $H$ passant par l’origine, alors
\[ {\text{Aire}}(C)<{\text{Aire}}(D). \]

Passons maintenant en dimension $3$ et considérons pour cela deux parties convexes $C$ et $D$ de l’espace qui sont symétriques par rapport à l’origine. Si $H$ est un plan passant par l’origine, l’intersection $H\cap C$ est une partie convexe du plan $H$, dont on peut calculer l’aire. Si
\[ {\text{Aire}}(H\cap C)< {\text{Aire}}(H\cap D) \]
pour tout plan $H$ contenant l’origine, peut-on en déduire
\[ {\text{Volume}}(C)< {\text{Volume}}(D) \; \, ? \]
C’est le problème de Busemann-Petty en dimension $3$.

Le problème de Busemann-Petty en dimension $4$ considère des convexes de l’espace de dimension $4$ symétriques par rapport à l’origine, suppose que chaque volume
${\text{Volume}}(H\cap C)$ est inférieur à ${\text{Volume}}(H\cap D)$, et demande si l’hypervolume de $C$ est majoré par celui de $D$. On peut décliner ce problème en toute dimension $n$, et c’est ce qu’ont fait Busemann et Petty en 1956. [4]

Théorème (H. Busemann, R. Gardner, A. Koldbosky, E. Ludwak, G. Zhang)

Le problème de Busemann-Petty a une réponse positive en dimension $2$ et $3$, mais négative en dimension supérieure.

$ $

Autrement dit, il existe des convexes symétriques $C$ et $D$ de dimension $4$ pour lesquels
\[ {\text{Volume}}(H\cap C) < {\text{Volume}}(H\cap D) \]
pour tout hyperplan contenant l’origine et, simultanément,
\[ {\text{HyperVolume}}(C)> {\text{HyperVolume}}(D). \]
Et ce phénomène se produit en toute dimension $n\geq 4$.

Exemple en grande dimension : retour au cube et à la sphère

Keith Ball a remarqué que cubes et sphères suffisent pour obtenir des exemples
qui répondent de manière négative à la question de Busemann-Petty, du moins en
grande dimension :

Théorème (K. Ball [5])

En dimension $n\geq 10$, il existe un cube $C$ et une boule $B$ tels que
\[ {\text{Volume}}(H\cap C) < {\text{Volume}}(H\cap B) \]
pour tout hyperplan $H$ contenant l’origine et, simultanément,
\[ {\text{HyperVolume}}(C)> {\text{HyperVolume}}(B). \]
(un hyperplan est un sous-espace de dimension $n-1$)

Ce théorème, plus simple que le précédent, repose sur deux remarques. La première
concerne les sections hyperplanes des cubes [6] :

Le volume d’une section $H\cap C$ d’un cube de côté $1$ par un hyperplan est toujours majoré par $\sqrt{2}$ ; si l’hyperplan passe par le centre du cube, il est
minoré par $1$. Ces inégalités sont optimales et valent en toute dimension $n\geq 2$.

Ce résultat est facile à retenir : en dimension $2$, l’intersection d’un carré de côté $1$ et d’une droite passant par son centre est un segment dont la longueur varie entre $1$ (lorsque la droite est parallèle à un côté) et $\sqrt{2}$, lorsque la droite passe par deux sommets et trace une diagonale du carré. Le théorème affirme que cette variation est la même en toute dimension en remplaçant la longueur des segments par le volume des intersections avec des hyperplans.
La preuve n’est pas très difficile, mais assez technique.

La deuxième remarque concerne les boules de volume égal à $1$. Le rayon $R_n$ d’une boule de dimension $n$ et de volume $1$ dépend de $n$ ; nous l’avons vu ci-dessus, il tend vers l’infini avec $n$. La formule d’approximation de Stirling peut être couplée à celle fournissant le volume d’une boule pour montrer deux choses [7] :

  • Primo
    \[ R_n\simeq \sqrt{\frac{n}{2\pi e}} \]
    où $e$ est la base du logarithme népérien [8], qui vaut approximativement $2,71828$.
  • Secundo, lorsqu’on coupe une boule de dimension $n$ et de rayon $R_n$ avec un hyperplan, on obtient une boule de dimension $n-1$ et de rayon $R_n$ ; son volume vaut alors à peu près $\sqrt{e}$, l’approximation étant d’autant plus fine que $n$ est grand.

Nous pouvons maintenant combiner ces remarques en utilisant que $\sqrt{e}\simeq \sqrt{2,71828}$ est strictement plus grand que $\sqrt{2}$.
Nous voyons que pour un cube $C$ de dimension quelconque et de volume $1$ on a
\[ {\text{Volume}}(H\cap C)\leq \sqrt{2} \]
pour tout hyperplan passant par le centre du cube,
tandis que pour une boule B de grande dimension et de volume $1$ on a
\[ \sqrt{2}<\sqrt{e}\simeq {\text{Volume}}(H\cap B) \]
pour tout hyperplan passant par le centre de la boule. Ainsi,
\[ {\text{Volume}}(H\cap C) < {\text{Volume}}(H\cap B) \]
alors que $C$ et $B$ ont exactement le même volume. Une analyse plus fine
montre que ce phénomène apparaît dès $n=10$, et persiste pour toutes les dimensions suivantes.

Conclusion

C’est fini pour cette petite histoire géométrique en grande dimension. Les
nostalgiques du cube en dimension $3$ peuvent se consoler en visionnant les deux
petits films suivant : un tour de magie, et une construction en Lego.

Post-scriptum :

Un grand merci à Édouard Cidrolin, Aurélien Djament, Gérard Grandpierre et Olivier Reboux pour leur relecture attentive et critique, leurs conseils, et leurs idées. C’est agréable (et utile) d’avoir un tel soutien.

Article édité par Serge Cantat

Notes

[1Ceci définit $\pi$ comme l’aire d’un disque de rayon $1$.

[2qu’il faudrait bien sûr démontrer mais que nous allons admettre ici.

[3Les volumes sont les suivant

  • dimension $1$, $V_1=2$ ;
  • dimension $2$, $V_2=\pi \simeq 3, 14$ ;
  • dimension $3$, $V_3=\frac{4\pi}{3}\simeq 4,18$ ;
  • dimension $4$, $V_4= \frac{\pi^2}{2}\simeq 4,92$ ;
  • dimension $5$, $V_5=\frac{8\pi^2}{15}\simeq 5,26$ ;
  • dimension $6$, $V_6=\frac{\pi^3}{6}\simeq 5,16$ ;
  • dimension $7$, $V_7=\frac{16\pi^3}{105}\simeq 4,72$ ;
  • ...
  • dimension $10$, $V_{10} = \frac{\pi^5}{120}\simeq 2,55$.

[4Voir, Busemann et Petty, Problems on convex bodies, Math. Scand. (4), 1956, 88-94.

[5Voir : K. Ball, Some remarks on the geometry of convex sets, dans l’ouvrage « Geometric aspects of functional analysis » (1986/87), Lecture Notes in Math. 1317.

[6Voir l’article de Keith Ball intitulé « Cube slicing in $R^n$ », Proceedings of the Amer. Math. Soc. (97:3), p. 465-473, 1986.

[7Le volume de la boule de dimension $n$ et de rayon $R$ est égal à
\[ V_n(R)=\frac{\pi ^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}R^n \]
où la fonction $\Gamma$ généralise la fonction
\[ n!=1\times 2\times 3\times 4 \times \cdots \times n. \]
Ainsi, $\Gamma(m+1)=m!$, donc $V_{2k}(R)= \frac{\pi ^{k}}{k!}R^{2k}$ lorsque $n=2k$ est pair ; lorsque $n=2k+1$ est impair, on obtient
\[ V_{2k+1}(R)=\frac{2(4\pi)^k (k)!}{(2k+1)!}R^{2k+1}. \] La « formule de Stirling » stipule que la fonction $\Gamma$ peut être approximée de la façon suivante :
\[ \Gamma(m)\simeq \sqrt{\frac{2\pi}{ m}}\left(\frac{m}{e}\right)^m. \]

[8Parfois appelée « constante d’Euler », mais à ne pas confondre avec la constante $\gamma$ d’Euler-Mascheroni.

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Pour citer cet article :

Serge Cantat — «La boule et le cube, en grande dimension» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - Logo et graphes des cubes sont tirés du site Wikipedia (hypercube).

Commentaire sur l'article

  • La boule et le cube, en grande dimension

    le 4 novembre 2014 à 08:22, par ROUX

    Le volume d’un cube qu’on lit « R cube », écrivez-vous.

    Et mon papa lisait le volume de la sphère en 3D ainsi :

    Quatre tiers

    De pi R trois

    Qu’elle soit en fer

    Qu’elle soit en bois

    Répondre à ce message
    • La boule et le cube, en grande dimension

      le 15 novembre 2014 à 01:50, par Serge Cantat

      Merci, je ne connaissais pas cette petite ritournelle.
      Joli.

      Serge

      Répondre à ce message
  • La boule et le cube, en grande dimension

    le 4 novembre 2014 à 10:06, par Bruno Duchesne

    Merci de partager ce joli problème !

    Je comprends bien pourquoi la réponse est positive en dimension 2 puisque l’on a inclusion d’un convexe dans l’autre. Par contre je ne vois pas ce qui fait la différence entre la dimension 3 et les dimensions supérieures. Y a-t-il un argument ou une heuristique simple ?

    L’article original de Busemann et Petty ne dit rien à ce sujet.

    Répondre à ce message
    • La boule et le cube, en grande dimension

      le 15 novembre 2014 à 01:53, par Serge Cantat

      Salut Bruno,

      non, je n’ai pas de bonne raison, c’est malheureusement un sujet que je
      ne comprends pas si bien que cela ! Je te recontacte si je progresse.

      Serge

      Répondre à ce message

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