La máquina para caminar

Piste verte Le 4 décembre 2009  - Ecrit par  Étienne Ghys
Le 4 décembre 2009  - Traduit par  Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier
Article original : La machine à marcher Voir les commentaires
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’’La idea de la máquina para caminar no es para nada nueva. En Francia ya hay unas cuarenta patentes para esta invención, que encuentra útiles aplicaciones. En tiempos de nieve o de hielo, las locomotoras avanzan difícilmente sobre los rieles, y se pensó que era bueno añadirles órganos temporales que permitan reemplazar las ruedas por verdaderas patas.’’

¿Una locomotora que saque sus patas cuando se resbala demasiado sobre los rieles ? ¿Una broma ? ¡Para nada ! Estas líneas fueron escritas hace poco más de ciento diez años por E. Lucas en un artículo que describía la Máquina para caminar inventada por Pafnouty Tchebychev, retratado abajo :

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Hay que poner todo esto en su contexto histórico. El siglo XIX es el de la máquina a vapor y los ferrocarriles. Se presentaban muchos problemas técnicos a los ingenieros. Por ejemplo, ¿cómo transformar un movimiento de rotación en uno rectilíneo utilizando sistemas de bielas, de engranajes, de ruedas, de correas, de barras articuladas, etc.? Lindos problemas de geometría...

Observe el mecanismo de Tchebychev. Se trata de un cuadrilátero ABCD. Sus lados son barras metálicas rígidas. Los puntos B y C están fijos. El lado AB puede pivotear en torno al punto B, por lo cual el punto A puede describir una circunferencia. Del mismo modo, el punto D gira en una circunferencia de centro C. Pero el hecho de que A y D estén unidos por una barra hace que esos dos movimientos circulares estén aparejados. Prolonguemos la barra metálica AD hasta el punto M. Cuando A gira (se puede pensar en una manivela) el punto M describe una curva complicada.

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Observe el movimiento del pie en relación a su cuerpo. Se levanta ligeramente del suelo y describe una curva hacia adelante antes de bajar y entrar en contacto con el suelo. Luego, retrocede siempre en relación a su cuerpo, y se queda en el suelo. El pie está entonces fijo al suelo pero retrocede en relación a su cuerpo.

Tchebychev indica que, al elegir bien las longitudes de las barras, la curva M se parece un poco a ese movimiento de un pie durante la marcha.
Pafnouty busca entonces las dimensiones óptimas para las barras. Aquí está el resultado de sus cálculos si se ha elegido la longitud de $AB$ como unidad :

\[ CD=AD=DM= (3+\sqrt{7})/2\simeq 2,82 \]
\[ BC=(4+\sqrt{7})/3 \simeq 2,22. \]

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Por lo tanto, si el punto A gira, el punto M se desplaza un poco como la pata de un animal. Entonces ¡no es difícil combinar cuatro de esos cuadriláteros para fabricar una máquina que camine ! Cuando se da vuelta las manivelas, la cosa avanza levantando alternativamente sus patas...

Aquí está una vista :

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Luego, otra vista :

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y otra más todavía :

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Es momento de recomendar la vsita a un sitio Internet notable donde están las imágenes anteriores :

http://www.etudes.ru/

En especial, vaya al siguiente vínculo :

http://www.etudes.ru/ru/mov/mov023/index.php

para leer ahí (en ruso) una descripción histórica. Pero sobre todo, al hacer clic en el recuadro grande arriba a la derecha en esta última página usted puede descargar una hermosa película corta que presenta la máquina de caminar... ¡caminando ! Vale la pena.

Una de las ventajas de ese sitio ¡es que está escrito en ruso ! Si, como yo, usted no lee en esta lengua, basta con hacer clic al azar para descubrir una multitud de pequeñas películas matemáticas ¡que son todas impresionantes ! Pasee por este sitio y diviértase...


Yo vi un modelo de la máquina, realizado en Lego con un pequeño motor eléctrico. Digamos que, por lo menos, le faltaba estabilidad. ¡No tenía en absoluto la elegancia de un caballo amblando !

Todos los bebés saben bien que es más fácil caminar en cuatro patas que sobre dos pies. Uno difícilmente se imagina una máquina de Tchebychev con dos pies que pueda caminar.

Pero si uno quiere darle de nuevo la posibilidad de caminar a las personas víctimas de una lesión en la médula espinal, sería importante no solo saber fabricar robots bípedos, sino comprender cómo funcionan verdaderamente los músculos.

Un equipo de investigación del INRIA (Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique) [1] actualmente trabaja en este problema. Para más informaciones, se puede

$\bullet$ Consultar su sitio internet.

$\bullet$ Leer un artículo sobre el cual aquí hay una imagen evocadora :

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$\bullet$ Ver algunos de los cortos videos que presentan los robots bípedos, como éste :

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$\bullet$ O ver una película de presentación de su trabajo.


El trabajo de Tchebychev no habrá sido en vano. De manera más oculta tal vez, este tipo de problema ha estado en el inicio de la Teoría de la Optimización. Se dispone un cierto tipo de curvas, por ejemplo las que provienen de un sistema articulado en el cual se puede elegir las dimensiones, y se busca acercarse lo máximo posible a una curva dada, por ejemplo, la que describe un pie durante el movimiento de la marcha.


Para estudiar la máquina de caminar en todos sus detalles, propongo dos lecturas :

E. Lucas, Récréations mathématiques, volume 4, Paris, Gauthier-Villars et fils (1894)
(que se puede descargar aquí)

P. Tchebicheff,
Sur la transformation du mouvement rotatoire en mouvement sur certaines lignes, à l’aide de systèmes articulés. Bulletin de la Société Mathématique de France, 12 (1884), p. 179-187
(que se puede descargar aquí en Numdam). Ahí encontrará todos los cálculos de Tchebychev, que no son tan complicados.

Para más generalidad, usted puede descargar las obras completas de Tchebychev (volúmenes 1 y 2 ¡en francés !) que contienen multitudes de joyas matemáticas, la mayoría de las cuales pueden leerse sin necesidad de mucho conocimiento matemático.

Article original édité par Étienne Ghys

Notes

[1NdT : Instituto Nacional de Investigación en Informática y Automática de Francia

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «La máquina para caminar» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

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