La conjecture de Poincaré

Piste bleue 21 juin 2012  - Ecrit par  Patrick Massot Voir les commentaires (3)

Cet article a été écrit en partenariat avec L’Institut Henri Poincaré

Une première version de cet article a été publiée sur le site Poincaré de l’IHP. En partenariat avec ce site, Images des maths a le plaisir de publier aujourd’hui une nouvelle version de cet article.

Les mathématiciens appellent conjecture un énoncé mathématique plausible mais qu’on ne sait pas encore démontrer. Il s’agit donc d’une sorte de super exercice de mathématiques dont personne n’aurait la correction. En 2000, une fondation privée américaine, la fondation Clay, a choisi d’attirer l’attention du grand public sur la recherche en mathématiques en établissant une liste de sept grandes conjectures dotées chacune d’un prix d’un million de dollars. Parmi les sept, la conjecture de Poincaré, qui attendait depuis presque un siècle, a étonnamment été résolue dès 2003, par un mathématicien russe, Grigori Perelman. Les vérifications de cette solution ont cependant duré jusqu’à l’annonce officielle de l’attribution du prix lors d’une grande conférence en 2010 à l’Institut Henri Poincaré. Même après cela, on continue de parler de conjecture de Poincaré et pas de théorème de Perelman car il est très dur de changer une habitude qui avait presque un siècle.

Indépendamment de l’idée de mettre à prix certaines conjectures, les mathématiciens considèrent une conjecture comme importante lorsque sa résolution entraînerait la résolution de nombreux autres problèmes bien sûr. Mais surtout elle est considérée comme importante si les tentatives de résolution, même celles qui n’aboutissent pas, donnent lieu à de nombreux développements qui irriguent la recherche sur des questions en apparence éloignées.

Surfaces

La conjecture de Poincaré porte sur les variétés de dimension 3. Pour comprendre ce que sont ces objets mathématiques, il est utile de se pencher d’abord sur des objets un peu plus simples : les variétés de dimension 2, communément appelées surfaces.

La surface d’un ballon ou celle d’une bouée fournissent des exemples de surfaces au sens mathématique pour peu qu’on les imagine infiniment fines. Les objets mathématiques abstraits obtenus sont appelés la sphère $S^2$ dans le cas du ballon et le tore $T^2$ dans le cas de la bouée.

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Le point commun à ces deux exemples est que, si on les regarde de très près, en oubliant leur forme globale, on ne voit pas de différence entre ces objets et un plan. La raison pour laquelle on les appelle variétés de dimension 2 et pas 3 est que, sur chaque petit morceau de surface, il suffit de deux coordonnées pour repérer les points. Ainsi, à la surface de la Terre, on repère les points par une latitude et une longitude.

Il faut aussi remarquer que ces objets n’ont pas de bord, au contraire d’un disque par exemple. Ainsi, une fourmi qui se balade sur un ballon ou une bouée ne rencontre jamais d’obstacle. Enfin ces objets sont de taille finie, au contraire du plan.

Propriétés géométriques et propriétés topologiques

Lorsque l’on considère un des exemples précédents, on peut mesurer la distance entre deux points ou l’aire d’une portion de surface. Il s’agit de propriétés géométriques. Si on déforme le ballon ou la bouée, ces propriétés changent, on peut rapprocher deux points ou comprimer une partie de la surface pour faire diminuer son aire.

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Les surfaces mathématiques sont parfaitement élastiques, il n’y a pas d’obstacle à les déformer beaucoup et on continue à donner le même nom à l’objet déformé. On s’interdit cependant de les déchirer ou de souder ensemble deux points différents. Une propriété topologique d’une surface est, par définition, une propriété qui survit à toutes ses déformations.

Voici un exemple de propriété topologique. Sur la sphère $S^2$, toute courbe tracée sur la surface et qui revient à son point de départ peut être contractée sur un point sans quitter la surface et sans être sectionnée. On dit que $S^2$ est simplement connexe. Dans l’exemple ci-dessous, on voit comment la courbe dessinée à gauche peut être contractée de plus en plus.

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Cette propriété survit bien aux déformations, une courbe dessinée sur le ballon dégonflé se contracte aussi bien.

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Le fait d’être ou non simplement connexe est donc une propriété topologique.

Au contraire de la sphère $S^2$, le tore $T^2$ (la bouée) n’est pas simplement connexe. La courbe dessinée ci-dessous ne se contracte pas à la surface du tore.

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Bien sûr on peut contracter cette courbe en lui faisant quitter la surface de la bouée, mais la définition de simplement connexe ci-dessus précise bien qu’il ne faut pas que la courbe quitte la surface. La figure suivante montre qu’on peut aussi contracter la courbe après l’avoir sectionnée mais c’est tout aussi interdit par la définition.

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Un avantage d’avoir mis à jour une propriété topologique plutôt que géométrique est qu’elle permet de démontrer que, si on s’interdit toute déchirure, il n’existe aucune déformation d’un ballon, même élastique, en une bouée. Il s’agit d’un résultat assez intuitif mais dont toutes les démonstrations « rigoureuses » sont assez compliquées à écrire avec précision. Plus généralement, on sait depuis la fin du XIXème siècle que la sphère $S^2$ est la seule surface finie et sans bord qui soit simplement connexe. La conjecture de Poincaré est un analogue de ce résultat pour les variétés de dimension 3.

Des surfaces sans espace 3D

Pour passer de la visualisation des surfaces à la visualisation des variétés de dimension 3, qui font l’objet de la conjecture, il y a un cap psychologique important à franchir. Jusqu’à présent, nous avons visualisé nos ballons et bouées vivant dans un espace tridimensionnel. Il faut maintenant se convaincre que ce n’était pas du tout nécessaire à la compréhension de leurs propriétés topologiques.

Il est usuel de diviser la surface de la Terre en deux hémisphères, Nord et Sud. Chacun de ces hémisphères peut se déformer en un disque. On peut penser à chaque disque comme inclus dans un plan. Bien sûr il ne faut pas oublier que les hémisphères étaient initialement collés le long de l’équateur. On peut donc penser à $S^2$ comme étant donnée par deux disques (du plan !) avec une instruction de recollement bord à bord. Il n’y a plus d’espace tridimensionnel dans la discussion.

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Cette description permet toujours de se convaincre que toute courbe qui revient à son point de départ peut être contractée sur un point.

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Prenons maintenant le cas du tore $T^2$, la bouée. Il peut être pensé comme un carré avec l’instruction de recollement : chaque côté est collé au côté opposé.

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Vérifions cela en repassant dans l’espace tridimensionnel. Si on effectue le recollement du haut et du bas, on obtient un cylindre.

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Puis le deuxième recollement donne bien une bouée.

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On peut aussi effectuer les deux recollements d’un coup.

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Lorsqu’on pense au tore $T^2$ comme un carré dont les côtés sont recollés, on peut encore se rendre compte que le tore n’est pas simplement connexe. En effet, la courbe dessinée précédemment sur le tore plongé dans l’espace devient dans le carré la courbe suivante :

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Il faut d’abord se convaincre qu’il s’agit bien d’une courbe qui se referme. En effet, le point de la courbe situé sur le côté gauche du carré et celui du côté droit sont identiques d’après l’instruction de recollement.

Ensuite la manœuvre suivante est interdite car elle reviendrait à rompre la courbe fermée pour pouvoir la contracter.

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Avec cette stratégie de compréhension des surfaces par recollement de surfaces planes à bord, il faut bien garder en tête que les points où s’effectuent les recollements, les coutures en quelque sorte, n’ont rien de particulier dans la surface. Leur particularité apparente est un effet de la méthode de visualisation. Il s’agit d’un phénomène analogue à l’exemple suivant. Lorsqu’on lit un atlas routier, la ville visée est parfois à la limite entre deux pages de l’atlas. C’est malcommode et agaçant mais cela ne reflète pas une authentique spécificité de la géographie au voisinage de cette ville !

La sphère $S^3$

Comme expliqué plus haut, une surface est aussi appelée variété de dimension 2 car, vue de très près, elle est indistinguable du plan bidimensionnel. De façon analogue, une variété de dimension 3 est un objet qui, vu de très près, est indistinguable de l’espace tridimensionnel. Toute tentative de visualisation directe se heurte aux difficultés que nous éprouvons à appréhender des espaces à quatre dimensions et plus. Mais la stratégie alternative des recollements est tout à fait disponible.

Ainsi on peut définir un bel exemple de variété de dimension 3 à partir de deux boules avec l’instruction de les recoller bord à bord. Ici on appelle boule le solide bordé par la sphère $S^2$. Il faut penser à une boule de pétanque, bien remplie, par opposition au ballon de plage infiniment fin. La variété de dimension 3 ainsi obtenue est appelée sphère $S^3$.

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Afin de mieux voir ce qui se passe dans $S^3$ après ce recollement, on peut remplacer les boules de pétanque par deux aquariums. La vidéo suivante montre un saumon nageant en tenant compte des recollements effectués.

La conjecture

La sphère $S^3$ est simplement connexe. La conjecture de Poincaré affirme que
cette propriété est caractéristique :

Conjecture de Poincaré : La sphère $S^3$ est la seule variété de dimension 3 sans bord et de taille finie qui soit simplement connexe.

Faisons un test de plausibilité très rapide. En s’inspirant de la description de la bouée à partir d’un carré, on arrive à un nouvel exemple de variété de dimension 3. Le tore $T^3$ est, par définition, l’objet obtenu à partir d’un cube rempli en recollant les faces opposées. Voyons ce qu’en pense notre salmonidé.

Le tore $T^3$ n’est pas simplement connexe. La courbe noire ci-dessus va de la face gauche à la face droite et se referme après recollement. On ne peut pas la contracter.

La conjecture de Poincaré est beaucoup plus difficile à démontrer que l’énoncé analogue en dimension 2. En dimension 2, on peut dresser la liste complète des surfaces finies et sans bord puis vérifier que seule $S^2$ est simplement connexe. Cette liste est infinie mais elle a une structure très simple qui permet de tester toutes les surfaces très rapidement. On ne peut pas généraliser cette approche car les variétés de dimension 3 présentent une diversité beaucoup plus grande.

Quelques explications sur l’importance et la difficulté de la conjecture de Poincaré.

Pour comprendre à la fois le rôle central de la conjecture de Poincaré et sa difficulté, il faut considérer la façon dont on peut appréhender une variété de dimension 3 inconnue. La méthode la plus classique consiste à découper la variété inconnue en morceaux plus simples jusqu’à tomber sur des morceaux faciles à comprendre. En un sens on cherche une description de la variété par recollements. Pour cela il est important d’avoir un critère permettant d’identifier un morceau simple. La conjecture de Poincaré entraîne en particulier qu’une variété de dimension 3 simplement connexe dont le bord est une sphère $S^2$ est forcément une boule donc extrêmement simple.

Supposons maintenant qu’au lieu d’utiliser la conjecture de Poincaré pour identifier les morceaux d’un découpage, on cherche au contraire à utiliser la stratégie des découpages pour démontrer la conjecture. La difficulté immédiate est qu’on ne trouve pas de bonne surface le long de laquelle couper. En effet, lorsqu’on dispose d’une courbe fermée qui ne peut pas être contractée, il y a bien souvent une surface sans bord qui l’intersecte exactement une fois et le long de laquelle un découpage simplifie la situation. Par exemple, la description du tore $T^3$ comme cube aux faces recollées peut être obtenue en coupant le long de trois surfaces de ce type. Mais l’hypothèse de la conjecture de Poincaré est justement que toute courbe peut être contractée, il n’y a donc aucune surface candidate à la coupure !

La démonstration de Perelman

Après plus d’un siècle d’efforts, la conjecture fut démontrée par Grigori Perelman en achevant un programme initié par Richard Hamilton. Étonnamment, cette démonstration passe par un retour aux propriétés géométriques mises de côté au profit des propriétés topologiques. Comme sa cousine de dimension 2, la sphère $S^3$ admet une géométrie particulière très ronde et parfaitement homogène. On savait depuis longtemps que cette propriété la caractérise parmi les variétés simplement connexes. L’idée initiale d’Hamilton était donc, partant d’une variété simplement connexe qu’on veut déformer en sphère, d’homogénéiser la géométrie en imitant le processus physique de diffusion de la chaleur. L’animation suivante donne une idée de ce processus dans le cas d’une surface.

La difficulté principale de cette approche est que le processus de diffusion peut entraîner une augmentation incontrôlée de la courbure qui, dans l’animation, se traduirait par un éclatement du ballon.

Le travail de Perelman

Perelman a donné une description très précise de ce qui se passe juste avant un tel accident. Il en a déduit plusieurs conséquences :

  • Si une variété simplement connexe éclate partout en même temps alors cette description précise porte sur toute la variété et on peut en déduire qu’elle est bien une sphère.
  • Dans le cas d’un éclatement localisé, Perelman a montré qu’on peut arrêter la diffusion juste avant l’éclatement, couper le morceau qui risque d’éclater et le remplacer par un morceau plus sage avant de relancer la diffusion. C’est ce qu’on appelle une diffusion avec chirurgies. Bien sûr il faut garder la trace des morceaux coupés pour reconstituer la variété de départ.
  • Il a montré que, en partant d’une variété simplement connexe, le processus de chirurgie aboutit toujours à une géométrie qui éclate partout, ce qui démontre la conjecture d’après le premier point.

Bien sûr la description précédente est loin de rendre compte de l’exploit intellectuel que représente le travail de Perelman. Aujourd’hui encore, la communauté mathématique n’a pas fini de digérer toutes les innovations et conséquences de cette percée. De son côté, Perelman refuse tous les honneurs qui accompagnent d’ordinaire ce genre d’exploit : il a décliné notamment la médaille Fields et le prix Clay d’un million de dollars.

D’autres conséquences du travail de Perelman sont présentées dans l’article sur le théorème de géométrisation de Perelman. L’article sur les triangulations aborde, entre autres, des thèmes reliés à ceux discutés ici.

Les lecteurs mathématiciens consulteront avec plaisir une description plus technique des travaux de Perelman.

Post-scriptum :

La rédaction d’Images des maths, ainsi que l’auteur, remercient pour leur relecture attentive,
les relecteurs dont le pseudonyme est le suivant : nicok,
Christian Mercat,
Marie Lhuissier et
blanvill.

Article édité par Shalom Eliahou

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Pour citer cet article :

Patrick Massot — «La conjecture de Poincaré» — Images des Mathématiques, CNRS, 2012

Commentaire sur l'article

  • La conjecture de Poincaré

    le 25 juin 2012 à 18:56, par TheBarber

    Waaaah, les images sont vraiment très belles !

    Qu’est-ce qui fait que la conjecture a résisté aussi longtemps ?
    Est-ce la méthode qui est très originale, ou alors est-ce que personne n’avait jamais réussi à aller au bout ?

    Répondre à ce message
  • La conjecture de Poincaré

    le 26 juin 2012 à 14:37, par Patrick Massot

    L’idée générale de la méthode, qui est due à Richard Hamilton, date des années 80. Elle est donc à la fois assez neuve par rapport à la conjecture mais suffisamment ancienne pour qu’on puisse dire que Perelman a vraiment débloqué une situation très compliquée. Pour cela il a du ajouter plusieurs idées originales aux contributions déjà spectaculaires de Hamilton.

    Répondre à ce message
  • La conjecture de Poincaré

    le 28 janvier 2013 à 10:41, par juliengizmo

    quelqun qui aime les math

    Répondre à ce message

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