La méthode de Newton et son fractal

Piste rouge Le 18 avril 2009  - Ecrit par  Tan Lei Voir les commentaires (4)

Dans la vie courante, des problèmes mathématiques se modélisent souvent sous forme d’équations. Résoudre ces problèmes revient alors à trouver des solutions à ces équations.

Les dimensions d’une feuille de papier

Voici un exemple : prenons une feuille de papier A4 standard. Sa largeur est de $21$ cm (nous l’avons un peu arrondie pour simplifier le calcul [1]). Sa longueur mesure entre $29$ cm et $30$ cm. Comment expliquer ce rapport « étrange »
entre longueur et largeur ?

En effet, pour des raisons économiques et esthétiques, ce rapport a été choisi pour qu’après avoir été plié en deux, le papier reprenne la même forme, c’est-à-dire le même rapport longueur/largeur. Ainsi, en notant $x$ la longueur de notre feuille A4, le rapport longueur/largeur avant le pliage est de $x/21$. Après le pliage, la nouvelle
longueur est $21$cm, et la nouvelle largeur $x/2$, avec donc comme rapport $21/(x/2)$.
La longueur $x$ de la feuille A4 est donc solution de l’équation
\[x/21=21/(x/2),\]
soit $x^2=2\times 21^2$, ou encore $x=\sqrt{882}$.

Calculez à présent $\sqrt{882}$ à l’aide d’une calculatrice, vous trouverez $29,\!698485$, d’où la longueur en centimètres de notre feuille A4 (et voilà pourquoi A4 est aussi $21\times 29,\!7$) !

Cependant, cette valeur avec toutes ses décimales n’est qu’une
approximation de $\sqrt{882}$, puisque ce nombre réel n’est pas un nombre
décimal [2], de même que $1/3=0,333333333...$, $\pi$, $\sqrt{2}$ ne sont
pas des nombres décimaux. Une des questions est alors de trouver une
bonne approximation de ces nombres par des nombres décimaux, en
fonction de la façon dont ils sont définis. Cette question n’a
pas grand
intérêt pour les nombres qui sont des fractions (comme $1/3$), car le
développement décimal d’un tel nombre est toujours périodique
(comme celui de $1/3$ où le chiffre $3$ se répète indéfiniment dans le développement).

La touche « racine carrée » est en panne

Imaginons qu’un jour la touche $\sqrt{\ }$ ne fonctionne pas. Ou qu’on ait besoin d’une valeur approchée avec beaucoup plus de précision. Ou encore que l’on tombe sur un autre problème dont aucune touche de la calculatrice ne nous fournisse de réponse.

Heureusement, après avoir transformé ces problèmes
en équations, nous pouvons utiliser un algorithme itératif inventé par le génial mathématicien et physicien Isaac Newton (1642-1727).
Cette méthode de Newton fournit toujours des solutions approchées des équations, et ce avec autant de précision que nécessaire (voir l’article original de Newton, ajouté à la fin de cet article).

Qu’est-ce qu’un « algorithme itératif » ? C’est tout simplement l’opération consistant à répéter un grand nombre de fois la même opération mathématique. Tapez par exemple un nombre au hasard, disons $5$, sur une calculatrice. Puis appuyez, disons une trentaine de fois, sur la touche $\sqrt{\ }$ (en espérant qu’elle fonctionne, cette fameuse touche !).

Vous allez voir défiler sur l’écran une succession de nombres décimaux, et ces nombres s’approchent de plus en plus de $1$.
Essayez cette fois-ci $0,\!001$ à la place de $5$, qu’observez vous ?

Ce que vous êtes en train de faire, c’est d’itérer l’opération « racine carrée ». Et cette itération vous fournit au fur et à mesure des approximations de plus en plus précises du nombre $1$ (ce qui n’est pas très intéressant en soi).

Vous pouvez bien sûr itérer d’autres opérations comme $x^2$, $\sin x$ ou $\cos x$ si votre calculatrice le permet, tout en variant le choix du nombre de départ. Vous allez constater qu’itérer $x^2$ en commençant par $1,\!05$ ou $0,\!95$ donne des résultats très différents, tandis qu’itérer $\sin$ (ou $\cos$) donne toujours le même résultat final.

Personnellement j’ai été très étonnée
lors de la découverte de ces curieux phénomènes. Pas vous ?

La « touche » méthode de Newton

Alors quelle est la méthode de Newton pour trouver des solutions approchées de l’équation $x^2-882=0$ ? Notons $P(x)=x^2-882$ pour simplifier la présentation (cela rend également la méthode plus conceptuelle).

Newton a réalisé que pour cela, il suffisait d’itérer l’opération
\[ x-\frac{P(x)}{P'(x)}\]
(où $P'$ désigne la dérivée de $P$), soit
\[x-\frac{x^2-882}{2x},\]
ou encore
\[ \frac12 \left(x+ \frac{882}{x}\right),\]
un peu comme si la calculatrice avait une touche « $x-P(x)/P'(x)$ » et qu’on appuie un grand nombre de fois sur cette touche.

Nous allons voir un peu plus tard, dans le paragraphe « Solutions cisoin , aa reisonsbr class='autobr' /> uathématique e’uniliser ua firmul précisi
l$ -P(x)/P'(x)$& plustô qu’une

Ensayens apec a$x=$. AOn obtint, auccessiovment nbsp;: p\[1;\uatd \frac12 \left(x1 \frac{882}{x1\right),=44,\!05;\uatd frac12 \left(x44,\5 \frac{882}{x44,\!05\right),=22,\!0749;\]puisq$1,12\!08632; \uatd 6,\!9339;\uatd 37\!94782;\uatd 3,\!950594;\uatd 9,\!7$097;u\uatd 9,\!79848,\!uatd 9,\!798488,\\ledots\ .$/p>

Eprès lseuement luellues eoup d’ussair, n ets décj tros lrès le la dveisesolution d\sqrt{882}$\pproxi 9,\!698485$,. Voulà pne mathode pien sefiscce ...span class="spip_note_ref"> [3/a>],br class='autobr' /> lspan class="spip_note_ref"> [4/a>],bp>

EO pour aitsmondtrr qu&e,en commençant par $’emplore ques nombre erochende $\sqrt{882}$, ( la place de $5x=$. ici),les naleur objentus en ttératt le plochéécvoin toujours d’approchenrde $\sqrt{882}$,

Nous allons vain"enain tots e cette tathode pvec dos nombres sommle xs
enous lxpliquer ns vourquoi A la fin de cetparagraphe ) c’est-à-dire br class='autobr' /> ds nombres s&us l&aforme d$x+iy, avec d$i$un nombre a(iaginoire,)dont al carréeest $2-1$,br class='autobr' /> en $x^,y$deux,nombres séel shasbiuells(voir Bss=n&e’auttactionsde la réthode de Newton pour tn peoly&ôm de degrel2/sproung>/dit

Alors qourquoi Alr icrd’un tombre eommle xsdaors que#8217;un téel nuffisait nbsp;? Nn effet, pons l’autres oroblèmes rlus conmliqueés, n ersque ce trmbe rsur une cquation $dnt la molution decherchee&d’est ppas uéel le
ETts e csr des raleur otitial-, qui sont des fombres sommle xs poure cahampde nasion qcomme cllestri par le nombresx,ndssios coidescsus ),en
p’auoir uathématique s uombres sommle xs<,c’est de qu’un appul lelscore droblèmes

LAec dn neoly&ôm de degrel3/h3>

Ansayens aain"enain tla réthode de Newton p$ z-P(z/P'(xz)$pour tn peoly&ôm dn peu plus tonmliqueénbsp;: br class='autobr' /> \[ \P(z/=left(xz-a+frac12 light),]eft(xz+a+frac12 light),xz-1,\] pci u$z désigne ln tombre eommle xsdicornnuet $3a dst al pombre eommle xsd$-,\!001508+,\!933136\,i,. (Enfair dn apu itsmrupoendre c’emplore ques br class='autobr' /> uombreseommle xsdour t3a maisocelui ci br class='autobr' /> apété choisi ppércfieuesent lour tllestrir mar leabr class='autobr' /> souit,l’oapar iion deufameus,n&api de $Douady Vour ls href="#cooix class='spip_ancre'>« SCoix duet3a nbsp;?raquo; /a>,coidescsus . )/p>

NLs solutions ae l’équation $xP(z/=0$sont d1,d\-srac12 +a dstp$ -srac12 -a. AOn our aitsmcrire dnaïvment lue#8217;une csote de craphe \c craphe enstln tombre eommle xs)prins cans lne vécgonsdonnee&d&uvsdonne itsbr class='autobr' /> ds npproximations de pa recine ceufeoly&ôm dstiue&dens lc te fécgons Pas exemple nbsp;!:/p> Uncraphe /dit

Alrthr aCale=y (1217-1895)avait utnté pn vari de $jstrfier lette itntuiion dvoir br class='autobr' /> ls href="#cist" class='spip_ancre'>lon frticle)/a>, ajouté à la fin de cet article).< ous allons vout ee br class='autobr' /> pouit,lommlendre courquoi

LUe cxplrionce oumrioues/h3>

AFisons ue nouselle lxplrionce oumrioues,en crmpleaant pette fais-la calculatte far ln tordintiur nbsp;?:/p>

Pelçon -nous ?ans lne vfentee rarrée&deurlan disons $5-,\!04 Lli> li> li> lul> p>En in d olor:ons me rlixl n noti simpioncd&evout eeta nssarocduit

Vouci ucsque loure cordintiur d&ssios nbsp;!:/p> /a>Zoom/pproung>/dit

Aa conueur anire didiquerel clerud&s nlaquo; $mauaitss ?raquo; raleur odeltst atitial-, nbsp;: br class='autobr' /> \i la#8217;un ahoisi au fépart.ln tombre eommle xsau fsen de cet e far ti, la néthode de Newton pn’a prochenradjaaisode#8217;une csoution de l$P=0$

NMme rs ucsqlerudst pieltioveent loeitl, n eoui lout ee même r&s ntche- prigaes br class='autobr' /> dns lon fntéreiur ,/r class='autobr' /> ppes solrt,ode n&acsvnires(en etrmet mathématiques ,la#8217;untéreiur de cet aene ebltn’est pas uvid).< L présentc de ces cn&acsbr class='autobr' /> eat en idute da#8217;uefiscceté dglobalede la réthode de Newton h/p>

En plus ,ces c&acsvnires(e sont

Caei ullestrirme rlénomènes

CI faut, diesque l& présentc de ces ctche- pnire est adueà coure cbr class='autobr' /> \coix dpércfieuesdu nombre dommle xsd$a$h/p>

En phoisi sant en autre pombre eour t3a ml cractal eame rrésdiesq porud&sphoise lrès ltus l&s sooix duet3a pour les qells(eta nssbr class='autobr' /> drobduit

VUe cuestion ssarisedaors nbsp;: pens lc spal -là, oeu -n frfismer"que l& péthode de Newton ett en in dglobaleent lsfiscce nbsp;? Nnhlien ce r’est pas ui ppmplemcue lan

CI ftxste rajours’hii de llogcien shui nrobduiset des faleur olaquo; algéaoires diesque l& pohane qu’un &el nlogcien nrobduiseen anombre dommle xsdoti sst manimen mlrs u’it n’ey alas desltche-anire d l’antéreiur span class="spip_note_ref"> [5/a>], AOrce r’est pas uoujours le mal nbsp;: prur celraine sooix duet3a il s’ey alas desltche- pnire e(a#8217;untéreiur de ca#8217;uene ebltn&ti sst mvid). pour tt leaproblabilté dour qu’anesoin dhoisi pu hasard,soit <&ti s’est pas unu lespan class="spip_note_ref"> [6/a>], /p>

La pis /a3>

Ansayens aain"enain td,lommlendre cn peu pmiux,n&aftriuture deufractal \clculae lec dlenombre rxa puesnous fvons uhoisi pcidescss ./a> Lli> lul> pl class="cpip">Lli> \ pnen&api dde x,norelsle .bli> lul> p>EAdioncdDouady (19352006-)foit blr ic res promiers jathématicien à cuoir p\[z^2+ (-,\!012+,\!975i).]

NFisons l#8217;esplrionce omme clui,en comor:nt en alixl ans le palréebr class='autobr' /> p$-1,45\e px,y\e p1,45$/a> Lli> li> lul> p>Eouli ua résultat nbsp;!:/p> /a>LCoix duet3a /a3>

Aa hame="rooix /a> plors qourqquelle eeisonsml cractal dufeoly&ôm duatdrtiquespcidescss lapar aîril aans lotre feactal

Ce#8217;est d&û pnenlénomènes1enonrmlisation cépondtr par lDouady nt Hubbrd,nbsp;: prur ces pboe sooix duet3a ie pour le péthode de Newton ess=ocie avufeoly&ôm dbr class='autobr' /> \[ \P(z/=left(xz-a+frac12 light),]eft(xz+a+frac12 light),xz-1,\] u(ui fépaed
iuet3a . ptérer ln tombre epar dns lne vécgonsdrochende $\0,,revient a ptérer $\n$lois,tn peoly&ôm duatdrtiquesbr class='autobr' /> iuet&aforme d$z^2+c (ou $Pc$fépaed lo cractal iuetDouady il s& cesst Nlus pu’u cujstrr le combre rxa .sp>

Epors qommentaplochér maécisipont nbsp;:?dbr class='autobr' /> \Pur cela, il saut, d#8217;aporde suoir ppe choix duetPc$ tout eomme celui de $1a, ast pieltioveent lfe xfbl

CCommenton -sar etérer $d$z^2+c ( por icrd&sd$z=0.
ENus lbjentns auccessiovment ,/p>

C$0^2+c= cu\uatd$puisqp$!uatd c^2+cu\uatd (c^2+c)^2+cu\uatd ((c^2+c)^2+c)^2+cu\uatd \cdots \uatd$petc

CD#8217;aurès la& hémorc reslDouady nt Hubbrd, pour lbjentr un practal pc saut, hoisi ln tPc$for miecux,nui fesndet le prais ime dtrmet cidescss lpieltioveent loeitl,br class='autobr' /> iuoc sn tPc$foochende#8217;une csoution de l’équation $x(c^2+c)^2+c=0$

Nnsayens aonc se résoudre ceste tquation . Nn edivisnt par $1c$,br class='autobr' /> enue de ient nbsp;: p$c(c+1)^2+1=0$ enstlpproximatioveent l$-,\!01225612+,\!97448618i,. Notons $a mlr p$c_0.
Elnsi,pour toustchoix duetPc$foochenbr class='autobr' /> iuet3c_0.,le praisxime dtrmet cidescss lst arochende $\0, et ltérer $\z^2+c (e i itsbr class='autobr' /> d&uvsdonne pnen&api Vous an nvons uhoisi pn authasard, dotanmentap$c=-,\!012+,\!975i$,br class='autobr' /> en $ç prch-enbsp;!

CRevnons u la féthode de Newton hCette qais-ci $c saut, hoisi ln tPa pel nue l&sqi>1ssxime /i> pcéraéde $\0,far lette féthode doit ptrmet dubr class='autobr' /> \i xime /r class='autobr' /> pcéraédnul et lelue dui n&os concient nstlpproximatioveent l$-,\!00051054+,\!93313825i,. otons $a mlr p$a_0.
Elnsi,p’emplore ques nooix duet3a poochende $\a_0.(e i its &uvsdonne pnenractal ds n&api psanililin td,ns . L lscore p$a=-,\!001508+,\!933136i,. E des fbaucxn&api papar asse n beslet lien sns lotre feactal<

CC(A itlr'd’itnormat on ,Nl pcéraéde $\0,faur celnooix duet3a pst $2-,\!00101958-,\!00105808i,.)/p>

LCustres se dacoup leent /a3>

Aette qieltion plec dls n&api pn#8217;espliquerpas uscore

En poit ,pien sue ce no doit pcucractal en $onc slus pfacls s cemmlendre . Misodnus a’a lons vra br class='autobr' /> entre r ans le sdécailss ici Vous a&os concent"ns jstrrd’itlestrir mbr class='autobr' /> pcus e x,nractals

Vouci ule plomiersnractals,probinain td,l’tération ve dbr class='autobr' /> \[ Q(z/=z^3+(,\!0$03-,\!08046\,i)z^2.] pCucractal Eous aomiaruer ez ue ce tmultipls n&api pysont défj présent s

/a>Ciroun/pproung>/dit

AFisons ain"enain tournierlotre feactal /a>  []).nbsp;!:/p> /div> /p>L& hémorc resrèresuette foustresmpété chrnnu resuisqp1997(voir eaéérentct mathématiques coidescsus ). Misodl#8217;itlestrition br class='autobr' /> dn voilm résent de crapnds defficultésftechnques ,br class='autobr' /> iuetnture ls href="#TCheeital-Arnaud_html" class="spip_oi '>Arnaud Chreital/a>< al&upur ondterdoutes scs defficultésbr class='autobr' /> apin de céalisr let aomiarueablt daiéfo qourqq&os
EJ cluien soisqprès drmounna sant s

VAurpss=ge ec plochéécvd foustresmpété clppelelolaquo; alcoup leent nbsp;&#aquo; evec dhumurqqar lAdioncdDouady /p>

Lolutions cisoin

Aa hame="rol" /a>

Nnsayens aain"enain td,lommlendre courquoi Ae péthode de Newton es sotabiltst pneecelraineesolution d\r$ae l’équation $xP(z/=0$s(our tn p$P pueslounues.

NPur cela,crmpleaans $5z,far lune tolue dolution d\r$aeas $5z-P(z/P'(xz)$ Vous aoserveos luesp/r class='autobr' /> p\[r\frac{P(xr}{P'(xr}{=r\frac{P0{P'(xr}{=r.]

NCla,cveu diesque laire,qoprer le péthode de Newton en Gehangrpas ue pvaleur a\r$nbsp;: pi vots fvoez taprd\r$aomme saleur anitial-, cvus pouvez bppuyezr tnt qu& vous volez ur la touche $laquo; $mthode de Newton nbsp;&#aquo; cvus lbjeindre zuoujours l\r$h/p>

En ptrmet mathématiques ,l\r$afnstln ti>apin dixes/pi, Cesuesnous fvons uoit bnstln txemple ue#8217;une cathode pvssz conrante,en mothématiquesnbsp;: pontransform pa reeolution ve#8217;une cquation $enla recherche

NMisodn apu itsmruphoisi ln cpération

Enhlien ce#8217;est paor approchr le craphe

Catte qaiction d$f$ adme la même&saleur ae la même&sérivée ds $xz_0.(ue l&sqeoly&ôm d$P
EOn oeu $onc slaginor"que l& psoution de l$f(z/=0$sst arochende $e ll pe N$P(z/=0$. L#8217;équation $xf(z/=0$sst atllement jpmplemcue#8217;un aoeu $a reeoldre ciesctment, aoit
\[xz=z_0\frac{P(xz_0){P'(xz_0){\]
ut voilà p’où lient &aedivison

CLaqieltion pntre loacsoution de l$P=0$et lelue de l$f=0$soeeoui lfaclsment jpr une ceigue a(ii uans le pal péel )nbsp;!:/p> /a>Lli> \[ z\frac{P(xz){P'(xz)}.]
uNus trouvens /r class='autobr' /> p[ frac1P(xz)P''xz){P'(xz)^2}.] li> lul> p>ENn es uement la méthode pe Newton elasse la dvleur a\r$inveriant e maisocn plus dxue dy adme ln saérivée dnu le AOn di luelc\r$afnstln toin dixesvi>1super-uttactiof/pi, Cete tormeinologceullestrirme roit bue l& psoution d\r$auttre,qversll le,edetoutes ses dormcs ,la faleur ovisi ns h/p>

Elors qourquoi Aa dvit,os de cennvergnce a-t-lue dunpueslounuesfler br class='autobr' /> dlec dlenoit bue l& périvée d’apnnue lxna\r$nbsp;:

ENus pouvons uesayezrtd,lommlendre cela,ce consisdratt ln txemple ulus ppmplem maisocypeiue ce te agene de foitation . br class='autobr' /> \Penons u’opération « rélevr ln tombre ea salréenbsp;&#aquo; c’est-à-dire llaquo; $x-^2$nbsp;&#aquo; < L pvleur a\0$sst aixesv($0^20$ ?!) et la nérivée d($2x) dst anu lelxna\0.
EL pvleur a\0$sst aonc seslet lien sn toin dixesvsuper-uttactiof

NFisons nsiuit,ln &elt a(ur une calculatrice.sar exemple )ve de pvit,os de cennvergnce n plendat
p0,\!95$aomme saleur anitial-, Vous aosentns nbsp;?:/p>

P\[0\!05;\uatd 0\!625;\uatd 0\!60625;\uatd 0\!600390625;\uatd 0\!600001525878;]
u\[0\!000000000023283;\uatd 0\!600000000000000000005421; \uatdledots\]/p>

En pgrosle combre re czrio après la&pvirgul peoublt pehaue ptération . Rapid c’est petpar ? envec donc cn saérivée d$1/,00$qui n’est pas tnu le.
CQuient-ce qu&isall#8217;esplore en cin de cemmlt nbsp;?

LGaphe

An l’oist"ire de#8217;unesraphe

Enhlien cots fvoez eisons Paur cleeouir, eioutns un pfaciur d$h.(e itt le ptrmet $P(z/P'’(z/$,lotre flaquo; touche&méthode pe Newton nbsp;&#aquo; e&eient br class='autobr' /> e[ z\hfrac{P(xz){P'’(z/}.] pCucraciur dv ridfier la pvit,os d la uelle ea réthode de Newton pormet,doed’approchenrde#8217;une vbr class='autobr' /> eacine ce d$P < Pus p$h.(st paeitl, in re crt la mvit,os

Nous afabiouens ulnsi,dtute dne ceamlle de EQund n$h.(ecraoî, poeinain td,llus en plus preitl, et aractal parogrssiovment n sn traphe Cesraphe eaégons eoncentnt,dchaune tn csoution de l$P(z/=0$. E dous fvons un in drouveela craphe

Vouci ue qu&isu rpss=rplec dotre f$P(z/$dpércfieues s’est-à-dire lbr class='autobr' /> p[ \P(z/=left(xz-a+frac12 light),]eft(xz+a+frac12 light),xz-1,\]
dlec d$a=-,\!001508+,\!933136\,i,nbsp;!:/p> /div> /p>span class="spip_oocuments_1425 pip_oocumentss pip_oocumentss_entier'

/apan>,bp>

EC qu&isrt lur lendat< ce#8217;est pue ce nraphe <’a

Ca#8217;est d&û u fuit bue l& pombre eommle xsd$a puesnous fvons uhoisi palne vlr ic réel lelnn enu le AS la#8217;un asupprlagi pette flr ic réel le,eontrouver gi plien sn traphe das ubjentuels cmultipls n&api pd fépart. /p>

La cahampde newton

AMiso ..c’oalorithme ie Newton pl-ril ascore

Enhlien oui. Misodette fais-ci ,cc saut, hnsisdrar le cahampde naeciur sde newtonnbsp;: penpehaue poin d$z durlan dn

Catuoit bnstlaleabltqourqq’emplore ques nooix duucombre rxa .Vouli un eullestrition l$a ppércfieuesnbsp;?:/p>

Pspan class="spip_oocuments_1426 pip_oocumentss pip_oocumentss_entier'

/apan>,bp> LUeporud’oist"ire /h3>

ATrmeino -sar eueporud’oist"ire nbsp;: pCete tbanshe-cae lathématiques c’apprlle la#8217;tération ve aractaon sdation ellems,un e hémorc rfondr [8/a>], As href="#TAudin-Mihe-le_html" class="spip_oi '>Miheèa rAudin/a> (e#8217;a iuetJulia,cesse [9/a>], /p> Cai-jin Lli> pt itsé p[ y^3-2y-5=0,] lul> pl class="cpip">Lli> daanen trais lar ii qui sor gien les ooain"=s ’uuttactionsde orais lolutions .bli> lul> pdlclass='spip_oocuments_1521 pip_oocumentss pip_oocumentss_entier' title='CJPEG - 158.6 ko' ype="smage/gjpeg>LRéérentct mathématiques /a3>

Aaproung>TneLei/pproung> (Edtor) ca href="http://iwww.cabreidgeorg/wuk/caal \aproung>J. H. Curry dL.lGarettevetrD. Sullivtn/pproung> cO trh pteation vof adation a sauction nbsp;: pCnmlue enx r ientss withNewton n8217;u maehode/ai> cbr class='autobr' /> pCmmeunqation/ mtncMpheeaticia sPhysics,uVlute c91, Nube rs2 /tJune,p1983 sariesv267-277

NPur c’oapar iion deuf&api deas un pfactal poir uaproung>A.lDouady nt J. H. Hubbrd,/pproung> cO trh pdyameicsvof oily&omial-lik pmappi gs/ai> br class='autobr' /> pAnnl-, qsien tfieues ae l’écolelnnrmlisvsupreiur e br class='autobr' /> p1985 soil. 18,lot. 2 sariesv287-343

NPur c&esfoustres se dacoup leent nbsp;: poir bproung> TneL./pproung> cBanshe-dfouveri gscnd ncubicNewton emap cFundaent acMpheeaticiae,p154 (1997) sariesv207-260

NPur caler mlus tloi nbsp;: poir bproung> P. Roesch,/pproung> br class='autobr' /> \ai>O tocal/chrnnsctovity ormtrh pJuliaese dof ation a smap br class='autobr' /> pAnnl-svof Mpheeaticis Smound Smri q,uVlu. 168,lN.d1,dariesv127-174 (2008)

NPur c&efler lec dlenraphe \aproung>M.nbsp;:Flexo ae aP Smcentnc/pproung> ccAlorithme sde Newton gnoratisé s/ai> br class='autobr' /> pCRAS 308,lot.14,p1989,dariesv445-448

NPur cd#8217;autress animaions e’aacoup leent td,llily&ôm nbsp;: poir [a mlrge webe’aaproung>s href="#TCheeital-Arnaud_html" class="spip_oi '>Arnaud Chreital/a>->ttp://iwww.atheounqv-rutlus e.fr/nbsp;$oheeital/MphMbiens/] /p>

NLs sn e pChrst"iancMpnnss/pproung> c< href="http://iwww.mpnnss-tech.com class="spip_ourl pip_out' rel='external'>Ittp://iwww.mpnnss-tech.com/a>< /p> /div> Aticle)pdté dor ls href="#TGhys-Etentne_html" >Étentne Ghys/a>< Nte's/a32 Pspan class="spip_note_ref">&1/a>],Tutes slt deuille td,llsier ,edetormat A0, A1,dA2 sA3 sA4, ..con la même&sorm p(eurs \argeur o&ot dans le même rrpprort)et la neuille dA0palne vsurfce d’anesmèee rarrée /p> Pspan class="spip_note_ref">&2/a>],C#8217;est-à-dire nbsp;: pc saut, pour l’éqcrie sn eulninimtcvd fohiffess arès la&pvirgul /p> Pspan class="spip_note_ref">&3/a>],n poit aeas $etpal particlulir ,el calculave de pacine carrée&de $1a, ae péthode dcailtchrnnu ress Babylunen nbsp;: pcérer $br class='autobr' /> p[ x\map Pspan class="spip_note_ref">&4/a>],I ftxste rd#8217;autress éthode otératiovespour toouver br class='autobr' /> \arpacine carrée&de#8217;anesombre Vour \< href="http://inwton .ath.ulaval.ca/amq/bu letins/mai06/Hodg&otMai06.pdf class="spip_out' rel='external'>IHodg&ot/a>< /p> Pspan class="spip_note_ref">&5/a>],n ptrmet mathématiques ,lc eer itsmiesque l&sqlerudoti sst me msure d&eLebesgu dnu le /p> Pspan class="spip_note_ref">&6/a>],D#8217;aurès ls href="#TBuff-Xaver _html" class="spip_oi '>Xaver lBuff/a> (e &7/a>],Lacsphresdst alie avufeanear ln sa< href="http://ifr.wikipdia.org/wwiki/Pocjction _séraégraphieues class="spip_out' rel='external'>Irocjction cséraégraphieues/a>< coir un e b< href="h/pip_.php?arie=lagie&idoocuments=624">esll ilagie/a> (dsarocjction cséraégraphieuesa(ur uc foit).< Pur le procjction cséraégraphieues slt dombres sommle xsIDiention s/a> (dsab href="#TLeys-Jos_html" class="spip_oi '>Jos Leys/a>< c< href="#TGhys-Etentne_html" class="spip_oi '>Étentne Ghys/a><(e &8/a>],Selonua résciedeslJ. H. Hubbrd, pns lo présfce du fleve Pspan class="spip_note_ref">&9/a>],our >spi>/a>< title='"Pr ige r$ettarticle)asr lFce book>tirgeut'"lopup>>spi>/a>< title='"Pr ige r$ettarticle)asr lTweeter>tirgeut'"lopup>>spi>/a>< title='"Pr ige r$ettarticle)asr lGoogle+>tirgeut'"lopup>>spi>/a><

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Cmmentaire,asr l&'rticle)a< href="hpip_.php?arie=rss_ormum_rticle)&idorticle)=267 class=""link-rss>title='"RSS>>spi>/a>L péthode de Newton entlon fractal sh4>e)a3maisl2009d l19:44 sar edmarec/p34>
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Mercifaur celtarticle)ahnsiriutuifvetrésllement jntéreeqant < L pieltion pntre loefractal

Nnsril aa#8217;aulleurstlass=""ns wer>>Répo re c pe msusgie/a>

L péthode de Newton entlon fractal sh4>e)a5maisl2009d l00:59 sar eTneLei/p34>
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Bonours, Mercifaur cvtre fommentaire,. J no dounna sdbr class='"utobr'"/> eaalhur eussent loasc&efcde doiurc res prograpmm .dbr class='"utobr'"/> eL#8217;atlestrition ve aacoup leent tpété céalisé ebr class='"utobr'"/> ear lA. Chreital (j palsodluitoansfet,te ea#8217;est dout eetque lj puisqpdre

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L péthode de Newton entlon fractal sh4>e)a8maisl2009d l13:12 sar ezlis's/a34>
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Mercifaur celtarticle)aros lrasion dat< cansi,due l& aéeentct sn eureitl cuestion tute diis . J#8217;auluesayezrtd,lef=ire,ae plussart.ls nlagies maisocaur celnu&isrt le l’n e < href="hLa-aehodee-ee-ewton -et-on -eactal<tlass=""ns wer>>Répo re c pe msusgie/a>

L péthode de Newton entlon fractal sh4>e)a8maisl2009d l16:18,lar eTneLei/p34>
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L mlr ii douge eu&isrt ln toin dixesvsuperuttactiof ec saut, hneorcr le clixl e vblanc (eeqp.mn vouge<)ui prrésbr class='"utobr'"/> en telrainecombre re#8217;tération va mnrm peupoin de ient lussbr class='"utobr'"/> erapndrue l10 (eeqp.mlus preitlrue l1/10) et br class='"utobr'"/> e&efcdeorcr ln noti simnn h Le n&api poti lapar aîrernt br class='"utobr'"/> eutobatiquesent ./p> < href="hLa-aehodee-ee-ewton -et-on -eactal<tlass=""ns wer>>Répo re c pe msusgie/a>

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    < href="hTTan-Lei_html" > TneLei/piv> pdv class=""bio >pp>TneLeisrt lecrééc loef1r plerc s2016 /div>
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