La integral

Piste rouge Le 28 juillet 2010  - Ecrit par  Laurent Decreusefond
Le 29 décembre 2020  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
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Fuerte como un halterofilista

Comencemos con una pregunta con un resultado sorprendente. Quién es más fuerte :

  • ¿un halterofilista que levanta 200 kilos a pulso sobre su cabeza ?,
    o
  • ¿una joven mujer de 50 kilos que sube cuatro pisos sin ascensor ?

Bueno, los físicos nos dicen primero que la palabra ’’fuerte’’ está especialmente mal elegida. Habría que hablar de ’’enérgico’’. Volveremos a este concepto más adelante. Desde el punto de vista energético, el halterofilista y la joven mujer están en pie de igualdad. Si uno supone que el halterofilista lleva la barra a dos metros por encima del suelo, la energía que habrá gastado será proporcional al producto de la masa de la barra y la altura alcanzada :
\[\mbox{Energía}= 9,81 \times 200 \times 2 = 9,81 \times 400 \ \mbox{Joules} = 3924 \; \mbox{Joules}. \]

El factor $9,81$, que se expresa en metros por segundo al cuadrado, es ’’la aceleración’’ debido a la gravedad. Esto traduce el hecho de que estamos sometidos a la fuerza de gravedad : sobre la Luna todos nosotros levantaríamos barras de 100 kilos sin ningún esfuerzo, ya que allá la aceleración de gravedad es del orden de $1,635.$

Por otro lado, si la frágil joven de 50 kilos transporta su propio peso hasta una altura de 8 metros [1], la energía gastada será
\[\mbox{Energía} = 9,81\times 50 \times 8 = 9,81 \times 400\ \mbox{Joules} = 3924\; \mbox{Joules}.\]

Evidentemente, hay una diferencia entre ambos : en un caso, para el halterofilista, la energía se produce en algunos segundos ; para la joven mujer, la escala de tiempo es del orden de un minuto. El halterofilista extrae más potencia que la mujer, por lo tanto ¡es más ’’fuerte’’ !

Es práctico representar estas dos situaciones con un dibujo : en la abcisa se representa los desplazamientos ; en la ordenada, la intensidad de la fuerza.

Travail de l'haltérophile
La energía del halterofilista está representada por el área del rectángulo rojo. La energía de la joven mujer está representada por el área del rectángulo azul.

En ambos casos, con un coeficiente aproximado de $9,81$, se ve que la energía representa el área del rectángulo coloreado. Este enfoque nos da la herramienta adecuada para calcular energías en situaciones más complicadas.

Supongamos que la mujer quisiera calcular la energía que gasta cada vez que sube por las escaleras. Cuando regresa de sus compras, ella viene cargada, por lo que gasta más energía. Su masa varía en función de la cantidad de compras que trae. Digamos que entre ella y su carga, su masa varía algunos días, y queda comprendida en total entre 50 y 55 kilos. Al cabo de una semana, su energía gastada para subir a su departamento es igual al área azul de la figura.

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Figura 3 : La energía gastada por la joven mujer al cabo de una semana es el área total de los rectángulos. La escala de la representación es diferente a la de la figura anterior.

Lancemos un cohete

Mientras uno gasta más energía, más dinero gasta, y por lo tanto es importante prever lo que va a gastar. Se puede retomar las definiciones anteriores, pero ahora ya no se puede decir que la aceleración de gravedad no varía en el transcurso del vuelo, ya que un cohete sube a alturas donde la gravedad es casi inexistente. Por otra parte, un cohete va (voluntariamente) a perder masa en forma rápida para acelerar. En función de la altura, el peso del cohete -que está definido por los físicos como el producto de la aceleración de gravedad por la masa- varía en función de la altura según una figura que se parece a la de la figura 4.

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Figura 4 : variación del peso en función de la altura. (poids = peso ; altitude = altura)

Para calcular la energía que se va a gastar para un vuelo así (e.g. lanzar un satélite a baja órbita), hay que calcular el área comprendida entre el eje horizontal y la curva desde la altura $0$ hasta la altura final, por ejemplo algunos centenares de kilómetros. Por lo tanto, tenemos que determinar el área de la zona naranja en la figura 5.

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Figura 5 : la energía queda representada por el área de la región naranja.

Fue primero Cauchy en 1823 y luego Riemann en 1845 quienes dieron una solución a ese problema (puede hallar aquí una historia sobre la teoría de la integración.).

Basta con recortar la parte anaranjada en rectángulos cada vez más pequeños. Si todo va bien, cuando la base de los rectángulos se vuelva cada vez más pequeña, esta suma de áreas de rectángulos debe aproximarse tan cerca como uno quiera al área de la zona anaranjada. A este número se le llama la integral de la función representada en la figura 4. Se podría creer que a partir de ahí el problema de la integración está resuelto. Desgraciadamente, existen funciones tan irregulares que uno no puede dibujarlas, y no puede calcular su integral ; es decir, por más que se disminuya la base de los rectángulos, la suma de las áreas no convergerá : llega a ser arbitrariamente grande, o duda entre muchos valores en forma indefinida.

Más tarde, en el siglo XX, Lebesgue tuvo la idea de recortar el área anaranjada en rectángulos horizontales de tamaño cada vez más pequeño. Extrañamente, tal enfoque permite calcular integrales de funciones un poco más irregulares que aquellas que uno puede tratar con rectángulos verticales. Para ilustrar este enfoque alternativo, se puede mirar un ejemplo simple. Un comerciante quiere sacar sus cuentas a fin de mes. Puede hacerlo de dos maneras : todos los días cuenta cuánto ha ganado durante la jornada y agrega eso a la suma ya ganada desde el comienzo del mes. A fines de mes, tiene su ganancia total : es el principio explicado al inicio. Segundo método : a fines de mes, mira en su cajón y cuenta la cantidad de billetes de 100 euros, la de billetes de 20, de billetes de 10, de 5, etc. Para todos los valores de billetes posibles, multiplica el valor del billete por el número de billetes de ese tipo. Enseguida suma todos esos valores. Eso evidentemente debe darle el mismo número que con el primer método. Una diferencia sutil pero sin embargo esencial en la teoría de las probabilidades es que con el enfoque llamado de Lebesgue, uno no tiene necesidad de saber cuánto ha ganado cada día. Uno puede conformarse con saber el número de días donde ganó 1 billete de 100 euros, el número de días donde ganó 2 billetes de 100 euros, etc. Lo mismo con los demás billetes. Para usted esta diferencia puede que no sea gran cosa, pero para un probabilista ¡eso quiere decir mucho !

Las martingalas no existen

¿Por qué preocuparse de integrar funciones irregulares si no es por el masoquismo puro que caracteriza a algunos matemáticos  ? Imaginemos un juego de azar con tantas chances de ganar como de perder en cada tiro : por ejemplo, lanzar una moneda al cara o sello, o apostar a par/impar en la ruleta, etc. Si usted gana, recupera dos veces su apuesta ; si usted pierde, pierde su apuesta. Usted tiene la opción de su apuesta en cada tirada. Para simplificar las cosas, usted dispone de una fortuna sin límite, así como su adversario.

Una vez más, se puede representar su ganancia con un dibujo basado en rectángulos : los rectángulos van hacia arriba si usted gana, y hacia abajo si usted pierde. Las áreas correspondientes tienen por lo tanto un signo positivo en caso de ganancia, y negativo en caso de pérdida. Su ganancia total es la suma de esas áreas ’’signadas’’ [2].

Una martingala en el sentido común y no en el sentido matemático, es una estrategia, por lo tanto una elección de apuestas que debe permitirle tener una ganancia positiva al jugar un tiempo suficientemente largo. Desde que este problema y otros similares han sido estudiados, se sabe que es interesante considerar no sólo la secuencia de los +1 o -1 que se traducen en una ganancia o una pérdida en cada lanzamiento, sino que es más interesante considerar el cúmulo de las ganancias y de las pérdidas : para una secuencia de ganancias/pérdidas como +1, +1, -1, +1, +1, -1, -1, -1 ..., se prefiere mirar la secuencia 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 0, ... Al cabo de 100, 1000 y 10000 pasos aparecen estas cifras acumuladas :

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Au bout de 10 pas.
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Au bout de 100 pas.
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Au bout de 10000 pas.

Cuando el número de lanzamientos aumenta, esta secuencia da una curva cada vez más irregular. A tal punto que si uno va hasta el final, es decir hacia un número infinito de lanzamientos, se obtiene una curva que ya no es dibujable de manera lisa (se vuelve imposible construir una tangente). Exactamente, se obtiene un objeto bien conocido por los probabilistas, que se llama un movimiento browniano (vea por ejemplo este artículo). Supongamos ahora que en cada lanzamiento usted pudiera apostar una cantidad a elección. Si usted gana ese tiro, recupera dos veces su apuesta ; si no, pierde su apuesta. Conclusión : su riqueza al cabo de $4$ lanzamientos con la tirada de arriba, se expresa como

\[ \rm{Riqueza}_4 =\rm{Riqueza}_0+ \rm{Apuesta}_1 (+1) +\rm{Apuesta}_2 (+1) +\rm{Apuesta}_3 (-1) + \rm{Apuesta_4} (+1) . \]

En el caso general, su riqueza se expresa como la integral de las apuestas en relación a las variaciones de las ganancias. Cuando esta variación de las ganancias es asimilada a un movimiento browniano, esta noción de integral es técnicamente más complicada de definir que la anterior. Sin embargo, desde Young (1936) y luego Itô en los años 50, se sabe dar un sentido a esta integral. Y el resultado es que, sin apelación, no importa cuál sea su estrategia : ¡su ganancia media es nula !

Article original édité par Jacques Istas

Notes

[1Lo sé, esos son pisos pequeños. Ponga dos si prefiere.

[2’’signadas’’ quiere decir que se toma en cuenta el signo del área en el cálculo de la ganancia

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «La integral» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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