La curva de Menger

Un objeto universal

Piste rouge Le 5 décembre 2008  - Ecrit par  Étienne Ghys, Jos Leys
Le 28 février 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
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¡Los matemáticos adoran la universalidad ! Un objeto universal en una teoría dada es un objeto cuya comprensión conlleva a la de todos los demás... Ambicioso y, a veces, ¿un poco arrogante ?

Se habla de revestimiento universal, de deformación universal, de álgebra universal, etc. La curva universal de Menger es un ejemplo muy bonito.

¿Qué es una curva en topología ?

Hay muchas definiciones posibles, pero nos quedaremos con aquella que utiliza el concepto de dimensión topológica. Tomemos el ejemplo de una circunferencia, que por supuesto es el primer ejemplo de ’’curva’’ en el cual uno piensa.

Asunto de lenguaje

Tal vez es el momento para recordar una imprecisión común en el lenguaje cuando se habla de la circunferencia. Para un matemático, una circunferencia es el conjunto de puntos del plano a una distancia distancia dada de un centro. Por el contrario, el conjunto de los puntos del plano cuya distancia al centro es inferior a un número dado es llamado círculo. Intuitivamente, un círculo es una ’’superficie’’ (una ’’circunferencia llena’’, de cierta manera), y una circunferencia es una ’’línea’’. En dimensión superior, se habla de esfera y de bola. [1]

Recubramos la circunferencia con una colección de pequeños discos del plano, pequeñas ’’pastillas’’.

Por supuesto, estos discos se cortan, a veces de a dos, a veces de a tres, o incluso más. Pero una propiedad importante de la circunferencia es que ¡siempre es posible recubrirla mediante discos arbitrariamente pequeños y que solo se intersecan de a dos ! Es como colocar perlas una junto a la otra a lo largo de un collar.

Si uno reemplaza la circunferencia por un disco, se ve que la situación es bien diferente. Si se recubre un disco con una colección de pequeños discos, no se podrá jamás lograr que se corten de a dos en dos : ellos se cortarán al menos de a tres.

He aquí entonces la definición de una curva.

Consideremos un conjunto de puntos $C$, digamos contenido en el espacio usual de dimensión 3 (aunque podría ser en un espacio de cualquier dimensión).

Precisiones

Supondremos que $C$ es acotado, es decir, que está contenido en una gran bola, de modo que no se escapa de ninguna forma hacia el infinito.

Supondremos también que es cerrado : todo límite de puntos de $C$ es un punto de $C$.

Diremos que el conjunto $C$ es una curva si es posible recubrirlo con ’’pastillas’’ arbitrariamente pequeñas de tal manera que cada punto de $C$ pertenezca a lo más a dos pastillas. Señalemos que las pastillas son pequeñas pero no tienen necesariamente una forma redonda.

Precisiones

Para los puristas, ¡seamos un poco más precisos ! Las pastillas que consideramos deben ser abiertas, en el sentido de la topología : si un punto está en una pastilla, todos los puntos bastante cercanos a él también lo están. Uno impone esta condición para que las pastillas se intersequen ’’de verdad’’, es decir, que no lo hagan en un punto o una ’’línea’’, por ejemplo.

Se dice que una pastilla es ’’pequeña’’ si cualquier par de puntos de ella están a una distancia pequeña ; en otras palabras, una pastilla pequeña está contenida dentro de una bola de radio pequeño.

En términos matemáticos, se dice que esos conjuntos son de dimensión topológica 1.

¿Ejemplos ? Hemos visto la circunferencia. También cualquier grafo funciona : tome un número finito de puntos en el espacio y conecte algunos de ellos entre sí mediante aristas rectilíneas... El resultado tiene dimensión 1.

Se puede colocar una bola pequeña en las cercanías de cada vértice, y luego usar cilindros para recubrir las aristas colocándolos unos junto a otros, de modo que cada punto del grafo esté a lo más en dos de esos objetos.

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Pero he aquí una curva bastante más complicada, llamada curva de Sierpinski.

Tome un cuadrado, de lado 1.
Córtelo en nueve pedazos.
Retire el cuadrado del centro. Le queda una especie de anillo formado por 8 cuadrados pequeños.
Haga de nuevo el mismo proceso en los ocho cuadrados. Le quedan 64 cuadrados muy pequeños... Repita hasta el infinito.

Por supuesto, la figura de arriba muestra solo las cuatro primeras etapas de la construcción. Sin embargo, hay que imaginar que si uno continúa hasta el infinito, queda algo que se parece a ’’cualquier cosa’’. Pues bien, esta ’’cualquier cosa’’ es, de hecho, muy similar a la cuarta figura de arriba, a menos que el lector tenga una vista excelente y pueda hacer la diferencia (aunque incluso así, ¡nunca podrá ver más allá de los pixeles de la pantalla !). Si se hiciera una figura con una resolución más grande y se la observara con una lupa, se podría ir tal vez hasta la décima etapa para tener una mejor imagen del objeto límite. Hay que tener un poco de imaginación para ’’pasar al límite’’.

Lo que quedará cuando usted haya retirado esta infinidad de pequeños cuadrados, cada vez más pequeños, ¡es una curva !

No es demasiado difícil de convencerse de esto, ya que el objeto límite es bastante aproximado a un objeto en una etapa finita, formado por pequeños cuadrados que uno puede recubrir con pequeñas pastillas que se cortan solo de a dos. Observe bien las figuras que siguen para comprender cómo recubrir este conjunto con estas pequeñas pastillas que se cortan solo de a dos.

La curva de Sierpinski, ¿es universal ?

Primero una advertencia : la Topología a veces es llamada la geometría del caucho... Esto significa que el topólogo no hace ninguna diferencia entre dos objetos que pueden deformarse el uno en el otro.

Más formalmente,

si uno tiene dos partes $A$ y $B$ del plano o del espacio, se dice que son homeomorfas (tienen ’’la misma forma’’) si existe una aplicación $f$ que transforme los puntos de $A$ en puntos de $B$ biyectivamente (a cada punto de $A$ le corresponde un solo punto de $B$ y recíprocamente) y continuamente (cuando un punto de $A$ se desplaza un poco, su imagen se desplaza un poco y recíprocamente : no hay ruptura).

Por ejemplo, se puede transformar de modo muy simple el borde de un cuadrado en una circunferencia. Basta con enviar cada lado del cuadrado en un cuarto de circunferencia mediante una transformación conveniente. Para el topólogo, ¡no hay ninguna diferencia entre una circunferencia, una elipse o el borde de un cuadrado !

Otra definición más : se dirá que una curva $C_{univ}$ es universal
si toda otra curva $C$ puede ser considerada como una parte de $C_{univ}$. Más exactamente, esto significa que hay un sumergimiento, una aplicación continua inyectiva de $C$ en $C_{univ}$. La curva universal ¡es lo suficientemente ’’grande’’ y ’’complicada’’ para contener todas las curvas !

Precisiones

Una aplicación de $C_1$ en $C_2$ es inyectiva si dos puntos diferentes de $C_1$ tienen imágenes diferentes en $C_2$.

La curva de Sierpinski contiene muchas curvas. Por ejemplo, a continuación se aprecia un grafo que está evidentemente contenido en esta curva.

Por desgracia, la curva de Sierpinski ¡no es universal ! ¿Por qué ? Si fuera universal, entonces contendría todas las curvas, y en particular todos los grafos. Pero como la curva de Sierpinski es una parte del plano, todos estos grafos estarían sumergidos en el plano (serían planares). Sin embargo, un pequeño enigma bien conocido muestra que no todos los grafos lo son. El grafo agua-gas-electricidad constituido por tres plantas de producción y tres casas, en el cual cada casa está unida a cada planta, no puede dibujarse en un plano. Trate de hacerlo, y después trate de mostrar que no es posible.

Precisiones

Seamos un poquito más precisos. Mostrar que no es posible colocar 6 puntos en el plano —las tres plantas de producción y las tres casas— y unirlos por segmentos de recta que no se cortan no es muy difícil (¡ejercicio !). Por el contrario, en la frase ’’no se puede sumergir ese grafo en el plano’’ uno es más exigente, pues se pide demostrar que no existe aplicación continua e inyectiva de ese grafo en el plano. La complicación viene del hecho de que una aplicación podría enviar una arista del grafo sobre una curva no rectilínea que conecta una casa con una planta de producción. Tranquilo : es normal que usted encuentre difícil este nuevo ejercicio.

De este modo, ese grafo —que como todos los grafos es una curva— no puede ser colocado dentro de la curva de Sierpinski.

Es necesaria, por lo tanto, una idea nueva...

La curva de Menger

En lugar de un cuadrado, uno parte con un cubo. Se le recorta en 27 pequeños cubos y se retira el cubo central, así como los seis cubos de los centros de las caras. Quedan 20. Recomenzamos, y vamos hasta el infinito...

¡Y ahí está la curva de Menger ! Para verla en todas sus formas, tome dos lentes estereoscópicos

y observe la película....

La película en 3D.

Si usted tiene lentes 3D, mire esta película :

La courbe de Menger (en relief)

La película normal.

Si usted no tiene lentes 3D, mire esta película :

La courbe de Menger

Esta vez es cierto, de hecho, un teorema : la curva de Menger es universal. Ella contiene todas las curvas.

Aquí hay un boceto del inicio de una prueba...

Se comienza por mostrar que la curva de Menger contiene todos los grafos finitos. Para esto, se observa los vértices de los $20^N$ cubos que quedan tras la $N$-ésima etapa, y se les une mediante todas las aristas de dichos cubos. Esto genera un grafo complicado, cada vez más complicado cuando $N$ tiende al infinito. Se trata entonces de mostrar que todo grafo puede ser colocado en uno de esos grafos explícitos para un cierto valor de $N$, y por lo tanto en la curva de Menger. Sin embargo, hay varias otras curvas aparte de los grafos... Entonces, se considera una curva $C$. Por hipótesis, cualquiera que sea el radio $r$, uno puede recubrirla mediante pastillas de radios inferiores a $r$ que solo se cortan de a dos. Entonces, se construye un grafo colocando un vértice en cada pastilla y uniendo dos vértices si las pastillas correspondientes se cortan. Si $r$ es muy pequeño, se puede pensar en este grafo como una buena aproximación de $C$. Entonces se puede colocar este grafo en la curva de Menger, para un valor de $r$, luego para otro valor de $r$ más pequeño, etc. De esta manera, se van colocando grafos que se parecen cada vez más a la curva $C$ dentro de la curva de Menger. Posteriormente, hay que pasar al límite... Queda aún trabajo por hacer, por supuesto, ¡pero los matemáticos trabajamos !

Como la curva de Menger es universal, ¡debe contener la curva de Sierpinski ! De hecho, esto es evidente : la curva de Sierpinski aparece como la parte de la curva de Menger que está sobre una de las caras del cubo inicial. Ahora bien, la curva de Sierpinski no se queda tan atrás : pese a que no es universal, ¡es la curva planar universal !

Un conjunto fractal...

Por supuesto, la curva de Menger es un objeto fractal entre muchos otros, pero su carácter universal le da algunos privilegios en la galería de objetos matemáticos... El lector no será engañado : del mismo modo como existe una curva universal, ¡existe una superficie universal (se habla de alfombra) ! E incluso existe un objeto de dimensión cero que es universal... y que ya apareció en este sitio : el conjunto de Cantor.

Antaño, la mayoría de los matemáticos consideraba estos objetos como cosas al menos extrañas, ¡muy adecuados para dar contraejemplos ! Pero hoy en día, ellos han comprendido que esos objetos intervienen naturalmente en numerosos contextos. Por ejemplo, en el estudio de los sistemas dinámicos, así como en teoría de números.

A continuación, una imagen de un conjunto límite de un grupo kleiniano muy próximo a ser una curva de Sierpinski...

Los mismos físicos no dudan en modelizar algunos materiales mediante este tipo de fractal. Observe por ejemplo una zeolita de la cual se dice que la naturaleza microporosa la hace interesante como tamiz molecular (a la pasada, se comprueba que no solo hay matemáticos que utilizan palabras complicadas : esa zeolita se llama ZSM-5). ¿No le recuerda la curva de Sierpinski ?

Karl Menger vivió entre 1902 y 1985. Después de sus estudios en Viena, emigró a Estados Unidos en 1936. La curva de Menger forma parte de su trabajo fundador en Topología, en una época donde los conceptos mismos debían ser desarrollados. ¿Qué es una curva ? ¿Qué es una superficie ? ¿Qué es la distancia ? ¿Qué quiere decir uno cuando habla que dos puntos son vecinos ? Etc. La Topología tiene una larga historia que se remonta al siglo XIX, y fue erigida como disciplina autónoma a inicios del siglo XX. Pero en aquella época, los objetos manipulados eran muy regulares : las curvas y las superficies lisas, esencialmente. Es gracias al trabajo de matemáticos como Menger que estos objetos ’’exóticos’’ comenzaron a transformarse en fundamentales. Esto allanó el camino para la teoría de los conjuntos fractales, que ha llegado a ser tan popular actualmente.

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Karl Menger

Para profundizar

Acerca de Menger :

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/ history/Mathematicians/Menger.html

[http://es.wikipedia.org/wiki/Karl_Menger]

Karl Menger, General Spaces and Cartesian Spaces, (1926) Communications to the Amsterdam Academy of Sciences. English translation reprinted in Classics on Fractals, Gerald A.Edgar, editor, Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7

Karl Menger, Dimensionstheorie, (1928) B.G Teubner Publishers, Leipzig.

Karl Menger : Selecta Mathematica
By Karl Menger, Berthold Schweizer
Published by Springer, accesible en Googlebooks.

Para saber más acerca de la dimensión :

http://www.wzw.tum.de/ane/dimensions/dimensions.html (en inglés)

Un curso de topología (en inglés)

Para saber un poco más acerca de la Teoría de Grafos :

Teoría de grafos

Théorie des graphes

Grafo plano o planar

Article original édité par Étienne Ghys

Notes

[1NdT : A lo anterior se debe añadir el que, en inglés, las palabras equivalentes ’’circunferencia’’ son ’’cercle’’ y ’’círculo’’, respectivamente. No es de extrañar, entonces, que mucha gente se refiera a la circunferencia simplemente como ’’círculo’’. Sin embargo, esta confusión suele no causar problema alguno.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «La curva de Menger» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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