La naissance d’un genre, le traité d’arithmétique commerciale (XIVe-XVIe s.)

Piste bleue Le 10 octobre 2017  - Ecrit par  Maryvonne Spiesser Voir les commentaires

Que sont ces traités d’arithmétique dite « commerciale » ou « marchande » qui se sont développés en Europe à partir de la fin du Moyen Âge ?

Cet article présente un corpus de traités d’arithmétique dite commerciale ou marchande, dont la naissance et le développement ont accompagné la formidable expansion du commerce européen à partir du XIe siècle. Nous restreignons notre propos au croissant méditerranéen, qui s’étend de l’Italie à la Péninsule ibérique, en traversant la France méridionale. Que nous apporte la lecture de ces textes qui, tout en se rattachant à un même genre, reflètent la diversité de leurs régions d’origine ? Des renseignements sur les échanges commerciaux en vigueur, sur les calculs et méthodes mathématiques mis en œuvre, un très riche corpus de problèmes. Et aussi beaucoup de questionnements : sur l’usage des textes et leur rôle réel dans l’apprentissage du négoce, sur la physionomie des auteurs et des lecteurs, ...

Dans les dernières années du XIIIe siècle (c. 1288-1290), un texte mathématique anonyme de 136 feuillets est composé, qui entend suivre « l’opinion de maître Leonardo de la maison de la famille Bonacie de Pise » (secondo la oppenione de maiestro Leonardo dela chasa degl’ figluogle Bonaçie da Pisa). C’est à ce jour le premier témoin d’un ensemble d’ouvrages en langue vulgaire qui apparaît d’abord dans la Péninsule italienne puis plus largement en Europe. Ce « livre d’abaque » (livero del abbecho) se revendique, comme l’affirment les premières lignes, de Léonard de Pise, alias Fibonacci, l’un des plus grands mathématiciens de ce même siècle, qui écrivit en 1202 un Liber abbaci, remanié en 1228. La langue a changé : l’auteur a troqué le latin de Fibonacci, la langue savante de l’Europe médiévale, contre un dialecte, celui de l’Ombrie, région du centre de l’Italie [1] dont il est très probablement originaire. Ce texte est conservé à la Biblioteca Riccardiana de Florence dans le manuscrit coté 2404. Mais qu’est-ce que l’abaque ici ? Le Liber abbaci, que l’on peut traduire par « Livre du calcul », est une somme qui contient notamment, outre la présentation du système de numération indo-arabe et des techniques de calcul afférentes, des problèmes de nature commerciale et tout un ensemble de problèmes non commerciaux, classés par genres ou par méthodes de résolution. Ce serait donc un contre-sens de penser que l’on opère sur une table à l’aide de jetons (appelée abaque), en utilisant les chiffres romains. Le mode de calcul présent ici, de même nature que notre mode actuel, est tout nouveau en Europe méridionale ; il y a pénétré essentiellement à partir du XIIe siècle, grâce à des traductions latines d’écrits arabes. Il n’a bien entendu pas évincé les techniques calculatoires alors en usage.
Revenons au compilateur du Livero del abbecho ; il ne fait que prendre ici et là des exemples du Liber abbaci, et s’en inspire surtout pour des problèmes non commerciaux. Dire que l’ouvrage est écrit « selon l’opinion de Maître Leonardo » est une manière de se positionner en se prévalant d’un mathématicien réputé (Høyrup, 2007, p. 32-41). L’expression Livero del abbecho, directement traduite de Liber abbaci, va induire l’expression libro ou trattato del abbaco, que l’historiographie attribuera plus tard au type d’ouvrages écrits en langue vulgaire dans les cités italiennes, destinés en premier lieu à donner à des marchands une formation mathématique qui leur devient nécessaire. Des ouvrages qui vont se multiplier au cours des deux siècles suivants, en Italie d’abord puis ailleurs en Europe.
Les marchands ont à disposition différents genres de textes et nous devons d’abord préciser ceux que nous retenons ici. Nous commenterons bien sûr les contenus, mais nous nous intéresserons aussi aux hommes, aux milieux sociaux : qui écrit ou compile ? Pour qui ? Dans quel(s) cadre(s) ces travaux sont-ils diffusés ?

Définir un corpus

De nombreux ouvrages sont écrits entre la fin du Moyen Âge et la Renaissance pour accompagner et former les marchands. Nous avons conservé des livres de comptes, des livres de tarifs ainsi que des ouvrages du type Pratica della mercatura (« Pratiques de marchandise »), plus répandus en Italie, qui sont précieux pour la connaissance des monnaies, poids et mesures, pour les règles d’échange, qui donnent toutes précisions utiles sur les marchés et les foires, les voies et moyens de transports, la géographie, etc. et dispensent souvent des règles morales. N’oublions pas non plus les livres des changeurs. Il y a aussi des calculs dans ces ouvrages, voire des problèmes. Mais les mathématiques n’en sont pas le sujet principal. Nous ne les convoquerons que marginalement et ne retiendrons que les traités d’arithmétique pratique contenant au minimum l’apprentissage du calcul et des règles usuelles du négoce, un genre opposé à l’arithmétique spéculative ou théorique qui s’intéresse aux propriétés des nombres.
Ce qui est avant tout important, c’est le mode de calcul. Le Livero del abbecho appartient au genre « algorisme », un mot construit sur le nom du mathématicien al-Khwârizmî (m. vers 850). En effet, dans cet ouvrage, les calculs s’appuient sur le système positionnel indo-arabe, décrit pour la première fois à notre connaissance dans la littérature arabe par al-Khwârizmî dans son « Livre sur le calcul indien ». Il ne faut pas croire que ce procédé s’est imposé rapidement. Dans le nord de la France et plus largement de l’Europe, la pratique du calcul avec les jetons résiste plus longtemps au système hérité des Arabes que dans les régions méridionales. Par exemple, le parisien Jehan Adam, secrétaire d’un auditeur comptable du roi Louis XI, écrit en 1475 une « Arismeticque par les gects », où les calculs sont menés sur une table à calculer. L’auteur de l’Arithmeticque de 1488 conservée à Nantes (Médiathèque, ms 456), probablement originaire d’Île-de-France ou de Normandie, tire une partie de ses sources d’ouvrages méridionaux, mais présente aussi en fin de traité le calcul avec les jetons. Une raison évidente de ce décalage entre le nord et le sud est géographique, puisque la diffusion du nouveau calcul s’est faite par l’Espagne et l’Italie. Mais l’utilisation des jetons permet aussi à ceux, nombreux, qui ne savent pas écrire de pouvoir calculer. C’est ce qu’explique le compilateur du Livre de chifres et de getz, ouvrage imprimé à Lyon en 1509, qui présente des « figures de ‘gects’ bien notables pour ceux qui ne savent écrire puis pour ceux qui savent l’écriture est démontrée ladite arithmétique par chiffres... ». Tous les traités que nous allons considérer sont des algorismes. L’un des mérites, et non des moindres, des Arithmétiques commerciales, est d’avoir contribué à diffuser la numération arabe.
La limite inférieure de notre période, c’est la date d’écriture du Livero del abbecho de notre introduction, soit la toute fin du XIIIe siècle. Il est beaucoup plus difficile de déterminer une limite supérieure : en effet, dans le courant du XVIe siècle, le genre établi au siècle précédent perdure mais, à côté, apparaissent des textes qui regroupent à la fois arithmétique pratique et théorique et dont le lectorat s’élargit. En France, par exemple, ces textes sont bien représentés dans les milieux humanistes.
Grosso modo, les ouvrages qui nous préoccupent ici sont en grande majorité écrits avant 1550. Ils sont bien sûr tout d’abord manuscrits ; mais à partir de la fin du XVe siècle, ils font leur entrée parmi les incunables et bénéficient peu à peu de la diffusion plus large que procure l’imprimerie.
Il n’est pas étonnant de constater que c’est dans les villes d’Italie qu’est né le genre « Traité d’abaque » et que c’est dans leurs bibliothèques que l’on a conservé le plus d’ouvrages. Dès le XIe siècle, les grands ports de Pise, Gènes, Venise commercent avec le Levant pour obtenir des produits de luxe (soies, épices) et des denrées courantes (blé, vin, huile, …) et pour exporter draps et produits fabriqués variés. Les cités de l’intérieur comme Milan ou Florence se distinguent dans l’industrie et le secteur bancaire. La puissance commerciale et économique transparaît entre autres dans le fait que les nouvelles techniques d’échange (lettre de change par exemple) et de comptabilité (tenue des comptes en partie double) sont toutes nées dans ces villes. Dans le catalogue établi en 1980 par Warren van Egmond (Van Egmond, 1980), pour les XIVe et XVe siècles on compte environ 160 traités d’arithmétique commerciale manuscrits, sans inclure les fragments. Cohabitent les brouillons, peu lisibles et peu soignés, et les riches manuscrits enluminés.

Début du « Traicté de la pratique d’algorisme », ms Cesena, Bibl. Malatestiana, S-XXVI-6, vers 1476

Trois livres sont imprimés (puis réédités) durant la même période, dont la première arithmétique imprimée en Europe, à Trévise en 1478. Dans la même dynamique, des écoles laïques sont créées, qui forment les marchands et pallient ainsi l’insuffisance de l’enseignement existant dans ce domaine. Elles s’appellent écoles ou boutiques d’abaque (Botteghe d’abbaco).
Dans les autres pays d’Europe, le même phénomène est observé, mais se fait jour plus tard et à moindre échelle. Le développement plus tardif et/ou l’intensité moindre des échanges commerciaux en sont responsables en partie. Mais le nombre de traités n’est pas seulement en adéquation avec le volume des échanges ; bien d’autres facteurs interviennent qui nécessiteraient une étude spécifique.
En France, c’est au XVe siècle qu’apparaissent les manuels équivalents aux traités italiens. Le premier qui nous soit parvenu a été écrit à Pamiers, en occitan, vers 1420-1430. C’est le Compendi del art del algorisme. Nous avons aujourd’hui connaissance d’une douzaine de traités de cette catégorie (en français ou en occitan) pour ce siècle : cela suffit à montrer le contraste avec l’Italie. Dans la Péninsule ibérique, le nombre est du même ordre ; le manuscrit actuellement le plus ancien est un traité castillan du XIVe siècle (El arte del alguarismo) et tous les autres sont produits à partir de la fin du XVe siècle ; le premier livre imprimé est la Summa de l’art d’aritmètica de Francesc Santcliment, publié en catalan à Barcelone en 1482 (puis plus tard en castillan). Nous possédons très peu d’arithmétiques commerciales en portugais et ce sont uniquement des imprimés. Le plus ancien texte, le Tratado da pratica d’arismetica, a été publié par Gaspar Nicolas en 1519.
Pour terminer le tour de l’Europe occidentale, disons brièvement qu’en Allemagne du nord, malgré le dynamisme du commerce des villes hanséatiques dans la Baltique, surtout au XIVe siècle, le même phénomène livresque qu’en Italie n’apparaît pas. Entre autres raisons, citons le volume moindre des capitaux brassés, les compagnies commerciales plus restreintes et les techniques moins sophistiquées. Que ce soit en Flandre ou en Angleterre, c’est surtout au XVIe siècle que des traités de mathématiques pratiques sont rédigés dans la langue maternelle. Un mouvement qui correspond aux besoins, non seulement des marchands, mais aussi des navigateurs ou des architectes. En Allemagne du sud, qui connaît un développement économique important depuis le XIVe siècle avec le commerce des métaux et dont les maîtres et marchands allaient souvent se former à Venise ou ailleurs, le premier traité imprimé reconnu par l’historiographie est daté de 1483. Il est l’œuvre d’un maître de calcul de Nuremberg.

Quels contenus ?

Les mathématiques sont de plus en plus nécessaires aux marchands. Nous ne pouvons pas développer ici ce point, mais il est bien entendu lié au développement du grand commerce, en volume et diversité de marchandises, à l’extension des destinations lointaines donc à l’extension du risque, à la complexification des techniques que cela induit. Tout ceci ne concerne que les marchands dont le rayon d’action est suffisamment étendu et qui ont souvent des employés dans plusieurs pays. Les auteurs soulignent cette nécessité d’instruction. Pour ne citer qu’un exemple, Santcliment introduit son chapitre sur le troc ainsi [2] :

Parce qu’il est une chose très utile dans l’art marchand que de troquer une marchandise contre une autre, […] pour cela nous donnons quelques règles générales avec lesquelles nous montrerons comment rendre égales les marchandises et donner à chacun justement son droit.


Celui qui connaît les règles (mathématiques) du troc ne pourra ni se tromper, ni tromper l’autre. Et dans son prologue à sa Pratica d’arismetica de 1540, le Portugais Ruy Mendes dit combien il est nécessaire que son royaume dispose d’un livre d’arithmétique, qu’il se sent la capacité d’écrire. Ce ne sont pas de simples professions de foi, car ces arithmétiques regorgent de conseils pour calculer « légèrement », de règles dites « extraordinaires » convenant à des situations données, de règles locales aussi. Au Portugal, justement, deux règles spécifiques répondent à des particularités du commerce lusitanien. La « règle d’un quart et un vingtième » (quarto e vintena) (Costa Clain, 2016) correspond à un prélèvement d’un quart plus un vingtième des trois quarts restants d’une quantité, calcul effectué dans le cadre de la Maison de l’Inde à Lisbonne, pour la perception de l’impôt sur les marchandises venant d’Orient (épices essentiellement). La seconde règle, dite des Comptes de Flandre (Conta de Flandres) (Costa Clain, 2016), correspond à une formule de conversion monétaire entre la monnaie portugaise et celle du comptoir d’Anvers, alors sous juridiction portugaise.
Si l’utilité, voire la nécessité d’écrire pour les marchands est partagée par tous, les contenus ne sont pas homogènes. Ils dépendent de la personnalité des auteurs, de leurs intentions mais aussi, nous en avons vu un exemple, des usages régionaux. En particulier, l’épaisseur du contenu non commercial est très variable. Elle est minime dans les textes qui ciblent quasi exclusivement les praticiens. Par exemple, le marseillais d’adoption Jehan Certain, qui commence à Bilbao en 1485 un Kadran aux marchans, délaisse les racines carrées et expédie aussi une règle parce que « peu advient des questions de cette règle en fait de marchandise » [3] ; en revanche, il insiste sur les monnaies et leur fabrication. D’un autre côté, certains maîtres consacrent quelques pages ou chapitres à l’arithmétique théorique dans la veine de Boèce [4] et multiplient les exercices « abstraits » et les problèmes difficiles. Nous en verrons quelques exemples. Enfin, même à l’intérieur de la partie « pratique », les contenus diffèrent, surtout dans le corpus des textes italiens qui est de loin le plus dense. Nous pouvons lire des traités complets, qui débutent par la numération, les opérations puis les règles et problèmes et, à l’autre extrémité, des recueils de problèmes, précédés au mieux de quelques rappels mathématiques brefs, par exemple la règle de trois. Dans la zone géographique Occitanie-Péninsule ibérique le corpus dont nous disposons est plus homogène qu’en Italie (il est aussi beaucoup plus restreint !) : les textes ont circulé, des passages sont quasiment recopiés d’un traité à l’autre et ces ouvrages ont l’avantage de présenter un enseignement très complet. Ils donnent une bonne idée de l’ensemble des mathématiques convoquées. C’est pourquoi nous nous appuierons essentiellement sur ces œuvres, en prenant en compte la période 1400-1550 environ.
Comment sont construits ces textes ? Deux grandes parties implicites sont à distinguer : l’apprentissage mathématique utile aux marchands d’une part (et plus largement aux professions nécessitant calculs ou comptes) et d’autre part les règles et problèmes qui, pour reprendre une expression de l’époque, « aiguisent l’entendement » et élèvent les connaissances ; deux aspects qui matériellement ne sont pas toujours nettement séparés.

Savoir compter et calculer

C’est un préalable à tout travail mathématique. On apprend d’abord à lire les nombres, à les écrire avec des symboles. Suivent les techniques opératoires, d’abord sur les entiers, ensuite sur les fractions, plus précisément sur les nombres dits « rompus », fractions comprises entre 0 et 1. Aux quatre opérations usuelles vient souvent s’ajouter le calcul exact ou approché des racines carrées et cubiques. Les techniques sont variables, mais nous semblent familières puisque nos méthodes ont les mêmes fondements. En revanche, en l’absence d’écriture avec des nombres décimaux, les résultats (rationnels) sont toujours donnés sous la forme d’un entier et d’un nombre rompu juxtaposés sans signe d’addition, comme on le voit dans la reproduction ci-dessous (une soustraction).

PNG - 305.6 ko
Un exemple de soustraction avec des entiers et des fractions
Pour calculer (18 + 1/2) – (13 + 5/6), 5/6 étant supérieur à 1/2, l’auteur « emprunte » une unité à 18, réduit les fractions au même dénominateur 6 et retranche 5/6 de 6/6 + 3/6, soit de 9/6. C’est pourquoi il effectue la somme 6 + 3 puis retranche 5 de 9 pour trouver 4/6, soit 2/3.
Nicolas Chuquet, Comment la science des nombres se peult appliquer au fait de marchandise, 1484.
PNG - 399.8 ko
Multiplication par « jalousie ».
Il s’agit de multiplier 6 143 par 49 725. Le résultat est 305 460 675. Chaque chiffre est obtenu en ajoutant les nombres de la diagonale correspondante, en procédant de droite à gauche et en tenant compte des retenues.
Traytié de la pratique d’algorisme, XVe s, f. 6v.

Une fois les techniques expliquées et éprouvées sur des nombres abstraits, elles sont mises à l’épreuve sur des exemples concrets, c’est-à-dire avec des nombres représentant des unités de monnaie, de mesure ou de poids. Voici un exercice pour l’addition (Traicté de la praticque d’algorisme, f. 26) :

Un homme doit à un autre toutes ces parties qui s’ensuivent, à savoir 12 livres 15 sous 11 deniers, 35 £. 6 sous 9 deniers, 9 £. 19 s. 3 d. Item 7 s., Item 7 d., item 17 £., dont la livre est de 20 s. et le sou de 12 deniers. À savoir à combien montent toutes ces parties. 

La règle de trois, règle d’or du marchand

C’est la seule règle mathématique qu’il faille vraiment connaître pour acheter, vendre, savoir gérer ses affaires. Fluctuation des monnaies, change, alliage, troc, répartition des gains ou des pertes dans des sociétés, tout relève de cette « règle d’or » ou de ses variantes. Mais si la règle initiale est simple, les raisonnements qui l’environnent sont parfois fort complexes ; maîtriser les calculs lorsque le troc entre en jeu dans une transaction en même temps que le paiement en monnaie est souvent un beau casse-tête. En général, dans les ouvrages, un chapitre est consacré à chaque sujet technique.
La règle de trois donne aussi naissance à d’autres règles dont la plus répandue est celle de « compagnie ». Avec la complexification des affaires, les ventes de plus en plus lointaines, les marchands ont compris la nécessité de se regrouper en sociétés. Celles-ci furent d’abord familiales et de courte durée. Plusieurs types d’associations ont vu le jour, une fois de plus en Italie. Les deux principaux sont la Commande, née dans les ports et la véritable Société ou Compagnie. Grossièrement, dans un contrat de commande, plusieurs personnes confient un capital à un marchand voyageur chargé d’une mission. Si l’opération échoue, ce sont les bailleurs de fonds qui en supportent le coût ; si l’opération réussit, les bénéfices sont partagés selon un accord préalable. Dans une compagnie ou société, les différents partenaires apportent chacun un capital et, si la durée de l’association est la même pour tout le monde, au moment de la dissolution les gains ou pertes sont partagés proportionnellement à l’apport de chacun. Il existe quantité d’associations dont les statuts sont intermédiaires. À partir du modèle de compagnie ci-dessus, adapté dans les textes à de petites sociétés de deux ou trois personnes, une règle à part entière se met en place, baptisée naturellement « règle de compagnie ». Jehan Certain, dans son Kadran aux marchans conservé à la bibliothèque de l’Arsenal à Paris, propose ce problème type :

Trois marchands ont fait une compagnie ensemble. L’un met 100 écus, l’autre met 80 écus et l’autre met 60 écus. Et ils trouvent qu’ils ont gagné 100 livres tous ensemble en un certain temps. On demande comment on doit diviser ce gain, afin que chacun en ait la même portion que ce qu’il a mis.


Il exprime ainsi la règle : « par chascune multiplie et par toutes ensemble partiz ». Autrement dit, multiplie le gain total par ta mise et divise (partiz) par la somme des mises.
Si n compagnons ont mis $m_1, m_2, ...., m_n$ deniers pendant une durée identique et si le gain est g, la somme des mises m, la part qui revient à celui qui a mis $m_k$ deniers sera en effet : $g_k=\frac{gm_k}{m}$.
La règle de compagnie est tellement courante et banalisée qu’elle est devenue une véritable règle mathématique exprimée par une phrase analogue à celle que Jehan Certain énonce. Elle finit par être appliquée à des problèmes qui n’ont rien à voir avec la répartition de capitaux dans une compagnie mais qui peuvent être mathématiquement modélisés selon ce schéma. C’est le cas de certaines questions concernant les alliages métalliques pour les monnaies.

« Pour aiguiser l’entendement » : d’autres règles et leurs applications

Les autres règles les plus communes sont celles de simple et double fausses positions. Elles sont pertinentes pour la résolution de problèmes du premier degré, de loin les plus nombreux dans le monde du commerce. Et en l’absence de techniques algébriques, elles sont précieuses. Au milieu du XIXe siècle, A. S. Montferrier, auteur d’une Encyclopédie mathématique, porte toujours en grande estime la simple fausse position : « Elle constitue, écrit-il, un instrument de calcul d’une immense valeur et surpasse en facilité, dans un grand nombre de cas, toutes les méthodes algébriques connues. » Voici un exemple type extrait d’un manuscrit anonyme conservé à la Médiathèque de Nantes (ms 456, 1488, f. 65v-66r) :

Un homme dit : si j’avais encore autant d’années que j’ai et la 1/2 et le 1/3 et le 1/4, je n’aurais que 50 ans. À savoir combien d’années il avait. Posez 12, auxquels vous ajouterez 12 parce qu’il a encore autant < d’années > puis ajoutez au nombre 24 les parties proposées issues de votre position, qui sont 4, 3 et 6, cela vaut tout ensemble 37 qui sera le diviseur. Puis vous direz par la règle de 3, si 37 me sont venus de 12, de combien me viendront 50 ? Réponse : il a 16 ans et 8/37 < d’an >.


La règle de simple fausse position est utilisée dans des problèmes du type algébrique ax = b, lorsque le nombre a n’est pas donné et que l’on ne peut donc pas appliquer directement la règle de trois. Lorsque l’énoncé « cache » aussi bien a que b, ou lorsque le problème est modélisable par un système linéaire, souvent à deux ou trois inconnues, le calculateur non algébriste a recours à la double fausse position [5], comme dans ce problème, parmi les plus simples, qui figure dans l’Arte de l’arismetica du dominicain espagnol Juan de Ortega, daté de 1512 et traduit en 1515 par Claude Platin dans son Livre tres subtille et profitable de l’art et science d’arismeticque :

Si 12 pommes moins 3 d. coûtent 20 d. plus une pomme, que coûte la pomme ? Pose que chaque pomme coûte 1 d., cela fera 12, dont il faut enlever 3 d. qui sont en moins, reste 9. Apres ajoute aux 20 d., 1 d. que vaut la pomme en plus, cela fait 21. Après regarde la différence qu’il y a de 9 d. à 21, ce sera 12 deniers. Et ainsi tu diras : par un que j’ai posé, moins 12. Pour la seconde position pose que chaque pomme coûte 2 d., et cela fera 24 dont tu enlèveras 3 d. qui sont en moins, reste 21. Après ajoute aux 20 deniers 2 d. que vaut la pomme en plus, cela fera 22. Maintenant regarde quelle différence il y a de 21 à 22 et tu trouveras 1. Et ainsi tu diras : par 2, moins 1, que tu poseras de cette manière.

Schéma de la règle de double fausse position

Claude Platin, Livre tres subtille et profitable de l’art et science d’arismeticque, 1515, fol. 145 (Traduction – adaptation par Claude Platin de Arte de l’arismetica de Juan de Ortega, Barcelone, 1512).


Dans le cas de ce problème la solution est le quotient de la différence des produits en croix (2 x 12 - 1 x 1) par la différence des erreurs (12 – 1), soit 2 + 1/11. C’est l’application de la règle de double fausse position qui dit : « Plus et plus, moins et moins, soustrayons. Plus et moins, ajoutons. » la division est posée à droite du schéma.
On remarquera la nature non réaliste de l’exemple, même s’il est présenté sous un habillage concret commercial. De nombreux problèmes « pseudo-concrets » (classés dans le genre « Récréations mathématiques ») associés à des règles de résolution bien précises, jalonnent ainsi les ouvrages, dont l’origine remonte parfois à la haute antiquité, et qui ont parcouru les siècles dans des ouvrages de mathématiques de différentes natures (voir par exemple le problème de la poursuite du lièvre par un chien). Certains d’entre eux sont de haut niveau. Barthélemy de Romans, dans le Compendy de la praticque des nombres, un texte à la marge des arithmétiques commerciales pour son niveau mathématique hors normes, distingue nettement ce qui est utile aux marchands du « supplément » qu’il compose pour « illuminer l’entendement de ceux qui voudraient voir les subtilités qui y sont contenues ». Il soumet par exemple le problème suivant [6] :

Trois hommes ont des deniers. Le premier dit aux deux autres que s’ils lui donnent 7 de leurs deniers, il aura les 5/6 ce qui leur reste, plus 1. Le second dit aux deux autres que s’ils lui donnent 9 de leurs deniers, avec les siens il aura les 6/7 de ce qui leur reste, plus 2. Et le troisième dit aux deux autres que s’ils lui donnent 11 de leurs deniers, il aura les 7/8 de ce qui leur reste plus 3. Je demande ce qu’a chacun. (Spiesser, 2003, p. 453-454)


Barthélemy propose un large ensemble de problèmes du même genre, avec force règles et notes explicatives. Le tout exprimé de manière algorithmique et sans recours au choix d’inconnue(s).
Et l’algèbre, justement ? Alors que la « règle de la chose » (la chose désigne l’inconnue), suivie éventuellement de listes d’équations, apparaît très tôt à l’intérieur de certains traités d’abaque en Italie, elle se fait beaucoup plus rare ailleurs en Europe. En France, par exemple, aucun texte de notre corpus ne décrit les différents types d’équations dans la tradition de l’algèbre arabe avant que Nicolas Chuquet ne compose le Triparty en la science des nombres en 1484. Et ce traité marque d’ailleurs une transition dans le corpus franco-occitan : bien que son style le maintienne dans le genre « arithmétique commerciale », le thème du commerce n’est qu’une application d’un traité sur les nombres mêlant spéculative et pratique, divisé en trois parties, dont la troisième est dédiée à l’algèbre. Autre exemple : en Espagne, même si l’algèbre n’était pas ignorée auparavant, le premier traité d’arithmétique aujourd’hui connu qui inclut une partie algébrique consistante est dû à Marco Aurel, allemand d’origine. C’est le Libro primero de Arithmetica Algebratica, en el qual se contiene el arte Mercantivol con otras muchas reglas del Arte menor, y la Regla del Algebra vulgarmente llamada de Arte Mayor, imprimé à Valence 1552 (Docampo Rey, 2006). Nous avons dessiné ici les contours mathématiques principaux des Arithmétiques. Mais le contenu n’est pas figé, la diversité est en partie due à une inclinaison très variable du côté de la « théorie » ou de la pratique. Côté « théorie », nous trouvons des éléments de théorie des nombres, mais aussi des énoncés récréatifs qui forgent l’habileté au calcul ou au raisonnement logique, comme ceux du type « nombre pensé » (trouver quel nombre un compagnon a pensé en lui faisant effectuer une suite de calculs à partir desquels on peut déduire la solution) ou encore le célèbre « problème du loup, de la chèvre et du chou », diversement décliné. Comme les auteurs copient souvent à partir de modèles, ce n’est pas toujours un choix rationalisé. Côté « pratique », très souvent un chapitre sur la géométrie de la mesure (calculs de longueurs, surfaces et volumes, mesurage à distance, ...) est intégré. Enfin, tous ces ouvrages sont destinés à la formation professionnelle d’un public qui s’élargit avec les années.

Mesurer à distance la hauteur d’une tour

Nicolas Chuquet, petit traictié de la pratique de geometrie, fin XVe s, f. 66v.

Dispenser des règles et inviter à la répétition : un cadre pédagogique

Nous ne savons pas exactement qui utilisait les ouvrages d’arithmétique commerciale. Certains manuscrits italiens font penser à des brouillons d’élèves ; d’autres, richement enluminés, sont probablement payés par des mécènes pour des maîtres d’arithmétique. Le développement de l’imprimerie favorise plus tard la diffusion du genre « manuel » d’apprentissage. Quoi qu’il en soit, livres d’étude ou livres de maîtres, ils enseignent une pratique, un savoir faire où le « faire » est primordial. Suite de consignes, de procédures, de commentaires explicatifs et pédagogiques, le style en témoigne. Contrairement aux traités savants écrits en latin, on ne trouve pas ici les mots « définition » ou « théorème », mais des expressions comme « si tu veux savoir... », ou encore « que veut dire la question » ; on ne trouve pas non plus de démonstration mais des règles, des notes, des remarques souvent présentées comme des mises en garde.
Considérons le problème bien connu que Jordanus Nemorarius, un des plus importants mathématiciens de la première partie du XIIIe siècle, pose dans son De numeris datis (Livre II, problème 6) : Trouver deux nombres connaissant leur somme et leur rapport. Voilà ses explications :

Si on divise un nombre en deux parties dont on connaît le rapport, on peut trouver chacune d’elles. En effet, si le rapport de l’une d’elles au reste est donné, alors le rapport du tout à celui-ci est donné. Comme le tout est donné, cette partie est connue et par conséquent le reste. Par exemple : que l’on divise 10 en deux parties dont l’une est le quadruple de l’autre. 10 en sera le quintuple, et cette partie est 2. [7]

Dans le Compendy de la praticque des nombres, Barthélemy de Romans donne la solution suivante pour le même problème :

Ajoute 1 au nombre que tu veux pour quotient et par la somme obtenue divise le nombre que tu veux partager en deux parties inégales. Ce qui résultera de la division sera la plus petite partie et le complément au nombre que tu veux partager sera la plus grande. (Spiesser, 2003, p. 484)


Règle exacte puisque, si le rapport de x à y est q, celui de x + y à y est bien q + 1.
Il est probant de lire parallèlement ces deux résolutions. Jordanus écrit en latin, il déroule une analyse. Barthélemy use du français, il décrit une règle. Deux attitudes opposées, la première étant le fruit d’une tradition démonstrative de type euclidien, la seconde d’une tradition essentiellement algorithmique, à vocation utilitaire.
Dans les traités d’arithmétique commerciale, la formation se fait par la répétition. L’exemplification est donc importante, dans un déroulement qui va du simple au complexe, en reprenant si possible le même vocabulaire et la même syntaxe. Ce qui favorise l’acquisition et la mémorisation. On enjoint directement le lecteur à suivre les consignes en maniant le plus souvent l’impératif ou le tutoiement, dans un discours qui suit pas à pas les opérations à effectuer. L’injonction à utiliser une règle est également standardisée. Pour la règle de trois, par exemple, la question est : « si tant vaut tant que vaudront tant ? » et l’énonciation de la règle, à peu près toujours la même. L’auteur du Traité de la praticque des nombres nous dit : « Multiplie ce que veulz savoir par son contraire et puis partiz par son semblant. » Une injonction qui finit souvent par se limiter à « Multiplie et partiz ». Voici un exemple parmi les plus simples, appliqué aux monnaies, tiré de l’Arithmeticque de Nantes (f.65v-66r) :

Un homme doit 15 livres de la monnaie d’Avignon, et il veut payer son créditeur en monnaie de Lyon [...] et 10l. de Lyon valent 16 d’Avignon. À savoir combien de livres de Lyon il doit payer à son créditeur pour être quitte. Dites par la règle de 3 : si 16 valent 10, que vaudra 15 ? Multipliez 15 par 10 et divisez ce qui en viendra par 16 ; et vous trouverez ce qu’il doit payer. 


Le recours à des schémas est aussi très utile à la mémorisation. Voici les opérations permettant de donner la solution du problème : « Si 5 vallent 7, combien vallent 9 ? »

Règle de trois : calculs commentés

« [...] Dy, sy tant vault tant que vault tant, comme sy 5 vallent 7, combien vallent 9 »]
Multiplie 9 par 7, monte 63. Partis (divise) par 5, il en vient 12 3/5.
L’art d’arismetique, vers 1460, f. 56.

Qui écrit ? Dans quel cadre ? Pour former quel public ?

L’analyse des contenus nous permet de dégager dans un premier temps les caractéristiques essentielles des Arithmétiques. Elle apporte aussi des bribes d’information qui sortent du champ mathématique stricto sensu, mais qui ne suffisent pas à satisfaire à toutes les questions périphériques. Les auteurs se dévoilent peu, il est exceptionnel qu’ils citent leurs sources, qu’ils nous renseignent sans ambigüité sur leurs motivations, qu’ils consacrent quelques lignes à une préface personnalisée. Or nous aimerions évidemment savoir à quels publics s’adressent ces textes, par qui et comment l’enseignement est dispensé. Sous l’appellation de marchand, il n’y a pas de communauté homogène ; le petit boutiquier n’a pas besoin d’un tel bagage mais celui qui trafique à moyenne ou grande échelle rencontre inévitablement des problèmes dont traitent les arithmétiques commerciales. Sans doute la formation se fait-elle la plupart du temps sur le tas, mais nous savons qu’il existe aussi des enseignements individuels et collectifs. Sans doute beaucoup de marchands sont-ils encore illettrés - c’est par exemple la conclusion d’une enquête dans le milieu du pastel au XVIe siècle (Caster, 1998, p. 61-62), mais d’autres prônent les études, de manière plus ou moins discordante. En 1460, le marchand lyonnais François Garin dédie à un long poème à son fils dont sont extraits les vers suivants (v. 1073 à 1080) :

Quant tu auras a l’escole aprins, / Choisir te couvient [party] prendre ; / Alors ne soyes entreprins / Avec marchans te vueilles rendre / Combien premier tu dois apprendre / A bien nombrer, car c’est la voye / Pour plus tost savoir et entendre / Le compte d’or et de monnoye.


Après avoir étudié à l’école, le fils doit se décider et ne pas être embarrassé ; s’il veut devenir marchand, il doit d’abord avoir une bonne pratique des nombres pour comprendre rapidement les « comptes d’or et de monnaie ». Mais, le marchand devant rester pragmatique, Garin déconseille un peu plus loin de lire « ystoyres et beaulx livres », car « trop les aymer n’est pour le mieulx », surtout pour ceux qui « suyvent marchandise ». Le marchand de Raguse Benedetto Cotrugli, quant à lui, insiste sur les bienfaits d’une culture étendue ; son Traicté de la marchandise et du parfait marchand, s’il regorge de conseils pratiques (bien gérer ses affaires) et moraux, insiste aussi sur l’instruction, au-delà du savoir écrire et compter (Cotrugali, 1458, p. 120v) :

[...] je dis qu’il ne doit seulement savoir bien écrire, dresser des comptes, etc. mais que pour le moins, il doit être bon grammairien et bon rhétoricien : car la grammaire lui est très nécessaire pour bien savoir connaître un contrat, & le marchand contracte tous les jours. […] certes s’ils ne sont savants et rhétoriciens, ils seront comme l’âne […], leur défaillant la sauce sans laquelle, comme la viande corporelle sans sel ne peut être agréable, ainsi l’âme sans la science se trouve sans saveur. 


Plusieurs types de sources sont susceptibles de répondre aux questions sur la formation. Les documents d’archives en premier lieu, comme les chartes et statuts, les contrats d’apprentissage ou de recrutement de maîtres d’école, etc. Ces documents s’avèrent souvent décevants car les informations sont éparses et fragmentaires, et restent encore largement inexploités. Les divers livres de marchands informent sur le volume des échanges. Reste enfin les arithmétiques commerciales, que nous interrogeons ici.
Le cas de l’Italie est une fois de plus singulier, car les documents sont plus abondants qu’ailleurs. Nous savons que dès le XIVe siècle naissent dans les grandes cités des écoles qui portent le nom de Botteghe del abaco, les boutiques d’abaque. Écoles privées, ou écoles publiques communales, elles accueillent les enfants une fois qu’ils savent lire et écrire, vers 10 ans, pour leur enseigner les mathématiques nécessaires à la pratique de leur futur métier. Et parfois des mathématiques plus avancées. Elles sont dirigées par des maîtres d’abaque, ce sont eux qui le plus souvent écrivent les traités éponymes que nous avons évoqués (Voir (Moyon, Caianiello et Abdeljaouad, 2016, p. 235 et suiv.)). L’ampleur de ce phénomène italien participe également d’un mouvement intellectuel beaucoup plus large porté par la vague humaniste : curiosité à l’égard de savoirs nouveaux répandus dans la langue vernaculaire, savoir théorique et applications pratiques qui dépassent le milieu du commerce. Le milieu italien de « l’abaque », véritable groupe social, attire non seulement des marchands mais des architectes, des peintres, … Piero della Francesca, par exemple, a écrit un traité d’abaque. L’un des maîtres les plus érudits du XVe siècle, Benedetto de Florence, tient une école réputée dans sa ville ; c’est un homme cultivé, qui connaît bien les mathématiques grecques et dont les écrits débordent largement des mathématiques utilitaires. Dans ce contexte, ne nous étonnons pas que les principaux algébristes (Tartaglia, Cardan, etc.) qui ont démêlé les équations algébriques de degrés 3 et 4 au cours du XVIe siècle gravitent quasiment tous autour de ce cercle, par leur formation ou leur enseignement.

Une école d’abaque en Toscane

Filippo Calandri, Aritmetica, vers 1485.

En 1338 à Florence, le chroniqueur Giovanni Villani (ca. 1276-1348) recense six écoles d’abaque comprenant en moyenne 200 élèves par école, pour une ville qui comptait un peu moins de 100 000 habitants. Dans le Trattato d’abacho de Benedetto de Florence, compilé par Pier Maria Calandri vers1480, la réponse à un problème sur le nombre d’élèves d’un maître est 500 !
Des archives témoignent du passage des jeunes dans les écoles d’abaque. Ainsi, le Conseil de Lucques recherche en 1386 un maître d’arithmétique qui enseigne aux enfants « afin qu’ils soient à la fois plus fins et plus prudents dans ce qui touche au négoce » (uti in mercationibus inde sint et subtiliores et cautiores). Ou encore ce médecin vénitien qui prescrit dans son testament de 1420 que ses fils, après l’école élémentaire, soient mis « à l’abaque, pour apprendre à commercer » (ad abacum, ut discant ad facere mercantias) (Fanfani, 1951, p. 331).
Le paysage est beaucoup plus flou en ce qui concerne le reste de l’Europe méridionale. Je m’appuie ici encore sur le corpus franco-ibérique. Voici comment le frère prêcheur castillan Juan [de] Ortega introduit son Arte de l’arismetica de 1512, dans l’adaptation française qu’en donne le moine Claude Platin deux ans plus tard :

[…] ce que nous enseigne entre autres choses notre sainte mère l’Église, c’est que nous sommes tous obligés d’enseigner et d’apprendre aux ignorants la science qu’il a plu à Dieu de nous enseigner. C’est pourquoi un bon élan m’a poussé, pour éviter tant de fraudes et de tromperies qui se font aujourd’hui par le monde concernant le fait de comptes. […] Et afin qu’il ne me soit pas reproché d’avoir dissimulé sous terre ce don que m’a donné Dieu, j’ai proposé de composer un petit traité d’arithmétique, autrement dit chiffre, et aussi de géométrie. Non pas comme un grand arithméticien mais comme un petit conteur parmi les moindres en cette science, pour montrer seulement ce qui est nécessaire pour compter en tous comptes de marchandise, de compagnie, de trocs, ... 


Ortega, qui appartient à l’ordre des frères prêcheurs, fait sans doute œuvre de modestie lorsqu’il prétend n’être qu’un « petit compteur ». Son traducteur Claude Platin, quant à lui, appartient à l’ordre hospitalier de Saint-Antoine-en-Viennois. Juan Andrés, originaire de Saragosse, qui publie en 1515 un Sumario breve de la pratica de arithmetica de todo el curso de l’arte mercantivol… est un frère franciscain. Barthélemy de Romans, que nous avons déjà cité, est docteur en théologie. C’est un frère prêcheur du couvent de Valence, qui fut bachelier bibliste au couvent de Montpellier et y enseigna la Bible en 1435-36. D’autres sont plus probablement des marchands, comme Jehan Certain, auteur du Kadran aux marchans, qui vécut à Bilbao puis Marseille, ou de Bento Fernandes, marchand de Porto qui est partie prenante dans les réseaux commerciaux internationaux dont il vante l’étendue et la croissance (Arte de arismetica, 1541). Francés Pellos, qui publie en 1492 un Compendion de l’abaco dans le dialecte niçois, se dit « noble Frances Pellos, citadin es de Nissa ». Les prologues aux traités, souvent brefs, apportent d’ailleurs différents éclairages qui reflètent la diversité des origines de leurs auteurs. Jehan Certain s’adresse à un « ami très cher » auquel il souhaite soumettre son écrit après que son « petit entendement y aura labouré jusques au bout ». Comme Ortega quelques années plus tard, il ne revendique aucune originalité : « je me suis mis à faire et rassembler de plusieurs autres ce petit traité d’algorisme ». Son lectorat, ce sont les marchands, il veut les éduquer afin qu’ils puissent « justement prendre et donner en vendant et achetant à chacun son loyal droit ». D’autres se placent d’emblée sur un terrain plus « universitaire » en reprenant le credo boétien : l’arithmétique est le premier des arts du quadrivium car c’est un socle pour les autres disciplines. Chuquet ajoute que cette science est très utile à toutes sortes de gens : non seulement les marchands, mais aussi les « gens de loi ». Et L’auteur du Traicté de la praticque d’algorisme que cette science est « bien séante à toutes manières de gens, parce que par elle on peut faire prestement et légèrement tous comptes et toutes raisons tant en toutes marchandises, en fait de change, en géométrie, en astronomie que, aussi, en bien d’autres négoces. » Voici donc des auteurs, souvent anonymes, venant d’horizons différents, de culture plus ou moins étendue, qui cependant se donnent tous pour vocation première de former des professionnels et avant tout des marchands. Sans négliger les élites urbaines, ou simplement le lecteur curieux, qui ne maîtrise pas nécessairement le latin. Nous l’avons vu avec Barthélemy de Romans, qui prétend « illuminer l’entendement de ceux qui voudraient voir les subtilités » contenues dans les pages de son Compendy.
Mais comment sont étudiés ces textes ? Existe-t-il des maîtres employés dans des écoles, à l’image des « boutiques d’abaque » italiennes ? La réponse n’est pas tranchée car les témoignages manquent. Quelques auteurs laissent entendre que le lecteur pourra apprendre sans maître, ce qui est aussi (surtout ?) une manière de souligner la clarté et la qualité de leur exposé. Selon Jacques Le Goff (1993, p. 106), bien des bourgeois marchands ont confié l’éducation de leurs enfants à des précepteurs, d’autant que les écoles religieuses ne proposent pas souvent de formation appropriée. Nicolas Chuquet, auteur du Triparty en la science des nombres (1484), a peut-être été l’un d’eux. Il est en effet recensé en 1480 dans les archives de la ville de Lyon sous le nom de « Maistre Nicolas, escripvain » (l’Huillier, 1976), et apparaît un peu plus tard avec le titre d’algoriste. Chuquet enseignait peut-être l’écriture et le calcul. « Escripvain », qui peut signifier « copiste », est aussi attesté dans le sens de « précepteur » et le terme se rencontre également à propos d’auteurs ibériques. Chuquet a-t-il dispensé son art auprès de classes d’écoliers, à titre privé ou non ? Nous savons que dès le début du XIVe siècle, des maîtres toscans sont venus enseigner à Montpellier. En 1328, l’un d’eux, le florentin Paolo Gherardi, informe au début de son Libro di ragioni que « ce livre sur les raisons sera écrit selon les règles et le cours d’abaque » qu’il dispense à Montpellier.
Plus tard, le barcelonais Francesc Santcliment, à qui l’on doit la Summa de l’art d’Aritmètica, imprimée en 1482, dit avoir composé son traité dans la « remarquable ville de Barcelone où il enseigne ». Dans l’édition en espagnol qui paraît à Saragosse en 1487, il dit enseigner dans cette illustre cité (Malet 1998, p. 28-29). Juan de Ortega aurait enseigné l’arithmétique et la géométrie en Espagne et en Italie, dans des cours privés et publics (Rey Pastor, 1926, p. 68). En ce qui concerne l’enseignement collectif, l’auteur d’une Speculative des nombres, troisième traité du manuscrit comservé á Cesena, qui est probablement Barthélemy de Romans, nous raconte :

Car le maître révérend auteur du livre étant au lieu de Carcassonne enseignant la science d’algorisme ou arithmétique fut par certains écoliers prié de leur faire un bref traité qui leur donnât claire connaissance des nombres proportionnels, dans lesquels gisent et sont toutes les raisons.

Le « petit traité » qu’il compose à leur intention, fait le lien entre proportion (notion euclidienne) et règle de trois (technique de recherche d’une quatrième proportionnelle enseignée aux praticiens). Il y avait donc bien, au milieu du XVe siècle, un enseignement de l’algorisme en lien avec les calculs des marchands dispensé à des « escoliers » (le terme désigne alors des élèves ou des étudiants) de Carcassonne. Nous ignorons dans quel cadre, religieux ou laïc ? Parmi les auteurs qui se font connaître, nous avons mentionné des clercs. Si l’Église s’ouvre sans doute à ce genre de mathématiques moins « nobles », notons aussi que ces clercs appartiennent pour beaucoup aux ordres mendiants, ordres urbains dont les membres sont souvent issus de la classe marchande (Spiesser, 2003, ch. 2).

En conclusion

Même si l’intérêt pour ce type de mathématiques est relativement récent, le corpus des arithmétiques commerciales est actuellement bien étudié, ce qui met en évidence les spécificités régionales. Ce genre, qui prend vraiment son essor au XVe siècle, est-il adapté au monde marchand ? De manière patente, une partie des contenus (inégale selon les ouvrages) dépasse leurs besoins réels. Un bon commerçant doit d’abord savoir compter : « La seconde chose nécessaire au marchand, c’est de savoir calculer rapidement » écrit Luca Pacioli dans la Summa (la première chose étant d’être riche !). Il est en revanche difficile de juger du reste, car la variété des Arithmétiques est grande, la variété des marchands aussi. La lecture d’autres catégories de textes associés au commerce ou au change ne nous renvoie pas le même écho. Et d’ailleurs, il n’est pas rare qu’un même livre ou manuscrit rassemble plusieurs genres qui deviennent alors complémentaires : coexistent arithmétique mercantile, conseils et renseignements au marchand et/ou traité sur les monnaies. Jehan Certain termine le Kadran, une des arithmétiques françaises les plus proches du terrain, par « le fait des monnaies et des billons, de l’or et de l’argent ». Dans le traité castillan du XIVe siècle nommé Libro de arismética que es dicho alguarismo, est inséré dans le chapitre sur les alliages un livre technique sur la fabrication et les essais des monnaies (Aqui comiença el libro que enseña ensayar qualquier moneda) (Caunedo del Potro et Cordoba de la Llave, 2000). Même sur des thèmes communs, règles et méthodes diffèrent souvent entre ces différentes catégories de textes. Car les objectifs diffèrent aussi : les arithmétiques marchandes sont écrites par des hommes qui s’intéressent, peu ou prou, aux mathématiques ; les livres de changeurs se doivent de fournir des méthodes efficaces dans un contexte d’unités monétaires et pondérales extrêmement complexe ; et les comptes des marchands révèlent surtout des résultats numériques. Bref, les priorités ne sont pas identiques et le choix des outils et des méthodes s’en ressent. L’écriture des résultats, la manière de calculer sont à interroger en premier lieu. Les fractions, omniprésentes dans les arithmétiques commerciales, le sont beaucoup moins dans les comptes des marchands qui jonglent plutôt avec les nombreuses sous-unités de monnaies et de mesures. Les règles de calcul sont forgées en tenant compte de relations numériques particulières entre les diverses unités utilisées. Les calculs se font encore, dans bien des cas, avec les chiffres romains et sur l’abaque (Benoit, 1992).

Comptes de Jean Lapeyre, marchand toulousain, vers 1440

LVVII – Bertran del Vinhau Ia canna VII pans morat costa III D II g° 1/2 (1 canne et 7 pans de toile a coûté 3 écus 2 gros et demi). Noter l’utilisation de la numération romaine et le signe particulier en fin de ligne pour désigner 1/2.

Pour les changeurs, la question centrale sur les mélanges de monnaie est d’en évaluer le titre, et la question inverse, comment ajuster un alliage pour obtenir un titre décidé à l’avance, souvent mise en avant dans les problèmes d’arithmétique, est subalterne pour les professionnels de la monnaie (Bompaire et Husson, à paraître).
Ces questions comparatives suscitent aujourd’hui des recherches, mais il reste beaucoup à faire ; un travail complexe parce que les données à prendre en compte sont multiples : la notion de marchand, comme nous l’avons dit, n’est pas facile à circonscrire, même dans un cadre géographique identique, et les besoins sont très fluctuants. De l’autre côté, les auteurs des Arithmétiques ont eux aussi des exigences et des affinités intellectuelles différentes, un public potentiel plus ou moins large et éduqué.

Références bibliographiques

Benoit Paul, « Arithmétiques commerciales et comptabilités dans la France médiévale », in Histoire de fractions, fractions d’histoire, éd. P. Benoit, K. Chemla, J. Ritter, Basel/Boston/Berlin, Birkhaüser, 1992, p. 307-321.

Bompaire, Marc et Husson, Mathieu, « Computational practices around coins and coinage : John of Murs Quadripartitum numerorum and French money Changers’ books », in Mathematics and administration in the ancient world, éd. K. Chemla et C. Michel, Springer, (à paraître 2017).

Caster Gilles, Les routes de cocagne, le siècle d’or du pastel, 1450-1561, Toulouse, Privat, 1998.

Caunedo del Potro, Betsabé et Cordoba de la Llave, Ricardo (eds), El arte del Alguarismo, Junta de Castilla y Leon, 2000.

Costa Alain Teresa, « Les règles d’un quart et un vingtième et des comptes de Flandre comme modélisation du réel », in L. Radford, F. Furignhetti et T. Hausberger (eds), History and Pedagogy of Mathematics, Montpellier, IREM de Montpellier, 2016, p. 351-358.

Cotrugli Benedetto, Della mercatura et del mercante perfetto, 1458. Traduction française du XVIe s. :Traicté de la marchandise….

Fanfani Amintore, « La préparation intellectuelle et professionnelle à l’activité économique, en Italie, du XIVe au XVIe siècle », Moyen Âge, vol. 17, 1951, p. 327-346.

Høyrup Jens, Jacopo da Firenze’s Tractatus Algorismi and Early Italian Abbacus Culture, Basel/Boston/Berlin, Birkhäuser, Science Networks Historical Studies, vol. 34, 2007.

Docampo Rey Javier, « Reading Luca Pacioli’s Summa in Catalonia : An early 16th-century Catalan manuscript on algebra and arithmetic », Historia Mathematica, 33(1), 2006, p. 43-62.

L’Huillier Hervé, « Eléments nouveaux pour la biographie de Nicolas Chuquet », Revue d’Histoire des Sciences, 29(4), 1976, p. 347-350.

Le Goff Jacques, Marchands et banquiers au Moyen Âge, Paris, P.U.F. (Que sais-je ?), 1993 (1e éd., Paris 1956).

Malet Antoni (ed.), Summa de l’art d’Aritmètica, Vic, Eumo editorial, 1998.

Moyon Marc, Caianiello Eva et Abdeljaouad Mahdi, « Mathématiques méditerranéennes : en quel sens ? », in L. Radford, F. Furignhetti et T. Hausberger (eds), History and Pedagogy of Mathematics, Montpellier, IREM de Montpellier, 2016, p. 231-253.

Rey Pastor Julio, « Los matemàticos españoles del siglo XVI », Biblioteca scientia, 1926.

Spiesser Maryvonne, Une arithmétique commerciale du XVe siècle, Le Compendy de la praticque des nombres de Barthélemy de Romans, Turnhout, Brepols, De diversis artibus 70, 2003.

Van Egmond Warren,
Practical Mathematics in the Italian Renaissance. A Catalog of Italian Abbacus Manuscripts and Printed Books to 1600, Supp. à Annali dell’Istituto di storia della Scienza, fasc. 1, 1980.

Post-scriptum :

Mes remerciements à Marc Moyon, éditeur de l’article, pour tous les échanges constructifs que nous avons eus au cours de l’écriture de ce texte. Merci également aux relecteurs Frédéric Piou et Pierre Baumann.

Article édité par Marc Moyon

Notes

[1Dans cet article, tous les espaces géographiques sont désignés selon la géopolitique actuelle.

[2Santcliment, fol. 106v, traduit du catalan.Tous les extraits sont donnés dans une traduction française ; les textes en français sont, sauf exception, transcrits dans la syntaxe et le vocabulaire actuels.

[3Ms Paris, Bibl. Arsenal, 2904, f. 61r.

[4Boèce, philosophe romain du VIe siècle, expose la théorie des nombres néo-pythagoricienne dans son « Institution arithmétique ».

[5« Méthode des deux plateaux » dans les mathématiques de l’occident musulman ; « Méthode de l’excédent et du déficit dans l’ancienne Chine.

[6Pour comprendre les hypothèses, il faut préciser que Barthélemy anticipe dans l’énoncé sur la résolution. Le premier homme a en fait 5 fois ce qui reste aux deux autres, plus 1, etc. La fraction 5/6 provient de sa méthode de résolution postérieure.

[7Si numerus datus dividatur in duo, quorum proportio fuerit data, utrumque eorum datum fuerit. Si enim proportio unus ad reliquum data fuerit, et totius ad idem data erit proportio. Cum ergo totum sit datum, erit et illud datum et ob hoc reliquum. Verbi gratia : dividatur X in duo, quorum unum quadrupum alteri. Itaque X erit quintuplum, et ipsum est duo.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Maryvonne Spiesser — «La naissance d’un genre, le traité d’arithmétique commerciale (XIVe-XVIe s.)» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Début du « Traicté de la pratique d’algorisme », ms Cesena, Bibl. Malatestiana, S-XXVI-6, vers 1476 - Anonyme, Cesena, Bibl. Malatestiana, ms S-XXVI-6, fol. 7r. Mes remerciements à la Bibliothèque Malatestiana de Cesena pour l’envoi de cette photo et de celle du logo.
Schéma de la règle de double fausse position - Claude Platin, Livre tres subtille et profitable de l’art et science d’arismeticque, Lyon, 1515. Numérisé (Google books) d’après l’exemplaire London, British Library, 8531.aaa.38.
Règle de trois : calculs commentés - Anonyme, L’art d’arismetique, ms BnF, fr. 2050. Avec autorisation de reproduction de la Bibliothèque nationale de France.
Une école d’abaque en Toscane - Filippo Calandri, Aritmetica, Florence, Bibl. Riccardiana, Ricc 2669, vers 1485. (http://patrimonio-ediciones.com/facsimil/tratado-de-aritmetica-de-lorenzo-el-magnifico-siglo-xv.)
Comptes de Jean Lapeyre, marchand toulousain, vers 1440 - Archives départementales de la Haute-Garonne, série E, cote 1876, 1er fragment, fol. 1r, avec autorisation de reproduction.
Un exemple de soustraction avec des entiers et des fractions - Autorisation de reproduction de la BnF
Multiplication par « jalousie ». - Anonyme, Traytié de la pratique d’algorisme, XVe s., ms Turin, Archivio di Stato, arch. Biscaretti, Mazzo 29, n. 3. Droits acquittés. Reproduction interdite.
Un exemple de soustraction avec des entiers et des fractions - Nicolas Chuquet, « Comment la science des nombres se peult appliquer au fait de marchandise », Triparty en la science des nombres, Paris, BnF, ms fr. 1346, f. 267r. Avec autorisation de reproduction de la Bibliothèque nationale de France.
Mesurer à distance la hauteur d’une tour - Nicolas Chuquet, petit traictié de la pratique de geometrie, BnF, ms nouv. acq. fr. 1052. Avec autorisation de reproduction de la Bibliothèque nationale de France.

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Suivre IDM