La conjecture de Casas-Alvero

Un détail facile, à vérifier plus tard...

Piste noire 30 septembre 2013  - Ecrit par  Wouter Castryck Voir les commentaires (4)

En élaborant la démonstration d’une propriété des courbes planes complexes, Eduardo Casas-Alvero s’est heurté à un petit obstacle, concernant les polynômes en une variable et leurs dérivées.

La première fois que j’ai entendu parler de la conjecture de Casas-Alvero, j’ai eu du mal à croire qu’elle puisse être difficile à démontrer. Bien d’autres ont eu cette impression je pense. En dépit de sa saveur classique, la conjecture n’a été formulée qu’il y a un peu plus de 10 ans. Voici l’énoncé :

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Eduardo Casas-Alvero
Conjecture de Casas-Alvero : Soit $f(x)$ un polynôme à coefficients complexes, disons de degré $d \geq 2$, et supposons que chacune de ses dérivées [1] $f^{(1)}(x), f^{(2)}(x), \dots, f^{(d-1)}(x)$ admette un zéro commun avec $f(x)$. Alors \[f(x) = c(x-a)^d\] pour des nombres $a,c \in \mathbb{C}$.

Ici, on dira indistinctement zéro ou racine pour les nombres complexes $a$ annulant un polynôme $g(x)$ donné.

Assurez-vous que vous avez bien saisi l’énoncé de la conjecture : a priori, une racine commune de $f^{(i)}(x)$ avec $f(x)$ peut dépendre du choix de $i=1, \dots, d-1$. La conjecture de Casas-Alvero prédit que, en fait, cette racine commune est forcément la même pour tout $i$, à savoir $a$ dans les notations de la conjecture.

Eduardo Casas-Alvero , l’auteur de cette conjecture, est un mathématicien espagnol qui à la fin des années 90 étudiait quelques aspects des courbes planes complexes. En élaborant une version préliminaire de l’une de ses démonstrations, il avait utilisé la conjecture ci-dessus, la considérant comme un détail facile à vérifier plus tard. Voilà un sentiment familier...

Une remarque sur les racines multiples

Remarquons qu’un polynôme de la forme $f(x) = c(x-a)^d$ satisfait bien les hypothèses — et la conclusion évidemment — de la conjecture de Casas-Alvero. Rappelons en effet qu’un polynôme $g(x)$ est divisible par $(x-a)^k$, avec $k \ge 1$, si et seulement si $a$ est une racine commune de $g(x)$ et de toutes ses dérivées $g^{(i)}(x)$ pour $1 \le i \le k-1$. On dit dans ce cas que $a$ est une racine de multiplicité $k$ de $g(x)$.

Où se trouvent les racines de la dérivée ?

Étant donné un polynôme $f(x)$, peut-on prédire où se trouvent les racines de sa dérivée ? Les origines de cette question datent du XVIIème siècle, lors de la démonstration par Michel Rolle de son fameux théorème.

Théorème de Rolle : Soit $f(x)$ un polynôme à coefficients réels, et soient $\, a,b \in \mathbb{R}$ tels que $a < b$ et $f(a) = f(b) = 0$. Alors l’intervalle ouvert $\, ]a,b[$ contient une racine de $f^{(1)}(x)$.

Illustration du théorème de Rolle : racines réelles de $f(x)$ et de $f^{(1)}(x)$.

Est-ce que, depuis lors, ce résultat a été amélioré ? Plus précisément,

  • Peut-on délimiter des intervalles plus étroits contenant une racine de $f^{(1)}(x)$ ?
  • Existe-t-il une version complexe du théorème de Rolle ?

A ces deux questions, la réponse est : oui, si l’on est prêt à payer un prix.

  • Des intervalles plus étroits ont été donnés sous certaines hypothèses supplémentaires, par exemple dans le cas où tous les zéros de $f(x)$ sont réels [H-08].
  • Dans le cas complexe on dispose d’un joli résultat de Félix Lucas , qui s’appuyait sur une observation de Carl-Friedrich Gauss :
    Théorème de Gauss-Lucas : Soit $f(x) \in \mathbb{C}[x]$ un polynôme non-constant, et soit $S$ l’enveloppe convexe [2] des racines de $f(x)$ dans le plan complexe. Alors toutes les racines de $f^{(1)}(x)$ sont contenues dans $S$. De plus, toute racine de $f^{(1)}(x)$ qui n’est pas simultanément une racine de $f(x)$ se trouve dans l’intérieur relatif de $S$.

    La démonstration est belle et simple : voir wikipédia. Nous aurons besoin plus loin de toute la force de ce théorème, y compris de sa dernière affirmation. Précisons que l’intérieur relatif de $S$, c’est $S$ privé de son bord relatif ; c’est donc un segment de droite ouvert si $S$ est un segment de droite fermé, et c’est un polygone ouvert si $S$ est un polygone fermé non-réduit à un segment de droite.

    Illustration du théorème de Gauss-Lucas (ci-droite) :
    racines de $f(x) = x(x^3-1)(x^2+1)$ et de $f^{(1)}(x)$.

    Le théorème de Gauss-Lucas n’est pas une généralisation stricte du résultat de Rolle : si on l’applique à un polynôme réel satisfaisant aux hypothèses du théorème de Rolle, le théorème de Gauss-Lucas ne nous permet pas d’affirmer que $f^{(1)}(x)$ admet une racine réelle comprise entre $a$ et $b$. La seule situation dans laquelle nous pouvons comparer honnêtement les deux théorèmes est celle où $f(x)$ est un polynôme réel dont toutes les racines sont réelles. Dans ce cas, le théorème de Gauss-Lucas est beaucoup moins fort que celui de Rolle. Voir aussi cet article dans Images des Mathématiques.

Malheureusement, nos connaissances actuelles dépassent à peine ce qui précède.
Le monde mathématique n’est pas capable de répondre à certaines questions peu ambitieuses en apparence. Par exemple, la présomption de Blagovest Sendov , est-elle vraie ou fausse ?

Conjecture de Sendov : Soit $f(x) \in \mathbb{C}[x]$ un polynôme non-constant, et supposons que toutes ses racines $a_1, \dots, a_d$ sont contenues dans la boule unité fermée centrée en $0$. Alors pour tout $i=1, \dots, d$, il existe une racine $a$ de $f^{(1)}(x)$ dans la boule unité fermée centrée en $a_i$.

Cas extrémal de la conjecture de Sendov : $f(x) = x^8-1$.

Néanmoins, ce genre de questions est omniprésent. Par exemple, elles apparaissent dans l’étude des problèmes d’extrema : si l’on veut calculer numériquement une racine de $f^{(1)}(x)$ à partir d’une approximation en utilisant la méthode de Newton-Raphson, il est important d’avoir une bonne idée de l’endroit où se trouve cette racine.

La conjecture de Casas-Alvero peut être vue dans ce cadre. Certes, il s’agit d’une question très spécifique. Mais elle a l’avantage de pouvoir être formulée en termes purement algébriques (voir ci-dessous). Alors que d’autres conjectures similaires s’avèrent trop difficiles, ici une nouvelle gamme de techniques a été mise à jour qui, si elles n’ont pas encore abouti à une preuve, ont permis d’enregistrer des progrès substantiels : la conjecture de Casas-Alvero a été démontrée pour un nombre infini de degrés $d$, y compris pour tout $d \leq 19$. Comparer : la conjecture de Sendov est ouverte pour tout $d \geq 9$.

La plus grande percée jusqu’ici a été établie par Hans-Christian Graf von Bothmer , Olivier Labs , Josef Schicho et Christiaan van de Woestijne [GLSW-07], qui ont démontré l’assertion suivante :

Théorème : La conjecture de Casas-Alvero est vraie pour tout degré $d$ ayant la forme \[d = p^k, \quad ou \quad d = 2p^k,\] où $p$ est un nombre premier et $k$ est un entier naturel.


Quelle surprise que les nombres premiers entrent en jeu !

Dans ce qui suit, nous allons nous contenter d’établir la conjecture pour $d\leq 4$, et ce
par deux méthodes totalement différentes : la première, très élégante, repose sur la localisation des racines complexes d’un polynôme via le théorème de Gauss-Lucas, tandis que la deuxième est de nature purement algébrique. Dans les deux cas, il est plus facile de raisonner avec une forme normalisée de la conjecture de Casas-Alvero, c’est l’objet du prochain paragraphe.

Mais avant d’entrer dans le vif du sujet, nous vous suggérons d’essayer l’applet suivante (écrite par Jan Draisma et Johan de Jong [DdJ-11]) pour vous faire une idée du comportement des racines des dérivées successives ; vous avez besoin de java pour voir cette applet.

Faites glisser les racines de $f(x)$. Cliquez à gauche ou à droite pour ajouter ou supprimer une racine, ou pour changer sa multiplicité. La nuance des couleurs des points gris indique de quelle dérivée il s’agit.

Normalisation

Dans le plan complexe, la position relative des racines de $f(x)$ par rapport aux racines de ses dérivées consécutives ne varie pas sous des transformations ayant la forme suivante :

  1. $f(x) \leftarrow cf(x)$ pour un nombre $c \in \mathbb{C} \setminus \{0\}$  (aucun changement)
  2. $f(x) \leftarrow f(x + a)$ pour un nombre $a \in \mathbb{C}$  (translation de vecteur $-a$)
  3. $f(x) \leftarrow f(rx)$ pour un nombre $r \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$  (dilatation de rapport $r^{-1}$)
  4. $f(x) \leftarrow f(e^{i\theta}x)$ pour un nombre $\theta \in [0, 2\pi [$  (rotation d’angle $-\theta$)

En effet, chacune de ces transformations commute avec la dérivation, à multiplication près par une constante non nulle.

Exemple : soit $f(x) = x(x^3-1)(x^2+1)$, alors les racines de $f(x)$, $f^{(1)}(x)$, $f^{(2)}(x)$, $f^{(3)}(x)$, $f^{(4)}(x)$ et $f^{(5)}(x)$ se dessinent dans le plan complexe comme à gauche. Les racines de $5f(4e^{\mathbf{i}\pi / 2}x/5 + 1)$ et ses dérivées figurent à droite.
Corollaire : S’il existe un contre-exemple $f(x)$ de degré $d$ violant la conjecture de Casas-Alvero, alors il existe un contre-exemple ayant la forme \[ x^2(x-1)(x-a_2)(x-a_3)\cdots(x-a_{d-2}).\]

Démonstration : La remarque précédente nous garantit que si $f(x)$ viole la conjecture de Casas-Alvero, alors tout polynôme qui est obtenu à partir de $f(x)$ en appliquant une suite finie de transformations mentionnées ci-dessus est encore un contre-exemple.
Comme $f(x)$ et $f^{(1)}(x)$ ont une racine commune, nous savons que $f(x)$ possède une racine double $a_0 \in \mathbb{C}$. De plus, étant un contre-exemple à la conjecture de Casas-Alvero, $f(x)$ a une racine $a_1 \in \mathbb{C}$ qui est distincte de $a_0$. En utilisant d’abord une translation, on peut supposer $a_0=0$. Puis en utilisant une dilatation, on peut en outre supposer que $a_1$ est de module 1. Finalement, en utilisant une rotation, on peut s’arranger pour avoir $a_1=1$. $\blacksquare$

La conjecture de Casas-Alvero pour $d\le 4$ avec le théorème de Gauss-Lucas

Il existe plusieurs manières de se servir du théorème de Gauss-Lucas en montrant que le degré $d$ d’un hypothétique contre-exemple $f(x)$ à la conjecture de Casas-Alvero est au moins $5$. La façon la plus simple intègre le théorème de Rolle et est décrite dans [DdJ-11, Section 3]. Ici, nous allons suivre une approche différente, qui nous permettra de tirer la conclusion plus forte que $f(x)$ admet au moins $4$ racines distinctes (et est donc de degré au moins $5$ puisque l’une de ces racines, commune avec $f^{(1)}(x)$, est de multiplicité au moins $2$).

On dira d’un sous-ensemble $R$ des racines de $f(x)$ que c’est un ensemble de racines recyclées si pour tout $i=1,\dots,d-1$, il existe $a$ dans $R$ tel que $f^{(i)}(a) = f(a) = 0$. Notons que, puisque $f(x)$ est un contre-exemple, de tels sous-ensembles $R$ existent, par exemple l’ensemble de toutes les racines de $f(x)$. Il se pourrait a priori qu’il y en ait de bien plus petits... mais pourtant pas trop quand même, comme le montre l’observation suivante, due à Draisma et de Jong [DdJ-11]. La démonstration est très belle, je vous la recommande !

Lemme : Soit $f(x)$ un contre-exemple à la conjecture de Casas-Alvero, et soit $R$ un ensemble de racines recyclées de $f(x)$. Alors $R$ contient au moins 3 éléments.

Démonstration

Notons d’abord que $R$ n’est pas réduit à un seul élément, car sinon cet élément serait une racine commune de $f(x)$ et de tous les $f^{(i)}(x)$, et donc $f(x)$ ne serait pas un contre-exemple. Supposons maintenant par l’absurde que $R$ contienne exactement deux éléments. En normalisant (cf Corollaire qui précède), on peut supposer que
\[f(x) = x^d + c_1x^{d-1} + c_2x^{d-2} + \dots + c_{d-2}x^2\] et que $R = \{0,1\}$. Donc, pour tout $i=1,\dots,d-1$, le polynôme $f^{(i)}(x)$ admet soit $0$ soit $1$ comme racine. Considérons d’abord le cas $i=d-1$. Un calcul facile donne
\[f^{(d-1)}(x) = d! x + (d-1)! c_1.\]
Comme ce polynôme a pour racine $0$ ou $1$, il suit que $c_1=0$ ou $c_1=-d$, et donc dans les deux cas que $c_1 \in \mathbb{R}$. Considérons maintenant $i=d-2$. On a
\[f^{(d-2)}(x) = \frac{d!}{2} x^2 + (d-1)! c_1x + (d-2)!c_2,\]
et comme $f^{(d-2)}(0) = 0$ ou $f^{(d-2)}(1) = 0$, il suit que $c_2 \in \mathbb{R}$. En continuant de cette manière, on trouve que $f(x) \in \mathbb{R}[x]$.

La fonction réelle $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto f^{(d-1)}(x)$ est linéaire. Donc sur l’intervalle $[0,1]$, son graphe a l’une des formes suivantes, où les deux petits tirets verticaux représentent $0$ et $1$ :

En particulier, la fonction est soit strictement positive soit strictement négative sur l’intervalle ouvert $\, ]0,1[$. Cela implique que la fonction
$\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto f^{(d-2)}(x)$ est soit strictement croissante soit strictement décroissante sur cet intervalle. Donc son graphe a l’une des formes suivantes :

L’argument se répète... On trouve finalement que la fonction $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto f(x)$ est soit strictement croissante soit strictement décroissante sur l’intervalle $\, ]0,1[$, ce qui est impossible car $f(0) = f(1) = 0$.

Voici un corollaire qui va nous rapprocher très sensiblement de notre objectif.

Corollaire : Soit $f(x)$ un contre-exemple à la conjecture de Casas-Alvero, et soit $S$ l’enveloppe convexe de ses racines. Alors le nombre de racines de $f(x)$ contenues dans l’intérieur relatif de $S$ est au moins $2$.

Démonstration

Pour tout $i=1,\dots,d-1$, notons $S^{(i)}$ l’enveloppe convexe des racines de $f^{(i)}(x)$. D’après le théorème de Gauss-Lucas, ces sous-ensembles du plan complexe sont emboîtés les uns dans les autres :
\[ S \,\supseteq\, S^{(1)} \,\supseteq\, S^{(2)} \,\supseteq\, \cdots \,\supseteq\, S^{(d-1)}. \]
Commençons par une observation, conséquence de la dernière affirmation du théorème de Gauss-Lucas.

Assertion. Si $b$ est une racine commune de $f(x)$ et de $f^{(i)}(x)$, pour un certain $i \ge 1$, et si de plus $b$ est située sur le bord de $S$, alors $b$ est une racine commune de $f(x), f^{(1)}(x), \dots, f^{(i)}(x)$.

En effet, observons d’abord que $b$, élément de $S^{(i)}$ et du bord de $S$, est alors aussi élément du bord de $S^{(j)}$ pour tout $j$ tel que $1 \le j \le i$. Cela découle du fait que l’intérieur relatif de $S^{(j)}$ est contenu dans l’intérieur relatif de $S$. Maintenant, comme $f^{(i)}(b)=0$ et que $b$ est dans le bord de $S^{(i-1)}$, il suit de la dernière affirmation du théorème de Gauss-Lucas que $f^{(i-1)}(b)=0$. On se retrouve donc exactement dans la même situation qu’avant, mais avec $i$ remplacé par $i-1$. En continuant jusqu’à $i=1$, on obtient bien que $b$ est une racine commune de $f(x), f^{(1)}(x), \dots, f^{(i)}(x)$, ce qui termine la preuve de l’assertion.

Soit maintenant $a$ une racine de $f(x)$ située sur le bord de $S$, et qui soit de multiplicité maximale $m$ en tant que racine de $f(x)$ sur le bord de $S$. Posons
\[ R \,=\, \{a,b_1,\dots,b_n\}, \]
où $b_1,\dots,b_n$ est l’ensemble des racines de $f(x)$ situées dans l’intérieur relatif de $S$.

Notre objectif est de démontrer $n \ge 2$. Or pour cela, il suffit de démontrer que $R$ est un ensemble de racines recyclées. En effet, le lemme précédent entraînera alors que $R$ contient au moins $3$ éléments, et donc que $n \ge 2$ comme voulu.

Par hypothèse, $a$ est une racine commune de $f(x), f^{(1)}(x), \dots, f^{(m-1)}(x)$ et $a \in R$. Il reste à montrer que chacun des polynômes $f^{(m)}(x), \dots, f^{(d-1)}(x)$ contient lui aussi une racine dans $R$. Soit donc $i$ tel que $m \le i \le d-1$, et soit $b$ une racine commune de $f^{(i)}(x)$ et de $f(x)$. De par l’assertion ci-dessus, si $b$ était située sur le bord de $S$, alors $b$ serait une racine commune de $f(x), f^{(1)}(x), \dots, f^{(i)}(x)$, et serait donc de multiplicité au moins $i+1 > m$, en contradiction avec la maximalité de $m$. Ainsi $b$ est dans l’intérieur relatif de $S$, et appartient donc à $R$ par définition même de $R$. On vient de prouver que $R$ est un ensemble de racines recyclées ce qui, comme indiqué plus haut, termine la preuve du corollaire.

Notre assertion sur le nombre de racines distinctes en découle immédiatement. En effet, en utilisant les mêmes notations, le convexe $S$ n’est pas réduit à un point puisque $f(x)$, en tant qu’hypothétique contre-exemple, admet plus d’une racine. Donc le bord de $S$ est constitué de $2$ points extrémaux si c’est un segment de droite, et d’au moins $3$ points extrémaux si c’est un vrai polygone ; ces points extrémaux sont évidemment des racines de $S$, par définition de $S$. De plus, le corollaire affirme que l’intérieur relatif de $S$ contient au moins $2$ racines de $f(x)$. Donc $f(x)$ admet au moins $4$ racines distinctes (au moins $5$ si $S$ est un vrai polygone).

Avec un peu plus d’effort on peut démontrer qu’un contre-exemple doit avoir au moins cinq racines distinctes [CLO-13], ce qui implique $d \geq 6$.

La méthode algébrique

Donnons une démonstration alternative de la conjecture de Casas-Alvero en degré $d=4$.

Nous avons vu que s’il existe un contre-exemple, alors il existe un contre-exemple ayant la forme
\[ f(x) = x^2(x-1)(x-a_2).\]
L’existence d’une racine commune avec $f^{(1)}(x)$ est automatiquement satisfaite, c’est $0$. Donc il suffit de nous préoccuper de $f^{(2)}(x)$ et $f^{(3)}(x)$.

Voici une raison pour laquelle $f(x)$ pourrait être un contre-exemple :
\[ f^{(2)}(a_2) = 0, \qquad f^{(3)}(1) = 0. \]
Comme $f^{(2)}(x) = 12x^2 - (6a_2 + 6)x + 2a_2$ et $f^{(3)}(x) = 24x - 6a_2 - 6$
ceci se traduit en
\[ \left\{ \begin{array}{c} 6a_2^2 - 4a_2 = 0 \\ 18 - 6a_2 = 0. \\ \end{array} \right. \]
Ce système n’a pas de solutions.
En faisant la même chose pour les autres scénarios
selon lesquels $f(x)$ pourrait être un contre-exemple, on obtient une contradiction globale, concluant la démonstration.

Bien que cette preuve soit plus élémentaire que la précédente, elle est moins satisfaisante : de cette façon, la conjecture de Casas-Alvero en degré $4$ semble plutôt une coïncidence. Pourtant :

  • Cette technique n’est pas spécifique à $d=4$ : elle peut être généralisée à un $d$ quelconque. On part d’un contre-exemple hypothétique
    \[ f(x) = x^2(x-1)(x-a_2)(x-a_3) \cdots (x-a_{d-2}),\]
    et on considère chaque scénario selon lequel $f(x)$ pourrait être un contre-exemple, comme par exemple
    \[ f^{(2)}(a_3) = 0, \quad f^{(3)}(a_8) = 0, \quad f^{(4)}(0) = 0, \quad f^{(5)}(a_2) = 0, \quad \dots, \quad f^{(d-1)}(1) = 0.\]
    En principe , ceci nous permet de vérifier la conjecture de Casas-Alvero pour tout degré $d$ concret... Mais on se heurte à deux problèmes de taille :
    • Nos meilleurs algorithmes pour décider la solvabilité d’un système d’équations non-linéaires ont une complexité épouvantable.
    • On voit qu’on doit tenir compte de $(d-1)^{(d-2)}$ scénarios. Donc le nombre de systèmes à considérer en degré $d$ croît de façon exponentielle en $d$. (En utilisant la théorie des résultants, on peut combiner ces systèmes afin d’obtenir un seul système, mais comme sa taille est gigantesque, la situation est encore pire.)

    Néanmoins, on peut utiliser cette approche pour démontrer la conjecture de Casas-Alvero d’une façon plus ou moins naïve jusqu’à $d=8$ (à l’aide d’un ordinateur). Si l’on tient compte de certaines considérations théoriques, cela peut être poussé jusqu’à obtenir le cas $d=12$. Voir [DG-06] et [CLO-13].

  • Pour certaines valeurs de $d$, il y a bien une raison théorique claire pour laquelle ces systèmes n’ont aucune solution, mais cette raison réside dans la théorie des nombres plutôt que dans l’analyse ! C’est exactement l’observation de Graf von Bothmer et de ses co-auteurs, mentionnée ci-dessus.

Références

[CA-01]
Eduardo Casas-Alvero, Higher order polar germs, Journal of Algebra 240(1), pp. 326-337 (2001)

[CLO-13]
Wouter Castryck, Robert Laterveer, Myriam Ounaïes, Constraints on counterexamples to the Casas-Alvero conjecture, and a verification in degree 12, Mathematics of Computation, à paraître (version arXiv) (2013)

[DG-06]
Gema M. Diaz-Toca, Laureano Gonzalez-Vega, On analyzing a conjecture about univariate polynomials and their roots by using Maple, Proceedings of the Maple Conference 2006, Waterloo (Canada), July 23-26, 2006, pp. 81-98 (2006) (résumé sur Zentralblatt)

[DdJ-11]
Jan Draisma, Johan P. de Jong, On the Casas-Alvero conjecture,
EMS Newsletter June 2011, pp. 29-33 (2011) + erratum

[GLSW-07]
Hans-Christian Graf von Bothmer, Oliver Labs, Josef Schicho, Christiaan van de Woestijne, The Casas-Alvero conjecture for infinitely many degrees, Journal of Algebra 316(1), pp. 224-230 (2007) (version arXiv)

[H-08]
Alan Horwitz, Ratio vectors of polynomial-like functions, Journal of inequalities in pure and applied mathematics 9(3), Article 76, 11 pp. (2008)

[Web-11]
^DiAmOnD^, La conjetura de Casas-Alvero, contada por Eduardo Casas-Alvero, gaussianos.com (2011)

Post-scriptum :

Remerciements
Je voudrais remercier Jan Draisma et Johan de Jong pour me permettre d’inclure leur applet, Bruno Martin et Shalom Eliahou pour leur aide au niveau rédactionnel et pour leur relecture attentive les relecteurs dont le pseudonyme est le suivant : Flandrin, Cidrolin, Ilies Zidane et Thierry Barbot.

Article édité par Shalom Eliahou

Notes

[1Nous noterons $f^{(1)}(x)$ pour la dérivée de $f(x)$ ; d’autres notations communes sont $f'(x)$, $Df(x)$, $\frac{df}{dx}$. Par analogie, on écrira $f^{(2)}(x)$ pour la dérivée de $f^{(1)}(x)$, $f^{(3)}(x)$ pour la dérivée de $f^{(2)}(x)$, etc.

[2Rappelons que l’enveloppe convexe d’une partie $C$ du plan est le plus petit ensemble convexe contenant $C$. Si l’on voit les points de $C$ comme des clous dans une planche en bois, l’enveloppe convexe est la région délimitée par une élastique qui a été étirée autour d’eux.

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Pour citer cet article :

Wouter Castryck — «La conjecture de Casas-Alvero» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013

Commentaire sur l'article

  • La conjecture de Casas-Alvero

    le 2 octobre 2013 à 00:03, par Théo Dardel

    Bonjour.
    Il me semble qu’il manque un carré dans l’expression de la dérivée (d-2)-ème de f dans la démonstration du lemme. Cordialement,

    Théo Dardel

    Répondre à ce message
    • La conjecture de Casas-Alvero

      le 3 octobre 2013 à 11:18, par Wouter Castryck

      Cher Théo,

      Oui, c’est une faute de frappe, merci pour l’indiquer. Je vais voir si c’est possible de la corriger.

      cordialement,
      Wouter

      Répondre à ce message
  • La conjecture de Casas-Alvero

    le 3 octobre 2013 à 09:13, par ROUX

    Si je comprends bien, c’est, pédagogiquement, un très bel exemple d’un « si et seulement si » dont l’un des sens est absolument évident et l’autre pas du tout.

    En effet, le polynôme sous la forme présentée a bel et bien une racine commune avec toutes ses dérivées jusqu’à la (d-1)ième.

    A montrer à des élèves de lycée, si j’ai bien compris que la conjecture c’est la démonstration du sens pas évident du tout du « si et seulement si ».

    Vous me validez ?

    Répondre à ce message
    • La conjecture de Casas-Alvero

      le 3 octobre 2013 à 11:20, par Wouter Castryck

      Oui, tout à fait !

      Répondre à ce message

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