La conjecture de Goldbach

Piste bleue Le 20 mars 2013  - Ecrit par  Bruno Martin Voir les commentaires (17)

Quelle drôle d’idée d’additionner des nombres premiers ! C’est pourtant ce qu’a fait un certain Goldbach il y a plus de 250 ans...

Dans cet article, nous allons partir à la découverte d’une des plus célèbres conjectures mathématiques. Elle a été énoncée en 1742 par le mathématicien allemand Christian Goldbach dans une lettre (qui constitue le logo de cet article) au mathématicien suisse Leonhard Euler [1]. Il s’agit ainsi d’un des plus vieux problèmes mathématiques irrésolus à ce jour.

La conjecture de Goldbach fait intervenir les nombres premiers.
Plutôt que de livrer d’emblée son intitulé, nous allons commencer par
présenter l’ensemble des nombres premiers, donner sa propriété fondamentale et voir
les raisons qui peuvent conduire à énoncer la conjecture de Goldbach.

Dans tout l’article, il ne sera question que de nombres entiers plus grands que $1$, c’est-à-dire des nombres $1,2,3,\ldots$. De plus, lorsque nous dirons qu’un nombre est plus grand qu’un autre, c’est à prendre au sens large, c’est-à-dire que ces deux nombres peuvent éventuellement être égaux.

Les nombres premiers

On dit qu’un nombre est premier s’il n’est divisible que par 1 et lui-même, et qu’il est plus grand que 2 [2]. Le nombre $1$ n’est donc pas premier. Les nombres $2$ et $3$ sont premiers, ils ne sont divisibles que par eux-mêmes et 1. En revanche le nombre $4$ n’est pas premier puisqu’il est divisible par $2$.
En fait, si l’on connaît bien ses tables de multiplication, il est facile de commencer la liste des nombres premiers :
\[ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53... \]
Cette liste s’arrête-t-elle ? Nous en reparlerons plus tard.
Le résultat suivant justifie à lui tout seul que l’on s’intéresse aux nombres premiers.

Théorème : Tout nombre entier plus grand que 2 est soit un nombre premier, soit égal à un produit de plusieurs nombres premiers.

Autrement dit, en effectuant des multiplications de nombres premiers, on peut retrouver tous les autres nombres.
Vérifions-le sur un exemple : prenons le nombre 60. Il n’est pas premier puisque divisible par 10. On a
\[ 60= 6 \times 10. \]
Mais ni $6$, ni $10$ ne sont premiers. En effet, $6$ est divisible par $3$, $10$ est divisible par $5$. Plus précisément,
\[ 6 =2 \times 3 \textrm{ et }  10= 5 \times 2. \]
On peut donc écrire
\[ 60 =6\times 10 = (2 \times 3) \times (5 \times 2)= 2 \times 3 \times 5 \times 2. \]
On a terminé car $2,3$ et $5$ sont des nombres premiers [3]. En fait il n’est pas très difficile de s’inspirer de cet exemple pour démontrer le théorème.

On vient de voir qu’en multipliant les nombres premiers entre eux, on pouvait retrouver tous les nombres plus grands que 2. Se produit-il un phénomène identique en additionnant les nombres premiers ? Autrement dit, peut-on retrouver tous les autres nombres plus grands que 2 à partir des nombres premiers en n’effectuant que des additions ?

Une courte réflexion montre que la réponse à cette question est très simple. En effet en additionnant le nombre $2$ à lui-même autant de fois qu’il le faut, on peut obtenir tous les nombres pairs. Et si un nombre est impair, il suffit de lui retrancher $3$ : on obtient alors un nombre pair qui lui-même s’obtient en additionnant des $2$.
Par exemple, prenons le nombre $29$. On lui retranche $3$, on obtient $26$. Et $26$ s’obtient en additionnant treize fois le nombre $2$. On a donc $29=3+13\times 2=3+2+2+\ldots+2$.
Avec un tel procédé, plus le nombre est grand, plus il faut effectuer d’additions.
Que se passe-t-il si on limite le nombre d’additions ?

Question : Peut-on obtenir n’importe quel nombre plus grand que $2$ en n’additionnant que des nombres premiers, et sans jamais excéder un nombre fixé d’additions ?

Par exemple, est-on capable de se limiter à vingt additions de nombres premiers pour retrouver n’importe quel nombre ?
Cette fois, la réponse à cette question est très loin d’être évidente.

Commençons déjà par voir ce qui se passe lorsque l’on additionne seulement deux nombres premiers. Pour l’instant nous mettons de côté le nombre $2$ et nous allons calculer toutes les sommes possibles avec des nombres premiers compris entre $3$ et $19$. Pour cela nous disposons ces nombres premiers sur la première ligne et la première colonne d’un tableau à double entrée,

3 5 7 11 13 17 19
3
5
7
11
13
17
19

et nous allons remplir ce tableau de la manière suivante : dans chaque case on calcule la somme des deux nombres premiers indexant cette case.
Allons-y :

3 5 7 11 13 17 19
3 6 8 10 14 16 20 22
5 10 12 16 18 22 24
7 14 18 20 24 26
11 22 24 28 30
13 26 30 32
17 34 36
19 38

Il n’est pas utile de remplir les autres cases car les résultats seront exactement les mêmes que dans la partie supérieure du tableau.

Première constatation, toutes les sommes obtenues sont des nombres pairs. Est-ce surprenant ? Non, car un nombre premier supérieur ou égal à $3$ est toujours impair. En effet, s’il était pair, il serait divisible par $2$, et il ne pourrait pas être premier. Et lorsque l’on additionne deux nombres impairs, le résultat est toujours un nombre pair.

Par ailleurs, le plus grand nombre pair obtenu est 38 et l’on constate que tous les nombres pairs compris entre 6 et 38 sont présents dans le tableau. Ce phénomène perdure-t-il ?
Pour le savoir, poursuivons un peu nos calculs en additionnant tous les nombres premiers compris entre 3 et 29. Pour cela il suffit de rajouter deux lignes et deux colonnes à notre tableau initial

3 5 7 11 13 17 19 23 29
3 6 8 10 14 16 20 22
5 10 12 16 18 22 24
7 14 18 20 24 26
11 22 24 28 30
13 26 30 32
17 34 36
19 38
23
29

puis de compléter les cases manquantes.

3 5 7 11 13 17 19 23 29
3 6 8 10 14 16 20 22 26 32
5 10 12 16 18 22 24 28 34
7 14 18 20 24 26 30 36
11 22 24 28 30 34 40
13 26 30 32 36 42
17 34 36 40 46
19 38 42 48
23 46 52
29 58

Le plus grand nombre pair obtenu est $58$. On obtient presque tous les nombres pairs compris entre $6$ et $58$ mais pas tous : $44$, $50$, $54$ et $56$ manquent à l’appel. Mais ils vont apparaître dès que l’on ajoutera les lignes et colonnes correspondant aux deux nombres premiers suivants, $31$ et $37$, puisque $44=31+13$, $50=31+19$, $54=31+23$ et $56=37+29$.

Ces calculs nous amènent donc naturellement à imaginer que si l’on continuait d’étendre ce tableau en ajoutant des nombres premiers, on obtiendrait progressivement tous les nombres pairs plus grands que $6$. En d’autres termes tout nombre pair plus grand que 6 pourrait être obtenu en additionnant deux nombres premiers. Remarquons que $4$ est aussi somme de deux nombres premiers puisque $4=2+2$.
Il semble donc qu’une addition de deux nombres premiers suffise pour obtenir n’importe quel nombre pair plus grand que $4$.

Peut-on faire de même pour les nombres impairs ? Pour obtenir un nombre impair avec une addition, il faut additionner un nombre pair et un nombre impair. Le seul nombre premier pair est $2$ et jusqu’à présent, nous l’avions mis de côté. En l’additionnant aux nombres premiers impairs, va-t-on obtenir tous les nombres impairs ? Cela voudrait dire que tout nombre impair est immédiatement précédé d’un nombre impair qui est premier, ce qui est faux puisque ce n’est déjà pas le cas pour 11 (Le nombre impair qui le précède, 9, n’est pas premier). Bref, on ne peut pas espérer retrouver tous les nombres en se limitant à une addition de deux nombres premiers.

Partons de l’hypothèse que tout nombre pair plus grand que $4$ est effectivement somme de deux nombres premiers. Il est alors facile de voir qu’un nombre impair plus grand que $7$ est toujours somme de trois nombres premiers. En effet si on lui retranche $3$, on obtient un nombre pair plus grand que $4$, qui est donc somme de deux nombres premiers d’après notre hypothèse. En additionnant ces deux nombres premiers et le nombre 3 on retombe sur le nombre de départ qui est donc bien somme de trois nombres premiers.

Notons que $2$, $3$ et $5$ sont déjà des nombres premiers et donc qu’aucune addition de nombres premiers n’est requise pour les obtenir. Il semble donc que tout nombre plus grand que 2 est soit premier, soit somme de deux ou trois nombres premiers, ce que nous résumerons en disant que tout nombre est somme d’au plus trois nombres premiers.
À quelques nuances près, c’est exactement la conjecture que Goldbach a formulée dans sa lettre à Euler.
Mais généralement on assimile la conjecture de Goldbach à l’hypothèse faite plus haut sur les nombres pairs, qui avait été énoncée par Euler dans sa réponse à Goldbach.

Conjecture (Goldbach-Euler, 1742) : Tout nombre pair plus grand que $4$ est somme de deux nombres premiers.

Dans la suite, sauf précision contraire, c’est cet énoncé que nous désignerons par conjecture de Goldbach.

Comme on vient de le voir, la conjecture de Goldbach entraîne que tout nombre plus grand que $2$ est somme d’au plus trois nombres premiers. On observe ainsi un phénomène surprenant. Alors que les nombres premiers sont avant tout connus pour leur aptitude à retrouver tous les autres nombres avec des multiplications, il semble possible de le faire aussi en effectuant des additions, et pas plus de deux. Mais rappelons qu’à ce stade, nous n’avons rien démontré : nous ne sommes toujours pas en mesure de fournir une réponse fiable à notre question initiale, à savoir peut-on obtenir tous les nombres en n’effectuant qu’un nombre limité d’additions de nombres premiers ?

Nous reviendrons à cette question plus tard. Pour l’instant nous allons nous concentrer quelques instants sur la conjecture de Goldbach et tenter d’y apporter quelques lumières.

La conjecture de Goldbach est-elle vraie ?

Il y a deux réponses possibles à cette question. Soit c’est non et cela revient à dire qu’il existe au moins un nombre pair qui n’est pas somme de deux nombres premiers, ce qu’on appelle un contre-exemple. Pour le trouver, on peut écrire un programme informatique pour déterminer si un nombre pair donné est somme de deux nombres premiers, puis l’utiliser pour tester plusieurs nombres pairs. Jusqu’à présent cette méthode n’a fourni aucun contre-exemple : actuellement on a vérifié que tout nombre pair inférieur à $4\times10^{18}$ est bien la somme de deux nombres premiers [4]. Si un contre-exemple existe, il est immense !

Voilà qui plaide fortement en faveur d’une réponse affirmative : la conjecture de Goldbach est sans doute vraie. Mais dans ce cas il faut en donner une démonstration. Et pour l’instant personne n’y est parvenu. La conjecture de Goldbach, à l’image du problème 3n+1, est un problème qui en dépit de son énoncé élémentaire, reste insoluble à l’heure actuelle.

Néanmoins, tentons crânement notre chance en raisonnant sur notre tableau extensible, et commençons par nous faire l’avocat du diable en cherchant brièvement à réfuter cette conjecture !

Essayons de prouver que la conjecture de Goldbach est fausse

Nous avons commencé à dresser la liste des nombres premiers. Que se passerait-il si celle-ci s’arrêtait ? Pour fixer les idées, supposons qu’il y ait un million de nombres premiers mais pas plus. La conjecture de Goldbach serait fausse tout simplement. En effet, notre tableau s’arrêterait. Il serait gigantesque, comporterait un nombre certes considérable de cases, mais ne pourrait jamais contenir tous les nombres pairs qui sont en nombre infini !
Mais justement, la liste des nombres premiers ne s’arrête pas. Autrement dit, il existe une infinité de nombres premiers. Et cela on sait le démontrer [5].

Soit, il existe des nombres premiers aussi grands que l’on veut, mais il est possible qu’ils soient très rares. Il n’est pas facile de mettre un sens précis sur le terme rare. Imaginez que vous vous promeniez sur un chemin jalonné de bornes numérotées de $1$ à... l’infini, et que vous consigniez sur un carnet les nombres premiers que vous rencontrez. Vous êtes certain de rencontrer des nombres premiers tant que vous poursuivrez votre marche. Mais il se pourrait que la distance à parcourir entre un nombre premier et le suivant soit globalement de plus en plus longue. À tel point que l’on pourrait imaginer que le choix de nombres premiers
soit trop limité, et qu’il n’y en ait pas assez pour obtenir tous les nombres pairs. Nous n’en disons pas plus pour le moment.

Il semble en tout cas qu’une bonne estimation de la fréquence des nombres premiers soit un ingrédient important sinon essentiel pour appréhender la conjecture de Goldbach.

Essayons de démontrer que la conjecture de Goldbach est vraie... jusqu’à 100

Poursuivons notre réflexion en essayant cette fois de mettre à jour des arguments
qui pourraient plaider en faveur de la conjecture de Goldbach.
En agrandissant encore un peu notre tableau et en effectuant les additions nécessaires, nous pourrions vérifier que tout nombre pair compris entre $4$ et $100$ est somme de deux nombres premiers. Mais essayons de parvenir à ce résultat sans calculer ces additions !
Nous allons utiliser tous les nombres premiers compris entre $3$ et $53$ (si l’on s’arrête à $47$, nous n’avons aucune chance d’obtenir le nombre $100$)
et donc essayer de raisonner sur ce tableau non rempli.

3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53

Combien y a-t-il de cases coloriées en jaune et vert ? Autrement dit combien de résultats allons-nous obtenir ? Le tableau complet comporte $15$ lignes et $15$ colonnes car il y a $15$ nombres premiers compris entre $3$ et $53$. Il y a donc $15\times 15=225$ cases au total. Il y a autant de cases jaunes que de cases bleues, et la diagonale verte comporte
$15$ cases. Il y a donc $(225- 15)/2$ soit $105$ cases jaunes. On y ajoute les $15$ cases de la diagonale, au total nous allons donc obtenir $120$ nombres pairs compris entre
$6$ et $106$ $(=53+53).$ Tous les nombres pairs entre $6$ et $106$ ?

Entre $6$ et $106$ (inclus), il y a $101$ nombres, et parmi ceux là $51$ sont pairs. Les $120$ cases sont donc largement suffisantes pour accueillir ces $51$ nombres. Mais rappelons-nous de nos premiers tableaux : certains nombres pairs s’obtiennent de plusieurs manières en additionnant deux nombres premiers. Par exemple, le nombre $24$
est égal à $17+7$, $19+5$ et $13+11$. On voit alors le problème qui se pose : si certains nombres pairs « mobilisent » trop de nombres premiers, il se pourrait qu’il n’y ait plus assez de nombres premiers pour obtenir tous les autres. Dans nos précédents tableaux, aucun nombre n’occupe plus de $3$ cases.
Faisons l’hypothèse que cette limite de $3$ cases par nombre reste inchangée lorsque l’on agrandit le tableau ; autrement dit qu’un nombre, quel qu’il soit, ne puisse pas apparaître plus de $3$ fois dans le tableau.
Cela voudrait dire que nos $120$ cases vont nous permettre d’obtenir au moins $120/3 =40$ nombres pairs distincts. Notre tentative échoue car il faut en obtenir $51$.
Notons que notre raisonnement repose sur deux renseignements : le nombre de nombres premiers compris entre $3$ et $53$, et le nombre maximum de cases occupées par un nombre pair.
Maintenant confrontons nos considérations à la réalité en complétant le tableau.

3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53
3 6 8 10 14 16 20 22 26 32 34 40 44 46 50 56
5 10 12 16 18 22 24 28 34 36 42 46 48 52 58
7 14 18 20 24 26 30 36 38 44 48 50 54 60
11 22 24 28 30 34 40 42 48 52 54 58 64
13 26 30 32 36 42 44 50 54 56 60 66
17 34 36 40 46 48 54 58 60 64 70
19 38 42 48 50 56 60 62 66 72
23 46 52 54 60 64 66 70 76
29 58 60 66 70 72 76 82
31 62 68 72 74 78 84
37 74 78 80 84 90
41 82 84 88 94
43 86 90 96
47 94 100
53 106

Deux constats s’imposent :

  • Notre hypothèse limitant le nombre de cases occupées par chaque nombre pair à $3$ était loin du compte, puisqu’il apparaît que certains nombres comme $60$ apparaissent six fois.
  • Il n’était de toute façon pas possible d’obtenir tous les nombres pairs inférieurs à $106$ de cette manière, puisque par exemple $92$ ($=31+61$) n’y figure pas. Notre restriction aux nombres premiers inférieurs à $53$ était trop sévère ! Nous avions déjà été confronté à ce phénomène lorsque nous avions considéré le tableau faisant intervenir les nombres premiers compris entre $3$ et $29$.

Bref, notre raisonnement échoue et de toute façon, il ne reposait pas sur une hypothèse valable. Néanmoins il s’avère qu’il peut être rendu rigoureux et qu’en somme, si l’on est capable

  1. d’évaluer le nombre de nombres premiers plus petit qu’un nombre donné (il faut être sûr qu’il y a suffisamment de nombres premiers) ;
  2. d’affirmer que le nombre de fois qu’un nombre pair donné apparaît dans le tableau (on dit le nombre de représentations d’un entier pair comme somme de deux nombres premiers) n’est pas « trop élevé »,

alors on peut montrer qu’une proportion, disons importante, de nombres pairs est bien somme de deux nombres premiers, ce qui est déjà un début.
Notons le caractère astucieux de cette démarche : pour montrer que chaque nombre pair admet au moins une représentation (c’est une reformulation de la conjecture de Goldbach), on essaie d’utiliser le fait qu’il ne peut pas en avoir trop.

En fait, le point 1 découle d’un résultat établi en 1851 par le mathématicien russe Pafnouti Tchebychev. L’énoncé est assez technique et dit en substance que, certes les nombres premiers se font de plus en rares au fur et à mesure que l’on avance sur notre chemin indexé par les nombres, mais pas trop tout de même !

Le point 2 peut être abordé en employant ce que l’on appelle des techniques de crible. Peut-être avez-vous vu le crible d’Eratosthène pendant votre scolarité ? Il peut être raffiné pour obtenir des résultats de ce genre, c’est ce que fit notamment le mathématicien norvégien Viggo Brun vers 1920. Signalons qu’en fait, on pense que le nombre de représentations d’un nombre pair croît globalement avec la taille du nombre. On peut d’ailleurs calculer pour les premiers nombres pairs leur nombre de représentations et reporter ces résultats sur un graphique : on obtient un nuage de points dont l’allure remarquable a suggéré le nom de comète de Goldbach.

PNG - 150.6 ko
La comète de Goldbach

On y lit par exemple qu’un nombre pair de l’ordre de 1 million (la notation 1e+06 signifie $1\times 10^6$) a un nombre de représentations au moins supérieur à 2000. En fait, on a même une idée assez précise de ce que devrait être l’ordre de grandeur théorique du nombre de représentations d’un nombre pair donné. Mais on en reste au stade des hypothèses bien sûr.

À ces deux ingrédients, le mathématicien russe Lev Genrikhovich Schnirelman en a ajouté un troisième — que nous ne décrirons pas ici—
qui ne permet pas de démontrer la conjecture de Goldbach, mais donne en revanche une réponse positive à notre question initiale.

Théorème (Schnirelman, 1930) : Il existe un nombre $N$ tel que tout nombre plus grand que 2 est somme d’au plus $N$ nombres premiers.

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  • t infé meedéré mnombgb/tes $ exi $ exi /lii e t uli te "forum7051"i uli te "forum7051" le nomb7;est t"i nme remiè"coa rt"i nme remiè"head"i h3tLnche une réponse positi $1ant hh4>nor23 juairst 2013 p> 17:12,217;oloic/ta4> $ exi nme remiè"mnombgb"i utedlesolsamd.

    alorntrer qu̵T7;au plus $poth idée assez pr ldbaéjà un début.
    meedéré mnombgb/tes $ exi $ exi /lii /lii de t /lii li te "forum6681" le nombforum-fil"i li te "forum6681" le nomb7;est t"i nme remiè"coa rt"i nme remiè"head"i h3tLnche une réponse positi $1ant hh4>nor20l4 rs 2013 p> 16:46,217;oreniseh:a4> $ exi nme remiè"mnombgb"i uteAu tempre moins i,aticien Mir a.aticien Denise C tosa/pi ue='La coLa-he une ré-de-Gght='210'473.html?id_forum=6681#7;est tn imremiè"repwn itR.

    meedéré mnombgb/tes $ exi $ exi /lii /lii li te "forum6694" le nombforum-fil"i li te "forum6694" le nomb7;est t"i nme remiè"coa rt"i nme remiè"head"i h3tLnche une réponse positi $1ant hh4>nor22l4 rs 2013 p> 12:35,217;ogilbe;bbrefeu/ta4> $ exi nme remiè"mnombgb"i ute e ursra/td> représss="spi' /> Noto ce qus pa&upiv clail ms aloriers, il se pourr#187;u#8217;il n’y ait plus assez de nombre’, le’tenir tous les autres. Dans nos précédents tableaux, aucun nombre qu’/td> Nototre h#8217;br' /> pour obten deeas ici3$ l n’7/td> iers, il srés utobr' ;y ait plulir ces $51es 30k, 4 ssup1es omen47;y fi51es 6ksnon ss=gruip0[6],3 ssup1es omen47; catnfcerlHsre rni riprn =pr ou_2P[30]e /> iers, il sr1,5 ssup1es omen47;r' ;y ait p (1,q).a/td> meedéré mnombgb/tes $ exi $ exi /lii e t uli te "forum6703"i uli te "forum6703" le nomb7;est t"i nme remiè"coa rt"i nme remiè"head"i h3tLnche une réponse positi $1ant hh4>nor24l4 rs 2013 p> 18:36,217;oon po M7;ban/ta4> $ exi nme remiè"mnombgb"i ute e ursr,;7/td> meedéré mnombgb/tes $ exi $ exi /lii /lii de t /lii li te "forum6697" le nombforum-fil"i li te "forum6697" le nomb7;est t"i nme remiè"coa rt"i nme remiè"head"i h3tLnche une réponse positi $1ant hh4>nor23l4 rs 2013 p> 15:16,217;opeutcu/ta4> $ exi nme remiè"mnombgb"i uteOnez de nombt poss300xin représchanghe une rép$ casp> . Prsrquoiil y a $101$ noMir a7édenue 7;bacno.aticien Olivi r/pi ue='La coLa-he une ré-de-Gght='210'473.html?id_forum=6697#7;est tn imremiè"repwn itR.

    meedéré mnombgb/tes $ exi $ exi /lii e t uli te "forum6704"i uli te "forum6704" le nomb7;est t"i nme remiè"coa rt"i nme remiè"head"i h3tLnche une réponse positi $1ant hh4>nor24l4 rs 2013 p> 18:47,217;oon po M7;ban/ta4> $ exi nme remiè"mnombgb"i ute e ursr,a/td>

    Schti>a17;bbjr ialvopoint 2dl ne repbrv>

    Senpoarleev$N$ nirsr cnche une réponse positi igneirs r

  • Notre raîtrel seunomrs nune réé meedéré mnombgb/tes $ exi $ exi /lii /lii de t /lii li te "forum6700" le nombforum-fil"i li te "forum6700" le nomb7;est t"i nme remiè"coa rt"i nme remiè"head"i h3tLnche une réponse positi $1ant hh4>nor24l4 rs 2013 p> 14:53,217;osylvnin banest a/ta4> $ exi nme remiè"mnombgb"i ute e ursr,aticien Mir a7édenue 7;bacno strelis imr' /> 7;on

    ldbattre upédagogcrib.ien s,heminombre s,hre de Goldba&e, mase a e de bres pairs entre <#171

    alore0

    alorien russentrer qu̵' /> a tondrtn substa nombre217nu.rTert impTao,relman en a ajoudale.

    alorFAF4rntrer qu̵'&embr vers 1 PrpTao,r />vemêmordete de é paes n nomb,bsp;»,

  • nles ad

    alorie217nuntrer qu̵'[ caédencecncent demettrebeauumup7;afuempr],hre de Goldba/p>rn 182 vale abootre p> arXiv.org/tesh:oy ue='La coLa-he une ré-de-Gght='210'473.html?id_forum=6700#7;est tn imremiè"repwn itR.

    meedéré mnombgb/tes $ exi $ exi /lii /lii li te "forum6706" le nombforum-fil"i li te "forum6706" le nomb7;est t"i nme remiè"coa rt"i nme remiè"head"i h3tLnche une réponse positi $1ant hh4>nor24l4 rs 2013 p> 19:01,217;oon po M7;ban/ta4> $ exi nme remiè"mnombgb"i ute e ursr,;7/td>

    Sc;bacno onsT.pTao ayonaccept c’pub58Fn en mbarmula), ovhée $3$nn en no éromitsamd.

    Schti> Iu resbu,meeqir ceû versvnlmbrefé meedéré mnombgb/tes $ exi $ exi /lii /lii li te "forum7495" le nombforum-fil"i li te "forum7495" le nomb7;est t"i nme remiè"coa rt"i nme remiè"head"i h3tLnche une réponse positi $1ant hh4>nor29 nose us 2013 p> 07:30,217;oLIGNE/ta4> $ exi nme remiè"mnombgb"i uteJpairs est s parnne ee dombre >repre de Goliquei un débu

    aloriee dIMG/png4 man en aqs='ntrer qu̵que tout/td>

    alordoub scolaritntrer qu̵'othèsi1es ooreton a mxIl une réAFhaqe positiveoê ? ate gores l paes

    alorpbre p;r' ;y ait pntrer qu̵.;/td>

    alorFs nomurntrer qu̵'haques ooreton a,' /> rigoureuxdaptedérentatit danare pair d"titre"padi parre hyr ousp> ttl s tes l ers 1onpbre p.;/td>

    alorbuhanntrer qu̵'&meni#8p h#82ilitsamd. Notre raîtrel ss ln en bre de f/td> he euinoe car' avd de n en ;rre pair donnooreton a (17;otadr nomb' /> rpan esmbr)brC/hang avd de n en ;Nototnnnne raffieeo217;ubrefombr en ;r's ooreton a 8de vrelleurste au sap#teeent1brC/' /> le nombre0rns qrs plus pet nnaer,;br' lale.

    meedéré mnombgb/tes $ exi $ exi /lii /lii li te "forum7499" le nombforum-fil"i li te "forum7499" le nomb7;est t"i nme remiè"coa rt"i nme remiè"head"i h3tLnche une réponse positi $1ant hh4>nor30 nose us 2013 p> 06:42,217;oLIGNE/ta4> $ exi nme remiè"mnombgb"i uteSour as suheminombvd deédversmnombgb,lvop a7ns $5s qgu grante au sap#idemin ipore is entreh:oyant "Soibre but.
    meedéré mnombgb/tes $ exi $ exi /lii /lii li te "forum7511" le nombforum-fil"i li te "forum7511" le nomb7;est t"i nme remiè"coa rt"i nme remiè"head"i h3tLnche une réponse positiotr etbrv>

    Schti>s à ce p71ant hh4>nor2di pae us 2013 p> 12:19,217;oLIGNE/ta4> $ exi nme remiè"mnombgb"i uteJparcrirt s pare socumuir admet a;un résIlsobtenirs nnueiers) ; Notre raoùstarmuN.aticien A, dique devdxonpbre psjIMGtl p epe pair d10^6m. Ellosllir ccep raffin8217;on ava7;on aspaerotr f/td> meedéré mnombgb/tes $ exi $ exi /lii /lii li te "forum7887" le nombforum-fil"i li te "forum7887" le nomb7;est t"i nme remiè"coa rt"i nme remiè"head"i h3tLnche une réponse positi $1ant hh4>nor11 févrit u2014 p> 03:01,217;oLamboley/ta4> $ exi nme remiè"mnombgb"i uteJpaeeques het capa1 million (lelman en a ajouet drffisamrec17;unmepbs res, '&menwww.lamboleyemeedéré mnombgb/tes $ exi $ exi /lii /lii li te "forum9988" le nombforum-fil"i li te "forum9988" le nomb7;est t"i nme remiè"coa rt"i nme remiè"head"i h3tLnche une réponse positi $1ant hh4>nor20ellr, '2015 p> 15:05,217;oamma/ta4> $ exi nme remiè"mnombgb"i uteje8217;un nom 17;bbrl à $17+2,17;au plus $y ait uldbaun'&mc nomeureste au stade des hypothèses obr' /> ignei =prk +1; cate au s=2kte au s+1; caignei +ate au s= 2(k+kte au s)+2' /> Notopbre /ploy ue='La coLa-he une ré-de-Gght='210'473.html?id_forum=9988#7;est tn imremiè"repwn itR.

    meedéré mnombgb/tes $ exi $ exi /lii /lii li te "forum12628" le nombforum-fil"i li te "forum12628" le nomb7;est t"i nme remiè"coa rt"i nme remiè"head"i h3tDnne ee dombre >217;utiliser le binp>rn dse positi-Euler $1ant hh4>nor21l4 rs p> 11:58,217;oinvitr>8/ta4> $ exi nme remiè"mnombgb"i ute e ursr,aticien Je ms dbachs d de comcrirtenue 7;est tbre airsr ce3$ loùsltablesolnmbre >217;uvtablcitsamd.madbaemie positi igns entre <#171

    alorT7;au plus Ppothers. http://coe s-srsrcls.7;est tca pair .n c/srsrcl/101870-dee ee dombre-de-la-he une ré-t ra-de-ight='210embre/tesh/td> 7obtentl ers a#8217;unomp> Nototicien rmpe'&mc ton pas possib Noto7;ubree ee dombre >teoue et de touteEn us feur nombre ee dombrelle utcasp> 7otre ln de deitsamexactaraît danoùsltahe une répNotoienalissa821dench Ppothèses ,e !

    P mesureaît st 6k ±=1s(ns $5s qomboraers 1onPe s> P mesure2; ca3)admet a;un rés ttl thèse limitant le nombre de cases(Ppoth- 6) / 6pNotoégalnare pair d>217png'to, ntenombre sl rn man>ttl vers 1onFs no0xHsraddienatp.;/td> .$101$ noCordilno verrploy ue='La coLa-he une ré-de-Gght='210'473.html?id_forum=12628#7;est tn imremiè"repwn itR.

    meedéré mnombgb/tes $ exi $ exi /lii /lii li te "forum13213" le nombforum-fil"i li te "forum13213" le nomb7;est t"i nme remiè"coa rt"i nme remiè"head"i h3tLnche une réponse positi $1ant hh4>nor18 ocle="e p> 15:28,217;okefif/ta4> $ exi nme remiè"mnombgb"i uteCe une réponse positip entre l/td>

    alorT7;au plus $poth idée asseouspgalnz pr ldbaéjà un début.
    211 vi8217;u

    r sa8éjà lleure’tre raîtreseunomrt. rre hitr.

    aapa1 ’, lNototre h#8217;d. meedéré mnombgb/tes $ exi $ exi /lii /lii de t $ exi nme remiè"block-7;est t" te "7;est tar"i h2>Lae ta;otadr;est tbre $1a2i ème le nombforssaire _re d forssaire _forum ajax" te "forssaire _forum"> Forum &menle posait /legend>

    Prsr 17;bacipesez cît um, vautop ous ani urnie no vautoe’êrare.ato mregisn s ,evautodev levautoinsolaro.atici

    e='La coe d.php?pe a=logan&url=La-he une ré-de-Gght='210'473.html"eCe nexion/tes | e='La coe d.php?pe a=idveraficnts&amp;lang=fr&moe =6forum">s’,lsolaro/tes | e='La coe d.php?pe a=e dé mas&lang=fr">mot de  mase oub ié ?/tes ployan$fajldse'> N$ exis $ exi nme remiè"block-rebltsd" te "

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    <180back $ai $ exi nme remiè"br ume"i nme remiè"age/p"ie='La coN.
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    5 ocle="e 2017width:ii nme remiè"217hor"i e='La co_Germoni-Jero v_.html">Jres à Germoni/tes $ exi nme remiè"detentp"iUn/emierLlesonb'7;bacnopremier$ai $ exi /lii lii nme remiè"300xH"i ne='La coDr -jIMGmx-barm-la-fams,l-des-s. Dans-nos pré-III.html"premiè"pgran-vertH"i ndbach-1000000-2-e8580gd2/6d/30122f2418c0c7468a64db43ea3c0f0.6&?1508232599#160;ko' /2 <180back $ai $ exi nme remiè"br ume"i nme remiè"age/p"ie='La coDr -jIMGmx-barm-la-fams,l-des-s. Dans-nos pré-III.html">Dep jIMGmx nreprncfams,lis ons et repnos précIII width:3exi ni>nore='La coDr -jIMGmx-barm-la-fams,l-des-s. Dans-nos pré-III.html">21 septe us 2015width:ii nme remiè"217hor"i e='La co_bn po_m7;ban_.html">on po M7;ban/tes $ exi nme remiè"detentp"iLnche une réponons et repnos précjIMGmx notre le de repccasbre >21snné.simat u7reprnc iderbn 182 vale ? ucl <180back $ai $ exi nme remiè"br ume"i nme remiè"age/p"ie='La coDrx-tions -aion e -a17e r-des-s. Dans-nos pré.html">Drx tions aion rel17e reo2ons et repoe le nowidth:3exi ni>nore='La coDrx-tions -aion e -a17e r-des-s. Dans-nos pré.html">12 juairst 2013width:ii nme remiè"217hor"i e='La co_on po-Dusees p,964_.html">on po Dusees p/tes $ exi nme remiè"detentp"iRe1o10'&meni8relnce q8rel17e reo2onl une réAFfainféconse positi ebre sljIMGmx /> ir c8uLle u_nle 2013ban$ exi e='La coDrx-tions -aion e -a17e r-des-s. Dans-nos pré.html"premiè"linkgoldpremiè"faie he -$N$ ith:i>/emierLlesonb'7;bacnopremier$ai $ exi /lii de t $ exi $ exi nme remiè"block-r/dt> block-217hor"i h2>L'chtsolh:a2i nmei ne='La co_bn po_m7;ban_.html"> ème le nombname">on po M7;ban/tmei ème le nombbioithp>Mt per7;d.rn dsrecheair uechM man en aqs='mtre7 de comUniversitsamtu Littoral, Côtale ?OpanoprueN$ exi $ai $ exi $ exi nme remiè"block-r/dt> block-2nchors"i h conjectuto-7;est ts">le='La co#7;est tbre p"iVoirs 1onFs st tbre p (17) <222' al> < première délogo e délogosback n$ai $mei $ exi ème remiè"block-r/dt> block-ionsom"i h2> ne=le nombreemore" 'La coCaus aqs='.html">Un 7;bacno eurhasardanb5' class=' he goldpremiè"faie he -$N$ ith:i>/remier$ai $a2i nme remiè"coa rt"i ne=le nombreemore" 'La coCaus aqs='.html">C58qnoz de reo paruvr6$ 7;i7;bacno eurhasard 17;mieaux, aucun;bacnos>pub iés !$ai $ exi / exi nme remiè"block-r/dt> block-2genda"i h2> ne=le nombreemore" 'La coe d.php?pe a=2genda"iAc u> nme remiè"300xH"i ndpremiè"faie he -evrt"ih:ii ntmei nme remiè"br ume"i nme remiè"datH"i18 ocle="e 2017wimei nme remiè"age/p"iEiquei un ms dnltsolos ajorafiqno_nle man en aqs='m(CDI 6;mei'auClermont-Ferions)ntmei ntmei n$ai $lii ulii ne='La co+M mas-en-vs,l-Saint-Denis-19-21-10+.html"> nme remiè"300xH"i ndpremiè"faie he -evrt"ih:ii ntmei nme remiè"br ume"i nme remiè"datH"i17 ocle="e 2017wimei nme remiè"age/p"iM mas_nlevs,l (Saint-Denis, 19-21/10)ntmei ntmei n$ai $lii ulii ne='La co+G maering-For-Gardner-P7;is-21-10-1165+.html"> nme remiè"300xH"i ndpremiè"faie he -evrt"ih:ii ntmei nme remiè"br ume"i nme remiè"datH"i15 ocle="e 2017wimei nme remiè"age/p"iG maering For Gardners(Ppris, 21/10)ntmei ntmei n$ai $lii ulii ne='La co+M ma-mon-modele+.html"> nme remiè"300xH"i ndpremiè"faie he -evrt"ih:ii ntmei nme remiè"br ume"i nme remiè"datH"i13 ocle="e 2017wimei nme remiè"age/p"iM manmepbmodènowimei ntmei n$ai $lii ulii ne='La co+Le-m maeen a ajo-et-l-ft pobre -Be rg='-17-10+.html"> nme remiè"300xH"i ndpremiè"faie he -evrt"ih:ii ntmei nme remiè"br ume"i nme remiè"datH"i11 ocle="e 2017wimei nme remiè"age/p"iLelelman en a ajouet au ft pobre (Be rg=', 17/10)ntmei ntmei n$ai $lii ulii ne='La co+Exiv clail-3x-1-ne reps-de-Fs nomr-Brie-Comte-Robe;b-7-10-2-12+.html"> nme remiè"300xH"i ndpremiè"faie he -evrt"ih:ii ntmei nme remiè"br ume"i nme remiè"datH"i8 ocle="e 2017wimei nme remiè"age/p"iExiv clailp entre 3x+1 ne repsmd. block-Stivrn IDM$a2i ème le nombblock-newslettar"i ème le nomb300xH"i ndpremiè"faie he -plane"ih:ii ntmei nfors te "regisner_newslettar" t uhodir nst"i nlabelt ="newslettar_eenil"iNewslettar IDM$labeli ndnpute1ype"aext" name="newslettar_eenil" te "newslettar_eenil" placeholde ="Ade psome-m il"> nbuhaepbsype"submitgoldpremiè"faie he -checkith:i>/tbuhaepi ntforsi n$ exi nnt le nombblock- nlii ne='La com ilto:#EMAIL_WEBMASTER"premiè"link-coa actimage/pn"Coa actioldpremiè"faie he -coa actiol:i>/tes n$lii !-- nlii ne='La cohttps://www.facebook.7;e/I00xHsDesM maeen aqs='"premiè"link-facebookimage/pn"Facebookioldpremiè"faie he -facebookiol:i>/tes n$lii --> nlii ne='La cohttps://twittar.7;e/300xHsdes4 mas"premiè"link-twittarimage/pn"Twittarioldpremiè"faie he -twittariol:i>/tes n$lii !-- nlii ne='La co#"premiè"link-google$N$ image/pn"Google PN$ ithdpremiè"faie he -google$N$ iol:i>/tes n$lii --> n!--nlii ne='La coe d.php?pe a=backondrremièlink-rssimage/pn"RSSgoldpremiè"faie he -rssith:i>/tes n$lii--> de t d exi ème le nombblock-lef> block-navigombre"> nnt> nlii nh3eEn é moait /ant nnavt nnt> nliine='La coe d.php?pe a=n;bacnos-rec17tp"iA;bacnos>réc17tpwidth:lii nliine='La co-La-tribun-des-m maeen a ajos-.html">Tribunwidth:lii nliine='La coe d.php?pe a=2genda"iAgendawidth:lii nliine='La co-Defis-du-Calt17imr-m maeen aqs=-.html">Défisre sl4 maswidth:lii nliine='La co-L-debat-du-18-.html">Débatrtu 18width:lii nliine='La co-Rovh-de-pe pso-.html">Rovhêelnossswidth:lii nliine='La coe d.php?pe a=lexaqs="iLexaqs=width:lii de t dnavt n$lii lii nh3eD,mbresenlisl4 man en aqs='/ant nnavt nnt> nliine='La co-M maeen aqs='-e rettrs-.html">M man en aqs=', e rettrswidth:lii nliine='La co-En-E déeux nmtre7 de com parlwidth:lii nliine='La co-M maeen aqs='-entl urs-46-.html">M man en aqs=' entl urswidth:lii nliine='La co-L-IHP-m isre-d-hisno>rns-.html">Lv>

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