La méthode de Newton et son fractal

Piste rouge Le 18 avril 2009  - Ecrit par  Tan Lei Voir les commentaires (4)

Dans la vie courante, des problèmes mathématiques se modélisent souvent sous forme d’équations. Résoudre ces problèmes revient alors à trouver des solutions à ces équations.

Les dimensions d’une feuille de papier

Voici un exemple : prenons une feuille de papier A4 standard. Sa largeur est de $21$ cm (nous l’avons un peu arrondie pour simplifier le calcul [1]). Sa longueur mesure entre $29$ cm et $30$ cm. Comment expliquer ce rapport « étrange »
entre longueur et largeur ?

En effet, pour des raisons économiques et esthétiques, ce rapport a été choisi pour qu’après avoir été plié en deux, le papier reprenne la même forme, c’est-à-dire le même rapport longueur/largeur. Ainsi, en notant $x$ la longueur de notre feuille A4, le rapport longueur/largeur avant le pliage est de $x/21$. Après le pliage, la nouvelle
longueur est $21$cm, et la nouvelle largeur $x/2$, avec donc comme rapport $21/(x/2)$.
La longueur $x$ de la feuille A4 est donc solution de l’équation
\[x/21=21/(x/2),\]
soit $x^2=2\times 21^2$, ou encore $x=\sqrt{882}$.

Calculez à présent $\sqrt{882}$ à l’aide d’une calculatrice, vous trouverez $29,\!698485$, d’où la longueur en centimètres de notre feuille A4 (et voilà pourquoi A4 est aussi $21\times 29,\!7$) !

Cependant, cette valeur avec toutes ses décimales n’est qu’une
approximation de $\sqrt{882}$, puisque ce nombre réel n’est pas un nombre
décimal [2], de même que $1/3=0,333333333...$, $\pi$, $\sqrt{2}$ ne sont
pas des nombres décimaux. Une des questions est alors de trouver une
bonne approximation de ces nombres par des nombres décimaux, en
fonction de la façon dont ils sont définis. Cette question n’a
pas grand
intérêt pour les nombres qui sont des fractions (comme $1/3$), car le
développement décimal d’un tel nombre est toujours périodique
(comme celui de $1/3$ où le chiffre $3$ se répète indéfiniment dans le développement).

La touche « racine carrée » est en panne

Imaginons qu’un jour la touche $\sqrt{\ }$ ne fonctionne pas. Ou qu’on ait besoin d’une valeur approchée avec beaucoup plus de précision. Ou encore que l’on tombe sur un autre problème dont aucune touche de la calculatrice ne nous fournisse de réponse.

Heureusement, après avoir transformé ces problèmes
en équations, nous pouvons utiliser un algorithme itératif inventé par le génial mathématicien et physicien Isaac Newton (1642-1727).
Cette méthode de Newton fournit toujours des solutions approchées des équations, et ce avec autant de précision que nécessaire (voir l’article original de Newton, ajouté à la fin de cet article).

Qu’est-ce qu’un « algorithme itératif » ? C’est tout simplement l’opération consistant à répéter un grand nombre de fois la même opération mathématique. Tapez par exemple un nombre au hasard, disons $5$, sur une calculatrice. Puis appuyez, disons une trentaine de fois, sur la touche $\sqrt{\ }$ (en espérant qu’elle fonctionne, cette fameuse touche !).

Vous allez voir défiler sur l’écran une succession de nombres décimaux, et ces nombres s’approchent de plus en plus de $1$.
Essayez cette fois-ci $0,\!001$ à la place de $5$, qu’observez vous ?

Ce que vous êtes en train de faire, c’est d’itérer l’opération « racine carrée ». Et cette itération vous fournit au fur et à mesure des approximations de plus en plus précises du nombre $1$ (ce qui n’est pas très intéressant en soi).

Vous pouvez bien sûr itérer d’autres opérations comme $x^2$, $\sin x$ ou $\cos x$ si votre calculatrice le permet, tout en variant le choix du nombre de départ. Vous allez constater qu’itérer $x^2$ en commençant par $1,\!05$ ou $0,\!95$ donne des résultats très différents, tandis qu’itérer $\sin$ (ou $\cos$) donne toujours le même résultat final.

Personnellement j’ai été très étonnée
lors de la découverte de ces curieux phénomènes. Pas vous ?

La « touche » méthode de Newton

Alors quelle est la méthode de Newton pour trouver des solutions approchées de l’équation $x^2-882=0$ ? Notons $P(x)=x^2-882$ pour simplifier la présentation (cela rend également la méthode plus conceptuelle).

Newton a réalisé que pour cela, il suffisait d’itérer l’opération
\[ x-\frac{P(x)}{P'(x)}\]
(où $P'$ désigne la dérivée de $P$), soit
\[x-\frac{x^2-882}{2x},\]
ou encore
\[ \frac12 \left(x+ \frac{882}{x}\right),\]
un peu comme si la calculatrice avait une touche « $x-P(x)/P'(x)$ » et qu’on appuie un grand nombre de fois sur cette touche.

Nous allons voir un peu plus tard, dans le paragraphe « Solutions et points fixes », la raison
mathématique d’utiliser la formule précise
$ x-P(x)/P'(x)$ plutôt qu’une autre. A présent contentons nous de faire quelques expériences numériques.

Essayons avec $x=1$. On obtient, successivement : \[1;\quad \frac12 \left(1+ \frac{882}{1}\right)=441,\!5;\quad \frac12 \left(441,5 + \frac{882}{441,\!5}\right)=221,\!749;\] puis $112,\!8632; \quad 60,\!339;\quad 37,\!4782;\quad 30,\!50594;\quad 29,\!70917;\quad 29,\!69849,\quad 29,\!69848,\ \ldots\ .$

Après seulement quelques coups d’essai, on est déjà très près de la vraie solution $\sqrt{882}\approx 29,\!698485$. Voilà une méthode bien efficace... [3]
 [4]

On pourrait montrer que, en commençant par n’importe quel nombre proche de $\sqrt{882}$ (à la place de $x=1$ ici), les valeurs obtenues en itérant le procédé vont toujours s’approcher de $\sqrt{882}$.

Nous allons maintenant tester cette méthode avec des nombres complexes
(nous expliquerons pourquoi à la fin de ce paragraphe), c’est-à-dire
des nombres sous la forme $x+iy$, avec $i$ un nombre (imaginaire) dont le carré est $-1$,
et $x,y$ deux nombres réels habituels (voir le film Dimensions mentionné ci-dessous pour une explication animée et détaillée des nombres complexes). Le nombre $x$ est appelé la partie réelle, et
$y$ la partie imaginaire.

Un tel nombre serait proche de $\sqrt{882}$ si $x$ est proche de $\sqrt{882}$ et
$y$ est proche de $0$. En particulier les nombres imaginaires purs, c’est-à-dire
ceux dont la partie réelle est nulle, ceux la forme $0+iy$, sont très loin de $\sqrt{882}$.

Faisons le test avec $i$ comme valeur initiale, cette fois-ci avec un crayon sur une feuille de
papier (A4 par exemple !) au lieu d’une calculatrice.

Mettons $i$ (à la place de $x$) dans la formule de Newton \[\frac12 \left(x+ \frac{882}{x}\right),\]
nous obtenons
\[\frac12\left(i+\frac{882}{i}\right)=\frac12\left(i+\frac{882}{i\times i}i\right)\]

et, comme $i^2=-1$, c’est aussi
\[\frac12(i-882\,i)= -440,\!5\,i.\]
Remettons ce dernier terme (toujours à la place de $x$) dans la formule de Newton, et ainsi de suite, cela nous donne
$ -219,\!25\,i$, puis $ -251,\!227\,i$... On voit que ces valeurs
restent imaginaires pures et donc ne se rapprocheront jamais de nos solutions $\pm \sqrt{882}$.

Que se passerait-il si nous prenions comme valeur initiale un autre nombre complexe $x+iy$ ?
Il n’est pas très difficile de démontrer que, si $x$ est positif, nous allons nous rapprocher de $\sqrt{882}$, et si au contraire $x$ est négatif, nous allons nous rapprocher de $-\sqrt{882}$. La droite des nombres complexes imaginaires purs, qui n’est rien d’autre que l’axe des $y$, est à la fois la médiatrice des deux solutions, et la ligne de séparation de deux comportements différents des suites de valeurs itératives. À sa gauche, c’est le « bassin » d’attraction de la solution $-\sqrt{882}$ ;
et à sa droite, celui de $\sqrt{882}$.

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Bassin d’attraction de la méthode de Newton pour un polynôme de degré 2

Alors pourquoi partir d’un nombre complexe alors qu’un réel suffisait ? En effet, dans d’autres problèmes plus compliqués, on risque de tomber sur une équation dont la solution recherchée n’est pas réelle.
Tester sur des valeurs initiales qui sont des nombres complexes permet donc de repérer également ce genre de solutions. Ce n’est pas tout. Aller des réels vers les complexes nous permet à la fois d’élargir
notre champ de vision (comme illustré par de nombreux dessins ci-dessous), et
d’avoir accès à de puissants outils mathématiques relevant de l’analyse complexe. Il y a d’ailleurs des problèmes
mathématiques purement réels qui n’ont pu être résolus que grâce à l’utilisation des
nombres complexes, c’est ce qu’on appelle encore « complexifier » le
problème.

Avec un polynôme de degré 3

Essayons maintenant la méthode de Newton $ z-P(z)/P'(z)$ pour un polynôme un peu plus compliqué :
\[ P(z)=\left(z-a+\frac12\right)\left(z+a+\frac12\right)(z-1),\]
ici $z$ désigne un nombre complexe inconnu et $a$ est le nombre complexe $-0,\!00508+0,\!33136\,i$. (En fait on aurait pu prendre n’importe quel
nombre complexe pour $a$, mais celui-ci
a été choisi spécifiquement pour illustrer par la
suite l’apparition du fameux lapin de Douady. Voir le paragraphe
« Choix de $a$ » ci-dessous. )

Les solutions de l’équation $P(z)=0$ sont 1, $-\frac12+a$ et $ -\frac12-a$. On pourrait croire naïvement qu’une sorte de graphe séparateur jouerait le rôle de la médiatrice (comme dans le cas précédent) :
ce graphe séparerait le plan en trois régions, et une valeur initiale (qui
est un nombre complexe) prise dans une région donnée nous donnerait
des approximations de la racine du polynôme située dans cette région. Par exemple :

GIF - 2.6 ko
Un graphe séparateur ?

Arthur Cayley (1821-1895) avait tenté en vain de justifier cette intuition (voir
son article, ajouté à la fin de cet article). Nous allons tout de
suite comprendre pourquoi.

Une expérience numérique

Faisons une nouvelle expérience numérique, en remplaçant cette fois la calculette par un ordinateur :

Plaçons-nous dans une fenêtre carrée du plan, disons $-1,\!4

  • le pixel $z$ en bleu si le résultat est un nombre complexe proche de $1$,
  • en vert s’il est proche de $-\frac12+a$,
  • en rouge, s’il est proche de $ -\frac12-a$...

Enfin colorions le pixel en noir si rien de tout cela se produit.

Voici ce que notre ordinateur dessine :

GIF - 25.3 ko
Le fractal de Newton

Ainsi, plutôt qu’un simple graphe séparateur, on voit apparaître un surprenant
« fractal » qui partage le carré en trois grands lacs, un autour de chaque solution,
mais également en beaucoup de petits lacs rouges, verts ou bleus, qui s’entremêlent de manière très compliquée...

Ah ! Si Cayley avait vu cela !

Observons ce fractal de plus près. Voici un agrandissement dans la fenêtre
$-0,22 < x,y < 0,22$.

GIF - 32.2 ko
Zoom

La couleur noire indique le lieu des « mauvaises » valeurs de test initiales :
si l’on choisit au départ un nombre complexe au sein de cette partie, la méthode de Newton n’approchera jamais d’une solution de $P=0$.

Même si ce lieu est relativement petit, on voit tout de même des taches piégées
dans son intérieur,
des sortes de lacs noirs (en termes mathématiques, l’intérieur de cet ensemble n’est pas vide). La présence de ces lacs
met en doute l’efficacité globale de la méthode de Newton.

En plus, ces lacs noirs ne sont pas dans une partie isolée, bien délimitée, du plan. Au contraire ils s’entremêlent partout avec les lacs rouges, verts ou bleus.

Ceci illustre le phénomène « chaotique » de cette méthode itérative : en partant d’un point de la frontière d’un de ces lacs, la moindre erreur numérique nous fait basculer soit d’une solution vers une autre, soit vers un piège de couleur noire.

Il faut dire que la présence de ces taches noires est due à notre
choix spécifique du nombre complexe $a$.

En choisissant un autre nombre pour $a$, le fractal engendré peut très bien ne plus avoir de taches noires. On peut
même prédire à peu de choses près tous les choix de $a$ pour lesquels cela se
produit.

Une question se pose alors : dans ces cas-là, peut-on affirmer que la méthode de Newton est enfin globalement efficace ? Eh bien, ce n’est pas si simple que ça.

Il existe aujourd’hui des logiciels qui produisent des valeurs « aléatoires », c’est-à-dire imitant le hasard. On aimerait
dire que la chance qu’un tel logiciel produise un nombre complexe noir est minime, lorsqu’il n’y a pas de tache noire à l’intérieur [5]. Or ce n’est pas toujours le cas : pour certains choix de $a$, il n’y a pas de taches noires (l’intérieur de l’ensemble noir est vide), pourtant la probabilité pour qu’un point choisi au hasard soit noir n’est pas nulle [6].

Lapins

Essayons maintenant de comprendre un peu mieux la structure du fractal de Newton présenté ci-dessus, donc
calculé avec le nombre $a$ que nous avons choisi ci-dessus.

  • La première observation est qu’il y a des taches noires un peu partout à la frontière des lacs colorés, et que ces taches ont des tailles très variées.
  • La deuxième est que ces taches ont toutes une drôle de forme : elles ressemblent un peu
    à un lapin à deux oreilles.

Adrien Douady (1935-2006) fait partie des premiers mathématiciens à avoir observé cela. Il a très vite compris que ces lapins proviennent de l’itération d’une autre opération, plus simple cette fois-ci, celle de
\[z^2+ (-0,\!12+0,\!75i).\]

Faisons l’expérience comme lui, en colorant un pixel dans le carré
$-1,45\le x,y\le 1,45$

  • en rouge si ses itérés par cette opération s’échappent du carré,
  • et en noir sinon.

Voici le résultat :

GIF - 39.4 ko
Le lapin de Douady

Une ressemblance frappante avec le lieu noir que nous avons appelé « lapin », n’est ce pas ? D’ailleurs ce fractal s’appelle le lapin de Douady.

Choix de $a$


Alors pour quelle raison le fractal produit par l’itération
du polynôme quadratique ci-dessus apparaît-il dans notre fractal de Newton ?

C’est dû à un phénomène de renormalisation, démontré par Douady et Hubbard : pour des bons choix de $a$, et pour la méthode de Newton associée au polynôme
\[ P(z)=\left(z-a+\frac12\right)\left(z+a+\frac12\right)(z-1)\] (qui dépend
de $a$), itérer un nombre pair de fois, par exemple $2n$ fois, cette méthode
dans une région proche de $0$, revient à itérer $n$ fois un polynôme quadratique
de la forme $z^2+c$ (où $c$ dépend de $a$). Donc si l’on veut voir apparaître
le fractal engendré par un $c$ spécifique, par exemple le lapin
de Douady, il ne reste plus qu’à ajuster le nombre $a$.

Alors comment procéder précisément ?
Pour cela, il faut d’abord savoir comment produire le lapin de Douady. Nous allons voir que
le choix de $c$, tout comme celui de $a$, est relativement flexible.

Commençons par itérer $z^2+c$ à partir de $z=0$.
Nous obtenons, successivement,

$0^2+c= c;\quad$ puis $\quad c^2+c;\quad (c^2+c)^2+c;\quad ((c^2+c)^2+c)^2+c;\quad \cdots \quad$ etc.

D’après la théorie de Douady et Hubbard, pour obtenir un fractal qui ressemble à un lapin,
il faut choisir un $c$ parmi ceux qui rendent le troisième terme ci-dessus relativement petit,
donc un $c$ proche d’une solution de l’équation $(c^2+c)^2+c=0$.

Essayons donc de résoudre cette équation. En divisant par $c$,
elle devient : $c(c+1)^2+1=0$. Cette nouvelle équation a trois solutions, et celle qui nous convient
est approximativement $-0,\!1225612+0,\!7448618i$. Notons la par $c_0$.
Ainsi pour tout choix de $c$ proche
de $c_0$, le troixième terme ci-dessus est proche de $0$, et itérer $z^2+c$ devrait
nous donner un lapin. Nous en avons choisi un au hasard, notamment $c=-0,\!12+0,\!75i$,
et ça marche !

Revenons à la méthode de Newton. Cette fois-ci il faut choisir un $a$ tel que le sixième
itéré de $0$ par cette méthode soit proche de $0$. Il existe $18$ valeurs de $a$ rendant ce
terme du
sixième
itéré nul, et celle qui nous convient est approximativement $-0,\!0051054+0,\!3313825i$. Notons la par $a_0$.
Ainsi n’importe quel choix de $a$ proche de $a_0$ devrait nous donner un fractal de Newton avec
des lapins sautillant dedans. Là encore nous en avons choisi un au hasard, notamment
$a=-0,\!00508+0,\!33136i$. Et des beaux lapins apparaissent bel et bien dans notre fractal.

(A titre d’information, le sixième
itéré de $0$ pour ce choix de $a$ est $-0,\!0001958-0,\!0005808i$.)

Coutures et accouplements

Cette relation avec les lapins n’explique pas encore toute la structure du lieu noir. Il faut encore comprendre comment ces multiples lapins se sont reliés les uns et les autres.

En fait, bien que ce ne soit pas du tout évident à l’œil nu,
ce fractal est obtenu en recousant ensemble deux fractals plus simples,
et donc plus facils à comprendre. Mais nous n’allons pas
entrer dans les détails ici. Nous nous contentons juste d’illustrer
ces deux fractals ainsi que la couture.

Voici le premier fractal, provenant de l’itération de
\[Q(z)=z^3+(1,\!503-0,\!8046\,i)z^2.\]
Ce fractal est appelé « ensemble de Julia » de $Q$.
Vous remarquerez que de multiples lapins y sont déjà présents.

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Ensemble de Julia d’un polynôme de degré 3, avec lapin

Et voici le deuxième, provenant de l’itération de
\[z^3+(2,\!12i)z^2.\]

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Citron

Faisons maintenant tourner notre fractal de Newton de $90^\circ$ pour mieux visualiser la couture :

GIF - 22 ko
Le fractal de Newton

Voici enfin la couture en vidéo (film réalisé par Arnaud Chéritat),
d’abord dans le plan :

puis sur une sphère [7]) :

La théorie derière cette couture a été connue depuis 1997 (voir les
références mathématiques ci-dessous). Mais l’illustration
en film présente de grandes difficultés techniques,
de nature à la fois informatique et mathématique.
Arnaud Chéritat a du surmonter toutes ces difficultés
afin de réaliser ces remarquables vidéos pour nous.
Je lui en suis très reconnaissante.

Au passage ce procédé de couture a été appelé « accouplement » avec humour par Adrien Douady.

Solutions et points fixes

Essayons maintenant de comprendre pourquoi la méthode de Newton se stabilise à une certaine solution $r$ de l’équation $P(z)=0$ (pour un $P$ quelconque).

Pour cela remplaçons $z$ par une telle solution $r$ dans $z-P(z)/P'(z)$. Nous observons que
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