La mesure des figures du plan

De Janos Bolyai à Hugo Hadwiger

Piste bleue 4 août 2016  - Ecrit par  Yves Coudène Voir les commentaires

De l’impossibilité de transformer un chapeau pointu en chapeau bas par découpage et translation.

Dans l’article Un triangle et une énigme, nous avions posé la question suivante.

Peut-on découper un triangle équilatéral pointe en haut en un nombre fini de morceaux, de façon à le reconstituer pointe en bas, en ne faisant que translater les morceaux [1] ?

Nous allons voir dans cet article que cela est impossible. C’est un problème qui aurait sans doute enthousiasmé (et enrichi) Sam Loyd, mais la solution n’était pas connue en son temps. Le fin mot de l’histoire date des années cinquante. On va expliquer où se situe le problème, mais avant cela, retournons au collège avec ses notions d’aire et de périmètre.

Invariance de l’aire et du périmètre

Commençons par remarquer qu’il n’est pas possible de découper un carré en un nombre fini de pièces polygonales puis de les déplacer de façon à obtenir un carré deux fois plus grand. L’opération de découpage et les déplacements du plan préservent l’aire, on doit donc avoir la même aire au début et à la fin de la construction. Essayons de préciser cela.

La notion d’aire remonte à l’antiquité. Elle est définie par les Grecs d’abord pour les triangles (base x hauteur) puis étendue à des figures plus générales [2], comme le disque ou les coniques, par une méthode d’exhaustion, en remplissant ou en recouvrant la figure par des triangles.

Ainsi définie, l’aire est bien sûr invariante par les déplacements du plan, c’est-à-dire par les translations et les rotations. Elle possède en outre la propriété suivante : si A et B sont deux parties disjointes, l’aire de l’union de A et B (notée $A \cup B$ [3]) est égale à la somme des aires de A et B. Si elles ne sont pas disjointes, il faut aussi soustraire l’aire de l’intersection (notée $A \cap B$ [4]) pour obtenir l’aire de l’union.

\[ aire(A \cup B) = aire(A) + aire(B) - aire(A \cap B) \]

On parlera de mesures additives pour désigner les quantités qui satisfont l’égalité précédente. L’aire n’est pas la seule mesure additive que l’on peut définir sur les figures du plan. Le périmètre est lui aussi additif. Il est défini pour un polygone en faisant la somme des longueurs des côtés.

Le dessin et le tableau suivants illustrent l’additivité de l’aire et du périmètre.

périmètre aire
rectangle 16 15
carré 12 9
intersection 8 4
union 20 20

Attention au fait qu’un segment de droite a un périmètre égal au double de sa longueur ! La notion de périmètre est ensuite étendue à des figures plus générales par un passage à la limite. C’est par cette méthode qu’Archimède donne une valeur approchée du « $\pi$érimètre » du disque, $2\pi \simeq 44/7$, en l’approchant par des polygones.

Les mathématiciens grecs étaient donc bien conscients que périmètre et aire étaient des opérations continues en un certain sens [5], qui pouvaient se calculer par approximation par des polygones.

Le théorème de classification de Hadwiger

Il existe une troisième mesure additive définie pour les figures planaires, appelée caractéristique d’Euler. Décrivons là brièvement : les figures élémentaires comme les points, segments, rectangles ou triangles [6] ont une caractéristique d’Euler égale à un. Une figure composée d’un nombre fini de segments, de triangles ou de rectangles disjoints deux à deux possède une caractéristique égale au nombre de segments, de triangles et de rectangles qui la compose. Enfin, la caractéristique d’une figure générale se calcule en la décomposant en figures élémentaires et en utilisant l’additivité.

Dans le dessin suivant, on obtient la caractéristique d’Euler d’un rectangle troué en le décomposant en union de deux morceaux, chacun composé de deux rectangles.

caractéristique d’Euler périmètre aire
les deux rectangles horizontaux 2 16 6
les deux rectangles verticaux 2 16 6
intersection 4 16 4
union 0 16 8

Il se trouve qu’il n’y a pas d’autre mesure additive continue définie sur l’ensemble des figures du plan, invariante par les rotations et les translations. Les mathématiciens de la Grèce antique auraient sans doute apprécié ce résultat mais il fallut attendre 1959 pour qu’il soit démontré en toute généralité.

Théorème (Hadwiger, 1959)

Toute mesure additive continue [7] invariante par déplacement (c’est-à-dire par les translations et les rotations du plan) peut s’exprimer en fonction de l’aire, du périmètre et de la caractéristique d’Euler. Plus précisément, c’est une somme pondérée [8] de ces trois mesures de base.

Une mesure mystérieuse

Le résultat est-il encore vrai si on s’intéresse aux mesures additives non plus invariantes par les translations et les rotations, mais juste par les translations ? La réponse est non. De manière surprenante, il existe une mesure additive continue, invariante par les translations du plan, qui est différente des mesures décrites dans le théorème précédent. C’est ce qui va permettre de montrer que l’on ne peut pas retourner un triangle à l’aide de translations uniquement.

Désignons sous le terme de chapeaux pointus les triangles pointant vers le haut et dont les trois côtés sont de longueur égale à un. De même les chapeaux bas sont les triangles avec côtés de longueur un et qui pointent vers le bas. La mesure mystérieuse est construite à l’aide de la formule suivante.

mystère(polygone) =

aire(polygone + chapeaux pointus) - aire(polygone + chapeaux bas)

L’expression « polygone + chapeaux pointus » désigne la partie du plan composée des chapeaux pointus centrés sur les points du polygone, comme dans le dessin qui suit.

De même la formule « polygone + chapeaux bas » désigne la partie obtenue en utilisant des chapeaux bas plutôt que des chapeaux pointus.

On obtient ainsi deux polygones épaissis et on prend la différence de leurs aires. Dans le cas d’un rectangle, les deux épaississements ont même aire. La mesure mystérieuse d’un rectangle est donc nulle. La situation est bien différente pour un triangle.

L’aire de « chapeau bas + chapeaux pointus » vaut six fois l’aire du chapeau bas, tandis que l’aire de « chapeau bas + chapeaux bas » vaut quatre fois l’aire du chapeau bas. La mesure mystérieuse du chapeau bas est donc égale au double de l’aire du chapeau bas.

Pour le chapeau pointu, on calcule sa mesure mystérieuse simplement en retournant la figure précédente et on s’aperçoit qu’elle est négative, égale à l’opposée de celle du chapeau bas !

Le découpage impossible

On peut montrer que cette mesure mystérieuse est additive et invariante par translation, ce qui nécessite quelques calculs que l’on passe sous silence. Comme la mesure du chapeau pointu est différente de celle du chapeau bas, il ne saurait y avoir de découpage permettant de passer de l’un à l’autre par translation. De fait, la somme des mesures des différentes pièces intervenant dans le découpage devrait être égale à la mesure du triangle de départ, mais aussi à la mesure du triangle d’arrivée, car la valeur de chaque terme apparaissant dans cette somme n’est pas modifiée par le processus de translation que nous appliquons à chacun des morceaux.

Une classification des mesures additives continues invariantes par les translations du plan et plus généralement de l’espace a été obtenue par Rolf Schneider en 1996. L’étude des propriétés de ces mesures est un sujet de recherche très actif à l’heure actuelle. Les problèmes que nous venons d’aborder dans cet article appartiennent au domaine de la géométrie intégrale. Les étudiants de master mathématique qui souhaitent aller plus loin peuvent consulter l’ouvrage de Daniel A. Klain et Gian-Carlo Rota [9]

Post-scriptum :

Je remercie Aziz El Kacimi, amic et Christian Mercat pour leurs relectures attentives et leurs commentaires.

Article édité par Jérôme Buzzi

Notes

[1Par morceaux, on entend des polygones.

[2Plus précisément, les sous-ensembles du plan qui sont unions finies de parties convexes compactes.

[3C’est l’ensemble des points qui sont ou bien dans A ou bien dans B.

[4C’est l’ensemble des points à la fois dans A et dans B.

[5Au sens de la distance de Hausdorff sur les parties convexes compactes du plan. Cette distance fait l’objet d’un article de Pierre Lecomte sur ce site.

[6Et plus généralement, toute partie convexe compacte.

[7Continue, au sens suivant : pour toute suite de parties convexes compactes convergente au sens de la distance de Hausdorff, la limite des mesures est égale à la mesure de la limite.

[8Par exemple, deux fois l’aire moins le tiers du périmètre.

[9D. Klain, G-C. Rota, introduction to geometric probability, Lezioni Lincee. Cambridge University Press.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Yves Coudène — «La mesure des figures du plan» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Suivre IDM