La fontaine d’eau et l’optimum de Pareto

Le 3 décembre 2008  - Ecrit par  Benoît Kloeckner Voir les commentaires (7)

Le restaurant administratif où je me nourris tous les midis possède une fontaine à eau assez classique, munie de deux robinets, qui a une particularité semble-t-il assez répandue : le débit total est le même que l’on actionne un robinet ou les deux. Lorsque deux personnes viennent remplir leur carafe, en général elle le font en même temps, en utilisant les deux robinets. Est-ce vraiment une bonne idée ?

Imaginons qu’une première personne, Alice, arrive à la fontaine pour remplir sa carafe. Juste quand elle va commencer l’opération une deuxième personne, Benjamin, arrive à son tour. Il a le choix entre deux stratégies : actionner le deuxième robinet pour remplir sa carafe en même temps qu’Alice, ou attendre qu’elle ait fini pour commencer.

Lorsqu’un seul des robinets fonctionne, il remplit une carafe en environ 20 secondes. Lorsque les deux robinets sont actionnés, ils remplissent chacun une carafe en 40 secondes. Si Benjamin choisit d’utiliser le deuxième robinet, Alice et lui passeront 40 secondes à la fontaine. Si par contre il choisit d’attendre, Alice n’y passera que 20 secondes, et lui 40 (20 à attendre, 20 pour remplir sa carafe).

Temps passé à la fontaine
Acteur si Benjamin utilise le deuxième robinet si Benjamin attend
Alice 40 secondes 20 secondes
Benjamin 40 secondes 40 secondes

Benjamin ne gagne donc absolument rien à se précipiter sur le deuxième robinet, alors qu’Alice y perd 20 secondes. La meilleure solution globale est donc d’attendre, et de ne jamais utiliser les deux robinets simultanément.

L’optimum au sens de Pareto est un concept d’économie et de théorie des jeux qui décrit bien ce genre de situations, où les intérêts de différents acteurs (par exemple les acteurs économiques : entreprises, consommateurs, état) sont en jeux. La définition est la suivante : on dit qu’une situation est un optimum de Pareto s’il est impossible d’améliorer le résultat pour un acteur sans détériorer celui d’un autre.

Dans le cas qui nous préoccupe ici, il y a deux situations : celle où Benjamin utilise le deuxième robinet et celle où il attend avant de remplir sa carafe. La seconde est un optimum de Pareto, mais pas la première, puisqu’il est possible d’améliorer le résultat d’Alice (réduire son temps de passage à la fontaine de 40 à 20 seconde) sans détériorer celui de Benjamin (dont le temps d’attente total est de toute façon de 40 seconde).

Atteindre un optimum de Pareto est toujours souhaitable (si quelqu’un peut y gagner sans que personne y perde, pourquoi s’en priver ?) Il faut toutefois bien comprendre que tous les optimum de Pareto ne sont en général pas équivalents. Prenons un autre exemple : on dispose de nourriture à distribuer entre les différents acteurs ; leurs besoins sont supposés identiques, et la nourriture est supposée se conserver facilement, de sorte qu’obtenir plus de nourriture est toujours un gain. Si l’on choisit de distribuer toute la nourriture, de quelque façon que ce soit, on se trouve dans un optimum de Pareto : donner encore plus de nourriture à l’un ne peut se faire qu’en en donnant moins à un autre (c’est ce qui s’appelle déshabiller Pierre pour habiller Paul). En particulier, donner toute la nourriture à une personne et rien aux autres est aussi optimal au sens de Pareto que répartir de façon égale la nourriture. On voit donc que cet « optimum » est une notion assez large !

Partager cet article

Pour citer cet article :

Benoît Kloeckner — «La fontaine d’eau et l’optimum de Pareto» — Images des Mathématiques, CNRS, 2008

Commentaire sur l'article

  • La fontaine d’eau et l’optimum de Pareto

    le 11 décembre 2008 à 14:36, par amic

    Honnêtement, si l’on veut être strictement individualiste (et que l’on se moque du bonheur d’Alice) il vaut mieux remplir sa carafe le plus vite possible, ainsi la présence d’Alice empêche un éventuel suivant d’utiliser le deuxième robinet !

    Répondre à ce message
    • La fontaine d’eau et l’optimum de Pareto

      le 31 décembre 2008 à 16:09, par Thierry Barbot

      Il me semble que qu’un détail est oublié : lorsqu’Alice a fini de remplir sa carafe, le débit s’accélère et je mets finalement moins de 20 s pour finir de remplir ma carafe... Il semble donc, si j’ai bien compris, qu’il ne s’agisse pas d’un équilibre de Pareto, et que j’ai toujours intérêt, peut-être minime, à commencer de remplir ma carafe ! Sans compter l’inconfort psychologique que peut apporter à Alice la présence derrière elle d’un mathématicien avec sa carafe à la main : comprend-elle le raisonnement altruiste sous-jacent, où va t’elle voir dans cette attente un refus de remplir convivialement les carafes de concert ?

      Répondre à ce message
      • La fontaine d’eau et l’optimum de Pareto

        le 4 janvier 2009 à 13:33, par Benoît Kloeckner

        Non ! Justement, tout mon propos est de montrer que la stratégie choisie n’influence pas le temps que met Benjamin à remplir sa carafe.

        Pour justifier ce fait d’une autre façon que dans le billet, on peut remarquer ceci : comme le débit ne dépend pas du nombre de robinets ouverts (tant qu’il y en a au moins un), le temps après lequel Benjamin repartira est exactement le rapport entre le volume à remplir (deux carafes) et le débit (une carafe en vingt secondes), c’est-à-dire 40 secondes. Ainsi, même si Benjamin commence à remplir sa carafe en même temps qu’Alice, puis se ravise et la laisse finir seule avant de finir à sa suite, le tout lui prendra quarante secondes.

        On voit également que si Benjamin arrive alors qu’Alice a déjà rempli sa carafe en partie, on peut tirer la même conclusion : il n’a aucun intérêt à se servir avant qu’Alice ait fini.

        Par contre, je suis obligé de reconnaître l’objection soulevée dans le premier commentaire : le risque est en effet grand que le successeur de Benjamin se précipite sur le deuxième robinet, et sa seule protection est bien de nuire à Alice en remplissant sa carafe dès son arrivée.

        Répondre à ce message
  • La fontaine d’eau et l’optimum de Pareto

    le 15 janvier 2009 à 23:13, par lolobye

    heureusement, Alice avait retrouvé la montre du lapin blanc...Sa carafe débordait allègrement... Benjamin et elle échangèrent un sourire, ils avaient tout le temps. L’optimum dépend du critère retenu, en situation d’incertitude, et du signal émis

    Répondre à ce message
  • La fontaine d’eau et l’optimum de Pareto

    le 4 mars 2014 à 16:50, par Mak.H

    Ce n’est pas l’optimum de Pareto qui est décrit ici mais la théorie des jeux. La definition de l’optimum de Pareto est une situation ou il n’existe aucun echange mutuellement avantageux pour les agents (d’où la notion de degradation de la situation d’un agent). Ou est l’echange dans l’exemple ? Le deuxième qui arrive a la fontaine ne donne rien, il a juste à décider de si il fait la fleur au premier de le laisser finir plus vite. Le choix qui s’offre a lui est donc de coopérer ou pas (approche non-coorpérative (c’est a dire individuelle) de la théorie des jeux) sachant que l’exemple s’applique a le définition du jeu : des « joueurs » qui cherche à « gagner » (ici perdre le moins de temps possible a la fontaine), un ensemble de choix possibles appelés stratégies et des règles (ici le debit de l’eau).
    Le second individu ne peut donc pas être mieux mais juste, dans l’exemple, nuire à l’autre. On en arrive par ce lien au dilemme du prisonnier (deux suspects sont interrogés, si les deux passent a tables ils font de la prison tout les deux, si un seul le fait il touche une prime et si aucun ne dénonce l’autre, ils sont libres tout les deux) qui représente effectivement une sous optimalité au sens de Pareto, mais qui ne la définit pas.

    Répondre à ce message
  • La fontaine d’eau et l’optimum de Pareto

    le 4 mars 2014 à 17:00, par Benoît Kloeckner

    La notion d’optimum de Pareto est souvent utilisée dans un cadre plus large : quand un certain nombre de choix (stratégies par exemple) sont disponibles, on peut dire qu’un choix est optimal au sens de Pareto si aucun autre choix n’améliore la situation d’un agent sans détériorer la situation des autres agents. Avec cette définition, parmi les deux choix possibles de Benjamin l’un exactement est optimal au sens de Pareto.

    Répondre à ce message
    • La fontaine d’eau et l’optimum de Pareto

      le 4 mars 2014 à 17:56, par Mak.H

      C’est ce que je vous ai écrit dans mon message, vous avez décrit la théorie des jeux dans un exemple qui ne concerne que des choix statégiques et pas une répartition des dotations initiales, il n’y a donc pas d’échanges mais la situation peut être observé sous l’angle de l’optimum de Pareto. Et la notion d’optimum de Pareto est très largement utilisé mais a été définit précisément. Je cite par exemple Guerrien et Benicourt (extrait de la théorie economique neo-classique) qui disent : « si un état réalisable X est préféré à un autre état réalisable Y selon le critère de Pareto, c’est parce qu’il existe des échanges mutuellement avantageux qui permettent de passer de Y a X. »
      L’utilisation du critère étant certes très répandu même parmis les non-economistes mais il a été pensé et définit avec les dotations initiales et les échanges mutuellement avantageux des agents. Dans votre exemple ; la fontaine représenterait un bien semi public (donc théorie des jeux) alors qu’il est primordial chez Pareto que l’agent possède ce qu’il échange.

      Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Suivre IDM