La loi de la croissance cumulée

Piste rouge Le 2 juin 2020  - Ecrit par  Serge Cantat Voir les commentaires (2)

À quoi ressemble une croissance qui, exprimée en pourcentage, est constante : c’est le thème de ce texte. On y verra comment utiliser les puissances d’un nombre en pratique.
Il s’agit d’un texte à l’usage des lycéens. D’autres textes sur le même thème vont suivre. Bonne lecture !

Dans la loi de la croissance cumulée apparaissent à la fois pourcentages et puissances :
avoir en tête les ordres de grandeur mis en jeu permet d’appréhender efficacement les évolutions sur le long terme.

Pourcentages

Si l’on vous affirme que la croissance de vos revenus sera de trois pour cent par an durant les dix prochaines années,
qu’est-ce-que cela signifie ? Disons que cette année vos revenus s’élèvent à $17000$ euros nets. Alors l’an prochain, ils s’élèveront à
$17000$ euros plus trois centièmes de cette somme ; s’ajouteront donc
\[ 17000\times \frac{3}{100} = 170 \times 3 = 510 \; {\text{euros.}} \]
Et votre prochain revenu annuel sera de $17510$ euros.
L’année suivante, s’ajouteront à nouveau $3$%, mais $3$%
de $17510$, ce qui donnera un accroissement de
\[ 17510 \times \frac{3}{100} = 525.3 = 525 \; {\text{euros et}} \; 3\; {\text{centimes}}\, ; \]
dans deux ans, vos revenus annuels seront donc de $17510+525.3= 18035.3$ euros.

L’opération que nous effectuons pour passer d’une année à la suivante est
\[ {\text{Revenu suivant}} = {\text{Revenu}} + {\text{Revenu}} \times \frac{3}{100} = {\text{Revenu}} \times \left( 1+\frac{3}{100}\right). \]
On multiplie donc successivement le revenu initial par $1+3/100=1.03$. Le revenu dans sept ans est donc celui de l’année en cours
multiplié $7$ fois par $1.03$.
En utilisant les puissances, nous obtenons
\[ {\text{Revenu dans}}\; 7\; {\text{ans}} = {\text{Revenu actuel}} \times (1.03)^{7} \]
soit $17000 \times (1.03)^{7}$ euros pour notre exemple. Et dans dix ans, votre revenu sera de $17000\times (1.03)^{10}$ euros, ce qui donne
\[ 17000\times (1.03)^{10}=17000\times 1.34391637934 \simeq 22846.58\; {\text{euros}} \]
en arrondissant au centime supérieur.
Bref, votre revenu passe, sur une décennie, de dix-sept mille à presque vingt-trois mille euros annuels nets. C’est une augmentation substantielle, d’environ $34$% cumulés.

Attention toutefois : la hausse des prix peut contre-balancer la croissance de vos revenus.
C’est pourquoi il convient de prendre en compte l’inflation (dans ses plans
de carrière comme dans les débats publics) et d’exprimer les revenus en euros constants.

En suivant Thomas Piketty

Ce que nous venons d’illustrer est la loi de la croissance cumulée : cette expression est le titre d’un paragraphe du livre de Thomas
Piketty intitulé LE CAPITAL au XXI$^e$ siècle [1]. Laissons-lui la parole, en reprenant un passage du deuxième chapitre de son livre :

Image de Thomas Piketty (LE CAPITAL au XXI$^e$ siècle)

« La loi de croissance cumulée, c’est le fait qu’une croissance
annuelle faible cumulée sur une très longue période conduit à une progression considérable. Concrètement, la population mondiale
a progressé d’à peine 0.8% par an en moyenne entre 1700 et 2012. Mais, cumulé sur trois siècles, cela a tout de même permis de
multiplier la population mondiale par plus de dix. Autrement dit, la planète comptait environ 600 millions d’habitants autour de 1700,
et plus de 7 milliards en 2012. Si ce rythme devait se poursuivre dans les trois siècles à venir, alors la population mondiale
dépasserait les 70 milliards vers 2300.

Afin que chacun puisse se familiariser avec les effets explosifs de la loi de croissance cumulée, nous indiquons dans le Tableau 2.2 la
correspondance entre les taux de croissance mesurés pour une année (ce qui est le mode de présentation habituel) et les progressions
obtenues pour des périodes plus longues. Par exemple, un taux de croissance de 1% par an correspond à une progression de 35%
au bout de trente ans, une multiplication par près de trois au bout de cent ans, par vingt au bout de trois cents ans, et par plus de vingt mille
au bout de mille ans. »

Arrêtez-vous un instant, et “digérez” ce tableau de croissance ! Dans les lignes qui suivent, nous allons voir comment manipuler ces pourcentages, et comment l’extraction de racines (et les logarithmes) apparaissent naturellement dans l’analyse des croissances sur le long terme.

Une estimation

Pour avoir une idée grossière de la croissance cumulée à moyenne échéance, il est utile de savoir qu’une croissance de $A$ pour cent, où $A$ est un nombre positif (par exemple $A=3$ ou $0,8$) donne une croissance d’au moins
$(nA)$ pour cent après $n$ années.
Autrement dit, quels que soient le pourcentage $A\geq 0$ et le nombre d’années $n$, la comparaison
\[ \left( 1+ \frac{A}{100} \right)^n \geq 1 + \frac{nA}{100} \]
est toujours satisfaite. Pour s’en convaincre, commençons par deux remarques :

  1. étant donnée une certaine quantité (ou un certain montant) de départ, chaque année cette quantité va augmenter de $A$% (elle restera constante si $A=0$) ; elle sera donc toujours supérieure ou égale à la quantité initiale.
  2. lorsqu’on passe d’une année à la suivante, l’augmentation est de $A$% du montant en cours, qui est plus grand que le montant initial d’après la remarque précédente. Ainsi, chaque année, l’augmentation est d’au moins $A$% de la quantité initiale.

Lorsqu’on additionne toutes ces augmentations sur $n$ années, on obtient donc une augmentation cumulée qui est supérieure à $n$ fois $A$% de la quantité initiale. C’est ce que résume l’inégalité précédente. [2]

Par exemple, pour une croissance annuelle de $0.5$%, on doit prendre $A=0.5$ et on trouve qu’au bout de trente ans la croissance
est au moins de $30\times (0.5)=15$ pour cent, ce qui est juste en-dessous des $16$% mentionnés dans le Tableau 2.2.
Pour une croissance de $1.5$% par an sur trente ans, on trouve la minoration par
$30\times (1.5)=45$ pour cent ; c’est assez loin des $56$% effectifs reportés dans le tableau. En fait, plus $n$
et $A$ sont grands, plus l’écart entre $(1+A/100)^n$ et $1+nA/100$ est important.

Un problème inverse

Voici maintenant un problème simple : la population de la France est passée de $40.69$ millions d’habitants environs fin 1940
à $64.61$ millions fin 2010 ; à quelle croissance annuelle moyenne cela correspond-il ? Autrement dit, si la croissance annuelle était restée
constante sur cette période de 70 ans, quelle serait sa valeur [3] ? Il s’agit de trouver un pourcentage tel que
\[ 64.61=(1+A/100)^{70}\times 40.69. \]
Ici, c’est $A$ qui est l’inconnue. Cette équation équivaut à
$(1+A/100)^{70}= (64.61)/(40.69)$, soit \[(1+A/100)^{70}=1.59\] environ. Il s’agit donc de résoudre
une équation de la form $a^n=b$ avec ici $a=1+A/100$, $b=1.59$ et $n=70$ ; on veut donc « extraire la racine $70$-ème »
de $1.59$.

A l’aide d’une calculatrice, on trouve $1+A/100=1.0066...$, soit $A=0.66$ environ. La croissance annuelle moyenne est donc de l’ordre de
$0.66$ %. Mais là, il s’agit de croire sa calculatrice, et d’ailleurs les petites calculettes permettent rarement d’effectuer cette opération [4].
D’où l’intérêt de comprendre comment extraire des racines ! Et c’est ce que nous verrons dans d’autres textes.

Post-scriptum :

L’auteur et la rédaction d’Images des Mathématiques remercient les relecteurs Gilles Damamme, Baptiste Mélès, Konrad Dierks et Jean Aymes pour leur relecture attentive et leurs remarques constructives.

Article édité par Philippe Colliard

Notes

[1Vous pouvez consultez la page wikipedia pour un résumé et lire le premier chapitre en ligne.

[2Voici une démonstration « en formules », de proche en proche (on dit par récurrence). Tout d’abord, cette inégalité est valable lorsque $n=1$, car dans ce cas c’est une égalité, par définition de $(1+A/100)^1$. Supposons ensuite que l’inégalité est satisfaite jusqu’à l’année $k$ ; l’année suivante, c’est-à-dire pour l’année numéro $k+1$, nous pouvons donc écrire
\[ \left( 1+ \frac{A}{100} \right)^{k+1} = \left( 1+ \frac{A}{100} \right)^{k} \times \left( 1+ \frac{A}{100} \right) \geq \left(1 + \frac{kA}{100}\right) \times \left( 1+ \frac{A}{100} \right). \]
En distribuant le produit nous obtenons
\[ \left( 1+ \frac{A}{100} \right)^{k+1} \geq \left(1 + \frac{kA}{100}\right) + \left(1 + \frac{kA}{100}\right)\times \frac{A}{100} \]
puis en minorant $\left(1 + \frac{kA}{100}\right)$ par $1$ dans le produit $\left(1 + \frac{kA}{100}\right)\times \frac{A}{100} $, il vient
\[ \left( 1+ \frac{A}{100} \right)^{k+1} \geq \left(1 + \frac{kA}{100}\right) + \frac{A}{100} \geq 1 + \frac{(k+1)A}{100}. \]
Ceci établit donc l’inégalité annoncée pour l’année $k+1$. Ainsi, de proche en proche (« par récurrence »), l’inégalité est satisfaite jusqu’à l’année $n$, ceci quelque soit $n$.

[3Bien sûr, la croissance n’est pas du tout restée constante : vous pouvez comparer, par exemple, les périodes $1940$-$1945$ et $1960-1965$ en consultant les données démographiques disponibles.

[4On peut aussi passer au logarithme. Si je note $\ln$ le logarithme népérien, l’équation $(1+A/100)^{70}=1.59$ équivaut à $70\ln(1+A/100) = \ln(1.59)$, soit $\ln(1+A/100)=0.0066...$. Et l’on obtient alors $A=0.66$ environ car $\ln(1+\epsilon)$ est environ égal à $\epsilon$ lorsque $\epsilon$ est petit.

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Pour citer cet article :

Serge Cantat — «La loi de la croissance cumulée» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Commentaire sur l'article

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  • La loi de la croissance cumulée

    le 20 avril à 09:49, par Serge Cantat

    Merci, oui j’ai changé l’exposant pour qu’il vaille 70. N’hésitez pas à faire part des retours de vos élèves pour qu’on améliore ces textes. Cordialement, — Serge Cantat

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