A veces abrumados, los padres jóvenes recientemente nos convertimos en compradores en línea. Este sistema consiste en comprar por internet y luego recogerlas en el parking del supermercado. Cuando llegamos, tocamos el timbre, anunciamos los últimos cuatro dígitos de nuestro número de pedido por el intercomunicador y un empleado nos trae nuestras bolsas de compras.
¡Pero durante nuestro último pedido, no fueron nuestras compras las que nos trajo el empleado ! Sin embargo, los últimos cuatro dígitos son correctos... pero no los anteriores. Hubo confusión entre dos pedidos cuyos números terminaban en los mismos últimos cuatro dígitos.

• Oh, pasa todos los días, nos dice el empleado.

• Ah bueno ? Pero, ¿cuántos pedidos tiene por día ?

• Alrededor de 150.

¡Nuestra sangre de matemáticos corre velozmente ! ¡He aquí una espléndida paradoja de los cumpleaños !

Efectivamente, al mantener los últimos cuatro dígitos del número de pedido, la tienda reserva 10.000 posibilidades : desde 0000 hasta 9999. ¿Cómo es que con solo 150 pedidos por día, eso no es suficiente para evitar duplicados ? Esta es una de esas situaciones en las que la intuición a menudo nos lleva por mal camino, y que generalmente se denomina ’’paradoja’’ (paradoja del cumpleaños, paradoja del autobús,...).

Tomemos las cosas con calma. Tenemos 10.000 opciones posibles para los últimos cuatro dígitos entre 0000 y 9999. A 150 clientes se les asigna ese número todos los días (se puede asignar el mismo número varias veces). Queremos saber la probabilidad de que al menos a dos personas se les asigne el mismo número.

Vamos a determinar esta probabilidad calculando el número $N$ de formas que hay de etiquetar todos los pedidos del día, y determinando, entre todas estas $N$ posibilidades, el número $d$ de veces en que ocurre que la misma la etiqueta aparece en (al menos) dos pedidos diferentes. Considerando que todos los números entre 0000 y 9999 tienen la misma probabilidad de ser asignados, la probabilidad que buscamos es entonces : $p=\frac{d}{N}$.

El número $N$ es bastante simple de determinar. Tomemos uno por uno a nuestros 150 clientes o clientes del día. Para cada uno, hay 10.000 posibilidades. Repetido 150 veces, eso nos da un total de 10.000 veces 10.000 veces 10.000 veces..., es decir, $N=10.000^{150}$.

Para encontrar $d$ en cambio, el cálculo es complicado de realizar simultáneamente : es posible que solo dos compradores tengan el mismo número, o que dos pares de dos clientes tengan el mismo número pero que estos números difieran, o que hay trillizos de números idénticos... Nos perdemos.

Por otro lado, se comprende mejor la situación complementaria : se puede buscar conocer el número $d'$ de configuraciones donde todos los números asignados son diferentes. Entonces será fácil volver al problema inicial : o todos los números son diferentes, o hay al menos dos idénticos, y por lo tanto $d+d'=N$. Como ya hemos encontrado $N$, si conocemos $d'$, podemos determinar $d=N-d'$.

Queda por tanto calcular $d'$. Para ello, ordenemos a nuestros 150 clientes y clientas del día. Al primero se le asigna uno de los números entre 0000 y 9999 : hay 10.000 opciones posibles. Para el segundo, en cambio, solo hay 9999 opciones, ya que no queremos reasignar el número del primero. El tercer cliente también tendrá 9998 opciones posibles, y así hasta el cliente 150 que tendrá uno de los 9851 números restantes. El número total de configuraciones es entonces :
\[d'=10000\cdot 9999\cdot 9998 \cdots 9851\]

¡Casi estamos ! Recuerda que buscamos la probabilidad $p$, y que :
\[p=\frac{d}{N}=\frac{N-d'}{N}=1-\frac{d'}{N}\]
Haciendo el cálculo de forma explícita (es demasiado complicado para hacerlo a mano, pero se hace fácilmente con una computadora), obtenemos :
\[p=0.6747...\]
En otras palabras, ¡todos los días hay una probabilidad de $67,47$% de tener al menos dos clientes con el mismo número ! El empleado del supermercado exageró un poco al decir que sucedía todos los días, pero no tanto, ya que sucede más que cada dos días.

Aquí nos encontramos con esta situación contraria a la intuición que se hace eco de la paradoja de los cumpleaños : el número de números disponibles es mucho mayor que el número de clientes, tenemos la impresión de que el hecho de que a dos clientes se les asigne el mismo número debería ser un evento raro. Pero el análisis fino muestra exactamente lo contrario.

No se dirá que somos dadores de lecciones que no ofrecen ninguna solución : calculemos ahora el número de dígitos que se deben guardar para que la probabilidad de que a dos clientes se les asigne el mismo número sea menor que, por ejemplo, $5$%.

Si mantenemos los dígitos de $5$, simplemente repita los cálculos reemplazando $10^4=10000$ por $10^5=100000$. ¡Nos sorprende ver que incluso con cifras de $5$, todavía hay un riesgo de $10.58$% de tener un duplicado ! Con dígitos de $6$ (es decir, un millón de posibilidades de todos modos), este riesgo se reduce a solo $1,11$%.