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La courbe en cloche... transparente

au Palais de la Découverte

Piste verte Le 4 septembre 2012  - Ecrit par  Michèle Audin Voir les commentaires (9)

La courbe en cloche en a déjà vu de toutes les couleurs

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sur Images des mathématiques — verte, bleue, noire... Elle a en effet été le sujet d’un « objet [1] du mois » multicolore (le seul, sans doute) et, comme les véritables vedettes, la voici de retour. Elle est aujourd’hui un authentique objet, transparent mais que vous pourrez voir et toucher, un objet d’expérience, une expérience que vous pourrez faire vous-même si vous vous rendez au Palais de la Découverte [2].

Dans les articles vert-bleu-noir, était présentée une vidéo montrant une simulation d’un objet appelé planche de Galton [3]. La voici reproduite :

Une bille « tombe », verticalement.

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Elle rencontre un obstacle. Idéalement, elle tomberait exactement sur la pointe et remonterait verticalement, redescendrait, etc. Et cet article s’arrêterait là. Ce n’est bien sûr pas ce qui se passe, parce que la bille tourne, parce qu’elle ne tombe pas exactement sur la pointe. Elle rebondit donc sur la pointe, à droite ou à gauche et continue à tomber, jusqu’à la prochaine pointe.

Tout se passe comme si elle tirait à pile ou face pour choisir de quel côté aller.

Elle continue à tomber, rencontre un autre obstacle, choisit à nouveau entre droite et gauche, etc. Ce que la simulation modélise, c’est donc un certain nombre (dix, pour être exacte) de tirages « à pile ou face » [4], pour une bille, pour beaucoup de billes. Les billes arrivées en bas prennent la forme de la « courbe en cloche ». Mais le responsable de la rubrique m’a demandé d’être brève. La théorie est expliquée dans les trois articles cités (et aussi dans le fichier pdf tout en bas de cet article).

Tout va bien.

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Alors pourquoi cet article, pourquoi ce nouvel objet ? Eh bien, parce que ce que montre cette simulation, c’est... une simulation. Autrement dit, il y a derrière un programme informatique, que vous ne connaissez pas, et vous devez me croire sur parole quand je vous dis ce qui se passe. En plus, cette simulation n’en est pas vraiment une : lorsque vous cliquez sur le triangle, ce n’est pas une nouvelle famille de billes qui est « lancée », mais c’est le même film qui est rejoué. Ainsi vous ne verrez jamais, par exemple, aucune bille arriver tout au bout à droite, alors que la probabilité de « aller dix fois de suite du même côté » n’est pas nulle [5].

L’objet d’aujourd’hui n’est pas une simulation, ni un film qui montre une simulation, c’est un objet. Comme le montrent les photographies, le public fait vraiment l’expérience. Au Palais de la Découverte, les mathématiques sont une activité humaine...

Et en plus, il est beau.

La réalisation matérielle n’a pas été simple. Les hexagones sont une façon de forcer la bille à tomber « comme au début » (verticalement) entre deux obstacles. La théorie en a été expliquée, il y a déjà longtemps, par Paul-Louis Hennequin [6]. C’est à lui que l’idée est due. L’idée a été reprise vers 2005 par Guillaume Reuiller, qui dirige le département de mathématiques du Palais de la Découverte.

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Il a fallu aussi trouver une façon (astucieuse) de récupérer les billes. Les photographies en donnent une petite idée, mais... n’hésitez pas à aller voir !

La réalisation a été menée par le plasturgiste Pierre Valenta. Il a beaucoup discuté des détails avec Romain Attal, du département de mathématiques du Palais de la Découverte.

Et la planche « de Galton-Hennequin » est là, depuis cet été.

Post-scriptum :

Merci aux relecteurs dont les noms ou pseudonymes sont Avner Bar-Hen, Ousama Malouf, FlavienK, P.Levallois, pour leur aide à l’amélioration d’une version préliminaire de cet article.

Article édité par Serge Cantat

Notes

[1] Sujet d’un objet... ha !

[2] Le site du Palais de la Découverte est ici. Celui de son département de mathématiques est là.

[3] Du nom de Francis Galton, un scientifique tous azimuts : explorateur, anthropologue, statisticien... Comme explorateur, il est l’auteur d’un Petit Manuel de survie, traduit de l’anglais et préfacé par Monique Bégot, Rivages poche / Petite Bibliothèque, me signale un relecteur. C’était un cousin de Darwin. Il est aussi un des personnages du roman Le Conte du biographe, d’A.S. Byatt, Denoël. Et on dit que c’est lui qui a inventé le thé en sachets. Very British. La planche de Galton originelle se trouve au Musée des sciences de Londres, me dit un autre relecteur.

[4] Il semble assez réaliste de penser qu’une bille qui arrive « de droite » va avoir plus tendance à repartir « à gauche » (et inversement, de façon symétrique). Le calcul est fait dans l’article de Paul-Louis Hennequin dont on trouvera un fichier pdf à la fin de l’article. La distribution donne toujours une courbe en cloche, un peu plus aplatie.

[5] Vous trouverez une authentique simulation sur cette page.

[6] Dans un article publié par le Bulletin de l’Association des professeurs de mathématiques, en 1981. Ici une version pdf de cet article.

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Pour citer cet article :

Michèle Audin — «La courbe en cloche... transparente» — Images des Mathématiques, CNRS, 2012

Crédits image :

Image à la une - La photographie de la planche en atelier a été faite par Christian Judei. Le logo et les photographies de l’expérience avec le public ont été pris au Palais de la Découverte par Line Audin.

Commentaire sur l'article

  • Et en deça, les coefficients du binôme...

    le 5 septembre 2012 à 10:40, par ROUX

    J’ai joué avec la simulation offerte dans la référence 5 et en la faisant avec 2 puis 3 puis 4 clous : on obtient une assez bonne mesure des coefficients du binôme.
    Très joli. Et le travail de monsieur Hennequin a répondu à toutes mes questions
    Merci !
    Et si on utilise cette machine avec un liquide ?

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  • La courbe en cloche... transparente

    le 6 septembre 2012 à 19:29, par Michèle Audin

    J’ai joué avec la simulation offerte dans la référence 5 et en la faisant avec 2 puis 3 puis 4 clous

    avec 10 clous et 1024 billes, attendre de voir si une bille va finir par arriver dans le tuyau le plus à droite (ou le plus à gauche) est une fascinante et efficace méthode de procrastination...

    Et si on utilise cette machine avec un liquide ?

    Vous voulez dire, si on fait tomber les billes dans un liquide et pas dans l’air ? Si je comprends bien, ça doit ralentir le procédé (et donc améliorer la procrastination).

    Répondre à ce message

    • La courbe en cloche... transparente

      le 6 septembre 2012 à 23:31, par ROUX

      Non, non : si on fait couler de l’eau au lieu de faire tomber des billes.

      Répondre à ce message

      • La courbe en cloche... transparente

        le 11 septembre 2012 à 15:48, par Hennequin

        C’est une question naturelle,

        si les tubulures assurent la division du flux par deux à chaque étage, on recueille une quantité de liquide proportionnelle aux coefficients du binôme : il n’y a plus ni hasard , ni aléatoire.

        P.L.Hennequin

        Répondre à ce message

  • La courbe en cloche... transparente

    le 7 septembre 2012 à 18:37, par Michèle Audin

    Non, non

    J’avais compris, mais j’essayais de noyer le poisson (dans l’eau) en attendant qu’un probabiliste plus chevronné que moi donne une réponse sérieuse.

    Je ne sais pas. J’ai demandé qu’on vous réponde.

    Répondre à ce message

    • La courbe en cloche... transparente

      le 7 septembre 2012 à 21:16, par ROUX

      Merci.
      Et merci pour Poisson tant je pense qu’il est un devoir de s’attacher à lui...

      Répondre à ce message

  • Galton bistable

    le 12 septembre 2012 à 22:22, par Christian Mercat

    Ca donne envie d’aller la voir cette planche !

    Une version sans hasard, mais qui réalise un parcours de l’ensemble des chemins d’une manière très intéressante, laquelle prouve en même temps que chaque chemin est exactement équiproblable à tout autre, en les énumérant tous, se réalise avec un petit bistable, par exemple en légo.

    Mon ami Jürgen Richter Gebert en utilise une à sa « maison des mathématiques » de l’université technique de Munich : ix-quadrat

    Répondre à ce message

  • La courbe en cloche... transparente

    le 28 janvier 2013 à 08:06, par Xi’an

    Comme décrit dans
    cet exposé de Jean-Louis Foulley Galton a aussi imaginé un quincunx à deux niveaux, correspondant à une loi a priori sur la probabilité de pile (et réalisant la première simulation par acceptation-rejet de l’Histoire !)

    Répondre à ce message

  • Planche de Galton sur matlab

    le 7 mars 2018 à 09:31, par Mirayrak

    Bonjour à tous,

    Depuis peu je me suis intéressée à la planche de Galton par curiosité où au cours de probabilité le prof nous en a parlé brièvement pour illustrer la méthode de monte carlo.

    Il a donc dans ses transparents du cours laisser un petit défi pour ceux qui sont intéressés de le faire d’implémenter le concept sur matlab par la méthode de monte carlo dont on a une planche de Galton avec 4 entrées, 3 sorties et 3 rangées.

    Avant de vous écrire j’ai évidemment effectuer des recherches sur internet, j’en ai vu des simulations en C, python ou autres langage mais aucun en matlab.

    Mon problème est de savoir en fait comment pourrais-je coder le nombre de rangées sur matlab s’il vous plaît ? Malgré des recherches pendant une semaine je n’aboutie à rien et je n’avance pas du tout c’est pourquoi je me suis permise de vous écrire ici pour avoir quelques explication de votre part si possible.

    D’après ma logique, je pense qu’il est nécessaire de créer une fonction entrée et une fonction sortie mais pour prendre compte le nombre de rangées je suis perdue.

    Merci d’avance de votre aide

    Répondre à ce message

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