La logique c’est pas logique !

Le 2 octobre 2010  - Ecrit par  Pierre Colmez Voir les commentaires (14)

C’est ce qu’a déclaré ma fille quand on lui a expliqué que
$p\Rightarrow q$ est vrai [1]
si $p$ est faux.
Il faut bien avouer que la logique réserve parfois des surprises de taille.

L’Institute for Advanced Study de Princeton fête ses 80 ans cette année, ce qui a donné lieu à deux journées de gala avec des conférences données par des orateurs prestigieux. Dans l’une d’entre elles, Vladimir Voevodsky nous a expliqué, probablement en hommage a Gödel (un des grands anciens de l’Institut), pourquoi il pensait que l’arithmétique était non consistante. Pensée un peu angoissante, mais pas totalement absurde, l’arithmétique
élémentaire étant nettement plus mystérieuse que ce que l’on pourrait imaginer comme le montre l’exemple des suites de Goodstein.

On part d’un entier $n$ que l’on écrit en base $2$, les exposants (et les exposants d’exposants, etc.) étant
aussi écrits en base $2$ : par exemple,
$21$ sera écrit sous la forme $2^{2^2}+2^2+1$. On remplace les
$2$ par des $3$ ; on enlève $1$, on réécrit le résultat en base $3$, on remplace les $3$ par des $4$,
on enlève $1$, on réécrit le résultat en base
$4$, et on continue. Par exemple,
en partant de $21=2^{2^2}+2^2+1$, on obtient successivement
$3^{3^3}+3^3+1$, puis $3^{3^3}+3^3$, puis $4^{4^4}+4^4$,
puis $4^{4^4}+3\cdot 4^3+3\cdot 4^2+3\cdot 4+3$, puis
$5^{5^5}+3\cdot 5^3+3\cdot 5^2+3\cdot 5+3$, etc.
Ce dernier nombre a déjà plus de $20\,000$ chiffres en écriture
décimale, et il est clair que la suite explose très très vite...

Pourtant, « la » vérité est que cette suite tend [2] vers $0$, quel que soit le choix du terme initial $n$ (i.e. est constante, égale à $0$, à partir d’un certain rang), mais que
ceci n’est pas démontrable [3] dans l’arithmétique ordinaire
(de Peano)...

Notes

[1Elle a un peu mieux accepté cette bizarrerie
quand sa sœur lui a expliqué que son prof lui avait dit qu’il fallait nier la phrase pour comprendre : $p\Rightarrow q$ veut dire qu’on ne peut pas avoir $p$ sans avoir $q$, et donc le contraire est que l’on peut avoir $p$ et $\overline q$ (où $\overline q$ est la négation de $q$), et donc que $p\Rightarrow q$ est la même chose que « $\overline p$ ou $q$ », et donc
est vrai si $p$ est faux.

[2Si tous les termes sont non nuls, et si on remplace par $\omega$ les $2$, $3$, $4$, $5$, etc. qui apparaissent dans les écritures des termes successifs
de cette suite, où $\omega$ est un ordinal infini, on obtient une
suite strictement décroissante d’ordinaux, ce qui est impossible...

[3Les ordinaux de la note précédente ne sont pas des objets de l’arithmétique de Peano ; je ne sais pas comment on démontre que le résultat n’est pas prouvable dans l’arithmétique de Peano, et j’avoue que ce flou participe à la magie de
l’énoncé...

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Pour citer cet article :

Pierre Colmez — «La logique c’est pas logique !» — Images des Mathématiques, CNRS, 2010

Commentaire sur l'article

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  • Suites de Goodstein

    le 3 octobre 2010 à 12:17, par Rémi Peyre

    Autant que je sache, Goodstein n’a pas écrit son énoncé en vue de fabriquer un indécidable ; il s’agit surtout d’un joli exercice d’application de la théorie des ordinaux.

    Maintenant, sur la question de « la » vérité :

    • D’abord, je pense qu’on peut en effet considérer que la théorie des ordinaux (du moins celle des ordinaux « pas trop grands », car on n’a pas besoin d’aller plus loin pour Goodstein), est intuitivement vraie.
    • Ensuite, d’après ce que j’ai compris en faisant quelques recherches, l’idée de base pour prouver l’indécidabilité du théorème de Goodstein est de montrer que ce théorème implique la consistance de la logique de Peano. (Rappelons que le second théorème d’incomplétude énonce qu’il est impossible de prouver que l’axiomatique de Peano est consistante à partir de cette axiomatique elle-même). J’ignore s’il y a en fait équivalence, mais faisons comme si. Or, si les axiomes de Peano sont « intuitivement vrais », il va de soi que leur consistance l’est également ! En d’autres termes, il n’est pas raisonnable de supposer que le théorème de Goodstein serait faux, à moins de vouloir rejeter toute l’axiomatique de Peano (puisqu’une axiomatique contradictoire n’est pas acceptable).
    • Voilà pour les suites de Goodstein. Maintenant, il y a certainement d’autres énoncés qui sont indécidables mais qui ne sont pas équivalents à la consistance de l’axiomatique. À titre personnel (c’était aussi le point de vue de Gödel lui-même), j’estime que l’indécidabilité d’une proposition ne change rien au fait que celle-ci soit, « en vérité », ou bien juste ou bien fausse, mais pas les deux. C’est comme de savoir, mettons, si le tout premier humain à avoir franchi le détroit de Béring était un homme ou une femme : on ne saura vraisemblablement jamais, mais la réponse est unique malgré tout.
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