20 mars 2013

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La conjecture de Goldbach

Bruno Martin

Maître de conférence au laboratoire de recherche en Mathématiques de l'Université du Littoral, Côte d'Opale (page web)

Quelle drôle d’idée d’additionner des nombres premiers ! C’est pourtant ce qu’a fait un certain Goldbach il y a plus de 250 ans...

Dans cet article, nous allons partir à la découverte d’une des plus célèbres conjectures mathématiques. Elle a été énoncée en 1742 par le mathématicien allemand Christian Goldbach dans une lettre (qui constitue le logo de cet article) au mathématicien suisse Leonhard Euler [1]. Il s’agit ainsi d’un des plus vieux problèmes mathématiques irrésolus à ce jour.

La conjecture de Goldbach fait intervenir les nombres premiers.
Plutôt que de livrer d’emblée son intitulé, nous allons commencer par
présenter l’ensemble des nombres premiers, donner sa propriété fondamentale et voir
les raisons qui peuvent conduire à énoncer la conjecture de Goldbach.

Dans tout l’article, il ne sera question que de nombres entiers plus grands que $1$, c’est-à-dire des nombres $1,2,3,\ldots$. De plus, lorsque nous dirons qu’un nombre est plus grand qu’un autre, c’est à prendre au sens large, c’est-à-dire que ces deux nombres peuvent éventuellement être égaux.

Les nombres premiers

On dit qu’un nombre est premier s’il n’est divisible que par 1 et lui-même, et qu’il est plus grand que 2 [2]. Le nombre $1$ n’est donc pas premier. Les nombres $2$ et $3$ sont premiers, ils ne sont divisibles que par eux-mêmes et 1. En revanche le nombre $4$ n’est pas premier puisqu’il est divisible par $2$.
En fait, si l’on connaît bien ses tables de multiplication, il est facile de commencer la liste des nombres premiers :
\[ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53... \]
Cette liste s’arrête-t-elle ? Nous en reparlerons plus tard.
Le résultat suivant justifie à lui tout seul que l’on s’intéresse aux nombres premiers.

Théorème : Tout nombre entier plus grand que 2 est soit un nombre premier, soit égal à un produit de plusieurs nombres premiers.

Autrement dit, en effectuant des multiplications de nombres premiers, on peut retrouver tous les autres nombres.
Vérifions-le sur un exemple : prenons le nombre 60. Il n’est pas premier puisque divisible par 10. On a
\[ 60= 6 \times 10. \]
Mais ni $6$, ni $10$ ne sont premiers. En effet, $6$ est divisible par $3$, $10$ est divisible par $5$. Plus précisément,
\[ 6 =2 \times 3 \textrm{ et }  10= 5 \times 2. \]
On peut donc écrire
\[ 60 =6\times 10 = (2 \times 3) \times (5 \times 2)= 2 \times 3 \times 5 \times 2. \]
On a terminé car $2,3$ et $5$ sont des nombres premiers [3]. En fait il n’est pas très difficile de s’inspirer de cet exemple pour démontrer le théorème.

On vient de voir qu’en multipliant les nombres premiers entre eux, on pouvait retrouver tous les nombres plus grands que 2. Se produit-il un phénomène identique en additionnant les nombres premiers ? Autrement dit, peut-on retrouver tous les autres nombres plus grands que 2 à partir des nombres premiers en n’effectuant que des additions ?

Une courte réflexion montre que la réponse à cette question est très simple. En effet en additionnant le nombre $2$ à lui-même autant de fois qu’il le faut, on peut obtenir tous les nombres pairs. Et si un nombre est impair, il suffit de lui retrancher $3$ : on obtient alors un nombre pair qui lui-même s’obtient en additionnant des $2$.
Par exemple, prenons le nombre $29$. On lui retranche $3$, on obtient $26$. Et $26$ s’obtient en additionnant treize fois le nombre $2$. On a donc $29=3+13\times 2=3+2+2+\ldots+2$.
Avec un tel procédé, plus le nombre est grand, plus il faut effectuer d’additions.
Que se passe-t-il si on limite le nombre d’additions ?

Question : Peut-on obtenir n’importe quel nombre plus grand que $2$ en n’additionnant que des nombres premiers, et sans jamais excéder un nombre fixé d’additions ?

Par exemple, est-on capable de se limiter à vingt additions de nombres premiers pour retrouver n’importe quel nombre ?
Cette fois, la réponse à cette question est très loin d’être évidente.

Commençons déjà par voir ce qui se passe lorsque l’on additionne seulement deux nombres premiers. Pour l’instant nous mettons de côté le nombre $2$ et nous allons calculer toutes les sommes possibles avec des nombres premiers compris entre $3$ et $19$. Pour cela nous disposons ces nombres premiers sur la première ligne et la première colonne d’un tableau à double entrée,

3 5 7 11 13 17 19
3
5
7
11
13
17
19

et nous allons remplir ce tableau de la manière suivante : dans chaque case on calcule la somme des deux nombres premiers indexant cette case.
Allons-y :

3 5 7 11 13 17 19
3 6 8 10 14 16 20 22
5 10 12 16 18 22 24
7 14 18 20 24 26
11 22 24 28 30
13 26 30 32
17 34 36
19 38

Il n’est pas utile de remplir les autres cases car les résultats seront exactement les mêmes que dans la partie supérieure du tableau.

Première constatation, toutes les sommes obtenues sont des nombres pairs. Est-ce surprenant ? Non, car un nombre premier supérieur ou égal à $3$ est toujours impair. En effet, s’il était pair, il serait divisible par $2$, et il ne pourrait pas être premier. Et lorsque l’on additionne deux nombres impairs, le résultat est toujours un nombre pair.

Par ailleurs, le plus grand nombre pair obtenu est 38 et l’on constate que tous les nombres pairs compris entre 6 et 38 sont présents dans le tableau. Ce phénomène perdure-t-il ?
Pour le savoir, poursuivons un peu nos calculs en additionnant tous les nombres premiers compris entre 3 et 29. Pour cela il suffit de rajouter deux lignes et deux colonnes à notre tableau initial

3 5 7 11 13 17 19 23 29
3 6 8 10 14 16 20 22
5 10 12 16 18 22 24
7 14 18 20 24 26
11 22 24 28 30
13 26 30 32
17 34 36
19 38
23
29

puis de compléter les cases manquantes.

3 5 7 11 13 17 19 23 29
3 6 8 10 14 16 20 22 26 32
5 10 12 16 18 22 24 28 34
7 14 18 20 24 26 30 36
11 22 24 28 30 34 40
13 26 30 32 36 42
17 34 36 40 46
19 38 42 48
23 46 52
29 58

Le plus grand nombre pair obtenu est $58$. On obtient presque tous les nombres pairs compris entre $6$ et $58$ mais pas tous : $44$, $50$, $54$ et $56$ manquent à l’appel. Mais ils vont apparaître dès que l’on ajoutera les lignes et colonnes correspondant aux deux nombres premiers suivants, $31$ et $37$, puisque $44=31+13$, $50=31+19$, $54=31+23$ et $56=37+29$.

Ces calculs nous amènent donc naturellement à imaginer que si l’on continuait d’étendre ce tableau en ajoutant des nombres premiers, on obtiendrait progressivement tous les nombres pairs plus grands que $6$. En d’autres termes tout nombre pair plus grand que 6 pourrait être obtenu en additionnant deux nombres premiers. Remarquons que $4$ est aussi somme de deux nombres premiers puisque $4=2+2$.
Il semble donc qu’une addition de deux nombres premiers suffise pour obtenir n’importe quel nombre pair plus grand que $4$.

Peut-on faire de même pour les nombres impairs ? Pour obtenir un nombre impair avec une addition, il faut additionner un nombre pair et un nombre impair. Le seul nombre premier pair est $2$ et jusqu’à présent, nous l’avions mis de côté. En l’additionnant aux nombres premiers impairs, va-t-on obtenir tous les nombres impairs ? Cela voudrait dire que tout nombre impair est immédiatement précédé d’un nombre impair qui est premier, ce qui est faux puisque ce n’est déjà pas le cas pour 11 (Le nombre impair qui le précède, 9, n’est pas premier). Bref, on ne peut pas espérer retrouver tous les nombres en se limitant à une addition de deux nombres premiers.

Partons de l’hypothèse que tout nombre pair plus grand que $4$ est effectivement somme de deux nombres premiers. Il est alors facile de voir qu’un nombre impair plus grand que $7$ est toujours somme de trois nombres premiers. En effet si on lui retranche $3$, on obtient un nombre pair plus grand que $4$, qui est donc somme de deux nombres premiers d’après notre hypothèse. En additionnant ces deux nombres premiers et le nombre 3 on retombe sur le nombre de départ qui est donc bien somme de trois nombres premiers.

Notons que $2$, $3$ et $5$ sont déjà des nombres premiers et donc qu’aucune addition de nombres premiers n’est requise pour les obtenir. Il semble donc que tout nombre plus grand que 2 est soit premier, soit somme de deux ou trois nombres premiers, ce que nous résumerons en disant que tout nombre est somme d’au plus trois nombres premiers.
À quelques nuances près, c’est exactement la conjecture que Goldbach a formulée dans sa lettre à Euler.
Mais généralement on assimile la conjecture de Goldbach à l’hypothèse faite plus haut sur les nombres pairs, qui avait été énoncée par Euler dans sa réponse à Goldbach.

Conjecture (Goldbach-Euler, 1742) : Tout nombre pair plus grand que $4$ est somme de deux nombres premiers.

Dans la suite, sauf précision contraire, c’est cet énoncé que nous désignerons par conjecture de Goldbach.

Comme on vient de le voir, la conjecture de Goldbach entraîne que tout nombre plus grand que $2$ est somme d’au plus trois nombres premiers. On observe ainsi un phénomène surprenant. Alors que les nombres premiers sont avant tout connus pour leur aptitude à retrouver tous les autres nombres avec des multiplications, il semble possible de le faire aussi en effectuant des additions, et pas plus de deux. Mais rappelons qu’à ce stade, nous n’avons rien démontré : nous ne sommes toujours pas en mesure de fournir une réponse fiable à notre question initiale, à savoir peut-on obtenir tous les nombres en n’effectuant qu’un nombre limité d’additions de nombres premiers ?

Nous reviendrons à cette question plus tard. Pour l’instant nous allons nous concentrer quelques instants sur la conjecture de Goldbach et tenter d’y apporter quelques lumières.

La conjecture de Goldbach est-elle vraie ?

Il y a deux réponses possibles à cette question. Soit c’est non et cela revient à dire qu’il existe au moins un nombre pair qui n’est pas somme de deux nombres premiers, ce qu’on appelle un contre-exemple. Pour le trouver, on peut écrire un programme informatique pour déterminer si un nombre pair donné est somme de deux nombres premiers, puis l’utiliser pour tester plusieurs nombres pairs. Jusqu’à présent cette méthode n’a fourni aucun contre-exemple : actuellement on a vérifié que tout nombre pair inférieur à $4\times10^{18}$ est bien la somme de deux nombres premiers [4]. Si un contre-exemple existe, il est immense !

Voilà qui plaide fortement en faveur d’une réponse affirmative : la conjecture de Goldbach est sans doute vraie. Mais dans ce cas il faut en donner une démonstration. Et pour l’instant personne n’y est parvenu. La conjecture de Goldbach, à l’image du problème 3n+1, est un problème qui en dépit de son énoncé élémentaire, reste insoluble à l’heure actuelle.

Néanmoins, tentons crânement notre chance en raisonnant sur notre tableau extensible, et commençons par nous faire l’avocat du diable en cherchant brièvement à réfuter cette conjecture !

Essayons de prouver que la conjecture de Goldbach est fausse

Nous avons commencé à dresser la liste des nombres premiers. Que se passerait-il si celle-ci s’arrêtait ? Pour fixer les idées, supposons qu’il y ait un million de nombres premiers mais pas plus. La conjecture de Goldbach serait fausse tout simplement. En effet, notre tableau s’arrêterait. Il serait gigantesque, comporterait un nombre certes considérable de cases, mais ne pourrait jamais contenir tous les nombres pairs qui sont en nombre infini !
Mais justement, la liste des nombres premiers ne s’arrête pas. Autrement dit, il existe une infinité de nombres premiers. Et cela on sait le démontrer [5].

Soit, il existe des nombres premiers aussi grands que l’on veut, mais il est possible qu’ils soient très rares. Il n’est pas facile de mettre un sens précis sur le terme rare. Imaginez que vous vous promeniez sur un chemin jalonné de bornes numérotées de $1$ à... l’infini, et que vous consigniez sur un carnet les nombres premiers que vous rencontrez. Vous êtes certain de rencontrer des nombres premiers tant que vous poursuivrez votre marche. Mais il se pourrait que la distance à parcourir entre un nombre premier et le suivant soit globalement de plus en plus longue. À tel point que l’on pourrait imaginer que le choix de nombres premiers
soit trop limité, et qu’il n’y en ait pas assez pour obtenir tous les nombres pairs. Nous n’en disons pas plus pour le moment.

Il semble en tout cas qu’une bonne estimation de la fréquence des nombres premiers soit un ingrédient important sinon essentiel pour appréhender la conjecture de Goldbach.

Essayons de démontrer que la conjecture de Goldbach est vraie... jusqu’à 100

Poursuivons notre réflexion en essayant cette fois de mettre à jour des arguments
qui pourraient plaider en faveur de la conjecture de Goldbach.
En agrandissant encore un peu notre tableau et en effectuant les additions nécessaires, nous pourrions vérifier que tout nombre pair compris entre $4$ et $100$ est somme de deux nombres premiers. Mais essayons de parvenir à ce résultat sans calculer ces additions !
Nous allons utiliser tous les nombres premiers compris entre $3$ et $53$ (si l’on s’arrête à $47$, nous n’avons aucune chance d’obtenir le nombre $100$)
et donc essayer de raisonner sur ce tableau non rempli.

3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53

Combien y a-t-il de cases coloriées en jaune et vert ? Autrement dit combien de résultats allons-nous obtenir ? Le tableau complet comporte $15$ lignes et $15$ colonnes car il y a $15$ nombres premiers compris entre $3$ et $53$. Il y a donc $15\times 15=225$ cases au total. Il y a autant de cases jaunes que de cases bleues, et la diagonale verte comporte
$15$ cases. Il y a donc $(225- 15)/2$ soit $105$ cases jaunes. On y ajoute les $15$ cases de la diagonale, au total nous allons donc obtenir $120$ nombres pairs compris entre
$6$ et $106$ $(=53+53).$ Tous les nombres pairs entre $6$ et $106$ ?

Entre $6$ et $106$ (inclus), il y a $101$ nombres, et parmi ceux là $51$ sont pairs. Les $120$ cases sont donc largement suffisantes pour accueillir ces $51$ nombres. Mais rappelons-nous de nos premiers tableaux : certains nombres pairs s’obtiennent de plusieurs manières en additionnant deux nombres premiers. Par exemple, le nombre $24$
est égal à $17+7$, $19+5$ et $13+11$. On voit alors le problème qui se pose : si certains nombres pairs « mobilisent » trop de nombres premiers, il se pourrait qu’il n’y ait plus assez de nombres premiers pour obtenir tous les autres. Dans nos précédents tableaux, aucun nombre n’occupe plus de $3$ cases.
Faisons l’hypothèse que cette limite de $3$ cases par nombre reste inchangée lorsque l’on agrandit le tableau ; autrement dit qu’un nombre, quel qu’il soit, ne puisse pas apparaître plus de $3$ fois dans le tableau.
Cela voudrait dire que nos $120$ cases vont nous permettre d’obtenir au moins $120/3 =40$ nombres pairs distincts. Notre tentative échoue car il faut en obtenir $51$.
Notons que notre raisonnement repose sur deux renseignements : le nombre de nombres premiers compris entre $3$ et $53$, et le nombre maximum de cases occupées par un nombre pair.
Maintenant confrontons nos considérations à la réalité en complétant le tableau.

3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53
3 6 8 10 14 16 20 22 26 32 34 40 44 46 50 56
5 10 12 16 18 22 24 28 34 36 42 46 48 52 58
7 14 18 20 24 26 30 36 38 44 48 50 54 60
11 22 24 28 30 34 40 42 48 52 54 58 64
13 26 30 32 36 42 44 50 54 56 60 66
17 34 36 40 46 48 54 58 60 64 70
19 38 42 48 50 56 60 62 66 72
23 46 52 54 60 64 66 70 76
29 58 60 66 70 72 76 82
31 62 68 72 74 78 84
37 74 78 80 84 90
41 82 84 88 94
43 86 90 96
47 94 100
53 106

Deux constats s’imposent :

  • Notre hypothèse limitant le nombre de cases occupées par chaque nombre pair à $3$ était loin du compte, puisqu’il apparaît que certains nombres comme $60$ apparaissent six fois.
  • Il n’était de toute façon pas possible d’obtenir tous les nombres pairs inférieurs à $106$ de cette manière, puisque par exemple $92$ ($=31+61$) n’y figure pas. Notre restriction aux nombres premiers inférieurs à $53$ était trop sévère ! Nous avions déjà été confronté à ce phénomène lorsque nous avions considéré le tableau faisant intervenir les nombres premiers compris entre $3$ et $29$.

Bref, notre raisonnement échoue et de toute façon, il ne reposait pas sur une hypothèse valable. Néanmoins il s’avère qu’il peut être rendu rigoureux et qu’en somme, si l’on est capable

  1. d’évaluer le nombre de nombres premiers plus petit qu’un nombre donné (il faut être sûr qu’il y a suffisamment de nombres premiers) ;
  2. d’affirmer que le nombre de fois qu’un nombre pair donné apparaît dans le tableau (on dit le nombre de représentations d’un entier pair comme somme de deux nombres premiers) n’est pas « trop élevé »,

alors on peut montrer qu’une proportion, disons importante, de nombres pairs est bien somme de deux nombres premiers, ce qui est déjà un début.
Notons le caractère astucieux de cette démarche : pour montrer que chaque nombre pair admet au moins une représentation (c’est une reformulation de la conjecture de Goldbach), on essaie d’utiliser le fait qu’il ne peut pas en avoir trop.

En fait, le point 1 découle d’un résultat établi en 1851 par le mathématicien russe Pafnouti Tchebychev. L’énoncé est assez technique et dit en substance que, certes les nombres premiers se font de plus en rares au fur et à mesure que l’on avance sur notre chemin indexé par les nombres, mais pas trop tout de même !

Le point 2 peut être abordé en employant ce que l’on appelle des techniques de crible. Peut-être avez-vous vu le crible d’Eratosthène pendant votre scolarité ? Il peut être raffiné pour obtenir des résultats de ce genre, c’est ce que fit notamment le mathématicien norvégien Viggo Brun vers 1920. Signalons qu’en fait, on pense que le nombre de représentations d’un nombre pair croît globalement avec la taille du nombre. On peut d’ailleurs calculer pour les premiers nombres pairs leur nombre de représentations et reporter ces résultats sur un graphique : on obtient un nuage de points dont l’allure remarquable a suggéré le nom de comète de Goldbach.

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La comète de Goldbach

On y lit par exemple qu’un nombre pair de l’ordre de 1 million (la notation 1e+06 signifie $1\times 10^6$) a un nombre de représentations au moins supérieur à 2000. En fait, on a même une idée assez précise de ce que devrait être l’ordre de grandeur théorique du nombre de représentations d’un nombre pair donné. Mais on en reste au stade des hypothèses bien sûr.

À ces deux ingrédients, le mathématicien russe Lev Genrikhovich Schnirelman en a ajouté un troisième — que nous ne décrirons pas ici—
qui ne permet pas de démontrer la conjecture de Goldbach, mais donne en revanche une réponse positive à notre question initiale.

Théorème (Schnirelman, 1930) : Il existe un nombre $N$ tel que tout nombre plus grand que 2 est somme d’au plus $N$ nombres premiers.

Schnirelman prouve que ce nombre $N$ existe, sans donner de valeur explicite.
Depuis, plusieurs mathématiciens ont fourni un travail conséquent pour donner des valeurs admissibles aussi basses que possibles pour $N$. Nous avons vu plus haut que l’on ne pouvait pas espérer prendre $N=2$, et que l’on espère (c’est la conjecture de Goldbach sous sa forme originale) pouvoir montrer que $N=3$ est admissible. Le dernier résultat reconnu à ce jour affirme que l’on peut prendre $N=6$, il est dû à Terence Tao (2012), qui améliore ainsi le dernier record détenu depuis 1995 par Olivier Ramaré avec $N=7$ [6]. Il est fort possible que $N=4$ soit obtenu prochainement. Est-on donc tout près de $N=3$, la valeur conjecturée par Goldbach dans sa lettre ? Non. Il semble qu’un gouffre nous en sépare. Comme nous l’avons déjà indiqué, la conjecture de Goldbach (sous sa forme originale ou celle donnée par Euler) est jugée extrêmement difficile, et rien n’indique qu’elle sera résolue dans un futur proche, en dépit de l’immense travail produit par de nombreux mathématiciens.

Tout ça pour quoi ?

La conjecture de Goldbach, si elle était démontrée, ne constituerait sans doute pas un résultat très important en soi : contrairement à d’autres conjectures mathématiques, elle n’a aucune influence directe sur d’autres problèmes, et elle ne répondrait pas à un besoin pratique quelconque [7]. Elle constituerait plutôt la fin d’une longue épopée. Une épopée loin d’être vaine car elle a motivé et motive encore le développement de techniques mathématiques très fines, notamment la théorie du crible mentionnée plus haut, dont les champs d’applications sont vastes. Que cette conjecture résiste depuis si longtemps aux esprits les plus brillants laisse penser que de nouvelles idées sont nécessaires. Idées qui, si elles venaient à germer, jetteraient sans doute un nouvel éclairage sur ces fascinants nombres premiers, que nous comprenons encore trop mal.

P.S. :

L’auteur remercie vivement Shalom Eliahou, Christophe Bourel, Cidrolin, Barbara Schapira, Christophe Boilley, Aline Parreau et Bruno Duchesne pour leur relecture minutieuse et critique de cet article, ainsi que Jean Fromentin pour sa précieuse aide technique.

Notes

[1On peut trouver ici une retranscription dactylographiée de cette lettre. Avis aux amateurs d’allemand et de latin !

[2Sans cette condition, le nombre $1$ serait aussi un nombre premier. Mais certaines considérations que nous n’évoquerons pas ici ont conduit les mathématiciens à l’exclure. Notons qu’à l’époque de Goldbach, le nombre 1 était considéré comme premier.

[3On aurait pu commencer par écrire $60=4 \times 15$ ou encore $60=5\times 12$ mais on aurait finalement obtenu les mêmes nombres premiers avec le même nombre d’apparitions. On peut démontrer plus généralement que mis à part l’ordre dans lequel on fait les multiplications, il n’y a qu’une manière d’obtenir un nombre donné en effectuant des produits de nombres premiers.

[4« on » est en l’occurrence le portugais Tomás Oliveira e Silva.

[5La première démonstration est attribuée à Euclide. On peut facilement la trouver sur internet.

[6D’autres résultats partiels sur la conjecture de Goldbach peuvent être consultés sur la page wikipedia qui lui est dédiée.

[7à ma connaissance...

Crédits images

Image à la une — La lettre de Goldbach à Euler
source : http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Letter_Goldbaxh-Euler.jpg

Affiliation de l'auteur

Commentaires sur l'article

Pour citer cet article : Bruno Martin, « La conjecture de Goldbach »Images des Mathématiques, CNRS, 2013.

En ligne, URL : http://images.math.cnrs.fr/La-conjecture-de-Goldbach-1473.html

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