Les lecteurs d’Images des mathématiques ont déjà vu les portraits-charges de Legendre et Fourier dans le « portrait » du mois dernier. Nous avons parlé de Legendre et de son « faux » portrait. Ce mois-ci, nous nous intéressons à l’ensemble de la caricature de Boilly [1] (qui appartient à la Bibliothèque de l’Institut de France [2]).

Pourquoi Legendre et Fourier sur la même planche [3] ? J’indiquerai mon hypothèse. Mais d’abord, maintenant que nous savons qui était Legendre...

Qui était Fourier ?
Son nom est familier aux mathématiciens et aux physiciens : séries de Fourier, équation de Fourier, transformation de Fourier sont des notions classiques et fréquemment utilisées dans la littérature scientifique contemporaine. Mais son œuvre dans son ensemble, et sa vie, sont mal connues.

Joseph Fourier (1768-1830)

Joseph Fourier n’a pas eu une reconnaissance académique aussi rapide que Legendre. Il fut élu à l’Académie des sciences en 1816, mais la nomination fut refusée par le roi. Nous verrons que son itinéraire politique précédent n’en faisait pas un favori de la Restauration [4]. Réélu comme Membre de la section de physique générale en 1817, il fut alors agréé par le roi, et devint secrétaire perpétuel en 1822. Son œuvre principale, la « Théorie analytique de la chaleur », fut éditée par ses soins à cette époque. L’Académie [5] en avait accepté le contenu en 1811 en lui décernant le prix du concours lancé sur le sujet, mais avec des réserves et sans le publier. La première version, qui datait de 1807, avait attiré l’attention, et aussi soulevé une opposition du plus respecté des mathématiciens français de l’époque, Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) : Fourier y introduisait une méthode, l’usage des séries trigonométriques [6], dont Lagrange « savait » qu’elle devait échouer. Malgré les lettres de Fourier, l’opposition de Lagrange s’était maintenue en 1811. Bernhard Riemann (1826-1866) évoque cet épisode dans la partie historique de sa thèse sur les séries trigonométriques, où il rend pleinement justice à Fourier, et parle d’un document attestant l’opposition de Lagrange, archivé par l’Académie des sciences, voir ci-dessous.

L’œuvre de Fourier mérite attention en dehors de la théorie de la propagation de la chaleur et de l’introduction des séries et intégrales de Fourier, c’est-à-dire de la transformation de Fourier [7]. Au cours des années 1820 il en a tiré quelques conséquences qui font de lui, aujourd’hui, le précurseur de la découverte de l’effet de serre à la surface de la Terre [8]. Dans le même temps il poursuivait une étude qui l’avait passionné toute sa vie, celle de la résolution pratique des équations numériques, et il l’étendait aux systèmes d’inéquations, en anticipant ce qui allait devenir l’analyse convexe.

Comme Legendre, il mérite de laisser un nom dans l’histoire de la statistique : après avoir dirigé le bureau de statistiques du département de la Seine, son gagne-pain après 1815, il inaugura ses fonctions à l’Académie en présentant en 1817 le rapport à l’appui du prix Montyon de statistique, avec des considérants qui restent actuels [9].

Le baron Fourier

Joseph Fourier

En remontant le temps de sa vie, on voit le baron Fourier (baron d’Empire) comme un personnage aux talents multiples. Préfet de l’Isère (1801-1815), rédacteur de la Description de l’Égypte (1809), secrétaire « perpétuel » de l’Institut d’Égypte créé par Bonaparte (1800), professeur à l’École polytechnique (1798), élève à l’École normale de l’An III (1794), membre de comités révolutionnaires (1793), novice pour entrer dans les ordres (1789), élève au collège militaire d’Auxerre (1782) et déjà à cette époque auteur de premiers travaux sur les équations algébriques [10].

Fourier a vécu à l’époque des trois L : Lagrange, le créateur de la Mécanique analytique, Laplace (1749-1827) et la Mécanique céleste, Legendre et la Théorie des nombres. Il a eu des relations intéressantes avec les trois : Lagrange hostile à ses idées sur les séries trigonométriques, Laplace découvrant le rôle de l’équation de la chaleur dans les probabilités, et Legendre apportant un soutien sollicité ou spontané, en deux occasions au moins.

La première occasion, relatée par Arago, date de ses premiers travaux. Sortant de l’École militaire d’Auxerre, Fourier demanda à entrer dans l’artillerie, l’arme la plus scientifique. Il sollicita le soutien de Legendre, qui occupait un poste au ministère de la guerre et qui connaissait les premiers résultats de Fourier sur la localisation des racines d’une équation algébrique. C’était en 1787, à la veille de la Révolution. Legendre intervint mais ce fut un échec : selon Arago, il obtint comme réponse du ministre que « Fourier, n’étant pas noble, ne pourrait entrer dans l’Artillerie, quand même il serait un second Newton. » [11]

La seconde occasion date de 1815, pendant et à la suite des Cent Jours du retour de Napoléon. Fourier n’était plus préfet de l’Isère et cherchait à s’installer à Paris. Lagrange était mort depuis deux ans.

La première Classe de l’Institut se réunissait chaque semaine. Lazare Carnot, Membre de l’Institut et ministre de l’Intérieur, avait acquis pour l’empereur l’ensemble des manuscrits laissés par Lagrange, et les avait remis à la première Classe avec pour consigne de nommer une commission pour les classer et les éditer. La commission fut composée de Legendre (qui signait Le Gendre), Lacroix, De Prony et Poisson. Le travail fut mené rondement et aboutit rapidement au classement des manuscrits.

On trouve maintenant la collection de ces manuscrits à la Bibliothèque de l’Institut. Chaque liasse porte, au dos de la dernière feuille, le titre donné par la commission, et la signature de ses membres. Avec l’aide de Mmes Greffe et Pastoureau [12] et de leurs collaboratrices j’ai retrouvé le document signalé par Riemann, sous le titre « Papier relatif au mémoire de Fourier, deux feuilles ». La première feuille est un commentaire négatif sur une formule écrite par Fourier : en la manipulant convenablement, Lagrange parvient à une contradiction. La seconde feuille a l’aspect d’un brouillon et n’est pas de la main de Lagrange : elle est de la main de Fourier, et c’est une réfutation en règle de l’argumentation de Lagrange.

Comment cette feuille s’est trouvée là ? Mystère. Comment la commission a-t-elle osé joindre les deux feuilles, et valider sa décision en signant au dos celle écrite par Fourier ? L’hypothèse raisonnable est que la décision a été prise par Legendre, qui était le doyen de la commission et qui estimait Fourier, au point de lui donner raison contre Lagrange.

Legendre, Jacobi, Fourier

La caricature de Boilly ne peut pas se référer à cet épisode, qui est resté secret sous la simple réserve de l’existence d’un document montrant l’opposition de Lagrange à Fourier. Mais elle conforte l’idée que Legendre estimait et protégeait Fourier.

La correspondance entre Legendre et Jacobi a été citée dans le portrait de Legendre. Au delà des échanges scientifiques, elle se rapporte aux évènements actuels et révèle des personnalités attachantes. Ainsi, juste après la mort de Fourier, Jacobi rappelle que ce dernier avait regretté qu’Abel et lui se fussent désintéressés du mouvement de la chaleur. Il écrit :

Il est vrai que M. Fourier avait l’opinion que le but principal des mathématiques était l’utilité publique et l’explication des phénomènes naturels ; mais un philosophe comme lui aurait dû savoir que le but unique de la science, c’est l’honneur de l’esprit humain, et que, sous ce titre, une question de nombres vaut autant qu’une question du système du monde.

Ainsi Jacobi écrivait-il à Legendre, parlant de Fourier. Il n’est pas interdit de penser à un clin d’œil que Jacobi faisait à Legendre quand il parle d’une question de nombres [13]. En associant ainsi Legendre et Fourier, dans une formule qui est restée fameuse [14], Jacobi donne un nouvel éclairage au document exceptionnel qu’est leur double portrait-charge par Boilly.