La comptine des neuf divisions

Quand les nombres sont des programmes

Piste bleue 26 septembre 2015  - Ecrit par  Baptiste Mélès Voir les commentaires

Les calculateurs chinois ont fait usage d’une « table de division » qui, tirée de son contexte, peut sembler mystérieuse. Mais tout s’éclaire aussitôt qu’on la lit comme une liste d’instructions pour le boulier.

Jusqu’au XIXe siècle et au moins depuis le XIIIe, les calculateurs chinois ont fait usage d’une « table de division » qui, tirée de son contexte, peut nous sembler mystérieuse. Cette méthode est très différente de celle qui domine aujourd’hui dans nos sociétés : elle ne s’appuie pas sur un usage inverse de la table de multiplication mais sur un ensemble d’instructions pour la manipulation du boulier. Comme nous le montrera cet exemple, l’enseignement du savoir mathématique s’inscrit dans un contexte à la fois social et matériel.

L’usage inverse des tables d’addition et de soustraction

Les tables arithmétiques sont généralement un mauvais souvenir de l’école primaire. Si la majorité d’entre nous se rappelle plutôt bien la table d’addition (d’ailleurs plus souvent apprise en classe de CP sous forme de liste que présentée en un tableau), nos tables de multiplication contiennent parfois quelques trous.

Le mathématicien Léonard de Pise, dit Fibonacci, insère dans son Liber Abaci (1202) les tables d’addition et de multiplication, mais pas celles de soustraction et de division.

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Tables d’addition et de multiplication dans le « Liber Abaci » de Fibonacci (1202).

La table de soustraction peut être représentée de la façon suivante, analogue à la liste des « compléments à 10 » actuellement enseignée en France en classe de CE1 :

Table de soustraction
$-$ 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6
4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5
5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3
7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2
8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Pourquoi les tables de soustraction et de division seraient-elles moins indispensables que les deux premières ? Parce que les méthodes de calcul sur papier que nous avons apprises à l’école nous permettaient de nous en passer. Il nous suffit en effet de recourir à un usage inverse des tables d’addition et de multiplication.

Par exemple, grâce à la table d’addition, nous savons par cœur que $4+7=11$. Si nous devons calculer $11-7$, il suffit de chercher quel est le nombre qui, ajouté à $7$, donne $11$ ; le résultat vient instantanément. C’est ce que nous appelons l’usage inverse de la table d’addition : au lieu de chercher dans quelle cellule se rejoignent la ligne du $4$ et la colonne du $7$, nous avons recherché quelle était la ligne coupant la colonne du $7$ en une cellule contenant le nombre $11$.

C’est la même méthode qui nous a épargné l’apprentissage d’une table de division. Par exemple, grâce à la table de multiplication, nous savons que $6 \times 8 = 48$. Ainsi, si nous voulons calculer $48 \div 8$, il suffit de chercher quel est le nombre qui, multiplié par $8$, donne $48$. En récitant notre table de multiplication par $8$, nous trouvons le résultat.

Parfois, la division ne tombe pas juste. Si nous devons calculer $15 \div 2$, il faut effectuer la division euclidienne, c’est-à-dire chercher le plus grand nombre qui, multiplié par $2$, donne un résultat inférieur ou égal à $15$, le reste devant être strictement inférieur à $2$. Voici comment on pourrait représenter la table de division euclidienne :

Table de division euclidienne
$\div$ 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 0 reste 1 0 reste 1 0 reste 1 0 reste 1 0 reste 1 0 reste 1 0 reste 1 0 reste 1
2 2 1 0 reste 2 0 reste 2 0 reste 2 0 reste 2 0 reste 2 0 reste 2 0 reste 2
3 3 1 reste 1 1 0 reste 3 0 reste 3 0 reste 3 0 reste 3 0 reste 3 0 reste 3
4 4 2 1 reste 1 1 0 reste 4 0 reste 4 0 reste 4 0 reste 4 0 reste 4
5 5 2 reste 1 1 reste 2 1 reste 1 1 0 reste 5 0 reste 5 0 reste 5 0 reste 5
6 6 3 2 1 reste 2 1 reste 1 1 0 reste 6 0 reste 6 0 reste 6
7 7 3 reste 1 2 reste 1 1 reste 3 1 reste 2 1 reste 1 1 0 reste 7 0 reste 7
8 8 4 2 reste 2 2 1 reste 3 1 reste 2 1 reste 1 1 0 reste 8
9 9 4 reste 1 3 2 reste 1 1 reste 4 1 reste 3 1 reste 2 1 reste 1 1

Pourquoi pratiquons-nous ainsi l’usage inverse des tables d’addition et de multiplication ? Sans doute parce que les valeurs pédagogiques dominantes dans nos sociétés ne reposent plus essentiellement sur l’apprentissage par cœur. Au lieu de faire apprendre aux élèves de nouvelles tables, potentiellement redondantes avec celles qu’ils connaissent déjà, on préfère aujourd’hui leur enseigner un nouvel usage du savoir qu’ils possèdent. Dans cette pédagogie, on considère qu’il vaut mieux apprendre moins de choses mais les utiliser mieux.

D’autres conceptions pédagogiques ont pu donner d’autres résultats. Sous la dynastie chinoise Ming (1368-1644), les différentes formes d’éducation reposaient massivement sur l’apprentissage par cœur. Les futurs mandarins devaient connaître sur le bout des doigts les grands classiques confucéens. Quant aux futurs commerçants, qui devaient apprendre à calculer, ils apprenaient les « tables » sous forme de comptines, parfois accompagnées du nom de la mélodie connue sur l’air de laquelle on devait les chanter [1].

L’une de ces comptines est une sorte de « table de division » que l’on apprenait indépendamment de la table de multiplication et qui en est très différente. C’est cette table que nous allons observer ici.

La table de division de Cheng Dawei

Le mathématicien chinois Cheng Dawei (1533-1606) est l’auteur d’un Traité systématique de méthodes mathématiques (Suanfa Tongzong, 1592), qui fut l’ouvrage mathématique le plus diffusé sous la dynastie Ming [2].

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La « Comptine des neuf divisions » dans le « Suanfa Tongzong » (1592) de Cheng Dawei.

Dans le chapitre I, Cheng Dawei propose une version de la « Comptine des neuf divisions », qui, comme l’a observé l’historien Chen Yifu, auteur d’un remarquable travail sur le boulier, date au moins du XIIIe siècle [3].

Division par 1 :

  • Pas besoin de diviser. (1 étant le nombre élémentaire, la division n’est pas nécessaire). La méthode n’est pas définie.

Division par 2 :

  • 2, 1, augmente-le pour obtenir 5.
  • Si tu rencontres 2, avance 10.

Division par 3 :

  • 3, 1, 31.
  • 3, 2, 62.
  • Si tu rencontres 3, avance 10.

Division par 4 :

  • 4, 1, 22.
  • 4, 2, augmente-le pour obtenir 5.
  • 4, 3, 72.
  • Si tu rencontres 4, avance 10.

Division par 5 :

  • 5, 1, double-le pour obtenir 2.
  • 5, 2, double-le pour obtenir 4.
  • 5, 3, double-le pour obtenir 6.
  • 5, 4, double-le pour obtenir 8.
  • Si tu rencontres 5, avance 10.

Division par 6 :

  • 6, 1, ajoute 4 en dessous.
  • 6, 2, 32.
  • 6, 3, augmente-le pour obtenir 5.
  • 6, 4, 64.
  • 6, 5, 82.
  • Si tu rencontres 6, avance 10.

Division par 7 :

  • 7, 1, ajoute 3 en dessous.
  • 7, 2, ajoute 6 en dessous.
  • 7, 3, 42.
  • 7, 4, 55.
  • 7, 5, 71.
  • 7, 6, 84.
  • Si tu rencontres 7, avance 10.

Division par 8 :

  • 8, 1, ajoute 2 en dessous.
  • 8, 2, ajoute 4 en dessous.
  • 8, 3, ajoute 6 en dessous.
  • 8, 4, augmente-le pour obtenir 5.
  • 8, 5, 62.
  • 8, 6, 74.
  • 8, 7, 86.
  • Si tu rencontres 8, avance 10.

Division par 9 :

  • Pour diviser par 9, suis la tige actuelle en dessous.
  • Si tu rencontres 9, avance 10.

Si vous avez compris ce texte, vous méritez une médaille !

À la première lecture, et d’ailleurs à toutes les suivantes aussi, la comptine semble bien mystérieuse. Comment cette « table » peut-elle nous aider à effectuer des divisions ? Quelle régularité mathématique peut-on trouver dans des énoncés comme « 3, 1, 31 », « 3, 2, 62 », « 4, 1, 22 », « 7, 5, 71 », etc. ? Et que signifient toutes ces instructions : « augmenter », « avancer », « doubler », « ajouter en dessous » ?

Si vous ne trouvez pas, peut-être l’expression « suivre la tige actuelle en dessous » vous donnera-t-elle un indice ?

Le boulier chinois

La réponse à toutes ces questions se trouve en effet dans l’usage du boulier chinois traditionnel [4]. Sous sa forme la plus courante, celui-ci est composé d’un certain nombre de tiges (souvent entre une dizaine et une vingtaine) coupées aux deux tiers de leur longueur par une barre horizontale. Chaque tige comporte deux boules au-dessus de la barre et cinq boules en dessous.

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Disposition du boulier selon Cheng Dawei

Si vous n’avez pas de boulier chinois sous la main, vous pourrez facilement en trouver un à manipuler depuis votre navigateur, par exemple à l’adresse http://cii.sesamath.net/lille/exos_boulier/boulier.swf.

Au repos, toutes les boules sont repoussées aux extrémités des tiges. Chaque tige représentera, de gauche à droite, les chiffres qui composent les nombres en notation décimale. Par exemple, si l’on veut noter le nombre 123456789, on représentera le nombre 9 sur la tige la plus à droite, 8 sur celle d’avant, 7 sur l’antépénultième, etc.

Pour représenter chaque chiffre, on active les boules en les poussant vers la barre transversale. Les cinq boules du bas sont des boules « unaires » : chacune vaut 1. Les deux boules du haut sont des boules « quinaires » : chacune vaut 5. Ainsi, pour représenter le chiffre 3, il suffit de pousser trois boules du bas vers la barre transversale. Pour représenter le chiffre 7, il suffit de réunir une boule du haut et deux boules du bas autour de la barre transversale.

Voici, par exemple, la représentation habituelle du nombre 123456789 :

Division par 2

Commençons par un exercice : diviser 1234 par 2. Notons le dividende, 1234, sur le boulier.

Pour mémoire, les instructions pour la division par 2 sont les suivantes :

Division par 2 :

  • 2, 1, augmente-le pour obtenir 5.
  • Si tu rencontres 2, avance 10.

Regardons le premier chiffre du dividende, le 1 de 1234, puis lisons dans la section « Division par 2 » la ligne concernée : « 2, 1, augmente-le pour obtenir 5 ». Sous une forme ramassée, cette instruction signifie : « Si tu dois diviser par 2 le nombre 1, augmente-le pour obtenir 5 ». Nous remplaçons donc le 1 de 1234 par un 5 et nous obtenons le nombre provisoire 5234. Ce nombre est un mélange entre le dividende initial et le résultat final.

Passons au chiffre suivant : le 2 de 5234. Nous lisons dans la comptine : « Si tu rencontres 2, avance 10 ». Pour ajouter 10 à la tige actuelle, il suffit d’ajouter 1 à la tige qui se trouve immédiatement à sa gauche, et qui contient actuellement le 5 de 5234. N’oublions pas de retirer au passage les 2 unités que nous avons « rencontrées » sur la tige actuelle, c’est-à-dire la tige sur laquelle nous sommes en train de travailler et qui portait le nombre 2. Le 5 devient 6 et le 2 devient 0 : nous obtenons le nombre 6034.

Le chiffre suivant est le 3 de 6034. Nous suivons encore l’instruction : « Si tu rencontres 2, avance 10 ». Ajoutons 1 à la tige se trouvant immédiatement à gauche, qui portait le 0 de 6034 ; retirons 2 de la tige actuelle, qui portait la valeur 3. Nous obtenons ainsi le résultat 6114.

N’oublions pas de réserver un sort au 1 qui reste sur la tige présente, le second 1 de 6114, car il n’a pas encore été traité ! Il faut ici encore appliquer l’instruction « 2, 1, augmente-le pour obtenir 5 ». On remplace donc le second 1 de 6114 par un 5 et l’on obtient le nombre 6154.

Prenons maintenant le dernier chiffre, à savoir le 4 de 6154. Suivons l’instruction « Si tu rencontres 2, avance 10 » : le 5 devient 6, le 4 devient 2, et nous obtenons 6162. Le dernier 2 est encore à traiter selon la même instruction : le 6 de 6162 devient 7, le 2 devient 0. Nous obtenons alors 6170, que nous pouvons lire comme : « le résultat de la division est 617 et il reste 0 ».

Division par 3

Prenons maintenant un exemple de division dont le résultat ne tombe pas juste : 617 divisé par 3. Notons d’abord le nombre 617 sur le boulier.

Rappelons les instructions pour la division par 3 :

Division par 3 :

  • 3, 1, 31.
  • 3, 2, 62.
  • Si tu rencontres 3, avance 10.

Le premier chiffre du dividende 617 est 6. La comptine dit : « Si tu rencontres 3, avance 10 ». Comme nous le « rencontrons » dans le 6 de 617, nous écrivons 1 devant 617 et le 6 devient 3. Nous obtenons donc 1317. Dans le 3 de 1317, nous « rencontrons » encore 3 ; il faut donc encore ajouter 1 au premier 1 de 1317 et retirer 3 de son 3. Nous obtenons ainsi 2017.

Le deuxième chiffre de notre dividende initial est le 1 de 2017. La comptine nous dit : « 3, 1, 31 ». Attention, c’est ici qu’il y a un piège. Le « nombre » 31 signifie que je dois remplacer le chiffre présent par un 3 et ajouter 1 à la tige qui se trouve à sa droite. Le 1 de 2017 devient donc 3, le 7 de 2017 devient 8 : j’obtiens le nombre provisoire 2038.

Le dernier chiffre du dividende initial est 8. Comme j’y « rencontre » deux fois le 3, j’ajoute deux fois 1 au 3 de 2038 et retire deux fois 3 au 8 de 2038. J’obtiens ainsi successivement 2045 et 2052.

Le calcul est maintenant terminé. Le nombre obtenu signifie que le résultat est 205 et qu’il reste 2.

Désormais, vous êtes en mesure de calculer des divisions par 2, 3, 4, 5, 6, 7 et 8. La division par 1, bien sûr est triviale : comme il n’y a « pas besoin de diviser », la méthode n’est évidemment « pas définie ».

Mais qu’en est-il de la division par 9 ?

Division par 9

La division par 9 selon cette méthode est la plus amusante de toutes. Calculons par exemple 1234 divisé par 9. Pour cela, notons le nombre 1234 sur le boulier, mais cette fois nous aurons besoin de laisser au moins une tige libre tout à droite.

Les instructions pour la division par 9 sont pour le moins laconiques :

Division par 9 :

  • Pour diviser par 9, suis la tige actuelle en dessous.
  • Si tu rencontres 9, avance 10.

Le premier chiffre du dividende est 1. Pour tous les nombres rencontrés qui sont strictement inférieurs à 9, l’instruction est la même : « Pour diviser par 9, suis la tige actuelle en dessous ». Cela veut dire que l’on doit ajouter la valeur de la tige actuelle à celle qui la suit (peut-être appelée « en dessous » car sa valeur numérique est « plus basse »). En l’occurrence, je dois ajouter 1 sur la tige qui contient le 2 de 1234. J’obtiens ainsi 1334.

Le deuxième chiffre 1334 est un 3. Ajoutons sa valeur sur la tige suivante, qui porte le second 3 de 1334 : nous obtenons 1364.

Le troisième chiffre de 1364 est un 6. — Et là, vous allez m’arrêter : si on ajoute 6 à la tige suivante, qui contient un 4, on obtient 10, mais comme il n’existe pas de « chiffre » 10, on ne peut pas le noter sur un boulier !

Eh bien si. Rappelez-vous que chaque tige comporte deux boules quinaires et cinq boules unaires. Si nous activons toutes les boules d’une tige, nous obtenons la valeur $5+5+5 = 15$. Cela nous permet de représenter le résultat de n’importe quelle somme de nombres strictement inférieurs à 9, à l’exception de $8+8$ [5].

Il existe deux façons de représenter le nombre 10 sur une tige de boulier : soit on abaisse les deux boules quinaires, soit on active une boule quinaire et les cinq boules unaires. Nous suivrons la seconde option, que nous noterons par le « chiffre » A. Une fois que nous avons ajouté 6 sur la tige qui contenait le 4 de 1364, nous obtenons le « nombre » 136A.

Il nous reste à traiter le dernier « chiffre », à savoir A, en l’ajoutant, comme précédemment, à la tige qui se trouve à sa droite, et qui était initialement vide. Nous obtenons donc le résultat 136AA.

Maintenant, il faut « normaliser » ce nombre, c’est-à-dire le convertir en un nombre décimal parfaitement homologué. Convertissons le premier A en 10 : ajoutons 1 au 6 de 136AA, retirons 10 de son premier A, et notre 136AA devient 1370A.

Convertissons enfin le dernier A en 10 : nous ajoutons 1 au 0 de 1370A, nous retirons 10 de la tige comportant la valeur A, et nous obtenons 13710.

Ce nombre peut être lu comme : « le résultat est 137 et il reste 1 ». Le dernier chiffre ne compte pas : il sert seulement à déterminer le reste, qui, par définition, est toujours strictement inférieur à 9.

Justification de la méthode

Cette méthode de division est certes très amusante, mais comment se fait-il qu’elle fonctionne ?

Pour dissiper ce mystère, il suffit de savoir qu’à chaque étape, on multiplie le dividende par 10 avant de calculer sa division euclidienne par le diviseur. Ensuite, on remplace le chiffre actuel du dividende par le quotient obtenu et on ajoute le reste à la tige suivante. La multiplication par 10, en décalant le nombre écrit d’une tige vers la gauche, permet d’éviter le télescopage entre le dividende de départ et le résultat qui le remplace progressivement sur le boulier.

Par exemple, au lieu de diviser 1 par 2, c’est le nombre 10 qu’on divise par 2 ; le quotient est 5 et le reste est 0. On écrit donc 5 sur la tige présente et on ajoute 0 à la suivante. C’est ce que signifie l’instruction « 2, 1, augmente-le pour obtenir 5 ».

Autre exemple : au lieu de diviser 1 par 3, c’est le nombre 10 qu’on divise par 3 : le quotient est 3 et le reste est 1. C’est ce que résume de façon condensée l’instruction sibylline « 3, 1, 31 ».

Dernier exemple : au lieu de diviser 2 par 2, c’est le nombre 20 qu’on divise par 2 : le quotient est 10 et le reste est 0. C’est ce que nous dit l’instruction « Si tu rencontres 2, avance 10 ».

Qu’en est-il de la méthode de division par 9 ? La méthode est exactement la même. On aurait pu écrire « 9, 1, 11 » (car 10 divisé par 9 donne 1 et il reste 1), « 9, 2, 22 » (car 20 divisé par 9 donne 2 et il reste 2), « 9, 3, 33 » (car 30 divisé par 9 donne 3 et il reste 3), et ainsi de suite jusqu’à « 9, 9, 99 », mais au lieu de répéter plusieurs fois chaque chiffre, il était plus simple de toute condenser en une formule : « Pour diviser par 9, suis la tige actuelle en dessous ».

L’enseignement mathématique et son contexte

La « Comptine des neuf divisions » présente à nos yeux bien des intérêts.

En premier lieu, elle présente un intérêt en tant que savoir mathématique : elle montre qu’il est possible d’effectuer des divisions par un diviseur à un chiffre sans même connaître la table de multiplication sous sa forme habituelle.

En second lieu, elle est directement liée à l’usage d’un instrument particulier, le boulier chinois. Si elle est généralisable, ce n’est qu’à une famille bien spécifique d’instruments de calcul : ceux qui reposent sur une notation décimale, qui permettent de représenter éventuellement des « chiffres » supérieurs à 9, et surtout qui permettent la substitution de chiffres, c’est-à-dire l’effacement et la réécriture. C’est le cas de l’abaque grec et romain, surface de pierre ou de sable sur laquelle on déplaçait des cailloux représentant les chiffres. Tel n’est pas le cas, en revanche, du calcul sur papier tel qu’on l’enseigne dans nos écoles : on n’utilise la gomme que pour corriger des erreurs d’écriture et non pour lui donner volontairement un rôle positif dans le calcul. Certes, on pourrait le faire ; mais on ne le fait pas.

Ainsi, dans cette table, tous les verbes décrivent la manipulation du boulier. La main se déplace de gauche à droite dans l’ordre des chiffres du dividende, et à chaque étape elle peut avoir à modifier la tige à gauche et la tige à droite de sa position actuelle :

  • on « avance » 10 quand on doit ajouter 1 à la tige de gauche ;
  • on « augmente » un nombre (ou plus particulièrement on le « double ») quand on le transforme en un autre plus grand ;
  • on « ajoute un nombre en dessous » quand on doit augmenter le nombre de la tige de droite (et plus particulièrement on « suit la tige actuelle en dessous » quand on doit y ajouter la valeur de la tige actuelle).

D’un bout à l’autre de la table, le vocabulaire est aussi uniforme et standardisé que s’il s’agissait d’un langage de programmation pour bouliers : un langage décrivant par le menu les opérations qui doivent être exécutées — peu importe que ce soit par une machine ou par une main humaine. Dans cette table, même les suites de chiffres comme « 31 », « 62 », « 22 » et « 72 » ne sont pas des nombres mais des instructions, à lire comme « note 3 sur la tige actuelle et ajoute 1 à la suivante ». Même les nombres sont des programmes !

En troisième lieu, l’histoire de cette méthode est instructive sur les valeurs pédagogiques que met en jeu l’enseignement des mathématiques. Comment expliquer en effet que cette méthode ait aujourd’hui sombré dans l’oubli ? Le pédagogue du boulier Kojima Takashi avance l’argument de la simplicité :

Il y a deux méthodes fondamentales de division sur le boulier. La méthode ancienne, quoique encore prisée par certains, n’est plus d’usage courant depuis environ 1930 parce qu’elle nécessite la mémorisation d’une table de division spéciale. La méthode moderne, qui est la plus facile à retenir parce qu’elle utilise la table de multiplication au lieu de la table de division, est aujourd’hui la méthode standard enseignée dans les écoles primaires [6].

Kojima ne mentionne pas une autre critique possible, le fait que cette méthode ne soit pas généralisable : elle n’est applicable que si le diviseur est composé d’un seul chiffre. Dans une pédagogie comme la nôtre, où l’on préfère apprendre moins de tables par cœur mais mieux les utiliser, et où l’on préfère apprendre moins de méthodes à condition qu’elles soient absolument générales, cette méthode n’avait guère d’avenir.

Mais curieusement, les mathématiciens chinois, qui connaissaient parfaitement l’usage inverse de la table de multiplication, ont également avancé l’argument de la simplicité... pour justifier l’intérêt de la « Comptine des neuf divisions » ! Le mathématicien Zhu Shijie écrit ainsi :

Selon l’ancienne méthode, on effectuait en général les divisions au moyen d’élimination par le quotient [l’usage inverse de la table de multiplication], c’était difficile à apprendre pour les débutants, de sorte que les successeurs l’ont remplacée par cette méthode, c’est-à-dire que cette dernière n’est pas la méthode normale [7].

Il n’y a donc pas eu, comme le croit Kojima, progrès d’une « ancienne » méthode à une méthode « moderne », puisque la seconde était connue avant la première...

Si l’instrument de calcul est resté le même, ce sont les canons pédagogiques qui ont changé du tout au tout. L’usage inverse de la table de multiplication n’est pas une méthode absolument supérieure à l’autre, mais elle correspond davantage à nos canons pédagogiques. Contrairement à nous, les apprentis calculateurs de la dynastie Ming ne redoutaient pas d’apprendre une nouvelle table : dans leur culture, la mémoire humaine n’était pas une ressource rare. Aussi la « Comptine des neuf divisions » avait-elle davantage sa place dans leur pédagogie.

Conclusion

L’exemple de la « table de division » rapportée par Cheng Dawei montre à quel point le savoir mathématique dépend d’un contexte calculatoire plus large. Ce contexte comprend d’une part des valeurs pédagogiques (qu’est-ce qu’apprendre ? quelles vertus attend-on d’un « bon » algorithme ?) et d’autre part un contexte matériel — les instruments disponibles.

Du boulier à l’ordinateur en passant par la règle à calcul, l’enseignement du savoir mathématique s’inscrit ainsi à l’articulation des contextes social et matériel. L’en isoler, c’est se le rendre inintelligible.

Post-scriptum :

L’auteur remercie Zhu Yiwen 朱一文, qui a corrigé sa traduction du texte chinois, ainsi que Chen Yifu 陳怡夫, Hélène Gispert, Christine Proust, Antoine Chambert-Loir, Matthieu Jacquemet, Sébastien Kernivinen et Thomas Rataud pour leur relecture. Il remercie également Karine Chemla et Agathe Keller, organisatrices avec Christine Proust du Projet SAW (Sciences dans les mondes anciens), ainsi que Denis Roegel, auteur du précieux paquetage « suanpan » pour LaTeX.

Article édité par Hélène Gispert

Notes

[1Andrea Bréard, « On the Transmission of Mathematical Knowledge in Versified Form in China », in Alain Bernard et Christine Proust (éd.), Scientific Sources and Teaching Contexts Throughout History : Problems and Perspectives, Dordrecht, Springer, 2014, p. 155-162. Les écoliers français d’aujourd’hui ne font pas autre chose lorsqu’ils psalmodient leurs tables sur un ton chantant et rythmé.

[2Cheng Dawei, Suanfa Tongzong 算法統宗 (1592).

[3Selon Chen Yifu 陳怡夫, cette méthode est attestée au moins depuis le XIIIe siècle ; d’abord destinée à un instrument appelé « surface à calcul », elle a été transposée au boulier. Elle figure ainsi dans les Variations sur la multiplication et la division (Chengchu tongbian suanbao 乘除通變算寶, 1274) de Yang Hui 楊輝 et dans l’Introduction à la science du calcul (Suanxue qimeng 算學啟蒙, 1299) de Zhu Shijie 朱世傑. Voir Chen Yifu, Les Différents Modes de manipulation des boules du boulier chinois à l’époque des Ming en Chine, mémoire de Master 2, Université Paris-Diderot, 2007, p. 20 sq., pour un commentaire de la méthode analogue décrite dans les Méthodes de calcul des boules et du plateau (Panzhu Suanfa 盤珠算法, 1573) de Xu Xinlu 徐心魯. Voir également Chen Yifu, L’Étude des différents modes de déplacement des boules du boulier et de l’invention de la méthode de multiplication Kongpan Qianchengfa et son lien avec le calcul mental, thèse de doctorat, Université Paris-Diderot, 2013.

[4Le nom chinois du boulier est suanpan 算盤.

[5Quand on se trouve dans ce dernier cas de figure, on n’a pas le choix : il faut faire travailler sa mémoire ou utiliser un support externe comme les doigts ou un bout de papier.

[6Kojima Takashi, The Japanese Abacus. Its Use and Theory, Tokyo, Charles E. Tuttle, 1954, ch. VI.

[7Cité et traduit par Chen Yifu (2007), p. 46-47.

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Pour citer cet article :

Baptiste Mélès — «La comptine des neuf divisions» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

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Disposition du boulier selon Cheng Dawei - Baptiste Mélès
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La « Comptine des neuf divisions » dans le « Suanfa Tongzong » (1592) de Cheng Dawei. - Baptiste Mélès
Tables d’addition et de multiplication dans le « Liber Abaci » de Fibonacci (1202). - Baptiste Mélès

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