La desigualdad isoperimétrica

Le 17 octobre 2009  - Ecrit par  Benoît Kloeckner
Le 15 juillet 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : L’inégalité isopérimétrique Voir les commentaires
Lire l'article en  

La desigualdad isoperimétrica es la solución a un problema simple de explicar pero no evidente de resolver, y que ofrece una multitud de variantes y de desarrollos.

En el plano

El problema que nos interesa es el siguiente : se dispone de una cuerda de longitud establecida, digamos $\ell$. ¿Cuál es la mayor superficie que se podría rodear con esta cuerda ?

Se puede, por ejemplo, disponer la cuerda a lo largo de un cuadrado de lado $\ell/4$, y se obtendrá una superficie $\ell^2/16$. Pero parece más astuto disponer la cuerda a lo largo de una circunferencia. En efecto, si uno se acuerda que la longitud de la circunferencia es $2\pi$ veces su radio, se ve que se puede rodear un círculo de radio $\ell/(2\pi)$. Pero entonces la superficie de ese disco es $\pi$ veces el cuadrado de su radio, es decir $\ell^2/(4\pi)$. Se sabe bien que $\pi$ es más pequeño que $4$, por lo tanto $\ell^2/(4\pi)$ es mucho más grande que $\ell^2/16$.

La desigualdad isoperimétrica dice precisamente que, cualquiera que sea la forma que se rodee con la cuerda, la superficie rodeada $S$ verifica siempre \[4\pi S\leqslant \ell^2.\]
En otras palabras, uno no puede encontrar un área mayor que la del círculo para la superficie : se dice que el círculo es isoperimétrico. Además, también se sabe demostrar que solo el círculo permite obtener la mayor superficie posible.

Es notable que una de las demostraciones más conocidas de ese teorema utilice las series de Fourier, que Joseph Fourier introdujo para estudiar un problema completamente diferente, a saber, la difusión del calor. Pero su teoría se reveló tan fecunda que se necesitaría centenares de notas para describir todas las aplicaciones.

En el espacio

Uno puede plantearse un problema análogo en el espacio : si se considera todos los objetos de superficie (’’surface’’) $s$, ¿cuál es el valor máximo de su volumen (’’volume’’) $V$ y cuándo se llega a él ?

Se puede mostrar (pero no utilizando las series de Fourier, por desgracia) que una vez más es la esfera la que tiene el mayor volumen. La desigualdad isoperimétrica en el espacio se escribe
\[36\pi V^2\leqslant s^3\]
y la igualdad es conseguida por las esferas, y solo por ellas.

Más allá

Uno puede generalizar este problema en dimensiones superiores a $3$, y aunque los no matemáticos a menudo encuentran extraña esta idea (no diré nada al respecto), diré que se obtiene una respuesta del mismo tipo que en dimensión $2$ y $3$.

Un aspecto notable de este problema es la cantidad pletórica de variantes interesantes que ha generado. La más conocida es el problema de Didon [1]. La historia cuenta que al desembarcar en la costa norafricana, Didon recibió el derecho de tomar la parte de terreno del borde costero que ella lograra rodear con una piel de vacuno. Su idea fue recortar la piel en finas correas, de modo de obtener una cuerda bastante larga. Le quedaba determinar qué forma darle a la cuerda para rodear un máximo de terreno, que se convertiría en Cartago. Hay que mencionar que ella podía también valerse de la costa supuestamente recta [2] y usar su piel de vacuno como frontera. Le dejo a usted buscar cuál forma es óptima, indicándole solamente que se deduce de la desigualdad isoperimétrica.

La investigación contemporánea en geometría le da un amplio lugar al estudio de la desigualdad isoperimétrica en espacios ’’curvados’’, pero incluso la versión que he expuesto es estudiada y refinada en nuestros días. Es ahí arriba donde yo querría terminar.

El asunto de la estabilidad

Retomemos nuestros problemas en dimensión 2 y 3 de arriba. Se sabe cuáles son las formas óptimas (la circunferencia y la esfera), pero imaginemos que uno dispone de un objeto que sea casi óptimo, es decir, que la desigualdad isoperimétrica esté muy cerca de ser una igualdad para ese objeto. Este objeto ¿es necesariamente casi redondo ? Ese tipo de problema es un asunto de estabilidad (uno se pregunta si la forma del cuerpo es estable cerca de la igualdad).

La respuesta es positiva en dimensión $2$, y R. R. Hall [3] ha demostrado una versión cuantitativa muy precisa : su resultado mide el ’’defecto de redondez’’ máximo en función del ’’defecto de isoperimetría’’ del campo.

En dimensión $3$, el resultado es falso para la noción más inmediata de defecto de redondez. En efecto, si uno toma como cuerpo una esfera a la cual se agrega una ’’nariz’’ muy larga y muy, muy fina, se obtiene una superficie y un volumen muy cercanos a aquellos de una esfera, por lo tanto el defecto de isoperimetría es muy pequeño. Sin embargo, espontáneamente, uno tendría ganas de decir que el cuerpo está muy lejos de ser redondo.

A pesar de lo anterior, hay estabilidad para una noción de ’’defecto de redondez’’ bien precisa. En efecto, se puede demostrar que si un cuerpo es casi isoperimétrico, entonces hay una esfera que delimita casi el mismo espacio que él : el volumen dentro del cuerpo y exterior a la esfera, así como el volumen interior de la esfera y exterior al cuerpo, son ambos muy pequeños. Se dice que la asimetría de Fraenkel es muy pequeña. Hall había demostrado también ese resultado, pero con una estimación de la asimetría de Fraenkel poco satisfactoria.

La versión óptima de este resultado ha sido demostrada recientemente por tres matemáticos italianos, N. Fusco, F. Maggi y A. Pratelli, y publicada en la prestigiosa revista Annals of mathematics [4]. Yo encuentro notable que un problema tan antiguo sea siempre igual de interesante. Además, la historia no está terminada : por ejemplo, no se sabe cuáles son los cuerpos ’’menos redondos’’ que tienen un defecto de isoperimetría establecido.

Notes

[1N.d.T. : Princesa fenicia que según la leyenda tuvo que huir de su patria y fundó Cartago, en territorio de la actual Tunisia

[2La leyenda ha sido un poco adecuada aquí por los matemáticos, por necesidades del tema.

[3J. Reine Angew. Math. 428 (1992), 161—176

[4Ann. of Math. (2) 168 (2008), no. 3, 941—980.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «La desigualdad isoperimétrica » — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?