La clé du mystère de la lettre H ?

Piste bleue 8 mars 2014  - Ecrit par  Jérôme Pérez Voir les commentaires (3)

En physique théorique, en mécanique quantique, en optimisation, et dans bien d’autres domaines la lettre $H$ est traditionnellement rattachée à $H\!$amilton à travers le terme hamiltonien. Lorsque l’on fait l’exégèse de cette notation on constate pourtant que la notation lui est antérieure et a été introduite par Lagrange dans un contexte où $H\!$uygens semble être mis en avant...

Un manuscrit redécouvert récemment dans l’un des ouvrages de la seconde édition de la mécanique analytique, publié par Lagrange en 1815 alors qu’Hamilton n’avait pas 10 ans, pourrait bien être la clé de ce mystère.

Menons l’enquête !

En 1669, alors que le jeune Isaac Newton imagine le principe fondamental de la mécanique et ses applications qu’il ne publiera qu’en 1687, Christian Huygens (voir IdM), alors âgé de 40 ans, parvient à déterminer les lois correctes du choc élastique. A cette occasion, ce dernier met en évidence la conservation des sommes des quantités $mv^2$ qu’il nomme forces vives.

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Christian Huygens

Un siècle plus tard, Joseph-Louis Lagrange étendra cette loi de conservation aux systèmes soumis à des forces que l’on nomme conservatives. La quantité conservée est alors l’énergie mécanique ; la force vive, devenue énergie cinétique $T = \frac{1}{2} mv^2$ se voit ajoutée à l’énergie potentielle $U$ de laquelle dérive la force.

Après une lente mise au point dans la première moitié du XVIIIe siècle, avec notamment les travaux de Maupertuis et de d’Alembert, c’est Lagrange qui présentera la version moderne de cette quantité dans sa Mécanique analytique de 1788. Ce dernier montre que lorsque les forces subies par un système dérivent en totalité d’une énergie potentielle, la quantité $L=T-U$ permet d’écrire les équations du mouvement sous une forme compacte, simple d’utilisation mais surtout sans avoir recours à la géométrie.

La fonction L a donné lieu à un concept fondamental de physique théorique : le Lagrangien.

On voit dans l’extrait ci-dessous combien Lagrange avait conscience du fait que Huygens était l’initiateur de l’approche des problèmes de la mécanique par l’étude de la conservation des grandeurs physiques.

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Mécanique Analytique - J.-L. Lagrange - Première édition - 1788 (Page 171)

Cet extrait est issu de l’introduction historique et bibliographique de la Mécanique analytique de Lagrange. Le principe de Huygens, qui y est cité plus d’une dizaine de fois, est présenté comme fondateur des principes du mouvement.

Dans la seconde édition de sa mécanique analytique, revue, augmentée et publiée en 1811, Lagrange introduit la notation $H$ pour désigner la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle, $H=T+U$, en lien avec le principe de conservation des forces vives de Huygens.

La lecture de la page 290 de l’ouvrage est explicite à ce sujet :

la grandeur notée $\Pi$ est le potentiel $(-U/m)$, dont Lagrange a besoin qu’il soit tel que sa différentielle soit reliée à la force par l’expression $d\Pi= Pdp+Qdq+Rdr$ où $(p,q,r)$ sont les coordonnées généralisées - $ (x,y,z)$ en coordonnées cartésiennes – et $(P,Q,R)$ désignent les composantes de la force dans ce système de coordonnées et par unité de masse. C’est cette idée qui deviendra en analyse vectorielle $F = -grad(U)$.

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Lagrange, Mécanique analytique, p. 290

Dans de nombreux passages du livre, notamment celui du manuscrit qui correspond à la page 5 du tome 2, la notation est encore même plus explicite : le terme $mΠ$ est remplacé par la notation $V$ (ou $U$) et l’énergie cinétique est notée $T$.

Une page du manuscrit de la mécanique analytique a été retrouvée dans un exemplaire de la seconde édition de la Mécanique analytique conservé à la bibliothèque de l’ENSTA (héritière de l’École du génie maritime fondée en 1741).

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Photo de la note manuscrite (de la main de Binet) sur la page de garde de l’exemplaire de la Mécanique Analytique (tome 2 de la seconde édition) conservé à l’ENSTA et contenant le manuscrit.

Cette page manuscrite de la main de Lagrange est incluse dans la reliure du livre qui appartenait à Jacques Binet (celui des référentiels...), alors inspecteur des études à l’École polytechnique, et qui a été offert par ce dernier à l’École du génie maritime. Ce don a vraisemblablement été effectué par Binet vers 1816 au moment où l’École du génie maritime est devenue officiellement école d’application de l’École polytechnique et que Binet venait
d’être nommé inspecteur des études par Louis XVIII.

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Manuscrit retrouvé dans la deuxième édition de la Mécanique analytique de Lagrange et auquel il est fait allusion sur la page de garde. Ce manuscrit est inclus dans la reliure.

Le fait que l’expression $H=T+V$ « renferme » la conservation des forces vives est systématiquement mentionné par Lagrange ; le principe de conservation de Huygens apparaît en effet lorsque le système n’est soumis à aucune force (choc libre et élastique) : l’énergie potentielle U est alors constante (nulle si l’on choisit bien la référence). Lagrange avait-il choisi la désignation par la lettre $H$ en l’honneur de Huygens ? Si tel était le cas, il se trouve malencontreusement que l’histoire en ait plus tard, voulu autrement…

Dans ses essais sur les « méthodes générales en dynamique », publiés de 1834 à 1835 dans les « Philosophical Transactions of the Royal Society », Hamilton rend un hommage appuyé aux travaux de son illustre prédécesseur Lagrange. Il reprend d’ailleurs toutes ses notations, $T$ pour l’énergie cinétique, $U$ pour l’énergie potentielle et la fameuse lettre $H$ somme des deux. L’apport de Hamilton est indéniable et se concentre sur ce que l’on appelle en physique théorique la théorie de Hamilton-Jacobi et la méthode des caractéristiques. Il n’en demeure pas moins que ce que l’on appelle « équations de Hamilton » est déjà présent chez Lagrange dans sa mécanique analytique au travers de ses équations planétaires. Et que dire de cette lettre $H$, que tous les physiciens appellent Hamiltonien alors que…

Il est vrai que Huygensien aurait été moins facile à prononcer !

Pour encore plus de détails sur ce sujet, on pourra consulter le texte fondateur de Patrick Iglésias [1] rapportant une suggestion de notre regretté Jean-Marie Souriau Idm.

Post-scriptum :

L’auteur et la rédaction d’Images des Mathématiques remercient tous les relecteurs pour leurs suggestions.

Article édité par Frédéric Brechenmacher

Notes

[1On pourra consulter également « Histoire d’H », in « Symmétries et Moments » (Annexe B) , Collection « Enseignement des Sciences », Hermann Editeur, Paris, 2000.

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Pour citer cet article :

Jérôme Pérez — «La clé du mystère de la lettre H ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - Panneau extrait de l’exposition « Lagrange » / (C) Jérôme Pérez pour l’Institut Henri Poincaré
img_11364 - (C) Bibliothèque de l’ENSTA
img_11365 - Institut Henri Poincaré / Jérôme Pérez
img_11636 - (C) Bibliothèque de l’ENSTA

Commentaire sur l'article

  • La clé du mystère de la lettre H ?

    le 14 mars 2014 à 08:05, par Gijs Tuynman

    Je ne vois pas en quoi la trouvaille de la page manuscrite de Lagrange change l’analyse convaincante d’Iglesias, sauf que cela confirme que c’est Lagrange lui-même qui a introduit la lettre H et pas un des éditeurs de l’édition posthume. Car de toute façon cette édition est antérieure à tout travail de Hamilton en mécanique.

    D’autre part, l’utilisation de la lettre H pour une quantité n’est pas en soi significative pour la simple raison que Lagrange n’utilise pas d’indices. Là où actuellement on écrit A_1, A_2, A_3 ... (y compris les petits points !), Lagrange écrivait A,B,C, ... , E, F, G, ... ou P,Q,R, ... Il se pourrait donc que l’introduction de la lettre H soit un pur hasard de circonstances.

    Que ce n’est pas un tel hasard qui a conduit à l’introduction de la lettre H, mais bien le souhait d’honorer Huygens, se voit dans la comparaison de la première édition avec la deuxième édition du livre ``Mécanique Analytique’’. Je n’ai accès qu’à la première édition dans la réédition par Gabay et à la quatrième édition dans la réédition par Blanchard, mais je ne crois pas que la comparaison avec la deuxième édition change quelque chose. La formule H=T+V apparaît plusieurs fois dans la quatrième édition et jamais dans la première édition, simplement parce que la théorie correspondante est rajoutée dans la quatrième édition. Par contre, dans la première édition on trouve, page 207, une formule qui intègre la somme de l’énergie cinétique avec un potentiel à une constante F et cette même formule s’intègre à une constante H dans la quatrième édition, page 268. TOUS LES AUTRES SYMBOLES dans les environs de cette formule sont inchangées (les PQR des forces, les symboles d’autres quantités). Il n’y a donc aucune raison particulière style ``manque de symboles’’ qui justifie ce changement. Dans les deux éditions Lagrange dit que cette formule renferme le principe de conservation des forces vives. Et il est clair que dans l’esprit de Lagrange, le principe de conservation des forces vives est équivalent au principe de Huygens. Le changement de la lettre F en H est donc délibéré et ne peut être fait que pour honorer Huygens.

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    • La clé du mystère de la lettre H ?

      le 18 mars 2014 à 09:19, par Jérôme Pérez

      Bonjour,
      je suis d’accord avec vous sur le principe, dans cet article je voulais simplement porter à la connaissance du plus grand nombre ce point d’« H »istoire au moment du bicentenaire de la disparition de Lagrange et de la seconde édition de la mécanique analytique.

      En outre et comme vous le faites remarquer, le manuscrit prouve bel et bien que le H est pour Huygens dans l’esprit et dans la main de Lagrange car ce deuxième tome si important dans cette affaire a quasiment entièrement été écrit par Binet sur la base de manuscrits.

      Je pense finalement, mais c’est simplement mon avis, que le choix de cette page manuscrite (certainement par Binet) avec la mention H=T+V pour insertion dans la reliure n’est pas anodin...

      Dans tous les cas, merci pour votre remarque qui prouve si besoin était qu’il reste des connaisseurs !

      Cordialement,
      Jérôme Perez

      PS - Le fameux livre sera présenté en vedette parmi de très nombreux autres documents lors de la grande exposition « Lagrange, du mathématicien génial à l’enseignant fondateur » qui se tiendra sur plusieurs centaines de mètres carrés dans le grand hall de l’Ensta à Palaiseau(91) du 10 avril au 11 juillet 2014.

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  • La clé du mystère de la lettre H ?

    le 1er juin 2014 à 20:47, par Christine Huyghe

    L’auteur de cet intéressant article a fait un exposé passionnant à propos de Lagrange devant un public de lycéens captivés, lors de la réunion annuelle du TFJM. Tout cela pour dire que l’exposition dans le grand hall de l’ENSTA vaut vraiment la peine (tout comme ce texte).

    Répondre à ce message

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