Independientemente de la idea de ponerle premio a algunas conjeturas, los matemáticos consideran una conjetura como importante cuando su resolución implica, a su vez, la resolución de numerosos otros problemas. Pero sobre todo, se considera importante si los intentos de resolución -incluso aquellos que no lo logran- dan lugar a numerosos desarrollos que riegan la investigación acerca de temas en apariencia lejanos.

Superficies

La conjetura de Poincaré trata sobre las variedades de dimensión 3. Para comprender lo que son estos objetos matemáticos, es útil inclinarse primero hacia objetos un poco más simples : las variedades de dimensión 2, comúnmente llamadas superficies.

Las superficies de un balón o de una boya proveen ejemplos de superficies en el sentido matemático, siempre que uno las imagine infinitamente finas (delgadas). Los objetos matemáticos abstractos obtenidos se llaman la esfera $S^2$ en el caso del balón, y el toro $T^2$ en el caso de la boya.

El punto común a ambos ejemplos es que, si se les mira de muy cerca y olvidando sus formas globales, no se ve diferencia entre estos objetos y un plano. La razón por la cual se les llama variedades de dimensión 2 y no 3 es que -sobre cada pequeño pedazo de superficie- bastan dos coordenadas para referenciar los puntos. De ese modo, en la superficie de la Tierra uno marca los puntos con una latitud y una longitud.

Hay que decir también que esos objetos no tienen borde, contrariamente al caso de un disco, por ejemplo. Así, una hormiga que se pasee sobre un balón o una boya no encuentra nunca obstáculo. Finalmente, estos objetos son de tamaño finito, al contrario del plano.

Propiedades geométricas y propiedades topológicas

Cuando se considera uno de los ejemplos anteriores, se puede medir la distancia entre dos puntos o el área de una porción de la superficie. Se trata de propiedades geométricas. Si uno deforma el balón o la boya, esas propiedades cambian : se puede acercar dos puntos o comprimir una parte de la superficie para hacer disminuir su área.

Las superficies matemáticas son perfectamente elásticas, no hay obstáculo que las deforme mucho y se sigue dando el mismo nombre al objeto deformado. Sin embargo, uno se abstiene de romperlas o de unir dos puntos diferentes. Una propiedad topológica de una superficie es, por definición, una propiedad que sobrevive a todas sus deformaciones.

Aquí hay un ejemplo de propiedad topológica. Sobre la esfera $S^2$, toda curva trazada sobre la superficie y que vuelve a su punto de partida puede ser contraída sobre un punto sin salir de la superficie ni ser seccionada. Se dice que $S^2$ es simplemente conexa. En el ejemplo de abajo, se ve cómo la curva dibujada a la izquierda puede ser contraída cada vez más.

Ya que esta propiedad sobrevive bien a las deformaciones, una curva dibujada sobre el balón desinflado se contrae igualmente bien.

El hecho de ser o no simplemente conexa es, por lo tanto, una propiedad topológica.

Al contrario de la esfera $S^2$, el toro $T^2$ (la boya) no es simplemente conexo. La curva dibujada abajo no se contrae en la superficie del toro.

Por supuesto, uno puede contraer esta curva haciendo que salga de la superficie de la boya, pero la definición de simplemente conexa de arriba establece que la curva no debe abandonar la superficie. La siguiente figura muestra que uno también puede contraer la curva después de haberla seccionado, pero eso está igualmente prohibido por la definición.

Una ventaja de haber puesto al día una propiedad topológica más que geométrica, es que ella permite demostrar que -si se prohíbe todo desgarramiento- no existe ninguna deformación de un balón, incluso elástico, en una boya. Se trata de un resultado bastante intuitivo pero cuyas demostraciones ’’rigurosas’’ son todas bastante complicadas de escribir con precisión. Más generalmente, se sabe desde fines del siglo XIX que la esfera $S^2$ es la única superficie finita y sin borde que es simplemente conexa. La conjetura de Poincaré es un análogo de ese resultado para las variedades de dimensión 3.

Superficies sin espacio 3D

Para pasar de la visualización de las superficies a la visualización de las variedades de dimensión 3, que son el objeto de la conjetura, hay un umbral psicológico por atravesar. Hasta el momento, hemos visualizado nuestros balones y boyas viviendo en un espacio tridimensional. Ahora hay que convencerse que no era en absoluto necesario para la comprensión de sus propiedades topológicas.

Es usual dividir la superficie de la Tierra en dos hemisferios : norte y sur. Cada uno de esos hemisferios puede deformarse en un disco. Se puede pensar en cada disco como incluido en el plano. Por supuesto, no hay que olvidar que los hemisferios estaban inicialmente pegados a lo largo del ecuador. Se puede entonces pensar en $S^2$ como si hubiera sido dada por dos discos (¡del plano !) con instrucción de pegado de borde a borde. Ya no hay espacio tridimensional en la discusión.

Esta descripción permite siempre convencerse que toda curva que vuelve a su punto de partida puede ser contraída sobre un punto.

Tomemos ahora el caso del toro $T^2$, la boya. Puede ser pensado como un cuadrado con instrucción de pegado : cada lado está pegado al lado opuesto.

Verifiquemos esto en el espacio tridimensional. Si se efectúa el pegado por arriba y por abajo, se obtiene un cilindro.

Luego, el segundo pegado da una boya.

Se puede hacer también los dos pegados de una vez.

Cuando se piensa en el toro $T^2$ como un cuadrado cuyos lados están pegados, uno aún puede darse cuenta de que el toro no es simplemente conexo. En efecto, la curva dibujada anteriormente sobre el toro del espacio se convierte en la siguiente curva en el cuadrado :

Hay que convencerse primero de que se trata de una curva que se cierra sobre sí misma. En efecto, la punta de la curva situada sobre el lado izquierdo del cuadrado y la del lado derecho son idénticas según la instrucción de pegado.

Después, la maniobra siguiente está prohibida ya que equivaldría a romper la curva cerrada para poder contraerla.

Con esta estrategia de comprensión de las superficies mediante pegado de superficies planas en el borde, hay que tener en mente que los puntos donde se efectúan los pegados -las costuras- no tienen nada de especial en la superficie. Su aparente particularidad es un efecto del método de visualización. Se trata de un fenómeno análogo al ejemplo siguiente. Cuando uno mira un mapa carretero, la ciudad que uno busca está a veces en el límite entre dos páginas. Es incómodo e irritante, ¡pero eso no se refleja en una auténtica especificidad de la geografía en la vecindad de esta ciudad !

La esfera $S^3$

Como se explicó más arriba, una superficie también es llamada variedad de dimensión 2 ya que, vista desde muy cerca, es indistinguible del plano bidimensional. De manera análoga, una variedad de dimensión 3 es un objeto que, visto desde muy cerca, es indistinguible del espacio tridimensional. Todo intento de visualización directa tropieza con las dificultades que sentimos al conocer los espacios en cuatro dimensiones y más. Pero la estrategia alternativa de los pegados está completamente disponible.

Así, se puede definir un buen ejemplo de variedad de dimensión 3 a partir de dos bolas, con la instrucción de pegarlas borde con borde. Aquí se llama bola al sólido bordeado por la esfera $S^2$. Hay que pensar en una bola de billar, rellena, por oposición a una pelota de playa infinitamente delgada. La variedad de dimensión 3 así obtenida se llama esfera $S^3$.

Con el fin de ver mejor lo que ocurre en $S^3$ después de este pegado, se puede reemplazar las bolas de billar por dos acuarios. El siguiente video muestra un salmón nadando, teniendo en cuenta los pegados efectuados.

La conjetura

La esfera $S^3$ es simplemente conexa. La conjetura de Poincaré afirma que esta propiedad la caracteriza :

Conjetura de Poincaré : La esfera $S^3$ es la única variedad de dimensión 3 sin borde y de tamaño finito que es simplemente conexa.

Hagamos una prueba de plausibilidad muy rápida. Inspirándose en la descripción de la boya a partir de un cuadrado, se llega a un nuevo ejemplo de variedad de dimensión 3. El toro $T^3$ es, por definición, el objeto obtenido a partir de un cubo lleno, al pegar las caras opuestas. Veamos lo que piensa de esto nuestro salmonídeo.

El toro $T^3$ no es simplemente conexo. La curva negra de arriba va de la cara izquierda a la cara derecha y se cierra después del pegado. No es posible contraerla.

La conjetura de Poincaré es mucho más difícil de demostrar que el enunciado análogo en dimensión 2. En dimensión 2, se puede elaborar la lista completa de las superficies finitas y sin borde, y luego verificar que solo $S^2$ es simplemente conexa. Esta lista es infinita pero tiene una estructura muy simple, que permite probar todas las superficies muy rápidamente. No se puede generalizar este enfoque, ya que las variedades de dimensión 3 presentan una diversidad mucho más grande.

La demostración de Perelman

Después de más de un siglo de esfuerzos, la conjetura fue demostrada por Grigori Perelman, acabando un programa iniciado por Richard Hamilton. Sorprendemente, esta demostración pasa por un regreso a las propiedades geométricas puestas de lado en beneficio de las propiedades topológicas. Como su prima de dimensión 2, la esfera $S^3$ admite una geometría particular, muy redonda y perfectamente homogénea. Se sabía desde hace mucho tiempo que esta propiedad la caracteriza entre las variedades simplemente conexas. La idea inicial de Hamilton era por lo tanto -partiendo de una variedad simplemente conexa que uno quiere deformar en esfera- homogeneizar la geometría imitando el proceso físico de difusión del calor. La siguiente animación da una idea de este proceso en el caso de una superficie.

La principal dificultad de este enfoque es que el proceso de difusión puede suponer un aumento incontrolado de la curvatura que, en la animación, se traduciría en que el balón reviente.

Por supuesto, la descripción anterior está lejos de dar cuenta de la hazaña intelectual que representa el trabajo de Perelman. Todavía hoy, la comunidad matemática no ha terminado de digerir todas las innovaciones y consecuencias de este boquete. Por su lado, Perelman rechazó todos los honores que acompañaron como de costumbre este tipo de hazaña : él declinó especialmente la medalla Fields y el premio Clay de un millón de dólares.

Otras consecuencias del trabajo de Perelman son presentadas en el artículo sobre el teorema de geometrización de Perelman. El artículo sobre las triangulaciones aborda, entre otros, temas vinculados a los discutidos aquí.

Los lectores matemáticos pueden consultar con gusto una descripción más tecnica de los trabajos de Perelman.