La mariposa y el tornado

Le 26 février 2020  - Ecrit par  Carlos Madrid
Le 30 mai 2020  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Le papillon et la tornade Voir les commentaires

Cet article a été écrit en partenariat avec L’Institut Henri Poincaré


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El Instituto Henri Poincaré e Images des Mathématiques han unido sus esfuerzos para supervisar la reedición de la colección El mundo es matemático, publicado por RBA en convenio con Le Monde. En 40 obras, esta colección de calidad, -resultado de un proyecto colectivo de matemáticos españoles- aspira a presentar a través de una gran variedad de puntos de vista, de múltiples facetas, las ciencias matemáticas, bajo un aspecto histórico, humano, social, técnico, cultural...

Revisado y mejorado al nivel de la forma, esta nueva edición fue completamente leída y corregida por el equipo de Images des Mathématiques. Se agregó prefacios y listas bibliográficas. Le Monde consagra un suplemento especial para el lanzamiento de esta colección presentada por Cédric Villani, quien escribió el prefacio original.

Cada semana, con la salida de un nuevo número de la serie, un extracto seleccionado será presentado en Images des Mathématiques. Estará acompañado por un resumen del libro y una invitación a prolongar su lectura.

Extracto del capítulo 3 - Señor matemático ¿qué es exactamente el caos determinista ?

Yahvé : ? ¿Quién podría contar el polvo de Jacob ?
¿Quién podría contar las nubes de Israel ?
Números, XIII 10
 
Mefistófeles : ¿Quién sabe cómo van a rodar los dados a partir de ahora ?
Johann Wolfgang von Goethe, Fausto

Esta vez Dios y el diablo están de acuerdo en algo : la capacidad humana de previsión es irremediablemente limitada... La teoría de la relatividad de Einstein eliminó de la física de Newton la ilusión de un espacio y un tiempo absolutos. La teoría cuántica de Planck, Bohr y Heisenberg destruyó el sueño de procedimientos de medición controlables y la teoría del caos barrió con su pasada la quimera de la previsibilidad infinita.

Pero admitir como principio de base que, debido a la extrema inestabilidad de sus ecuaciones de movimiento, es imposible predecir el comportamiento de muchos sistemas sobre largos períodos constituyó una verdadera revolución del pensamiento tradicional. Este comportamiento es muy complejo y no se debe ni a ruidos externos ni a un gran margen de libertad, ni siquiera a los efectos cuánticos. Las ecuaciones son deterministas, pero las soluciones tienen propiedades estocásticas. Es lo que se llama el ’’caos determinista’’. En este capítulo vamos a tratar de explicar este concepto en términos matemáticos. En efecto, como lo dijo Charles Darwin, ’’las matemáticas parecen conferirle un nuevo sentido, un sexto sentido’’.

Caos y complejidad

Durante decenios, los sistemas caóticos y los sistemas complejos fueron los grandes olvidados de la ciencia institucional. En el siglo XX, la ciencia nos acercó a los fundamentos del Universo, del espacio-tiempo y del microcosmos de la mecánica cuántica (el tablero de juego). La ciencia actual nos permite comprender mejor cómo se organiza nuestra propia realidad (los peones del juego). Pero la verdadera magnitud de la ciencia se mide finalmente en su utilidad y no es sino ahora, al inicio del siglo XX, que comenzamos a valorar la teoría del caos y el estudio de la complejidad.

En realidad, la teoría del caos no es más que uno de los campos de las ciencias de la complejidad. Hay otros, como la geometría fractal, la teoría de las catástrofes, la lógica difusa, etc. Se dice que los sistemas estudiados por la teoría del caos son difíciles de describir porque están a medio camino entre el orden y el desorden, ’’entre el cristal y el humo’’. En efecto, los sistemas muy ordenados como un cristal, o muy desordenados como el humo, son simples y fáciles de describir, mientras que los sistemas intermedios presentan una extrema complejidad. Los sistemas caóticos, en especial, son sistemas deterministas no lineales que no se comportan periódicamente, lo que los vuelve imprevisibles.

Un proverbio chino dice que el batir de alas de una mariposa puede ser percibido en el otro lado del mundo. Del mismo modo, el matemático francés Blaise Pascal aseguró que si la nariz de Cleopatra hubiera sido más corta, la faz del mundo habría cambiado : Octavio se habría enamorado de Cleopatra y no se habría convertido en el primer emperador romano. Además —como vamos a ver enseguida— los sistemas caóticos son omnipresentes : aparecen en las matemáticas, en física, en astrofísica, en meteorología, en biología, en medicina... Podemos afirmar que todos los sistemas reales o casi, tienen una dinámica caótica.

Sistemas dinámicos

Hemos visto anteriormente que el caos es un fenómeno estudiado en el marco de la teoría matemática de los sistemas dinámicos. Pero ¿qué es un sistema dinámico ? Se trata de un modelo matemático utilizado en general en ciencias naturales o sociales, consistente en una ecuación que describe la evolución del estado del sistema en el transcurso del tiempo.

Los sistemas dinámicos pueden ser discretos o continuos. En los sistemas discretos el tiempo varía poco a poco, o paso a paso $(t = 0, 1, 2, 3?)$. De esta manera, un sistema dinámico discreto se describe formalmente con una ecuación de diferencias, que de hecho no es más que una fórmula que sirve para calcular el término siguiente a partir de un término de inicio, y así sucesivamente hasta el infinito, lo que da una serie de números. En resumen, una ecuación de diferencias es entonces una ecuación de la forma :

\[x_{n+1} = f (x_n) \,,\]

donde $f$ es una función que permite calcular $x_{n+1}$ a partir de $x_n$. En otras palabras, permite calcular $x_1$ a partir de $x_0$, $x_2$ a partir de $x_1$, $x_3$ a partir de $x_2$, etc. Es por lo tanto una fórmula que da el valor de la variable en función de su valor anterior. Dada una condición inicial $x_0$, la solución del sistema dinámico es la trayectoria o la órbita ${x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3} ...}$ obtenida aplicando $f$ varias veces seguidas a $x_0$.

En revancha, en los sistemas dinámicos continuos, el tiempo no es discreto pero evoluciona de una manera continua, como en la realidad. Los sistemas dinámicos continuos son descritos por las ecuaciones diferenciales, como lo hemos visto en los dos capítulos anteriores. Son fórmulas que explican la tasa de variación de la variable representativa en función de su valor actual. En nuestro estudio matemático del caos vamos a concentrarnos, para simplificar, en el estudio de sistemas dinámicos discretos, que están en el corazón del problema.

Existe un teorema que dice que un sistema dinámico continuo es caótico si y solamente si existe una sección de Poincaré en la cual se puede definir un sistema dinámico discreto que también es caótico.

Entre los sistemas dinámicos discretos, hay una clase especialmente importante : los sistemas no lineales. Un sistema es lineal si la función $f$ es lineal, es decir, de grado $1$, o sea de la forma $f (x) = ax + b$. En revancha, si la función f es no lineal, por lo tanto de grado superior a 1, por ejemplo de la forma $f (x) = ax^{2} + bx + c$, el sistema no es lineal.

En los sistemas dinámicos no lineales, por más que el valor de las magnitudes esté determinado por el valor del instante anterior (se dice que el sistema es determinista), los valores de salida (’’output’’) no son proporcionales a los valores de entrada (’’input’’). Así, cambios microscópicos en las condiciones iniciales pueden ocasionar cambios macroscópicos en los estados finales.

Esta desproporción entre causas y efectos se manifiesta por comportamientos muy variados : algunos definen un punto fijo ; otros, órbitas periódicas ; otros, órbitas cuasi periódicas e incluso ¡órbitas caóticas !

Diferentes tipos de sistemas dinámicos no lineales (estacionarios, periódicos y caóticos), representados en función de una serie temporal de valores (a la izquierda) o por sus trayectorias en el diagrama de fases (a la derecha).

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He aquí algunos artículos sobre este tema :

Post-scriptum :

El extracto propuesto fue elegido por el autor del prefacio del libro Etienne Ghys. Él responderá los eventuales comentarios.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «La mariposa y el tornado» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - Marion Bucciarelli
img_10604 - Carlos Madrid

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