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Rediffusion d’un article publié le 20 mars 2013.

La conjecture de Goldbach

Piste bleue Le 24 mars 2020  - Ecrit par  Bruno Martin Voir les commentaires (34)
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Quelle drôle d’idée d’additionner des nombres premiers ! C’est pourtant ce qu’a fait un certain Goldbach il y a plus de 250 ans...

Rediffusion d’un article publié le 20 mars 2013.

Dans cet article, nous allons partir à la découverte d’une des plus célèbres conjectures mathématiques. Elle a été énoncée en 1742 par le mathématicien allemand Christian Goldbach dans une lettre (qui constitue le logo de cet article) au mathématicien suisse Leonhard Euler [1]. Il s’agit ainsi d’un des plus vieux problèmes mathématiques irrésolus à ce jour.

La conjecture de Goldbach fait intervenir les nombres premiers.
Plutôt que de livrer d’emblée son intitulé, nous allons commencer par
présenter l’ensemble des nombres premiers, donner sa propriété fondamentale et voir
les raisons qui peuvent conduire à énoncer la conjecture de Goldbach.

Dans tout l’article, il ne sera question que de nombres entiers plus grands que $1$, c’est-à-dire des nombres $1,2,3,\ldots$. De plus, lorsque nous dirons qu’un nombre est plus grand qu’un autre, c’est à prendre au sens large, c’est-à-dire que ces deux nombres peuvent éventuellement être égaux.

Les nombres premiers

On dit qu’un nombre est premier s’il n’est divisible que par 1 et lui-même, et qu’il est plus grand que 2 [2]. Le nombre $1$ n’est donc pas premier. Les nombres $2$ et $3$ sont premiers, ils ne sont divisibles que par eux-mêmes et 1. En revanche le nombre $4$ n’est pas premier puisqu’il est divisible par $2$.
En fait, si l’on connaît bien ses tables de multiplication, il est facile de commencer la liste des nombres premiers :
\[ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53... \]
Cette liste s’arrête-t-elle ? Nous en reparlerons plus tard.
Le résultat suivant justifie à lui tout seul que l’on s’intéresse aux nombres premiers.

Théorème : Tout nombre entier plus grand que 2 est soit un nombre premier, soit égal à un produit de plusieurs nombres premiers.

Autrement dit, en effectuant des multiplications de nombres premiers, on peut retrouver tous les autres nombres.
Vérifions-le sur un exemple : prenons le nombre 60. Il n’est pas premier puisque divisible par 10. On a
\[ 60= 6 \times 10. \]
Mais ni $6$, ni $10$ ne sont premiers. En effet, $6$ est divisible par $3$, $10$ est divisible par $5$. Plus précisément,
\[ 6 =2 \times 3 \textrm{ et }  10= 5 \times 2. \]
On peut donc écrire
\[ 60 =6\times 10 = (2 \times 3) \times (5 \times 2)= 2 \times 3 \times 5 \times 2. \]
On a terminé car $2,3$ et $5$ sont des nombres premiers [3]. En fait il n’est pas très difficile de s’inspirer de cet exemple pour démontrer le théorème.

On vient de voir qu’en multipliant les nombres premiers entre eux, on pouvait retrouver tous les nombres plus grands que 2. Se produit-il un phénomène identique en additionnant les nombres premiers ? Autrement dit, peut-on retrouver tous les autres nombres plus grands que 2 à partir des nombres premiers en n’effectuant que des additions ?

Une courte réflexion montre que la réponse à cette question est très simple. En effet en additionnant le nombre $2$ à lui-même autant de fois qu’il le faut, on peut obtenir tous les nombres pairs. Et si un nombre est impair, il suffit de lui retrancher $3$ : on obtient alors un nombre pair qui lui-même s’obtient en additionnant des $2$.
Par exemple, prenons le nombre $29$. On lui retranche $3$, on obtient $26$. Et $26$ s’obtient en additionnant treize fois le nombre $2$. On a donc $29=3+13\times 2=3+2+2+\ldots+2$.
Avec un tel procédé, plus le nombre est grand, plus il faut effectuer d’additions.
Que se passe-t-il si on limite le nombre d’additions ?

Question : Peut-on obtenir n’importe quel nombre plus grand que $2$ en n’additionnant que des nombres premiers, et sans jamais excéder un nombre fixé d’additions ?

Par exemple, est-on capable de se limiter à vingt additions de nombres premiers pour retrouver n’importe quel nombre ?
Cette fois, la réponse à cette question est très loin d’être évidente.

Commençons déjà par voir ce qui se passe lorsque l’on additionne seulement deux nombres premiers. Pour l’instant nous mettons de côté le nombre $2$ et nous allons calculer toutes les sommes possibles avec des nombres premiers compris entre $3$ et $19$. Pour cela nous disposons ces nombres premiers sur la première ligne et la première colonne d’un tableau à double entrée,

3 5 7 11 13 17 19
3
5
7
11
13
17
19

et nous allons remplir ce tableau de la manière suivante : dans chaque case on calcule la somme des deux nombres premiers indexant cette case.
Allons-y :

3 5 7 11 13 17 19
3 6 8 10 14 16 20 22
5 10 12 16 18 22 24
7 14 18 20 24 26
11 22 24 28 30
13 26 30 32
17 34 36
19 38

Il n’est pas utile de remplir les autres cases car les résultats seront exactement les mêmes que dans la partie supérieure du tableau.

Première constatation, toutes les sommes obtenues sont des nombres pairs. Est-ce surprenant ? Non, car un nombre premier supérieur ou égal à $3$ est toujours impair. En effet, s’il était pair, il serait divisible par $2$, et il ne pourrait pas être premier. Et lorsque l’on additionne deux nombres impairs, le résultat est toujours un nombre pair.

Par ailleurs, le plus grand nombre pair obtenu est 38 et l’on constate que tous les nombres pairs compris entre 6 et 38 sont présents dans le tableau. Ce phénomène perdure-t-il ?
Pour le savoir, poursuivons un peu nos calculs en additionnant tous les nombres premiers compris entre 3 et 29. Pour cela il suffit de rajouter deux lignes et deux colonnes à notre tableau initial

3 5 7 11 13 17 19 23 29
3 6 8 10 14 16 20 22
5 10 12 16 18 22 24
7 14 18 20 24 26
11 22 24 28 30
13 26 30 32
17 34 36
19 38
23
29

puis de compléter les cases manquantes.

3 5 7 11 13 17 19 23 29
3 6 8 10 14 16 20 22 26 32
5 10 12 16 18 22 24 28 34
7 14 18 20 24 26 30 36
11 22 24 28 30 34 40
13 26 30 32 36 42
17 34 36 40 46
19 38 42 48
23 46 52
29 58

Le plus grand nombre pair obtenu est $58$. On obtient presque tous les nombres pairs compris entre $6$ et $58$ mais pas tous : $44$, $50$, $54$ et $56$ manquent à l’appel. Mais ils vont apparaître dès que l’on ajoutera les lignes et colonnes correspondant aux deux nombres premiers suivants, $31$ et $37$, puisque $44=31+13$, $50=31+19$, $54=31+23$ et $56=37+29$.

Ces calculs nous amènent donc naturellement à imaginer que si l’on continuait d’étendre ce tableau en ajoutant des nombres premiers, on obtiendrait progressivement tous les nombres pairs plus grands que $6$. En d’autres termes tout nombre pair plus grand que 6 pourrait être obtenu en additionnant deux nombres premiers. Remarquons que $4$ est aussi somme de deux nombres premiers puisque $4=2+2$.
Il semble donc qu’une addition de deux nombres premiers suffise pour obtenir n’importe quel nombre pair plus grand que $4$.

Peut-on faire de même pour les nombres impairs ? Pour obtenir un nombre impair avec une addition, il faut additionner un nombre pair et un nombre impair. Le seul nombre premier pair est $2$ et jusqu’à présent, nous l’avions mis de côté. En l’additionnant aux nombres premiers impairs, va-t-on obtenir tous les nombres impairs ? Cela voudrait dire que tout nombre impair est immédiatement précédé d’un nombre impair qui est premier, ce qui est faux puisque ce n’est déjà pas le cas pour 11 (Le nombre impair qui le précède, 9, n’est pas premier). Bref, on ne peut pas espérer retrouver tous les nombres en se limitant à une addition de deux nombres premiers.

Partons de l’hypothèse que tout nombre pair plus grand que $4$ est effectivement somme de deux nombres premiers. Il est alors facile de voir qu’un nombre impair plus grand que $7$ est toujours somme de trois nombres premiers. En effet si on lui retranche $3$, on obtient un nombre pair plus grand que $4$, qui est donc somme de deux nombres premiers d’après notre hypothèse. En additionnant ces deux nombres premiers et le nombre 3 on retombe sur le nombre de départ qui est donc bien somme de trois nombres premiers.

Notons que $2$, $3$ et $5$ sont déjà des nombres premiers et donc qu’aucune addition de nombres premiers n’est requise pour les obtenir. Il semble donc que tout nombre plus grand que 2 est soit premier, soit somme de deux ou trois nombres premiers, ce que nous résumerons en disant que tout nombre est somme d’au plus trois nombres premiers.
À quelques nuances près, c’est exactement la conjecture que Goldbach a formulée dans sa lettre à Euler.
Mais généralement on assimile la conjecture de Goldbach à l’hypothèse faite plus haut sur les nombres pairs, qui avait été énoncée par Euler dans sa réponse à Goldbach.

Conjecture (Goldbach-Euler, 1742) : Tout nombre pair plus grand que $4$ est somme de deux nombres premiers.

Dans la suite, sauf précision contraire, c’est cet énoncé que nous désignerons par conjecture de Goldbach.

Comme on vient de le voir, la conjecture de Goldbach entraîne que tout nombre plus grand que $2$ est somme d’au plus trois nombres premiers. On observe ainsi un phénomène surprenant. Alors que les nombres premiers sont avant tout connus pour leur aptitude à retrouver tous les autres nombres avec des multiplications, il semble possible de le faire aussi en effectuant des additions, et pas plus de deux. Mais rappelons qu’à ce stade, nous n’avons rien démontré : nous ne sommes toujours pas en mesure de fournir une réponse fiable à notre question initiale, à savoir peut-on obtenir tous les nombres en n’effectuant qu’un nombre limité d’additions de nombres premiers ?

Nous reviendrons à cette question plus tard. Pour l’instant nous allons nous concentrer quelques instants sur la conjecture de Goldbach et tenter d’y apporter quelques lumières.

La conjecture de Goldbach est-elle vraie ?

Il y a deux réponses possibles à cette question. Soit c’est non et cela revient à dire qu’il existe au moins un nombre pair qui n’est pas somme de deux nombres premiers, ce qu’on appelle un contre-exemple. Pour le trouver, on peut écrire un programme informatique pour déterminer si un nombre pair donné est somme de deux nombres premiers, puis l’utiliser pour tester plusieurs nombres pairs. Jusqu’à présent cette méthode n’a fourni aucun contre-exemple : actuellement on a vérifié que tout nombre pair inférieur à $4\times10^{18}$ est bien la somme de deux nombres premiers [4]. Si un contre-exemple existe, il est immense !

Voilà qui plaide fortement en faveur d’une réponse affirmative : la conjecture de Goldbach est sans doute vraie. Mais dans ce cas il faut en donner une démonstration. Et pour l’instant personne n’y est parvenu. La conjecture de Goldbach, à l’image du problème 3n+1, est un problème qui en dépit de son énoncé élémentaire, reste insoluble à l’heure actuelle.

Néanmoins, tentons crânement notre chance en raisonnant sur notre tableau extensible, et commençons par nous faire l’avocat du diable en cherchant brièvement à réfuter cette conjecture !

Essayons de prouver que la conjecture de Goldbach est fausse

Nous avons commencé à dresser la liste des nombres premiers. Que se passerait-il si celle-ci s’arrêtait ? Pour fixer les idées, supposons qu’il y ait un million de nombres premiers mais pas plus. La conjecture de Goldbach serait fausse tout simplement. En effet, notre tableau s’arrêterait. Il serait gigantesque, comporterait un nombre certes considérable de cases, mais ne pourrait jamais contenir tous les nombres pairs qui sont en nombre infini !
Mais justement, la liste des nombres premiers ne s’arrête pas. Autrement dit, il existe une infinité de nombres premiers. Et cela on sait le démontrer [5].

Soit, il existe des nombres premiers aussi grands que l’on veut, mais il est possible qu’ils soient très rares. Il n’est pas facile de mettre un sens précis sur le terme rare. Imaginez que vous vous promeniez sur un chemin jalonné de bornes numérotées de $1$ à... l’infini, et que vous consigniez sur un carnet les nombres premiers que vous rencontrez. Vous êtes certain de rencontrer des nombres premiers tant que vous poursuivrez votre marche. Mais il se pourrait que la distance à parcourir entre un nombre premier et le suivant soit globalement de plus en plus longue. À tel point que l’on pourrait imaginer que le choix de nombres premiers
soit trop limité, et qu’il n’y en ait pas assez pour obtenir tous les nombres pairs. Nous n’en disons pas plus pour le moment.

Il semble en tout cas qu’une bonne estimation de la fréquence des nombres premiers soit un ingrédient important sinon essentiel pour appréhender la conjecture de Goldbach.

Essayons de démontrer que la conjecture de Goldbach est vraie... jusqu’à 100

Poursuivons notre réflexion en essayant cette fois de mettre à jour des arguments
qui pourraient plaider en faveur de la conjecture de Goldbach.
En agrandissant encore un peu notre tableau et en effectuant les additions nécessaires, nous pourrions vérifier que tout nombre pair compris entre $4$ et $100$ est somme de deux nombres premiers. Mais essayons de parvenir à ce résultat sans calculer ces additions !
Nous allons utiliser tous les nombres premiers compris entre $3$ et $53$ (si l’on s’arrête à $47$, nous n’avons aucune chance d’obtenir le nombre $100$)
et donc essayer de raisonner sur ce tableau non rempli.

3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53

Combien y a-t-il de cases coloriées en jaune et vert ? Autrement dit combien de résultats allons-nous obtenir ? Le tableau complet comporte $15$ lignes et $15$ colonnes car il y a $15$ nombres premiers compris entre $3$ et $53$. Il y a donc $15\times 15=225$ cases au total. Il y a autant de cases jaunes que de cases bleues, et la diagonale verte comporte
$15$ cases. Il y a donc $(225- 15)/2$ soit $105$ cases jaunes. On y ajoute les $15$ cases de la diagonale, au total nous allons donc obtenir $120$ nombres pairs compris entre
$6$ et $106$ $(=53+53).$ Tous les nombres pairs entre $6$ et $106$ ?

Entre $6$ et $106$ (inclus), il y a $101$ nombres, et parmi ceux là $51$ sont pairs. Les $120$ cases sont donc largement suffisantes pour accueillir ces $51$ nombres. Mais rappelons-nous de nos premiers tableaux : certains nombres pairs s’obtiennent de plusieurs manières en additionnant deux nombres premiers. Par exemple, le nombre $24$
est égal à $17+7$, $19+5$ et $13+11$. On voit alors le problème qui se pose : si certains nombres pairs « mobilisent » trop de nombres premiers, il se pourrait qu’il n’y ait plus assez de nombres premiers pour obtenir tous les autres. Dans nos précédents tableaux, aucun nombre n’occupe plus de $3$ cases.
Faisons l’hypothèse que cette limite de $3$ cases par nombre reste inchangée lorsque l’on agrandit le tableau ; autrement dit qu’un nombre, quel qu’il soit, ne puisse pas apparaître plus de $3$ fois dans le tableau.
Cela voudrait dire que nos $120$ cases vont nous permettre d’obtenir au moins $120/3 =40$ nombres pairs distincts. Notre tentative échoue car il faut en obtenir $51$.
Notons que notre raisonnement repose sur deux renseignements : le nombre de nombres premiers compris entre $3$ et $53$, et le nombre maximum de cases occupées par un nombre pair.
Maintenant confrontons nos considérations à la réalité en complétant le tableau.

3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53
3 6 8 10 14 16 20 22 26 32 34 40 44 46 50 56
5 10 12 16 18 22 24 28 34 36 42 46 48 52 58
7 14 18 20 24 26 30 36 38 44 48 50 54 60
11 22 24 28 30 34 40 42 48 52 54 58 64
13 26 30 32 36 42 44 50 54 56 60 66
17 34 36 40 46 48 54 58 60 64 70
19 38 42 48 50 56 60 62 66 72
23 46 52 54 60 64 66 70 76
29 58 60 66 70 72 76 82
31 62 68 72 74 78 84
37 74 78 80 84 90
41 82 84 88 94
43 86 90 96
47 94 100
53 106

Deux constats s’imposent :

  • Notre hypothèse limitant le nombre de cases occupées par chaque nombre pair à $3$ était loin du compte, puisqu’il apparaît que certains nombres comme $60$ apparaissent six fois.
  • Il n’était de toute façon pas possible d’obtenir tous les nombres pairs inférieurs à $106$ de cette manière, puisque par exemple $92$ ($=31+61$) n’y figure pas. Notre restriction aux nombres premiers inférieurs à $53$ était trop sévère ! Nous avions déjà été confronté à ce phénomène lorsque nous avions considéré le tableau faisant intervenir les nombres premiers compris entre $3$ et $29$.

Bref, notre raisonnement échoue et de toute façon, il ne reposait pas sur une hypothèse valable. Néanmoins il s’avère qu’il peut être rendu rigoureux et qu’en somme, si l’on est capable

  1. d’évaluer le nombre de nombres premiers plus petit qu’un nombre donné (il faut être sûr qu’il y a suffisamment de nombres premiers) ;
  2. d’affirmer que le nombre de fois qu’un nombre pair donné apparaît dans le tableau (on dit le nombre de représentations d’un entier pair comme somme de deux nombres premiers) n’est pas « trop élevé »,

alors on peut montrer qu’une proportion, disons importante, de nombres pairs est bien somme de deux nombres premiers, ce qui est déjà un début.
Notons le caractère astucieux de cette démarche : pour montrer que chaque nombre pair admet au moins une représentation (c’est une reformulation de la conjecture de Goldbach), on essaie d’utiliser le fait qu’il ne peut pas en avoir trop.

En fait, le point 1 découle d’un résultat établi en 1851 par le mathématicien russe Pafnouti Tchebychev. L’énoncé est assez technique et dit en substance que, certes les nombres premiers se font de plus en rares au fur et à mesure que l’on avance sur notre chemin indexé par les nombres, mais pas trop tout de même !

Le point 2 peut être abordé en employant ce que l’on appelle des techniques de crible. Peut-être avez-vous vu le crible d’Eratosthène pendant votre scolarité ? Il peut être raffiné pour obtenir des résultats de ce genre, c’est ce que fit notamment le mathématicien norvégien Viggo Brun vers 1920. Signalons qu’en fait, on pense que le nombre de représentations d’un nombre pair croît globalement avec la taille du nombre. On peut d’ailleurs calculer pour les premiers nombres pairs leur nombre de représentations et reporter ces résultats sur un graphique : on obtient un nuage de points dont l’allure remarquable a suggéré le nom de comète de Goldbach.

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La comète de Goldbach

On y lit par exemple qu’un nombre pair de l’ordre de 1 million (la notation 1e+06 signifie $1\times 10^6$) a un nombre de représentations au moins supérieur à 2000. En fait, on a même une idée assez précise de ce que devrait être l’ordre de grandeur théorique du nombre de représentations d’un nombre pair donné. Mais on en reste au stade des hypothèses bien sûr.

À ces deux ingrédients, le mathématicien russe Lev Genrikhovich Schnirelman en a ajouté un troisième — que nous ne décrirons pas ici—
qui ne permet pas de démontrer la conjecture de Goldbach, mais donne en revanche une réponse positive à notre question initiale.

Théorème (Schnirelman, 1930) : Il existe un nombre $N$ tel que tout nombre plus grand que 2 est somme d’au plus $N$ nombres premiers.

Schnirelman prouve que ce nombre $N$ existe, sans donner de valeur explicite.
Depuis, plusieurs mathématiciens ont fourni un travail conséquent pour donner des valeurs admissibles aussi basses que possibles pour $N$. Nous avons vu plus haut que l’on ne pouvait pas espérer prendre $N=2$, et que l’on espère (c’est la conjecture de Goldbach sous sa forme originale) pouvoir montrer que $N=3$ est admissible. Le dernier résultat reconnu à ce jour affirme que l’on peut prendre $N=6$, il est dû à Terence Tao (2012), qui améliore ainsi le dernier record détenu depuis 1995 par Olivier Ramaré avec $N=7$ [6]. Il est fort possible que $N=4$ soit obtenu prochainement. Est-on donc tout près de $N=3$, la valeur conjecturée par Goldbach dans sa lettre ? Non. Il semble qu’un gouffre nous en sépare. Comme nous l’avons déjà indiqué, la conjecture de Goldbach (sous sa forme originale ou celle donnée par Euler) est jugée extrêmement difficile, et rien n’indique qu’elle sera résolue dans un futur proche, en dépit de l’immense travail produit par de nombreux mathématiciens.

Tout ça pour quoi ?

La conjecture de Goldbach, si elle était démontrée, ne constituerait sans doute pas un résultat très important en soi : contrairement à d’autres conjectures mathématiques, elle n’a aucune influence directe sur d’autres problèmes, et elle ne répondrait pas à un besoin pratique quelconque [7]. Elle constituerait plutôt la fin d’une longue épopée. Une épopée loin d’être vaine car elle a motivé et motive encore le développement de techniques mathématiques très fines, notamment la théorie du crible mentionnée plus haut, dont les champs d’applications sont vastes. Que cette conjecture résiste depuis si longtemps aux esprits les plus brillants laisse penser que de nouvelles idées sont nécessaires. Idées qui, si elles venaient à germer, jetteraient sans doute un nouvel éclairage sur ces fascinants nombres premiers, que nous comprenons encore trop mal.

Post-scriptum :

L’auteur remercie vivement Shalom Eliahou, Christophe Bourel, Cidrolin, Barbara Schapira, Christophe Boilley, Aline Parreau et Bruno Duchesne pour leur relecture minutieuse et critique de cet article, ainsi que Jean Fromentin pour sa précieuse aide technique.

Article édité par Bruno Martin

Notes

[1] On peut trouver ici une retranscription dactylographiée de cette lettre. Avis aux amateurs d’allemand et de latin !

[2] Sans cette condition, le nombre $1$ serait aussi un nombre premier. Mais certaines considérations que nous n’évoquerons pas ici ont conduit les mathématiciens à l’exclure. Notons qu’à l’époque de Goldbach, le nombre 1 était considéré comme premier.

[3] On aurait pu commencer par écrire $60=4 \times 15$ ou encore $60=5\times 12$ mais on aurait finalement obtenu les mêmes nombres premiers avec le même nombre d’apparitions. On peut démontrer plus généralement que mis à part l’ordre dans lequel on fait les multiplications, il n’y a qu’une manière d’obtenir un nombre donné en effectuant des produits de nombres premiers.

[4] « on » est en l’occurrence le portugais Tomás Oliveira e Silva.

[5] La première démonstration est attribuée à Euclide. On peut facilement la trouver sur internet.

[6] D’autres résultats partiels sur la conjecture de Goldbach peuvent être consultés sur la page wikipedia qui lui est dédiée.

[7] à ma connaissance...

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Pour citer cet article :

Bruno Martin — «La conjecture de Goldbach » — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - La lettre de Goldbach à Euler
source : http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Letter_Goldbaxh-Euler.jpg

Commentaire sur l'article

  • La conjecture de Goldbach

    le 20 mars 2013 à 13:30, par denise

    Bonjour,

    Dans le paragraphe « Comme on vient de le voir... », pourquoi écrivez-vous « en effectuant des additions, et pas plus de deux ». J’aurais plutôt écrit « et pas plus d’une ».

    Est-ce parce que vous considérez a+b comme une addition différente de b+a ?

    Ci-dessous, l’adresse du site dans lequel j’ai consigné toutes mes pérégrinations d’amatrice (ayant reçu une formation de recherche en informatique) autour de la conjecture de Goldbach ?

    http://denise.vella.chemla.free.fr

    Cordialement,

    Denise Chemla

    Répondre à ce message

  • La conjecture de Goldbach

    le 20 mars 2013 à 16:18, par Bruno Martin

    Bonjour,

    Dans ce paragraphe on s’intéresse à tous les nombres plus grands que 2, pas seulement les nombres pairs. Et pour obtenir le nombre 11 (par exemple), on est obligé de faire deux additions de nombres premiers, une seule ne suffit pas.
    Cordialement,
    B. Martin

    Répondre à ce message

    • La conjecture de Goldbach

      le 23 juillet 2013 à 17:12, par loic

      désolé de vous contredire,mais dans la conjecture de Goldbach il précise je cites : «  »Tout nombre pair supérieur à 2 est la somme de deux nombres premiers." donc il ne parle pas des nombres impairs.
      cordialement B. loic

      Répondre à ce message

    • La conjecture de Goldbach

      le 2 avril 2022 à 05:39, par Prasllin Axel

      Bonjour Monsieur Bruno Martin,merci beaucoup pour cet article fascinant.Personnelement je suis sur ce problème depuis 2 ans et mon approche est algébrique ,et j’ai representé les entiers comme combinaison linéaire de 2 et de 3 comme vous l’as faites juste avant la question initiale,et je suis maintenant à la terme de ma preuve.Très prochainement,je souhaiterai que vous tous dans ce forum liserais mon travail.
      Cordialement,

      Répondre à ce message

  • La conjecture de Goldbach

    le 20 mars 2013 à 16:46, par denise

    Au temps pour moi,

    Merci.

    Denise Chemla

    Répondre à ce message

  • La conjecture de Goldbach

    le 22 mars 2013 à 12:35, par gilbert lefeu

    Bonjour
    dans le constat qui est fait, une supposition me paraît pas possible :
    si certains nombres pairs « mobilisent » trop de nombres premiers, il se pourrait qu’il n’y ait plus assez de nombres premiers pour obtenir tous les autres.
    ceci est impossible car il n’y a que trois cas possible
    les entiers 30k, les entiers 6k congrus : 1,2,3 ou 4 modulo 5
    et les entiers congrus 2 ou 2P modulo 30 avec p premier tel que 5 < P < 31.Les seuls entiers pairs qui mobilisent le plus de premiers, sont donc les 30k, 4 couples sur 4, puis les 6k non congrus 0[6],3 couples sur 4, et enfin les derniers 2n = 2 ou 2P[30] qui mobilisent 1,5 couples sur 4, de premiers (p,q).
    On peut donc admettre que les 30k sont un générateur de couples (p,q) pour décomposer en somme de deux premiers (p,q) les entiers 6k, et 2n = 2 ou 2P[30], dans un intervalle fixé ; plus ou moins 30.

    Répondre à ce message

    • La conjecture de Goldbach

      le 24 mars 2013 à 18:36, par Bruno Martin

      Bonjour,
      c’est sans doute impossible puisque qu’il y a de fortes présomptions pour que la conjecture de Goldbach soit vraie !
      J’avoue ne pas comprendre la suite de votre message.
      Cordialement,
      B. Martin

      Répondre à ce message

  • La conjecture de Goldbach

    le 23 mars 2013 à 15:16, par électron

    On pourrait aussi imaginer que cette conjecture soit à la fois vraie et indémontrable. Or vous avez omis de mentionner cette éventualité. Pourquoi ?

    Merci pour cet article.

    Olivier

    Répondre à ce message

    • La conjecture de Goldbach

      le 24 mars 2013 à 18:47, par Bruno Martin

      Bonjour,
      merci pour votre intérêt. Je n’en parle pas, car d’une part je ne suis pas du tout familier des théorèmes d’incomplétude de Gödel, et d’autre part je ne vois pas de raison d’en parler plus pour la conjecture de Goldbach que pour n’importe quelle autre conjecture.
      Bien cordialement,
      B. Martin

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  • La conjecture de Goldbach

    le 24 mars 2013 à 14:53, par sylvain bangoura

    Bonjour,

    Merci pour cet article simplissime qui du reste est très pédagogique. Mais, à mon avis, c’est le passage suivant qui pose problème : « Le dernier résultat reconnu à ce jour affirme que l’on peut prendre N=6, il est dû à Terence Tao (2012) ».

    A ce que je sache, il s’agit plutôt d’un « résultat » qui attend d’être reconnu. Terence Tao, mathématicien de réputation mondiale, a déposé en 2012 pour une revue américiane et pour arXiv. Mais, je ne pense pas que ce travail soit fini d’être validé. Il y a beaucoup de travaux [non moins importants] en cours sur cette conjecture célèbre. J’estime que « citer » seulement le Pr Tao, qui, au même titre que les autres, n’est pas encore « reconnu » [et pour cela il faudrait beaucoup de temps], c’est faire preuve de mépris à l’endroit des autres. Là, la célébrité a tendance à plomber l’effort. Et c’est tout ce qu’on peut alors déplorer !

    rXiv.org

    arXiv.org

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  • La conjecture de Goldbach

    le 24 mars 2013 à 19:01, par Bruno Martin

    Bonjour,
    merci pour votre intérêt. L’article de T. Tao est accepté pour publication dans une revue internationale à comité de lecture (Mathematics of Computation). Il y a effectivement d’autres travaux en cours, j’ai connaissance de ceux menés par Harald Helfgott pour obtenir $N=4$, et je ne manquerai pas de mettre à jour cet article dès que son travail, ou tout autre, seront dûment validés.
    Cordialement,
    B. Martin

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  • La conjecture de Goldbach

    le 29 novembre 2013 à 07:30, par LIGNE

    Je propose une démonstration dans l’emploi de deux « instruments mathématiques » :
    Le premier fournit par un « double crible » toutes les solutions aux conjectures de Goldbach, ou d’Eaton, ou situe les « paires de premiers ».
    Le second est un « compteur » de ces solutions, qui s’adapte à chaque fois au nombre initial à décomposer ou à la zone numérique dans laquelle se situent les paires.
    Si le premier est l’application de propriétés bien connues, tout en fournissant les solutions, il « butte » sur la possibilité de compter les résultats dans n’importe quelle situation ;
    Le second fait appel à une propriété générale de classement numérique qui conduit à une appréciation du nombre de solutions (par un calcul qui se formule). Cette appréciation est indépendante de la désignation des solutions trouvées avec l’appareil 1. Ce qui n’a rien d’étonnant, car la réponse s’applique à plusieurs problèmes de même nature qui ne concernent pas uniquement les nombres premiers.

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  • La conjecture de Goldbach

    le 30 novembre 2013 à 06:42, par LIGNE

    Sans écho à mon précédent message, voici donc en guise d’appui à mes dires :

    "Soit deux nombres impairs successifs quelconques.

    Entre leurs valeurs au carré, il existe toujours au moins deux paires de premiers jumeaux."

    Vérifiez, vous verrez bien.

    La formule du second appareil a conduit à cela...

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  • La conjecture de Goldbach... et d’autres !

    le 2 décembre 2013 à 12:19, par LIGNE

    Je rajoute une petite couche :

    Il était connu qu’il y avait un certain nombre de paires jumelles. Ce que j’ai annoncé, c’est que ces paires se situent dans des espaces numériques précis, et que ces espaces numériques sont situés n’importe où dans N.

    Alors, on a des paires jumelles en nombre illimité. Elles sont cependant de plus en plus espacées...
    (à suivre...)

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  • La conjecture de Goldbach

    le 11 février 2014 à 03:01, par Lamboley

    Je serais heureux qu’un mathématicien chevronné recense mon travail sur www.lamboleyetudes.net à Théorie des Nombres

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  • La conjecture de Goldbach

    le 20 avril 2015 à 15:05, par amma

    je pense que cette conjecture devient difficile à démontrer parce que les nombres premiers eux mêmes sont entourés des mystères. à part le nombre 2,tout nombre premier est un successeur d’un nombre pair donné ce qui que p = 2k +1 et p’=2k’+1 et que p + p’= 2(k+k’)+2 qui est paire/

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    • La conjecture de Goldbach

      le 10 septembre 2020 à 22:01, par Hassène

      (2x+1)+(2x’+1)= 2(x+x’)+2= 2(x+x’+1) --- 2(x+x’+1)= (2x+1)(2x’+1) 😕😕 Bizarre .

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      • La conjecture de Goldbach

        le 14 octobre 2020 à 10:50, par Hassène

        (2x+1)+(2x’+1)= 2(x+x’)+2= 2(x+x’+1) --- 2(x+x’+1)= (2x+1)+(2x’+1) / 10 = 2( 1+3+1) = ((2×1)+1) + ((2×3)+1)+1) = 3+7 ---- 3+7 = ((2×1)+1)+((2×3)+1) = 2(1+3+1)= 2+6+2 =10 😕😕 Bizarre .

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    • La conjecture de Goldbach

      le 17 décembre 2020 à 10:53, par Hassène

      (2x+1)+(2x’+1)⇔2(x+x’+1) 🙄🙄 E ( (ensemble des nombres premiers)⇔P ( ensemble des nombres pairs) 🙄🙄.

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  • Démonstration de la conjecture binaire de Goldbach-Euler

    le 21 mars 2017 à 11:58, par invité8

    Bonjour,

    Je me permets d’ajouter ce commentaire pour le cas où la résolution de la véracité de cette conjecture vous intéresserait. Il s’agit de celle écrite en 1742 par Euler en répondant à Goldbach que : « Tout nombre Pair est somme de deux nombres premiers » (à cette époque le chiffre 1 était considéré comme étant un nombre premier)

    Ayant pour ma part trouvé une astuce bien simple pour démontrer cette véracité, je vous signale que vous pouvez télécharger,
    ici : http://codes-sources.commentcamarche.net/source/101870-demonstration-de-la-conjecture-forte-de-goldbach-euler
    ... les fichiers *.pdf ci-après qui détaillent la théorie à la base de cette démonstration :

    • Goldbach_Euler_Résumé_Démo_Tableaux_GG.pdf qui est un résumé succint.
    • Goldbach_Euler_Démo_Tableaux_GG.pdf qui est la démonstration complète.

    En bref cette démonstration aboutit à la formule simple ci-après qui donne la quantité exacte de fois où la conjecture est réalisée pour un Pair donné, par les nombres Premiers de forme 6k ± 1 (donc en ignorant les Petits Premiers 2 et 3) :

    QCok = QPrem + Q2C – (Pair – 6) / 6, dans laquelle :

    • (Pair - 6) / 6 est égal au nombre de lignes contenant des sommes Petit Impair + Grand Impair = Pair avec Petit Impair de forme 6k ± 1 et Grand Impair = Pair - Petit Impair,
    • Qprem = Quantité de nombres Premiers de forme 6k ± 1 et inférieurs au Pair,
    • et Q2C = Quantité de lignes ou de sommes du type Petit Composé + Grand Composé = Pair,
    • et tout ça avec Petit Impair commençant par le nombre premier 5 et continuant tant que Petit Impair <= Pair / 2.

    Compréhensible et vérifiable par un bachelier.
    Pour s’en convaincre il suffit d’utiliser par exemple un tableur et une table de nombres premiers et de faire manuellement les comptages adéquats.
    Mais vous pouvez aussi télécharger le logiciel GolbachEuler.exe également téléchargeable via le lien précité.

    Cordialement.

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  • La conjecture de Goldbach

    le 18 octobre 2017 à 15:28, par kefif

    Conjecture de Goldbach :
    « Tout nombre pair supérieur ou égal à 2 est la somme de deux nombres premiers. »

    Dans sa forme la plus simple, elle peut s’énoncer ainsi :
    « La somme de deux nombres premiers supérieurs à 2 est paire. »
    Cela est toujours vrai puisque tout les premiers sont impairs.

    L’exception de 1 vient du fait que sa somme avec n’importe quel autre nombre
    premier donne une décompositon en produit de nombres premiers ou de premiers
    idéaux qu’il est impossible de convertir en somme de 2 nombres.
    Me trompé-je ??

    adresse du calculateur
    https://www.deleze.name/marcel/culture/premiers/calculateur/decompose.php

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  • La conjecture de Goldbach

    le 20 avril 2019 à 10:10, par CAMI

    La conjecture de Goldbach : tout nombre pair > 3 est la somme de deux nombres premiers, donc en fait tout nombre pair > 4 peut être représenté par la somme de deux nombres premiers impairs différents ou identiques.
    .
    Pour prouver la conjecture il faut et il suffit de faire la preuve que pour tout entier n > 3 il existe au moins un nombre premier P inférieur ou égal à n tel que 2n-P soit premier.

    Plus n est grand plus le nombre de nombres premiers P candidats augmente et il est évident qu’il existe au moins un nombre premier P compris entre 3 et n tel que 2n-P = Q premier.

    En effet si 2n-P était toujours composite tout nombre premier P de 3 à R=n-x, R plus grand premier < n, diviserait n ce qui est n’est pas impossible car n ne peut pas être égal à 3*5*7*...*R.
    Cela resemble à la démonstration d’Euclide de l’infinité de la suite des nombres premiers

    Répondre à ce message

    • La conjecture de Goldbach

      le 21 avril 2019 à 15:11, par CAMI

      Définissons n nombre entier positif composite c’est à dire ayant au moins deux facteurs premiers.
      Pour tout n ainsi défini il existe obligatoirement un nombre premier impair tel que 2*n-P est un nombre premier.
      Démonstration :
      Pour n tel que défini il existe toujours au moins 1 nombre premier impair < n, et le nombre de nombres premiers inférieurs à n augmente avec une fonction définie f(n)=n/log(n).
      3 est le seul nombre premier impair < 4, 3 n’est pas diviseur de 2 ni de 4 donc 2*4-3=R DOIT être premier sinon R diviserai 2 ou 4 et 3 donc R est OBLIGATOIREMENT premier, effectivement R=5.
      Quand n devient plus grand le nombre de nombres premiers impairs P(i) < n augmente, si n=50 les nombres premiers impairs < n sont : 3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47, les nombres premiers de P(2) à P(15) soit P(i) pour i de 2 à 15.
      Il y a OBLIGATOIREMENT au moins un nombre premier de la liste P(i), i de 2 à 15, tel que 2*50-P(i) est un nombre premier sinon il faudrait que 50 soit divisible par chaque P(i) ce qui à l’évidence est impossible (sauf à nier l’évidence).
      Le raisonnement est valable pour n composite aussi grand que l’on souhaite.
      Maintenant si on défini n comme étant premier impair = Q il est évident que 2*Q= Q+Q= somme de deux nombre premiers.
      Donc tout nombre pair > 4 est égal à la somme de deux nombres premiers.

      CQFD comme on écrivait de mon temps au lycée en bas de la feuille du devoir de Maths dans les années 1950 à 1956

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      • La conjecture de Goldbach

        le 29 avril 2019 à 08:22, par gilbert lefeu

        [quote]Maintenant si on défini n comme étant premier impair = Q il est évident que 2*Q= Q+Q= somme de deux nombre premiers.
        Donc tout nombre pair > 4 est égal à la somme de deux nombres premiers.[/quote]

        Raisonnement faux ,ce n’est pas par - ce - qu’il existe 2*Q qu’il existe Q+Q quelque soit 2n car cette supposition ne couvre pas l’ensemble des nombres pairs =2n
        n=7 ; 2n =7+7 ; et pour 16 , pour 18 comment tu fais...?

        il faut prouver a) que le nombre de nombres premiers q appartenant à [n ;2n] vaut environ au minimum : (n /log 2n) ; ce qui est relativement simple car c’est une conséquence directe du TNP.

        Don effectivement on a une grande quantité de nombres premiers q appartenant à [n ; 2n].
        et on sait que : (n /log 2n) < (n /log n).
        mais aucun calcule analytique n’a permis à ce jour de démontrer la conjecture ...!
        Car la solution se trouve dans la théorie des congruences , avec le fonctionnement de deux cribles E et G.
        on utilise pas le résultat, mais le principe de fonctionnement du crible G.
        Il fait ressortir deux contradictions !!!! conduisant à un raisonnement par l’absurde !!!!

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        • La conjecture de Goldbach

          le 29 avril 2019 à 11:10, par CAMI

          Ben quoi mon raisonnement n’est pas absurde ?
          De mon temps on savait plaisanter !

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          • La conjecture de Goldbach

            le 29 avril 2019 à 11:20, par gilbert lefeu

            Je n’ai pas dit le contraire ....je dis simplement en rigolant que le raisonnement est faux par forcément absurde...

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  • La conjecture de Goldbach

    le 18 février 2021 à 16:41, par gilbert lefeu

    Bonjour
    Je reviens sur cette conjecture , avec un fichier joint , ce fichier explique les raisonnements qui ne laissent aucun doute sur l’impossibilité d’une conjecture fausse. Pour cela il faut comprendre le fonctionnement de l’algorithme de Goldbach , c’est une variante du principe d’Ératosthène, qui utilise les congruences , cet algorithme était inconnu. Son fonctionnement permet de résoudre la conjecture, en utilisant deux propriétés, et une des 8 familles d’entiers naturel positifs, en progression arithmétique de raison 30.

    1) le décalage d’un rang des congruences , plus précisément le décalage d’un rang des index, permettant le départ des nombres Premiers $P$ qui criblent pour une limite $n =15k + i$ , dans une famille ou suite en progression arithmétique de raison 30 de la forme $30k + i$ , avec $i\in ( 1,7,11,13,17,19,23,29)$.

    2) Une propriété récurrente de l’algorithme, quelque soit l’une des 8 famille $30k + i$ fixée en fonction de la limite $n = 15k + i$ fixée avec $n\geqslant {150}$ ; on en déduit une conséquence directe du TNP : ie, une fonction asymptotique non nul qui permet d’estimer le nombre minimum de couples $P+q = 2n$
    Avec cette propriété qui rend impossible l’absence de solution pour la limite $n = 15(k+1) + i)$ de façon évidente.
    Autrement dit : quelque soit la limite $2n = 30k +2i$ vérifiée , alors la limite $2n = 30(k+1) + 2i$ serra obligatoirement vérifiée !

    Document joint : explication_du_raisonnement.pdf
    Répondre à ce message

  • La conjecture de Goldbach

    le 25 mars 2021 à 13:31, par gilbert lefeu

    Bonjour Mr Bruno Martin je vous joins le programme de l’algorithme de Goldbach ainsi que le pdf ci dessus avec des test illustrés sur le nombre de couples $p q = 2n$ qui sont solutions de ce nombre $2n$.
    Comme vous pourrez le vérifier et le montrer que le nombre de couples qui est solution pour un entier $2n$ est très élevé voir exponentiel lorsque $2n\to +\infty$
    En résumé la courbe du nombre de couples est en escalier comme la courbe des nombres premiers et les nombres premiers $q$ appartenant à $[n ; 2n]$ donc les complémentaires de $P'\in{[1 ; n]}$ dépendent de la congruences de ces derniers.

    Document joint : fonction_g_nombre_de_couples-2.pdf
    Répondre à ce message

    • La conjecture de Goldbach

      le 25 mars 2021 à 13:38, par gilbert lefeu

      code source de l’algorithme ci-joins et différent test .

      Document joint : nombre_de_couples_p.pdf
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    • La conjecture de Goldbach

      le 25 mars 2021 à 13:42, par gilbert lefeu

      Mr Bruno Martin :
      Code source de l’algorithme et test < n = 300 000 000 300, sur la répartition du nombre de couple $p+q $ qui décomposent un entier 2n .

      Document joint : nombre_de_couples_p-2.pdf
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  • La conjecture de Goldbach

    le 22 avril 2021 à 12:40, par gilbert lefeu

    Bonjour Mr Bruno Martin :

    Suite à ce passage de J P Delahaye en 2014 ,

    Bonjour Monsieur J P Delahaye

    Ci dessous votre commentaire fait en 2014 : relatif à la conjecture de Goldbach.

    Un nuage de points nommé comète de Goldbach. La régularité globale du nuage dessiné, où l’on observe une multitude de stries, et son désordre local apparent illustrent la régularité et l’irrégularité des nombres premiers. Comme pour les spirales de l’encadré 2, on obtient des explications partielles de ce qu’on voit, mais aucune n’est vraiment générale. D’ailleurs, si l’on savait expliquer et justifier la forme de la courbe limitant le bas du nuage, on prouverait sans doute qu’elle croît indéfiniment quand n augmente, et donc on prouverait la forme forte de la conjecture de Goldbach : le nombre de décompositions en somme de deux nombres premiers de l’entier pair n tend vers l’infini quand n tend vers l’infini. Malgré quelques progrès récents sur ce type de problèmes, personne n’a su pour l‘instant démontrer la forme classique de la conjecture, et encore moins la forme forte... et donc encore moins justifier les détails de la comète.

    Mais : supposons que la comète de Goldbach soit une erreur d’interprétation !

    C’est à dire au contraire : c’est une boule de neige simple à démontrer, avec l’algorithme de Goldbach AG qui n’a jamais été étudié, car inconnu de la communauté mathématique et l’algorithme d’Ératosthène qui est connu.

    L’AG utilise les congruences dans les entiers A non nul , impairs de 1 à N. Cet AG à des propriétés, que n’a justement pas l’algorithme d’Ératosthène pour une même limite N fixée et criblée, et ce quelque soit la famille (i) de nombres premiers de la forme 30k +(i) en progression arithmétique avec i∈1,7,11,13,17,19,23,29.

    Ces deux algorithmes séparés permette d’illustrer ce qui se produit, afin de comprendre cet effet boule de neiges qui rend impossible l’infirmation de cette conjecture, expliqué dans ce petit document ci joint,

    Vous trouverez en fin de document les deux algorithmes unifié dans un programme c++ , qui donne le résultat des illustrations pages précédentes pour info. Ces résultats permettent uniquement de vérifier la fonction relatif à cet conjecture, qui en définitive est une conséquence directe des deux fonction du TNP ; mentionnées dans ce document.

    Le deuxième document joint explique le fonctionnement de l’AG : 1) dans les entiers A impairs puis en, 2) dans les entiers A en progression arithmétique de raison 30 de premier terme (i). Il sera assez simple de comprendre pourquoi on peut résoudre cette conjecture pour 2N en utilisant seulement une Famille (i) de nombres premiers à partir de la limite N =150 ; et de démontrer cet effet boule de neige lorsque N tend vers l’infini grâce aux congruences !

    Document joint : test_p_q_=_2n.preuve.pdf
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  • La conjecture de Goldbach

    le 31 octobre 2022 à 14:12, par gilbert lefeu

    Bonjour
    Du nouveau sur la preuve qu’il est impossible d’infirmer Cette conjecture .
    On peut utiliser une seule famille de nombres premiers de la forme 30k + i sans perte de généralité à partir de la limite n = 150 soit 5k + i .

    Pourquoi on ne peut infirmer cette conjecture et son corollaire : la conjecture de Lemoine-Levy.
    Ainsi que, pourquoi le nombre de solutions p’+q = 2n augmentent lorsque n → ∞.

    Pour vérifier le phénomène et le comprendre , il faut cribler avec l’algorithme de Goldbach mod 30 et celui d’Ératosthène par famille de la forme 30k+(i) , avec i appartenant à (1.7.11.13.17.19.23.29)
    8 suites arithmétique de raison 30.

    Il suffit de cribler jusqu’à n et non 2n pour connaître le nombre de solutions qui vérifient 2n = p+q.
    L’algorithme ferra ressortir la Fam (i) complémentaire par rapport à 2n

    On crible les entiers A positifs, appartenant à une des 8 Fam(i) de 1 à n ; en utilisant les congruences : le crible G avec en parallèle , le crible É Ératosthène qui crible les nombres premiers p’ de la même famille pour la même limite n.

    À chaque fois que la limite la limite n augmente de 15 , donc 2n augmente de 30 , il se passe une égalité récurrente : les congruences se décalent obligatoirement d’un rang sur leur successeur A +30. (simple à démontrer) et seul le premier élément A apparaît indécidable ie , congrus ou pas à 2n (mod P) ; avec P ≤ √ de 2n.

    Exemple :

    Avec ce petit extrait des 2 cribles ;
    Limite n= 300//30 et la Fam i = 7. Où les 1 et 0 représentent les entiers A
    Si A est non congru à P : = 1 , sinon = 0

    Donnez N = 300 ; [7,37,67,97.…etc]
    Gcrible : [1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0], 1] Nombres A non congru 2n[P] de 1 à 300 famille 7, qui implique les premiers q de 300 à 600 : total 7 , de la Fam (i) =23 , d’où inutile de chercher la Fam (i) complémentaire par rapport à 2n, l’algorithme là fait ressortir.

    Donnez N =300
    Écrible : [1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, (0), 1] Ératosthène [ 7,37,67,97,… 247,277] où (0) = 247 ≢2n [P] et 247 n’est pas un nombres premiers = 0 , mais il précède un nombre premier 1.
    Nombre premiers criblés famille 7 : 7 , dont 4 premiers p’ non congrus soit 4 solutions pour 2n=600

    si on augmente n de 15 , soit 15(k+1) les congruences vont se décaler d’un rang dans le crible G.
    Dans Ératosthène rien ne bouge , on aura toujours les 7 nombre premier
    Donnez N =315
    Gcrible : [0,[ 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1,] 0] seul le premier élément 0 serait indécidable (il est congru ou pas)
    Écrible : [1, [1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1] on retrouve les p’ non congrus , mais où les congruences ce sont décaler d’un rang sur leurs successeur A+30.

    il est simple de vérifier que la non congruence de A = 247 qui n’est pas un nombre premier, c’est décalé sur A = 277 = p’ , qui devient non congru à P ... Alors que pour n=300 , il était congru !
    Il vérifiera donc la conjecture, 277 + q = 630.

    Car : A = 247 qui était non congru pour n = 300 , l’égalité 2n – A = 353 = q premier, reste identique pour la limite suivante n= 15(k +1) = 315 ;
    c’est à dire pour 2n = 630 et tel que (2n +30) – (A+30) = q = 353
    égalité et propriété récurrente de l’algorithme, qui permet de prendre en compte tous les entiers A ≢2n[P] , premiers ou pas, qui précèdent un A’= P’
    Le contraire serait absurde , car contraire au TFA .!

    Pour infirmer la conjecture il faudrait utiliser les restes R des limites précédentes
    [n = 15(k-1 , -2 , -3 … -x) . Ce qui est clairement impossible , à chaque limite n+15 les Restes R de la division de 2n par P changent, le contraire serait absurde…

    Conséquence : il faudrait utiliser tous les restes R des limites précédentes afin que tous les entiers A soient congrus à 2n +30 pour cette nouvelle limite n=15(k+1) « et ce quelque soit la Famille (i) utilisée. »
    Or on aurait pas assez de nombres premier P qui criblent (car limité par la sqrt de 2n qui limite le nombres de A congrus à P) de plus on contredirait l’égalité récurrente de l’algorithme de Goldbach .

    Mais surtout, cela veut dire, suite à cette propriété récurrente de l’algorithme G , que pour les limites précédentes [n = 15(k-1 , -2 , -3 … -x) où la conjecture a été vérifiée donc vraie , elle serait fausse … ? du simple fait de la propriété récurrente de l’algorithme G .

    Car il n’y aurait que des entiers A congrus à (2n – 30k) [modulo P] qui précèdent un entier A’=p’ premier .

    De façon générale il faudrait une descente infinie de A congrus à 2n[P] pour les limites précédentes.

    Cela conduirait immanquablement vers un nombre fini de nombres premiers q lorsque n tends vers l’infini .
    Alors que pour les limites précédentes n = 15(k-1 ;-2 ;-3 ...etc ) qui ont vérifié la conjecture il y en avait [n / log 2n].
    Et qu’au contraire, c’est l’inverse, le nombre de solutions p’+ q = 2n augmentent lorsque n → ∞..

    Cela est absurde et contraire au TFA ainsi qu’au TNP .

    Ce fichier joint explique le fonctionnement des deux (cribles/algorithmes) jumeaux et sa propriété récurrente , lorsque n =15(k+1) augmente.

    https://www.cjoint.com/c/LJFkYWFjr0E
    ou

    Document joint : preuve_de_la_conjectur_de_goldbach.pdf
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Bruno Martin

Professeur au laboratoire de Mathématiques de l’Université du Littoral, Côte d’Opale

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