La lentille et le capitaine autrichien

Piste rouge 4 septembre 2015  - Ecrit par  Jean-Yves Briend Voir les commentaires (2)

Saviez-vous qu’en mangeant des lentilles (des vertes du Puy, si possible) vous absorbiez des transformations projectives ?
Nous vous proposons de le montrer dans ce billet : de la camera obscura à la géométrie projective, ou comment matérialiser
un énoncé mathématique à l’aide d’un appareil photographique...

C’est une des merveilles de certains réveils un matin d’été à la campagne : par un petit trou dans les persiennes passe un peu de la lumière du jour naissant et l’on observe, étonné, une image fantomatique du monde extérieur projetée sur le mur opposé à la fenêtre. Les arbres, la tête en bas, agitent leurs branches au gré du vent.
Nous sommes dans une chambre obscure ou camera obscura en latin. La photographie suivante est prise depuis l’intérieur d’une chambre d’hôtel. Elle est dûe au photographe Abelardo Morell qui a exploité systématiquement ce phénomène pour produire une œuvre tout à fait remarquable.

Abelardo Morell, Eiffel Tower in the hotel Frantour, 1999 {JPEG}

Le petit trou, ou sténopé, par lequel passe la lumière permet d’obtenir par projection une image plus ou moins nette. C’est ainsi que l’on peut facilement construire, à l’aide d’une vieille boite en carton par exemple, un petit dispositif permettant d’observer sans risque une éclipse. Ce phénomène de projection est connu depuis l’antiquité. Il a été étudié par les physiciens et c’est en usant de la camera obscura qu’Ibn al-Haytham, au dixième siècle, a renversé les rayons visuels de l’antiquité pour en faire des rayons lumineux. Connu en Europe sous le nom d’Alhazen, Ibn-al-Haytham est un des pères de la méthode scientifique. Dans son Traité d’optique, traduit en latin en De Aspectibus, il se confronte à la réalité par des expériences à partir desquelles il élabore une théorie ou un modèle qu’il met à leur tour à l’épreuve de l’expérience. La chambre obscure est l’un des outils importants de son appareil expérimental à partir duquel il démontra que la lumière se propage en ligne droite et énonça qu’elle se déplace à vitesse finie [1].

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Le grand savant Alhazen (965—1039) dans sa chambre obscure

Ce dispositif a été utilisé par les artistes en Europe à partir du quinzième siècle, en particulier par les peintres soucieux d’exactitude dans leurs perspectives.

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Un peintre tricheur utilise la camera obscura

Dans le souci d’obtenir une image plus lumineuse et plus nette, on a rapidement remplacé le petit trou par lequel passe la lumière par une lentille. Un appareil photographique n’est jamais qu’une camera obscura dont l’entrée est consitutée par un objectif, assemblage de lentilles, et dont le fond est muni d’un dispositif chimique (pellicule de la photographie dite argentique) ou électronique (capteur CMOS ou CCD de la photographie dite numérique) permettant d’enregistrer l’image projetée.

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Principe schématique de l’appareil photographique moderne

Nous allons dans ce petit texte montrer que sous son apparente simplicité, le dispositif de la camera obscura nous met en présence d’une géométrie qui n’est pas euclidienne mais porte le doux nom de « projective ». Nous serons alors en mesure de montrer qu’une lentille définit naturellement une transformation propre à cette géométrie. Il en découlera, grâce au théorème dit de Desargues, un procédé de mise au point de la chambre photographique permettant d’obtenir la netteté sur des plans inclinés par rapport au dispositif d’enregistrement de l’image. Ce procédé a donné lieu au dépôt d’un brevet par l’officier autrichien Theodor Scheimpflug en 1904 et nous en expliquerons les usages par quelques exemples.

La camera obscura comme projection centrale

On peut donner une description naïve de la camera obscura de la manière suivante : l’espace est séparé en deux parties par un plan opaque ; l’une des parties s’appellera le monde extérieur (ou espace des objets) et l’autre la chambre (ou espace des images). Dans le plan opaque est percé un petit trou que l’on nomme un sténopé ; nous le supposerons tellement petit qu’il sera représenté par un point. Nous supposerons également placé, dans la chambre, un morceau de plan qui représentera la surface sur laquelle l’image est projetée.

Certains des rayons lumineux issus des objets situés dans le monde réel vont passer par le sténopé et venir imprimer une tache lumineuse sur le mur de projection.

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Un schéma de la chambre obscure avec un sténopé : un objet, un trou, un plan de projection
Dessin tout pourri de l’auteur...

Si chaque tache est suffisamment petite pour pouvoir être assimilée par notre œil à un point, l’image ainsi formée est une représentation fidèle du monde extérieur.

Nommons $o$ le point où est situé le sténopé. Considérons un plan $\Pi$ [2], ne contenant pas $o$ et qui sera le plan sur lequel on observe l’image projetée : c’est le plan image. Afin de simplifier un peu les choses, supposons que ce qui nous intéresse dans le monde réel soit situé dans un plan $P$ : c’est le plan objet, ou réel. On peut imaginer par exemple le plan contenant la façade d’un bâtiment. Ce plan $P$ doit être distinct de $\Pi$ et ne pas passer par $o$ si l’on veut éviter de traiter une situation absurde.

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L’image du point $m$ sur le plan $P$ se trace en $m'$ sur le plan $\Pi$

Comme dit plus haut, un objet du monde réel émet (ou réfléchit) de la lumière. L’un des rayons lumineux issus de cet objet passe par le sténopé situé au point $o$ et trace sur le plan $\Pi$ une tache lumineuse qui est l’image de l’objet par le dispositif. Cette image est déterminée entièrement par la géométrie : elle est à l’intersection du rayon issu de l’objet passant par $o$ et du plan $\Pi$. Nous venons de définir une projection centrale : si $m$ est un point de $P$, on trace la droite $mo$ et si celle-ci coupe le plan $\Pi$, le point d’intersection est l’image $m'$ de $m$ (voir la figure ci-dessus).

La condition pour que $mo$ coupe $\Pi$ est assez simple à énoncer : la droite $mo$ ne doit pas être située dans le plan parallèle à $\Pi$ et passant par $o$. Notons $\Pi_o$ ce plan ; si $P$ et $\Pi$ ne sont pas parallèles, $\Pi_o$ coupe $P$ selon une droite que nous noterons $D_o$ qui correspond exactement aux points de $P$ qui n’ont pas d’image (voir la figure ci-dessous). Si $P$ est parallèle à $\Pi$ alors tout point de $P$ admet une image.

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Les points de la droite $D_o$ n’ont pas d’image

En résumé, nous disposons d’une transformation, que nous noterons $\phi$, définie sur $P$ privé éventuellement de la droite $D_o$ et à valeurs dans $\Pi$ ; au point $m$ elle associe le point $m'$ que l’on note alors $\phi(m)$ (ce qui se lit « phi de $m$ » : c’est l’image du point $m$ par la transformation $\phi$). Le cas où $P$ est parallèle à $\Pi$ étant un cas particulier, nous nous concentrerons sur le cas où $P$ et $\Pi$ se coupent.

Les transformations de la géométrie usuelle comme les rotations, les translations ou les similitudes préservent les alignements et le parallélisme. Qu’en est-il de la projection centrale $\phi$ ? Il est assez facile de voir qu’elle préserve les alignements. Soient $m,p,q$ trois points distincts et alignés de $P$, non situés sur $D_o$. Soit $P'$ le plan contenant les trois points $m,p$ et $o$. Comme $m$ et $p$ sont sur le plan $P'$, la droite $mp$ est entièrement dans ce plan. Le point $q$ étant aligné avec $m$ et $p$, il en découle que $q$ est sur $P'$. Le point $o$ étant lui aussi sur $P'$ on obtient finalement que la droite $qo$ est, elle aussi, sur $P'$. Ainsi $\phi(q)$, qui est sur la droite $qo$, doit être dans l’intersection des plans $P'$ et $\Pi$. Comme il en est de même de $\phi(m)$ et $\phi(p)$ on en déduit que $\phi(m),\phi(p)$ et $\phi(q)$ sont alignés (voir la figure ci-dessous).

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La transformation de projection $\phi$ préserve les alignements

Dit autrement, si $L$ est une droite de $P$ différente de $D_o$ alors les points de son image sont situés sur une même droite que nous noterons abusivement $\phi(L)$ [3]. Remarquons avant de poursuivre que la transformation $\phi$ peut en quelque sorte fonctionner « dans les deux sens ». Autrement dit, si l’on prend un point $m'$ du plan image $\Pi$, on peut tracer la droite $m'o$ et, si celle-ci coupe le plan objet $P$, considérer le point d’intersection $m$. Il est clair alors que $m$ est le point objet dont l’image est le point $m'$. De manière symétrique à la droite $D_o$ dont les points n’ont pas d’image, il existe dans le plan $\Pi$ des points qui ne sont image d’aucun point de $P$. Il s’agit des points de $\Pi$ situés sur le plan passant par $o$ et parallèle à $P$. Nous noterons $P_o$ ce plan et $D'_o$ son intersection avec $\Pi$ (voir la figure ci-dessous).

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Les points de la droite $D'_o$ ne sont l’image d’aucun point de $P$

Après avoir démontré que la projection centrale $\phi$ préserve les alignements, il est tentant d’essayer de savoir si elle préserve le parallélisme. Il n’en est rien, du moins en général.

Parallélisme, point de fuite et perspective.

Si $L$ est une droite de $P$ parallèle à $D_o$, nous pouvons considérer, outre le plan $\Pi_o$, le plan $P_L$ contenant $L$ et passant par $o$. Les plans $\Pi_o$ et $P_L$ se coupent selon une droite $L_o$ qui est parallèle à $D_o$ et $L$ et passe par $o$. L’image de $L$ est alors l’intersection de $P_L$ avec $\Pi$. Les plans $\Pi_o$ et $\Pi$ sont parallèles donc l’intersection de $P_L$ avec $\Pi$ est parallèle à l’intersection de $P_L$ avec $\Pi_o$. Il ressort de tout cela que la droite $\phi(L)$ est parallèle à la droite $L$ et donc parallèle à la droite $D_o$. Nous pouvons dire les choses autrement : les images de deux droites de $P$ parallèles à $D_o$ sont deux droites parallèles de $\Pi$. La transformation $\phi$ préserve le parallélisme dans la direction de $D_o$ (voir la figure ci-dessous).

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Les droites $L$ et $M$, parallèles à $D_o$, ont des images parallèles

Que se passe-t-il pour les directions différentes de celle de $D_o$ ? L’idée est assez simple : lorsqu’un point de $P$ se rapproche de $D_o$, son image part vers l’infini dans $\Pi$. Si donc deux droites de $P$ se coupent en un point situé sur $D_o$, alors leurs images respectives ne se coupent pas et sont donc parallèles. Nous avons remarqué plus haut que la transformation $\phi$ marche dans les deux sens, c’est-à-dire que ce qui est valable pour $\phi$ l’est aussi pour sa transformation réciproque qui projette $\Pi$ sur $P$. Ainsi, étant données deux droites parallèles (mais non parallèles à $D_o$) $L$ et $L'$, alors leurs images se coupent en un point situé sur $D'_o$. Pour les plus courageux,

voici comment démontrer cette affirmation de manière rigoureuse.

Considérons une droite $L$ dans $P$ qui coupe $D_o$ en un point $p$. Soient $P_L$ le plan contenant $L$ et passant par $o$ et $P_o$ le plan parallèle à $P$ et passant par $o$. Les plans $P_o$ et $\Pi_o$ se coupent selon une droite $D$ qui passe par $o$ et est parallèle tant à $D_o$ qu’à $D'_o$. Les deux droites $D_o$ et $D'_o$ sont donc parallèles. Le plan $P_o$ coupe par ailleurs le plan $P_L$ selon une droite que nous noterons $A_L$ qui est parallèle à $L$. La droite $\phi(L)$ est dans le plan $\Pi$ qui n’est pas parallèle à $P$ et donc les droites $\phi(L)$ et $A_L$ toutes deux sises dans le même plan $P_L$, ne peuvent être parallèles : elles se coupent en un point $p'$. Ce point $p'$ étant dans $A_L$ il est aussi dans $P_o$ et étant dans $\phi(L)$ il est dans $\Pi$ : il est donc situé sur la droite $D'_o$. Nous avons donc montré que $\phi(L)$ coupe $D'_o$ en le point $p'$ d’intersection de $A_L$ avec $D'_o$. Mais si l’on considère une droite $L'$ de $P$ parallèles à $L$ alors le plan $P_{L'}$ passant par $o$ et contenant $L'$ coupe $P_o$ selon la droite $A_L$ et il en découle que $\phi(L')$ doit elle aussi passer par $p'$ ! Nous venons de démontrer, bien laborieusement, l’affirmation faite quelques lignes plus haut : l’image d’une famille de droites de $P$ parallèles entre elles mais non parallèles à $D_o$ est une famille de droites concourantes dans le plan $\Pi$ (voir la figure ci-dessous).

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Deux droites parallèles d’images concourantes

Notre approche laborieuse nous a cependant permis de décrire complètement la situation.

Nous connaissons ce phénomène dans le domaine pictural : c’est celui de la vue en perspective de lignes s’éloignant de l’observateur et situées dans un plan non parallèle à celui qui contient le tableau. La figure ci-dessous est un dessin issu du traité De Pictura de Leon Battista Alberti paru en 1435 où celui-ci montre la méthode qu’il a mise au point pour la réalisation de perspectives justes.

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Schéma issu du { De Pictura} d’Alberti

Il ressort de ce premier examen que la projection centrale semble créer de toutes pièces des points qui n’existent pas dans le monde réel : deux droites parallèles peuvent avoir des images concourantes. La réciproque est vraie et il n’est pas difficile de construire des droites parallèles dans le plan image $P$ qui sont la projection de droites concourantes dans le plan $\Pi$ : si des points nouveaux apparaissent, d’autres disparaissent !

Le moyen de remédier à ce qui semble être une anomalie est connu depuis les travaux de Girard Desargues, décrits dans son « Brouillon Project » de 1639 (dont le but est principalement l’étude des coniques). De la démonstration ci-dessus il ressort que les droites parallèles à une même direction ont des images se coupant en un même point $p'$ de la droite $D'_o$ et qu’un tel point correspond à une et une seule direction de droites dans $P$. On peut donc, comme le fait Desargues, décréter que deux droites parallèles se coupent en un point, dit « à l’infini » et que l’on peut identifier avec la direction correspondante. La figure ci-dessous montre un extrait du Brouillon project de Desargues où il explique cette idée.

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La concourance des droites parallèles dans le { Brouillon project} de Desargues

On peut faire mieux et montrer que l’ensemble de ces directions (ou points à l’infini) peut être considéré comme formant une droite, la « droite à l’infini » de $P$, que nous noterons $D_{P}$. Voici comment s’en convaincre. Donnons-nous une droite $D$ dans le plan $P$ et notons $d$ le point de la droite à l’infini correspondant à la direction de $D$. Soit $a$ un point de $P$ pris hors de $D$. À chaque droite passant par $a$ correspond une et une seule direction de droite et donc un et un seul point de $D_P$. Nous pouvons donc mettre en correspondance la droite $D$, complétée de son point à l’infini $d$, avec la droite à l’infini $D_P$ de la manière suivante : si $m$ est un point sur $D$, on trace la droite $am$ qui coupe la droite à l’infini en le point correspondant à la direction définie par $am$. On applique ainsi la droite $D$ sur la droite à l’infini $D_P$ ou, pour résumer, on peut mettre en correspondance toute droite $D$ de $\Pi$, complétée de son point à l’infini, avec la droite à l’infini $D_\Pi$.

Quel est le lien avec la projection centrale $\phi$ ? Nous avons vu plus haut que deux droites de $P$ coupant $D_o$ en le même point $m$ sont envoyées sur deux droites parallèles dans $\Pi$, correspondant donc au même point $m'$ sur la droite à l’infini $D_\Pi$ de $\Pi$. On peut donc considérer que, par la transformation $\phi$, la droite $D_o$, à distance finie dans $P$, est envoyée sur la droite à l’infini $D_\Pi$ de $\Pi$. La symétrie de la situation entre $\phi$ et sa réciproque nous permet également de conclure que la droite $D'_o$ des points de $\Pi$ qui ne sont l’image d’aucun point de $P$ est en fait l’image de la droite à l’infini de $P$ ! Dans une peinture, si $P$ est le plan de la mer (car la terre est plate, chacun le sait [4]) sa droite à l’infini, que l’on nomme couramment l’horizon, est représentée sur le tableau par une droite véritable, qui n’est autre que la droite $D'_o$ de $\Pi$.

Répétons tout cela ; le plan objet $P$ est enrichi d’une droite à l’infini $D_P$ (la ligne d’horizon) et chaque droite $D$ de $P$ détermine une direction qui n’est autre qu’un point $d$ de $D_P$. Nous pouvons donc enrichir chaque droite de $P$ de son point à l’infini qui n’est autre que celui qui correspond à sa direction, et deux droites du plan ainsi enrichi, qui s’appelle un plan projectif, sont toujours sécantes. Elles le sont en effet soit en un point du plan $P$ soit, si elles sont parallèles, en un point à l’infini. La projection centrale se prolonge alors naturellement à la droite à l’infini de $P$ pour transformer $D_P$ en la droite $D'_o$ décrite plus haut, qui est la représentation de l’horizon [5]. Le point $p'$ est le point de fuite de la famille de droites parallèles à $D$ et il correspond à l’image du point $d$ à l’infini de $D$ par la projection $\phi$ [6].

Nous n’entrerons pas dans le détails ici mais nous voilà maintenant munis d’une géométrie, dite projective, où l’on dispose de droites et de points semblables à ceux que nous connaissons mais avec l’avantage supplémentaire que deux droites (situées dans un même plan) y sont toujours sécantes. La projection du sténopé, préservant les alignements, est alors une transformation naturelle de cette géométrie. Elle est définie sur tout le plan projectif $P$, à valeurs dans le plan projectif $\Pi$, et définit entre ces deux plans une correspondance parfaite préservant toutes les propriétés d’incidence des figures.

Comme l’on a enrichi les plans en leur rajoutant une droite à l’infini, nous pouvons enrichir l’espace lui-même en lui rajoutant un plan (projectif) à l’infini. Dans cet espace enrichi, deux droites sont parallèles au sens usuel si elles se coupent en le même point du plan à l’infini, et deux plans sont parallèles s’ils se coupent selon une droite contenue dans le plan à l’infini... C’est le cadre adapté à l’optique géométrique [7] et nous allons en donner une illustration photographique en rajoutant à notre dispositif une lentille.

La lentille

Comme dispositif de prise de vue, le sténopé a l’avantage d’offrir une géométrie parfaite sans aucune distorsion. Mais il n’est pas, pour le photographe, la panacée. Comme le trou n’est en fait pas réduit à un point, de chaque point du monde réel part un petit cône de lumière qui va traverser ce trou et donc imprimer sur le plan image non pas un point mais une petite tache. L’image n’est donc jamais tout à fait nette.

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Le canal de la Marne au Rhin à Vitry-le-François pris avec appareil à sténopé, cliché de l’auteur.

Afin de rendre l’image nette il faut donc diminuer la taille du trou qui, sur les chambres à sténopé utilisées par les photographes est de l’ordre du dixième de millimètre. Cela a un inconvénient majeur : la quantité de lumière qui atteint ainsi le plan image, sur lequel le photographe dispose généralement un bout de pellicule photo [8] est toute petite. La prise de vue nécessite donc des temps de pose très longs [9].

On remédie à ces deux problèmes (netteté et temps de pose) en agrandissant le trou pour y placer une lentille [10]. On crée ce faisant un nouveau problème : certaines parties de l’image seront certes parfaitement nettes, mais d’autres deviendront complètement floues. Il nous faut donc effectuer une mise au point. Avec un appareil photographique standard il apparait le phénomène suivant : la zone que l’on peut rendre nette est située dans un plan parallèle aux plans du capteur et de l’objectif de l’appareil. Il est donc impossible, en tenant l’appareil verticalement, d’obtenir de la netteté sur tout un plan horizontal par exemple.

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La partie nette de l’image se situe entre deux plans verticaux parallèles au plan de la pellicule, cliché de l’auteur.

Afin d’arriver à un tel résultat, il nous faudra utiliser une chambre photographique à soufflet permettant de déformer l’appareil et de briser le parallélisme entre le plan de l’objectif et celui du capteur. Mais pour savoir comment cela est possible, nous devons d’abord mieux comprendre la géométrie de la lentille.

Pour définir une lentille, nous avons besoin d’un plan $P$, dit plan de la lentille, d’une droite $A$ dite axe de la lentille, coupant le plan $P$ en un point $o$ qui est le centre de la lentille. On se donne enfin un point $f$ sur l’axe, point qui doit être différent de $o$, et qui est le foyer de la lentille. Classiquement, l’axe $A$ et le plan $P$ sont orthogonaux. Nous pouvons maintenant construire l’image d’un point $m$ par la lentille de la manière suivante : on trace la droite parallèle à l’axe et passant par $m$. Celle-ci coupe le plan $P$ en un point que nous noterons $m_1$. On trace ensuite les droites $mo$ et $m_1f$, qui se coupent en l’image $m'$ de $m$ par la lentille (voir la figure ci-dessous).

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La lentille d’axe $A$, de plan $P$ et de foyer $f$.

Remarquons que nous avons employé le mot « parallèle » dans l’une des phrases ci-dessus alors que nous avons prétendu à la section précédente qu’il était à bannir de la géométrie de l’optique, c’est-à-dire de la géométrie projective. Cela n’est évidemment pas grave car on se souvient que, selon Desargues, deux droites parallèles se coupent à l’infini. Introduisons donc un quatrième larron dans l’affaire en la personne d’un point $i$ situé sur l’axe et que nous appellerons le point à l’infini de la lentille. Nous travaillerons donc dans l’espace projectif, à savoir l’espace tridimensionnel usuel enrichi d’un ensemble de points à l’infini représentant les différentes directions de droites. Comme dans le cas du plan $P$ enrichi de sa droite à l’infini $D_P$ vue plus haut, on peut montrer que l’ensemble des points à l’infini de l’espace tridimensionnel peut être considéré comme formant un plan, le plan à l’infini de l’espace. Si l’on place le point $i$ en l’intersection de l’axe $A$ et de ce plan à l’infini, la droite passant par $m$ et parallèle à $A$ n’est autre que la droite $im$. Sur la figure suivante, on a placé le point $i$ à distance finie, ce qui permet de se représenter la situation la plus générale permettant de définir une lentille.

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La lentille d’axe $A$, de plan $P$, de foyer $f$ et de point à l’infini $i$

Rappelons comment nous avons fait : soit $m$ qui n’est pas sur la droite $A$. On peut tracer la droite $im$ qui va couper le plan $P$ en un point que nous noterons $m_1$ et l’on trace ensuite la droite $m_1f$. Cette dernière est dans le même plan que la droite $mo$. Comme nous travaillons en géométrie projective, $mo$ et $m_1f$ se coupent en un point $m'$, que nous noterons $\ell(m)$. Cette transformation est pour l’instant définie pour les points qui ne sont pas sur l’axe $A$, mais l’on peut l’y étendre. Nous renvoyons la lectrice courageuse à la fin de ce texte pour la preuve de ce dernier fait. Notons ici que si $m$ est un point de $P$ alors son image est le point $m$ lui-même. Cela ne semble pas avoir grand sens physique de prendre l’image d’un point situé dans le plan de la lentille, mais nous en tirerons une conséquence importante plus loin.

En admettant que $\ell$ est définie partout, nous allons démontrer que cette transformation possède quelques propriétés géométriques remarquables en utilisant le premier grand théorème de la géométrie projective, le théorème de Desargues.

Théorème : Soient $a,b,c$ et $a',b',c'$ deux triangles qui soient en perspective depuis un point $o$. Cela signifie que les droites $aa'$, $bb'$ et $cc'$ sont concourantes en $o$. Alors les droites $ab$ et $a'b'$ (resp. $ac$ et $a'c'$, resp. $bc$ et $b'c'$) se coupent en un point que nous noterons $r$ (resp. $q$, resp. $p$) et les trois points $p,q,r$ sont alignés.
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Les deux triangles $abc$ et $a'b'c'$ sont en perspective depuis le point $o$

La preuve du théorème de Desargues est très simple si l’on suppose que les deux triangles $abc$ et $a'b'c'$ ne sont pas dans un même plan : les points $p,q,r$ sont dans l’intersection de ces deux plans et sont donc alignés (voir la figure ci-dessous). L’affirmation que les droites $ab$ et $a'b'$ se coupent est une conséquence facile de l’absence de parallélisme en géométrie projective : comme $aa'$ et $bb'$ se coupent en $o$, les deux droites $ab$ et $a'b'$ sont dans un même plan et doivent donc se couper !
Si les deux triangles sont situés dans un même plan, on peut bouger un peu l’un des sommets, $a$ par exemple, pour le sortir du plan $abc$. On se ramène à une situation tridimensionnelle et on en déduit le théorème dans le cas planaire par un argument dit de « continuité » : en aplatissant la figure, on conserve la condition d’alignement.

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L’alignement des points $p,q,r$ par le théorème de Desargues

Revenons à la lentille et considérons un point $n$ hors de $A$ et hors de $P$. La droite $mn$ coupe le plan $P$ en un point $s$. Traçons successivement $n_1$ et $n'$, comme ci-dessus. Les triangles $mon$ et $m_1fn_1$ sont en perspective depuis $i$ et le théorème de Desargues nous assure alors que les points $m'$ intersection de $mo$ et $ m_1f$, $n'$ intersection de $on$ et $f n_1$ ainsi que $s$ intersection de $mn$ et $m_1n_1$ sont alignés. Cela signifie la chose suivante : si $D$ est une droite alors $\ell(D)$ est encore une droite.

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La lentille préserve les alignements grâce au théorème de Desargues

La transformation $\ell$ de l’espace projectif ainsi construite s’appelle la transformation de lentille d’axe $A$, de plan $P$, de foyer $f$ et de point à l’infini $i$. Elle préserve les alignements et (si l’on en croit le théorème fondamental de la géométrie projective) doit être une transformation naturelle de l’espace projectif. De telles transformations s’appellent des homographies : elles préservent les dessins et en particulier envoient droites sur droites, plans sur plans etc. Si $\Pi$ est un plan distinct de $P$, il coupe $P$ selon une droite, notons-la $D$. Cette droite étant dans $P$ et $\ell$ envoyant un point de $P$ sur lui-même, l’image de $D$ est donc égale à $D$ elle-même. On en déduit que si le plan $\Pi'$ est l’image de $\Pi$ par la lentille alors les plans $P$, $\Pi$ et $\Pi'$ se coupent selon une même droite.

Résumons tout ce qui précède en un énoncé unique, que nous affublerons du nom de théorème : 

Théorème : La transformation de lentille $\ell$ d’axe $A$, de plan $P$, de foyer $f$ et de point à l’infini $i\in A$ est une homographie. Les points du plan $P$ sont fixés par $f$, $A$ est envoyée sur $A$ et $\ell(i)=f$. Si $\Pi$ est un plan distinct de $P$ alors son image coupe $P$ selon la même droite que $\Pi$.

Une jolie application à la photographie

Une chambre photographique est un dispositif simple dérivé de la camera obscura. La chambre elle-même est délimitée par deux plans se faisant face et reliés par un soufflet permettant de faire l’obscurité. L’un des plans porte l’objectif, que nous assimilerons à une lentille. L’autre plan porte soit un verre dépoli, permettant de visualiser l’image projetée depuis l’extérieur de l’appareil, soit un châssis retenant un bout de pellicule photographique pour la prise de vue proprement dite : on l’appelle le plan du film.

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Une chambre photographique

La transformation de lentille $\ell$ définie par l’objectif a pour caractéristique de transformer un plan en un plan. Cela se traduit de manière concrète pour la prise de vue de la manière suivante : ce qui sera absolument net sur la photo correspond aux points du monde réel situés dans l’unique plan dont l’image par la transformation $\ell$ est précisément le plan du film. Faire la mise au point consiste donc à déplacer le plan du film par rapport à la lentille afin d’amener à la netteté la zone qui nous intéresse. Comme nous l’avons vu plus haut, un plan et son image coupent le plan de l’objectif selon la même droite. Si, comme dans un appareil traditionnel, les plans de l’objectif et du film sont parallèles (ils se coupent à l’infini) alors les plans de netteté seront nécessairement eux aussi parallèles à ces plans (voir encore la photographie plus haut sur la profondeur de champ).

Si, pour des raisons pratiques, on veut faire la mise au point sur un plan qui est incliné par rapport au plan du film, on doit pouvoir déformer la chambre pour arriver à l’arrangement suivant : le plan de netteté, le plan de l’objectif et le plan du film doivent être concourants selon une même droite, comme trois pages d’un livre ouvert attachées à la reliure. C’est la règle de Scheimpflug, datant de 1901 et dûe à l’ingénieur mécanicien Jules Carpentier, demeurant 20 rue Delambre à Paris. La postérité a retenu plutôt le nom de Theodor Scheimpflug, capitaine de l’armée autrichienne qui a déposé, indépendamment, un brevet analogue en 1904. Cette règle dit que si l’on veut faire la netteté sur un plan $\Pi$, il faut (mais il ne suffit pas de) incliner le plan du film de telle sorte que celui-ci coupe $P$ selon la même droite que $\Pi$. La préoccupation de Scheimpflug pour ce problème venait de la photographie aérienne : les militaires commencent à comprendre le parti qu’ils peuvent tirer des aérostats et des appareils photographiques, qui leur permettent d’enregistrer une vue d’ensemble du territoire ennemi. Comme on ne souhaite pas survoler directement le territoire que l’on photographie, on doit orienter l’appareil vers le lointain et les plans de netteté sont donc transverses au plan qui nous intéresse : le sol. Avec la règle de Scheimpflug, on dispose d’un moyen simple de mettre au point sur le sol et ainsi d’obtenir une image nette du territoire observé. La figure ci-dessous, trouvée sur le site web Wikipedia, donne une illustration claire de la chose : le photographe veut que le sol soit net, pour cela il déforme l’appareil, ce qui est possible grâce au soufflet, afin de rendre coucourants les plans du sol, de l’objectif et du film.

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Une chambre photographique disposée pour rendre tout le sol net

Afin de rendre justice à Theodor Scheimpflug, il faut tout de même mentionner que son brevet est beaucoup plus précis et complet que celui de Carpentier. Il comporte en particulier le traitement de cas qui sont importants en pratiques et plus complexes que celui d’un objectif considéré comme lentille simple. La figure suivante montre clairement l’utilisation du théorème de Desargues faite par Scheimpflug pour justifier son procédé.

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Un schéma issu du brevet de T. Scheimpflug de 1904

Dans le brevet de Carpentier par contre on trouve la description d’un dispositif très simple et bien joli, comme le montre le schéma de la figure ci-dessous.

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Un schéma issu du brevet de J. Carpentier de 1901

Ce qui vient d’être raconté peut être le prétexte à bien des développements pédagogiques. La Camera Obscura est un passage quasi obligé pour qui prétend étudier l’optique et la démonstration de ses propriétés élémentaires permet de réviser et de mettre en pratique les rudiments de géométrie dans l’espace à disposition de nos élèves ou étudiants. Dans le cadre de la licence Sciences et Humanités, qui a ouvert ses portes en septembre 2012 à Marseille, nous avons mis en place une séquence entre travail théorique et travaux pratiques mêlant géométrie et chimie. La démonstration des propriétés de la projection centrale permet de se rendre compte que la géométrie euclidienne n’est pas toujours celle de la physique. On introduit alors la lentille, que les étudiants on étudiée par ailleurs, et l’on redémontre de manière conceptuelle ses propriétés élémentaires, en se débarrassant des structures superflues, comme une notion de mesure des distances par exemple. C’est l’occasion d’une réflexion sur la notion d’espace. On démontre alors la règle de Scheimpflug et l’on passe aux travaux pratiques.

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Des étudiants de licence mettent le théorème de Desargues en pratique

Ce qui est intéressant ici c’est qu’un énoncé mathématique se matérialise sur le verre dépoli de la chambre photographique. On réalise alors un cliché, sur un négatif noir et blanc, et l’on obtient des photographies du genre de celles de la figure ci-dessous. Sur celui-ci les étudiants ont tenté de faire la mise au point sur le plan de l’escalier. Le résultat n’est pas parfait mais il illustre cependant clairement le phénomène.

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Photographie prise par des étudiants en utilisant la règle de Scheimpflug

Nous utilisons ensuite les négatifs pour réaliser des tirages cyanotypiques [11]. C’est l’occasion d’une initiation à la théorie de l’oxydo-réduction et d’une séance de travaux pratiques d’où les étudiants repartent avec de jolies images bleues.

En tant que mathématicien, on peut se poser quelques questions supplémentaires. On dispose d’une lentille, soit, mais on pourrait imaginer en disposer de plusieurs. Que dire du groupe engendré par les transformations de lentilles ? Dit autrement, si l’on s’autorise à disposer dans l’espace autant de lentilles que l’on veut, quelles sont les transformations que l’on obtient par la combinaison de ces lentilles ? Et si l’on rajoute une transformation catadioptrique, peut-on engendrer tout le groupe des homographies ? Mieux, pourrait-on imaginer un dispositif expérimental, mettant en scène des lasers, des lentilles et des miroirs, permettant de matérialiser quelque propriété intéressante d’un groupe finiment engendré d’homographies ? Et puis bon, c’est bien gentil les homographies, mais n’existe-t-il pas, dans l’attirail des opticiens, quelque transformation qui soit non-linéaire ? Nous pourrions alors commencer à explorer le groupe de Cremona, cher aux géomètres algébristes, avec les yeux de l’opticien.

Complément : la transformation de lentille est définie partout et la loi de Descartes

Lorsque nous avons défini plus haut la transformation de lentille $\ell$, nous avons admis qu’elle se prolongeait à l’espace entier. Nous allons ici démontrer ce fait, et quelques autres, comme la loi de Descartes dite loi des lentilles simples. Nous utiliserons un langage et des notations un peu plus avancés que ceux utilisés jusqu’à maintenant.

Commençons par remarquer que $\ell$ fixe les éléments de $P-\{o\}$ point par point, car pour ceux-ci $m'=m_1$ ; on prolonge alors naturellement $\ell$ en $o$ en posant $\ell(o)=o$. Il nous faut maintenant étendre $\ell$ à $A$.

Nous avons démontré plus haut que si $D$ est une droite différente de $A$ alors l’image de $D$ (privée éventuellement de son intersection avec $A$) est une droite (privée éventuellement d’un point) que nous avons notée $\ell(D)$. Soit maintenant $E$ une droite qui coupe $D$ et non située sur le plan $P$. Le plan $\Pi$ engendré par $D$ et $E$ coupe le plan $P$ selon une droite $H$ et le même argument que ci-dessus montre que l’image de $E$ est une droite $E'$ qui, de plus, est dans un plan $\Pi'$ qui coupe $P$ selon $H$, puisque $\ell(H)=H$. Remarquons que si $D$ et $E$ se coupent en un point $s$ de $H$, alors $D'$ et $E'$ se coupent elles aussi en $s$ [12].

Nous pouvons maintenant prolonger $\ell$ à $A$ : soit $m$ un point de $A$ et soit $D$ une droite coupant $A$ en $m$. L’image de $D-\{m\}$ est égale à $D'-\{m'\}$, où $D'$ est une droite qui coupe $A$ en $m'$. Le point $m'$ ne dépend pas de la droite choisie : nous laissons le lecteur démontrer ce dernier point en utilisant, par exemple, la réciproque au théorème de Desargues.

Si l’on admet le théorème fondamental de la géométrie projective, la transformation $\ell$, préservant les alignements (et étant continue) doit être une homographie. Ce fait a de nombreuses conséquences, comme la règle de Scheimpflug vue plus haut. Mais la plus élémentaire est sans doute la loi des lentilles simples. On peut démontrer cette loi en utilisant le fait qu’une homographie préserve le birapport. Une transformation usuelle du plan, comme une rotation ou une homothétie, est une similitude. Elle transforme un triangle en un triangle semblable, c’est-à-dire de même aspect général : les proportions sont préservées. En géométrie projective, ce ne sont pas les proportions, ou rapports, qui sont préservées, mais les rapports de rapports ou birapports. Nous renvoyons le lecteur aux livres traitant de géométrie projective pour découvrir ce que ces notions, très simples, recouvrent.

Voici cependant une idée de la démonstration pédestre [13] de la loi des lentilles : restreinte à la droite $A$, $\ell$ est une homographie admettant $o$ pour unique point fixe, au sens où c’est l’unique point qui soit égal à son image. Plaçons-nous dans un repère (projectif) tel que $i=\infty, o=0$ et $f=f$. Il est d’usage de nommer $|f|$ la longueur focale de la lentille $\ell$, le signe de $f$ dépendant de la convergence ou de la divergence de celle-ci. Soit $I$ l’inversion $I(x)=1/x$. Il se trouve que c’est une homographie de la droite projective. Alors $I\circ \ell\circ I$ est une homographie qui admet $I(o)=\infty$ pour unique point fixe et l’on peut démontrer facilement que cela entraine que c’est une translation. Il existe donc $\alpha$ tel que
[
\ell(x)=\frac11/x+\alpha,
]
soit encore, si l’on note $x'$ l’image de $x$ par $\ell$, $1/x'=1/x+\alpha$. Du fait que $\ell(\infty)=f$ on tire que $\alpha=1/f$ et l’on obtient finalement la loi des lentilles : 
[
\frac1x’-\frac1x=\frac1f.
]

Post-scriptum :

Remerciements : mes remerciements à l’équipe d’Images des Maths, à Serge Cantat ainsi qu’aux relecteurs et correcteurs : Gérard Audibert, Thierry Barbot, Marie Lhuissier, Reynald Thelliez.

Article édité par Serge Cantat

Notes

[1Le lecteur intéressé pourra consulter la page wikipedia sur ce traité, très bien faite, ou les différentes traductions et éditions savantes, comme celle de Mark Smith parue en 2001 aux Transactions of the American Philosophical Society.

[2la lettre grecque pi, en majuscule.

[3L’adverbe « abusivement » est ici pour rappeler qu’éventuellement la droite $L$ coupe $D_o$ en un point en lequel la transformation $\phi$ n’est pas définie.

[4Nous renvoyons le lecteur avide connaissances nouvelles à la Flat Earth Society.

[5Cette notion de représentation a été une inspiration philosophique importante pour Leibniz et sa notion d’expression, voir par exemple l’article L’expression Leibnizienne et ses modèles mathématiques de Valérie Debuiche, paru en 2013 au Journal of the history of philosophy.

[6Plus précisément, la projection $\phi$ établit une correspondance parfaite (une bijection, dans le langage mathématique) entre le plan $P$ enrichi de $D_P$ et le plan $\Pi$ enrichi de $D_\Pi$ Dans cette correspondance, $D_P$ correspond à $D'_o$ et $D_o$ correspond à $D_\Pi$.

[7L’optique qui traite de la lumière à l’aide de rayons lumineux rectilignes.

[8ou tout autre dispositif permettant d’enregistrer l’image : papier photo, enduction photosensible aux sels de fer ou d’argent, capteur numérique etc.

[9Par ailleurs, la nature ondulatoire de la lumière fait qu’en diminuant trop le trou, on arrive dans le domaine de la diffraction, qui elle aussi crée des taches.

[10Dans la réalité, on y place un objectif, qui est un assemblage souvent complexe de lentilles.

[11La cyanotypie est un procédé de tirage sur papier à base de sels de fer, et non d’argent comme dans les procédés usuels ; il donne naissance à des photos bleues !

[12Ainsi l’image de deux droites parallèles dans le plan $\Pi$ dont on considère $H$ comme la droite à l’infini sont deux droites parallèles dans le plan affine $\Pi'$ dont on considère la même droite $H$ comme droite à l’infini.

[13Les calculs et les notions sont vues, parfois sans que cela ne soit explicité, en terminale S.

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Pour citer cet article :

Jean-Yves Briend — «La lentille et le capitaine autrichien» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Colonel Sponsz, image issue de ce site
et qui apparait dans l’album « Tintin et les Picaros »,
de Hergé, aux éditions Casterman.
Abelardo Morell, Eiffel Tower in the hotel Frantour, 1999 - Abelardo Morell, à voir avec l’auteur.
Principe schématique de l’appareil photographique moderne - Site web de Ça m’intéresse
L’image du point sur le plan se trace en sur le plan - Dessin de l’auteur, raté, sous Geogebra 5
Une chambre photographique - Cliché de l’auteur
Une chambre photographique disposée pour rendre tout le sol net - Wikipedia
Des étudiants de licence mettent le théorème de Desargues en pratique - Cliché de l’auteur
Photographie prise par des étudiants en utilisant la règle de Scheimpflug - Cliché de l’auteur

Commentaire sur l'article

  • La lentille et le capitaine autrichien

    le 4 septembre 2015 à 10:28, par Bernard Hanquez

    Merci pour cet article très intéressant.

    Pratiquement dans un objectif classique à bascule tout le bloc optique bascule du même angle. Mais existe-t-il des cas où pouvoir faire basculer chaque lentille indépendamment des autres présenterait un intérêt ?

    Répondre à ce message
    • La lentille et le capitaine autrichien

      le 7 septembre 2015 à 08:49, par Jean-Yves Briend

      Bonjour,
      oui, en photographie (avec un objectif à bascule ou avec une chambre) c’est tout l’objectif
      qui s’incline. Je n’ai pas connaissance de situations où l’on déforme le corps de l’objectif soit
      même, car j’imagine qu’en pratique cela doit rapidement créer des distortions et autres aberrations importantes. C’est peut-être le cas dans les objectifs dits « soft-focus ». Par contre, d’un point de vue théorique, la question est intéressante mais je n’y ai jamais réfléchi.

      Cordialement,

      JY Briend.

      Répondre à ce message

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