On appelle catoptrice (du Grec $\kappa \alpha \tau o\pi \tau \rho o \nu $ - miroir) [1] une courbe C qui jouit de la propriété qu’il existe un point F intérieur à C tel que si un rayon de lumière passant par ce point est réfléchi en M puis en N sur cette courbe alors ce rayon passe de nouveau par F.

Le problème de la détermination des catoptrices, posé par Euler en 1745 dans Nova Acta Eruditorum, est peut-être le plus intéressant parmi une collection de problèmes étudiés surtout par Euler et probablement nommés par lui « Problèmes réciproques » [2].
Les ellipses, vu leur propriété optique [3], sont des catoptrices (relativement à un foyer) (fig.1), mais Euler voulait connaitre toutes les autres. Il ne laisse pas beaucoup de temps à ses collègues pour travailler sur ce problème puisque l’année suivante et dans le même journal, il présente sa « Solution au problème de la catoptrice ». Sa première méthode appliquée conduit à des équations différentielles pour les courbes solutions. La résolution de ces équations n’arrive que deux ans plus tard. L’autre méthode utilise la notion de lieu géométrique : une catoptrice est définie comme le « lieu » déterminé par le mouvement d’un point sur une autre courbe initiale appelée « courbe source », notion utilisée également dans les autres problèmes réciproques déjà étudiés comme celui des « trajectoires réciproques » [4].

De nos jours presque personne ne connaît la catoptrice, mais presque tout mathématicien a entendu parler des « Courbes de Reuleaux » [5], « Courbes à diamètre (ou largeur) constant (e) » ou « Orbiformes » [6] (Euler) dont l’étude rigoureuse semble avoir été faite par ce grand mathématicien dans « Sur les courbes triangulaires » publié en 1778.

L’intérêt porté par Euler aux Orbiformes consiste en ce que ceux-ci permettent bien une construction facile des catoptrices, c’est-à-dire qu’ils constituent les courbes sources pour ces dernières, comme nous allons le voir tout de suite.

Soient C une courbe de diamètre constant (orbiforme) et F un point intérieur à cette courbe. Soient P un point de C, d la normale en P et Q le deuxième point commun à C et d. La droite d est aussi la normale à C en Q et le segment [PQ] a une longueur constante. Soit M (resp. N) le point de rencontre de la médiatrice de [FP] (resp. [FQ]) avec [PQ].

L’ensemble décrit par M lorsque P décrit C est une catoptrice, où le segment [FM] est réfléchi sur [MN] qui à son tour est renvoyé vers F. (fig.2)
Si C est un cercle, la catoptrice est l’ellipse de foyers F et le centre du cercle.

Référence

The Geometry of Leonhard Euler by Homer White in Leonhard Euler : Life, Work and Legacy, Robert E. Bradley and C. Edward Sandifer (Editors). Elsevier 2007. p. 308-311.