La parole à Jean Perrin : les courbes sans tangente

Un texte de Jean Perrin commenté par Clotilde Fermanian Kammerer, Stéphane Jaffard et Guillaume Saës.

Le 8 décembre 2020  - Ecrit par  Clotilde Fermanian Kammerer, Stéphane Jaffard, Guillaume Saes Voir les commentaires (4)

L’Institut Henri Poincaré abrite actuellement une exposition consacrée à Jean Perrin, physicien célèbre pour ses recherches sur les rayons X et pour avoir validé de façon expérimentale l’hypothèse que la matière est composée d’atomes, ce qui lui valut le prix Nobel de physique en 1926.

En 1913, dans son livre Les Atomes, Jean Perrin évoque ses travaux sur le mouvement brownien et développe ses réflexions autour de ces « courbes sans tangentes » qu’il a étudiées. Dans un texte étonnant de modernité, il pose les bases de la théorie des fractals telle qu’elle s’est développée ensuite.

En attendant que vous puissiez visiter l’exposition Jean Perrin actuellement confinée dans la bibliothèque de l’IHP, nous vous proposons une lecture illustrée de ce texte, avec des commentaires que vous trouverez dans les blocs déroulants. La parole est donc à Jean Perrin !

« Les mathématiciens [...] ont bien compris [...] combien [...] il est puéril de vouloir démontrer, en traçant une courbe, que toute fonction continue admet une dérivée. Si les fonctions à dérivée sont les plus simples, les plus faciles à traiter, elles sont pourtant l’exception ; ou, si l’on préfère un langage géométrique, les courbes qui n’ont pas de tangente sont la règle, et les courbes bien régulières, telles que le cercle, sont des cas fort intéressants, mais très particuliers.

Une fonction dérivable en tout point et une fonction nulle part dérivable, la fonction de Weierstrass

Une fonction f est dérivable en un point x₀ si son graphe est tangent à une droite en ce point. La tangente de l’angle que fait cette droite avec l’axe des x s’appelle la dérivée de f en x₀.

La question de savoir si une fonction continue est nécessairement dérivable en certains points s’est posée naturellement aux mathématiciens dès qu’une définition précise de la continuité a été introduite ; ce qui fut fait par Augustin Cauchy, dans son cours d’Analyse donné à l’École Polytechnique et publié en 1821. Après avoir vainement essayé de démontrer que toute fonction continue est dérivable en certains points, les mathématiciens se sont résolus à chercher des contre-exemples. Dès 1830, Bernard Bolzano en avait conçu un, mais dans un texte qui restera malheureusement inédit au 19ième
siècle ; ce n’est qu’en 1872 que Karl Weierstrass expose la construction de fonctions continues nulle part dérivables. Ces fonctions sont des exemples de fonctions ayant un graphe « autosimilaire », c’est à dire restant identique à lui même lorsqu’on opère des zooms successifs. Cette propriété caractérise la nature fractale de la fonction de Weierstrass.

© Guillaume Saës

De telles fonctions ont cependant été longtemps considérées par les mathématiciens comme de simples curiosités. En 1893, Charles Hermite écrit : « Je me détourne avec effroi et horreur de cette plaie lamentable des fonctions continues qui sont sans dérivée », et Henri Poincaré en 1899, déclare : « Autrefois, quand on inventait une fonction nouvelle, c’était en vue de quelque but pratique ; aujourd’hui on les invente tout exprès pour mettre en défaut les raisonnements de nos pères, et on n’en tirera jamais que cela ».

Le travail de Jean Perrin est donc visionnaire puisqu’il se rend compte dès 1913 que, contrairement à ce que pensait Henri Poincaré, de telles fonctions seront appelées à jouer un rôle central pour modéliser des phénomènes naturels. Il faudra attendre 1931 pour que Stefan Banach fasse changer d’avis les mathématiciens, en montrant qu’une fonction continue « générique » n’est nulle part dérivable.

On pourra consulter cet article pour d’autres exemples de courbes fractales déterministes, ainsi que celui-ci pour l’utilisation de ces concepts en traitement du signal.

« Au premier abord, de telles restrictions semblent n’être qu’un exercice intellectuel, ingénieux sans doute, mais en définitive artificiel et stérile, où se trouve poussé jusqu’à la manie le désir d’une rigueur parfaite. Et, le plus souvent, ceux auxquels on parle de courbes sans tangentes ou de fonctions sans dérivées commencent par penser qu’évidemment la nature ne présente pas de telles complications, et n’en suggère pas l’idée.

« C’est pourtant le contraire qui est vrai, et la logique des mathématiciens les a maintenus plus près du réel que ne faisaient les représentations pratiques employées par les physiciens. C’est ce qu’on peut déjà comprendre en songeant, sans parti pris simplificateur, à certaines données tout expérimentales.

« De telles données se présentent en abondance quand on étudie les colloïdes. Observons, par exemples un de ces flocons blancs qu’on obtient en salant de l’eau de savon.
De loin, son contour peut sembler net, mais sitôt qu’on s’approche un peu, cette netteté s’évanouit.

L’œil ne réussit plus à fixer de tangente en un point : une droite qu’on serait porté à dire telle, au premier abord, paraîtra aussi bien, avec un peu plus d’attention, perpendiculaire ou oblique au contour. Si l’on prend une loupe, un microscope, l’incertitude reste aussi grande car, chaque fois qu’on augmente le grossissement, on voit apparaître des anfractuosités nouvelles sans jamais éprouver l’impression nette et reposante que donne, par exemple, une bille d’acier poli. En sorte que, si cette bille donne une image utile de la continuité classique, notre flocon peut tout aussi logiquement suggérer la notion plus générale des fonctions continues sans dérivées.

Dessin de Jean Perrin.

Ce dessin de Jean Perrin publié dans « Les Atomes » représente les mouvements de trois particules de mastic d’environ 1 µm de diamètre. Les positions successives des particules, pointées toutes les 30 secondes, sont reliées par des segments. © Jean Perrin « Les atomes » (PUF).

« Et ce qu’il faut bien observer, c’est que l’incertitude sur la position du plan tangent en un point du contour n’est pas tout à fait du même ordre que l’incertitude qu’on aurait à trouver la tangente en un point du littoral de Bretagne, selon qu’on utiliserait pour cela une carte à telle ou telle échelle. Selon l’échelle, la tangente changerait, mais chaque fois on en placerait une. C’est que la carte est un dessin conventionnel, où, par construction même, toute ligne a une tangente. Au contraire, c’est un caractère essentiel de notre flocon (comme au reste du littoral si au lieu de l’étudier sur une carte on le regardait lui-même de plus ou moins loin), que à toute échelle, on soupçonne, sans les voir tout à fait bien, des détails qui empêchent absolument de fixer une tangente.

Un fractal « naturel » : la côte bretonne

Images à différentes échelles de la côte bretonne obtenues sur GoolgleEarth. À chaque échelle apparaissent de nouveaux détails si bien que, lorsqu’on effectue un zoom centré sur un point arbitraire de cette côte, la courbe ne se rapproche jamais d’une droite : la côte de Bretagne est donc l’exemple typique d’un objet naturel qui doit être modélisé par une courbe nulle part dérivable.

Cet exemple sera repris par Benoît Mandelbrot lorsqu’il introduira la notion de fractal. Son livre « The fractal geometry of nature » a mis en évidence de très nombreux phénomènes naturels qui ne sont pas modélisable mathématiquement par des fonctions régulières. Il a ainsi donné naissance à un nouveau domaine des mathématiques, la géométrie fractale, dont le but est précisément de développer les outils mathématiques pertinents pour opérer ces modélisations et étudier leurs propriétés (cf. cet article
pour en savoir plus sur B. Mandelbrot).

Un fractal mathématique : l’ensemble de Mandelbrot

Un fractal mathématique, l’ensemble de Mandelbrot (à gauche) et un zoom sur une partie de l’ensemble (à droite) : on retrouve des structures similaires quelle que soit l’échelle à laquelle on observe l’ensemble. © Guillaume Saës

Pour en savoir plus sur cet ensemble, on peut consulter cet article.


© Jean-François COLONNA/CNET/Lactamme/CNRS Photothèque

« Nous resterons encore dans la réalité expérimentale si, mettant l’œil au microscope, nous observons le mouvement brownien qui agite toute petite particule en suspension dans un fluide. Pour fixer une tangente à sa trajectoire, nous devrions trouver une limite au moins approximative à la direction de la droite qui joint les positions de cette particule en deux instants successifs très rapprochés. Or, tant que l’on peut faire l’expérience, cette direction varie follement lorsque l’on fait décroître la durée qui sépare ces deux instants. En sorte que ce qui est suggéré par cette étude à l’observateur sans préjugé, c’est encore la fonction sans dérivée, et pas du tout la courbe avec tangente.

Le mouvement brownien

Marche aléatoire sur le réseau des points du plan à coordonnées entières à trois échelles différentes : lorsque la taille de la maille du réseau tend vers 0, on obtient ainsi une simulation numérique d’une trajectoire du mouvement brownien que Jean Perrin a décrit. © Guillaume Saës

« J’ai d’abord parlé de contour ou de courbe, parce qu’on utilise d’ordinaire des courbes pour donner la notion de continu, pour la représenter. Mais il est logiquement équivalent, et physiquement il est plus général, de rechercher comment varie d’un point à l’autre d’une matière donnée, une propriété quelconque, telle que la densité, ou la couleur. Ici encore, nous allons voir apparaitre le même genre de complications.

« L’idée classique est bien certainement que l’on peut décomposer un objet quel conque en petites parties pratiquement homogènes. En d’autres termes, on admet que la différenciation de la matière contenue dans un certain contour devient de plus en plus faible quand ce contour va en se resserrant de plus en plus. Or, loin que cette conception soit imposée par l’expérience, j’oserai presque dire qu’elle lui correspond rarement. Mon œil cherche en vain une petite région « pratiquement homogène », sur ma main, sur la table où j’écris, sur les arbres ou sur le sol que j’aperçois de ma fenêtre.

Chou Romanesco

La biologie fournit aussi de nombreux exemples de fractals. L’un des plus frappants, que l’on peut observer sur tous les marchés, est le chou Romanesco de l’illustration précédente qui présente des auto-similarités à travers un grand nombre d’échelles. © Héloïse Afman

Le poumon est aussi un très très bel exemple de fractal, cf.
cet article.
Les fractals interviennent dans toutes les sciences naturelles, on trouvera un exemple en géologie dans cet article.

« Et si, sans me montrer trop difficile, je délimite une région à peu près homogène, sur un tronc d’arbre par exemple, il suffira de m’approcher pour distinguer sur l’écorce rugueuse les détails que je soupçonnais seulement, et pour, de nouveau, en soupçonner d’autres. Puis, quand mon œil tout seul deviendra impuissant, la loupe, le microscope, montrant chacune des parties successivement choisies à une échelle sans cesse plus grande, y révéleront de nouveaux détails, et encore de nouveaux, et quand enfin j’aurai atteint la limite actuelle de notre pouvoir, l’image que je fixerai sera bien plus différenciée que ne l’était celle d’abord perçue.

Dessous d’une patte de gecko

Vue au microscope électronique à balayage (MEB) avec un grossissement x 80 de la face interne d’un doigt d’une patte de gecko, la tarente de Maurétanie, que l’on trouve l’été dans le sud de la France. On voit toute la complexité du réseau de poils situé à l’extrémité des doigts, lequel permet au gecko d’adhérer sur tout support.

© Bertrand REBIERE / ICGM / CNRS Photothèque

« On sait bien, en effet, qu’une cellule vivante est loin d’être homogène, qu’on y saisit une organisation complexe de filaments et de granules plongés dans un plasma irrégulier, où l’œil devine des choses qu’il se fatigue inutilement à vouloir préciser. Ainsi le fragment de matière qu’on pouvait d’abord espérer à peu près homogène, apparaît indéfiniment spongieux, et nous n’avons absolument aucune présomption qu’en allant plus loin on atteindrait enfin de « l’homogène », ou du moins de la matière où les propriétés varieraient régulièrement d’un point à l’autre.

Référence. Les Atomes, notamment sa préface d’où provient l’extrait, est entièrement retranscrit sur wikisource.

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Pour citer cet article :

Clotilde Fermanian Kammerer, Stéphane Jaffard, Guillaume Saes — «La parole à Jean Perrin : les courbes sans tangente » — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - © Héloïse Afman, © Jean-François COLONNA/CNET/Lactamme/CNRS Photothèque, © Bertrand REBIERE / ICGM / CNRS Photothèque, © Guillaume Saës.

Commentaire sur l'article

  • La parole à Jean Perrin : les courbes sans tangente

    le 5 décembre 2020 à 12:22, par ROUX

    Ah... Les choux Romanesco...

    Mais si leur surface est fractale, faudra-t-il une quantité infinie de sauce béchamel pour les couvrir ?

    Document joint : chou_romanesco_revue_sfp.pdf
    Répondre à ce message
    • La parole à Jean Perrin : les courbes sans tangente

      le 5 décembre 2020 à 20:11, par Stéphane Jaffard

      La surface du chou Romanesco ayant une dimension fractale comprise entre 2 et 3, elle a un volume nul. Vous pouvez donc utiliser une quantité de sauce béchamel infiniment petite pour recouvrir le chou... ce qui est très économique ! Plus vraisemblablement, vous désirez recouvrir le chou avec une couche d’épaisseur $l$ donnée ($l$ étant petite mais non nulle). La quantité de béchamel utilisée va alors être proportionnelle à $l^{3-d}$ où $d$ est la dimension fractale du chou. Pour une épaisseur petite, on retrouve effectivement l’intuition qu’il faut beaucoup plus de béchamel pour recouvrir un chou Romanesco ($d$ est de l’ordre de 2,7) qu’une aubergine ($d=2$).

      Répondre à ce message
      • La parole à Jean Perrin : les courbes sans tangente

        le 7 décembre 2020 à 11:06, par ROUX

        Ah la la... Ces difficultés à comprendre ce que les mathématicien.ne.s voient et que, nouzautres, simples mortel.le.s ne voyons pas :-) :-) :-).

        Je n’ai pas du tout compris : « La surface du chou Romanesco ayant une dimension fractale comprise entre 2 et 3, elle a un volume nul. Vous pouvez donc utiliser une quantité de sauce béchamel infiniment petite pour recouvrir le chou...  »...

        J’ai par contre bien compris la suite.

        Aviez-vous apprécié l’expérience relatée dans le document joint ?

        Répondre à ce message
  • Petites expériences numeriques interactives en ligne sur les marches aléatoires

    le 7 décembre 2020 à 11:53, par Marc Monticelli

    En 2D : https://experiences.math.cnrs.fr/Promenades-aleatoires-dans-le-plan.html
    En 3D : http://experiences.math.cnrs.fr/Promenades-aleatoires-dans-l.html

    Répondre à ce message

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