Les mathématiciens Goldbach et Euler entretenaient une correspondance épistolaire et c’est dans la lettre du 7 juin 1742 que Goldbach fit part de sa conjecture à Euler. On trouve sur la page wikipedia de la conjecture une copie manuscrite, en voici une version typographiée plus lisible.

Lettre du 7 juin 1742 de Goldbach à Euler

On remarquera une fois encore que c’est dans la marge que se trouve la substantifique möelle [1]

Es Scheinet wenigstens, dass eine jede Zahl, die grösser ist als 1, ein aggregatum trium numerorum primerorum sey.

Ce qui donne l’énoncé de la conjecture :

Tout nombre entier strictement plus grand que 1 est la somme d’au plus trois nombres premiers [2].

La conjecture est devenue célèbre grâce à son énoncé très simple et sa très grande difficulté. [3]

Leonhard Euler

A la lettre de Goldbach, Euler répondit qu’il suffisait de montrer que tout nombre pair plus grand que 4 est la somme de deux nombres premiers. En effet si $n$ est un nombre impair plus grand que 7 alors $n-3$ est pair et s’écrit comme somme de deux nombres premiers $p_1,p_2$. Ainsi, $n=3+p_1+p_2$ et la conjecture est prouvée pour les nombres impairs. C’est l’énoncé pour les nombres pairs, « Tout nombre pair plus grand que 4 est somme de deux nombres premiers » qui est actuellement reconnu sous le terme de Conjecture de Goldbach. L’énoncé pour les nombres impairs « Tout nombre impair plus grand que 7, est la somme de trois nombres premiers » est désormais connu sous le nom de conjecture faible ou conjecture ternaire.

Harald Helfgott vient d’annoncer une démonstration de la conjecture faible, celle pour les nombres impairs. Il a déposé sa preuve, lundi 13 mai au soir, sur le site de prépublication Arxiv.org. Voici son article [4].

Depuis, les travaux de Vinogradov [5], on sait que tous les nombres impairs plus grand qu’un certain nombre $C$ peuvent s’écrire comme somme de trois nombres premiers. Il suffit donc de vérifier la conjecture pour les nombres plus petits que $C$ ! Malheureusement le nombre $C$ était immense [6] et il était inimaginable de vérifier (même avec les ordinateurs les plus puissants du monde) la conjecture pour tous les entiers plus petits que $C$.

Tout le travail de Helfgott a été d’améliorer et réinventer les techniques développées par Hardy-Littlewood [7], Vinogradov, Ramaré [8], Tao [9] et d’autres reposant sur la méthode du cercle pour rendre la conjecture accessible à des calculs par ordinateur. Ces calculs ont été implémentés par Dave Platt et ont été réalisés, en partie, au mésocentre de calcul MesoPSL de l’observatoire de Paris.

L’ordinateur a été utilisé pour vérifier la conjecture jusqu’à $8.875\cdot 10^{30}$ et vérifier aussi l’hypothèse de Riemann généralisée sur des zones plus grandes que celles connues auparavant. Ce sont ces derniers calculs concernant l’hypothèse de Riemann généralisée qui ont nécessité l’utilisation de supercalculateurs

La conjecture pour les nombres impairs semble désormais prouvée mais celle pour les nombres pairs résistera sûrement longtemps encore.