La machine à marcher

Piste verte Le 4 décembre 2009  - Ecrit par  Étienne Ghys Voir les commentaires (2)

« L’idée de la machine à marcher n’est pas tout à fait nouvelle ; on a déjà pris en France une quarantaine de brevets pour cette invention qui trouve d’utiles applications. En temps de neige ou de verglas, les locomotives avancent difficilement sur les rails, et l’on a pensé qu’il était bon d’ajouter aux locomotives des organes temporaires permettant de remplacer les roues par de véritables pattes. »

Une locomotive qui sort ses pattes lorsque ça glisse trop sur les rails ? Une blague ? Même pas ! Ces lignes ont été écrites il y a un peu plus de cent dix ans par E. Lucas dans un article décrivant la Machine à marcher inventée par Pafnouty Tchebychev, dont voici le portrait :

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Il faut replacer tout cela dans son contexte historique. Le dix-neuvième siècle est celui de la machine à vapeur et des chemins de fer. Beaucoup de problèmes techniques se présentent aux ingénieurs. Comment transformer un mouvement de rotation par exemple en un mouvement rectiligne, en utilisant des systèmes de bielles, d’engrenages, de roues, de courroies, de barres articulées etc ? De jolis problèmes de géométrie...

Observez le mécanisme de Tchebychev. Il s’agit d’un quadrilatère ABCD. Ses côtés sont des barres métalliques rigides. Les points B et C sont fixes. Le côté AB peut pivoter autour du point B si bien que le point A peut décrire un cercle. De même, le point D tourne sur un cercle de centre C. Mais le fait que A et D soient reliés par une barre fait que ces deux mouvements circulaires sont couplés. Prolongeons la barre métallique AD jusqu’au point M. Lorsque A tourne (on peut penser à une manivelle) le point M décrit une courbe compliquée.

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Observez le mouvement du pied par rapport à votre corps. Il se soulève légèrement du sol et décrit une courbe vers l’avant avant de s’abaisser et d’entrer en contact avec le sol. Ensuite, il recule, toujours par rapport à votre corps, en restant sur le sol. Le pied est alors fixe sur le sol mais il recule par rapport à votre corps.

Tchebychev remarque qu’en choisissant bien les longueurs des barres, la courbe suivie par M ressemble un peu à ce mouvement d’un pied lors de la marche.
Pafnouty cherche alors les dimensions optimales pour les barres. Voici le résultat de ses calculs si on choisit la longueur de $AB$ comme unité :

\[ CD=AD=DM= (3+\sqrt{7})/2\simeq 2,82 \]
\[ BC=(4+\sqrt{7})/3 \simeq 2,22. \]

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Donc, si le point A tourne, le point M se déplace à peu près comme une patte d’un animal. Alors, il n’est pas difficile de combiner quatre des ces quadrilatères pour fabriquer une machine qui marche ! Lorsqu’on tourne les manivelles, la chose avance en soulevant alternativement ses pattes...

En voici une vue :

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Puis une autre vue :

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et encore une autre :

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C’est l’occasion de recommander la visite d’un site internet remarquable dont sont issues les images qui précèdent :

http://www.etudes.ru/

Allez en particulier sur le lien suivant :

http://www.etudes.ru/ru/mov/mov023/index.php

pour y lire, en russe, une description historique. Mais surtout, en cliquant sur le lien tout en haut de cette page, vous pourrez télécharger un joli petit film présentant la machine à marcher en train de ... marcher ! Ca vaut la peine.

L’un des avantages de ce site est qu’il est écrit en russe ! Si, comme moi, vous ne lisez pas cette langue, il vous suffit de cliquer au hasard pour découvrir une multitude de petits films mathématiques qui sont tous impressionnants ! Promenez-vous dans ce site et amusez-vous bien...


J’ai vu un modèle de la machine, réalisé en légo avec un petit moteur électrique. Disons que la marche ... manquait pour le moins de stabilité. Pas tout à fait l’élégance d’un cheval marchant l’amble !

Tous les bébés savent bien qu’il est plus facile de marcher à quatre pattes que sur deux pieds. On imagine difficilement une machine de Tchebychev à deux pieds qui puisse marcher.

Mais si on veut redonner une possibilité de marcher aux personnes victimes d’une blessure à la moelle épinière, il serait important non seulement de savoir fabriquer des robots bipèdes, mais de comprendre comment fonctionnent vraiment les muscles.

Une équipe de recherche de l’INRIA travaille actuellement sur ce problème. Pour plus d’informations, on peut

$\bullet$ Consulter leur site internet.

$\bullet$ Lire un article dont voici une illustration évocatrice :

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$\bullet$ Visionner quelques-uns des petites vidéos qui présentent les robots bipèdes, dont voici une image :

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$\bullet$ Ou visionner un film de présentation de leur travail.


Le travail de Tchebychev n’aura pas été vain. De manière plus cachée peut-être, ce genre de problème a été à l’origine de la théorie de l’optimisation. On dispose d’un certain type de courbes, par exemple celles qui proviennent d’un système articulé dont on peut choisir les dimensions, et on cherche à s’approcher au plus près possible d’une courbe donnée, par exemple celle décrite par un pied lors du mouvement de la marche.


Pour étudier la machine à marcher dans tous ses détails, je vous propose deux lectures :

E. Lucas, Récréations mathématiques, volume 4, Paris, Gauthier-Villars et fils (1894)
(qu’on peut télécharger ici)

P. Tchebicheff ,
Sur la transformation du mouvement rotatoire en mouvement sur certaines lignes, à l’aide de systèmes articulés. Bulletin de la Société Mathématique de France, 12 (1884), p. 179-187
(qu’on peut télécharger ici sur Numdam). Vous y trouverez tous les calculs de Tchebychev, qui ne sont pas si compliqués.

Mais plus généralement, vous pouvez télécharger les œuvres complètes de Tchebychev (volumes 1 et 2 en français !) qui contiennent des multitudes de joyaux mathématiques, dont la plupart peuvent se lire sans trop de bagage mathématique.

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Pour citer cet article :

Étienne Ghys — «La machine à marcher» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

Commentaire sur l'article

  • La machine à marcher

    le 12 janvier 2010 à 15:20, par Nicolas Chevallier

    Merci pour cette présentation historique, et notamment les travaux de Tchebychev : un système vraiment ingénieux ! (qui est bien mis en évidence par la vidéo sur le site russe)

    Concernant la marche sur « deux pattes », les problèmes rencontrés semblent infiniment plus complexes à résoudre, un challenge pour les chercheurs.

    Nicolas Chevallier (ingénieur informatique)

    Répondre à ce message
  • La machine à marcher

    le 6 septembre 2011 à 22:49, par Michel Mouyssinat

    En ce qui me concerne, je me suis surtout intéressé à la machine à calculer de Tchebychev dont l’exemplaire unique figure au musée des arts et métiers à Paris (mais dans les réserves).
    Michel Mouyssinat

    Répondre à ce message

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