La pelota y la curva

Piste verte Le 4 août 2012  - Ecrit par  Serge Cantat
Le 27 juin 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : La balle et la courbe Voir les commentaires
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En este periodo deportivo, observemos las pelotas y balones que nuestros jugadores preferidos manipulan con habilidad, pero veámoslas con ojos de matemático, sin arriesgarnos no obstante a un esguince de cerebro. Ante todo, son vacaciones.

¿Te has preguntado cuál era la forma exacta de su balón de rugby, de las curvas trazadas sobre una pelota de básquetbol, o de la que está trazada en una pelota de tenis ? A decir verdad, el asunto no está bien planteado : esto depende a menudo del fabricante y los secretos de diseño están bien guardados. Tratemos, sin embargo, de enfrentarnos al problema.

La pelota de ping-pong

Para esto, comencemos por la pelota más simple, la de ping-pong. Es muy fácil : una unión circular entre dos hemisferios, como se puede ver en la siguiente figura.

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En otras palabras, la forma global de esta pelota es una esfera : el contorno de la pelota está completamente situado a una cierta distancia del centro de ésta, en este caso a veinte milímetros del centro (antes del año 2000 era 19 milímetros y el cambio se produjo para ralentizar el juego y hacerlo más televisivo) ; la curva descrita por la ’’costura’’ creada durante la fabricación es una gran circunferencia de esta esfera. Para obtener tal circunferencia se puede cortar la esfera con ayuda de un cuchillo, cuyo plano de corte pasa por el centro de la pelota.

El proceso de construcción es por supuesto inverso. Se trata, en efecto, de partir de dos hemisferios (dos pequeñas galletas de plástico, inicialmente), y luego unirlos en forma esférica. Parece banal dicho así, pero usted puede darse cuenta del número de etapas de fabricación en esta pequeña película publicitaria alojada aquí.

El balón de básquetbol

Para el balón de básquetbol, ahora tenemos la opción del modelo. Este es el primero (sin mucho interés) :

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Sus costuras forman grandes circunferencias -exactamente tres- sobre una esfera. No hay gran cosa que decir, salvo que estas circunferencias pasan todas por dos puntos comunes en la esfera : uno se ve en la foto, y el otro está escondido. Si uno imagina la recta que une esos dos puntos, esta pasa por el centro de la esfera y queda contenida en los tres planos de corte que corresponden a las tres grandes circunferencias.

Coloca el balón sobre una mesa asegurándose que uno de esos dos puntos especiales esté en contacto con ella. El otro punto común a los tres círculos está ahora por encima de la pelota, y el eje que une los dos puntos es vertical (perpendicular al plano de la mesa). Ahora puedes cortar el balón con ayuda de un gran cuchillo, primero sobre el primer plano de corte, luego sobre el segundo después de haber girado el balón un tercio de vuelta, etc. En resumen, un poco como cuando uno corta a veces un tomate.

El segundo ejemplar que veremos es más interesante. Aquí hay dos copias, una azul y una anaranjada.

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Aquí las costuras están situadas sobre curvas especiales. Todos los comentarios que he podido leer concuerdan en decir que esas curvas son las siguientes :

  • dos grandes circunferencias que se cruzan en ángulo recto, como se ve bien en el balón azul.
  • dos otras curvas más alambicadas : son curvas esferocilíndricas.
    Dicho de otra forma, cada una puede obtenerse cortando la esfera del balón con un cilindro (con mi balón de basquetball, parece que el diámetro del cilindro es comparable al de la esfera del balón, pero ligeramente más pequeño).

Puedes consultar el lindo sitio Mathcurve, especialmente en esta página. Ella contiene una descripción exacta de esas curvas esferocilíndricas. Para imaginar la construcción, toma un cilindro cortando por ejemplo una botella de plástico vacía y cuyo gollete haya sido recortado para que solo quede la parte cilíndrica. Coje un pomelo y coloca tu botella verticalmente encima del pomelo, desplazándolo para que el centro de la fruta no esté bajo el cilindro de la botella. Luego, recorta un pedazo de pomelo haciendo descender la botella verticalmente su botella como una boquilla. Con un pomelo de tamaño estándar y una botella de un litro, los diámetros son comparables. La curva que queda trazada sobre el borde del pomelo a lo largo de la parte recortada es similar a la de la pelota de básquetbol.

La pelota de tenis

Y finalmente aquí está la curva de la pelota de tenis. Bueno, para esta no sé gran cosa.

Ante todo, ¡hay dos curvas por distinguir ! La primera es la curva que aparece durante la fabricación de la parte interna de la pelota, una especie de cáscara de caucho sintético formada -como la pelota de ping-pong- por dos hemisferios pegados. Luego viene la segunda curva, más interesante. Es la que se obtiene cuando el fieltro se aplica, pegado, sobre la cáscara de caucho.

Dos formas recortadas del fieltro, como estas,

son pegadas para recubrir la esfera.

Los dos trozos de fieltro tienen, grosso modo, la forma de un estadio al cual se le hubiera adjuntado dos semi-discos, por un lado y por el otro. Esas dos piezas de fieltro son las que deben aplicarse sobre la esfera hasta que se toquen, y la curva de contacto es la que buscamos describir.

Aquí nos enfrentamos a una pequeña inquietud geométrica : los dos parches de fieltro han sido recortados en un plano, y se busca pegarlos sobre una esfera. Esto no puede hacerse sin estirar o contraer el fieltro : es el mismo problema, pero al revés, de los planisferios que deben representar la geografía del globo terrestre (vea este artículo, o este otro), que está ligado a la curvatura, y se menciona implícitamente aquí.
Al pasar de la esfera al plano, o del plano a la esfera, la geometría por lo tanto se modifica.
De este modo, para modelizar la curva de la pelota de tenis, habría que tomar en cuenta las deformaciones del fieltro.

De todas maneras, sin tener modelo explicativo, se puede proponer fórmulas para esta curva. Es lo que hace el sitio Mathcurve, con hermosos diseños y animaciones que permiten comparar las diversas posibilidades proyectadas. Se puede también describir al menos una curva que se parece a la de la pelota de tenis y cuya construcción se acomoda al proceso de fabricación industrial. Aquí está, en forma de ejercicio :

  • Recortar en un papel una forma que se parezca a una pista de atletismo, constituida por un rectángulo horizontal con un lado pequeño $a$ y un lado grande $\pi a/2$, y dos semi-círculos de diámetro $a$ yuxtapuestos a un lado y a otro del rectángulo, como la figura de abajo.
    Repetir la operación para tener dos copias.
  • Mostrar que los perímetros de esas dos formas puedan ser unidos, con las partes circulares de una pegándose a los lados largos del rectángulo de la otra.
  • Mostrar que la curva de contacto obtenida así puede quedar incluida en una esfera.

Como ayuda, considera un cubo de lado $a$, olvídate de dos de sus caras opuestas, y sobre cada una de las cuatro caras restantes, traza la circunferencia tangente a los cuatro lados. La curva $C$ obtenida en el ejercicio está formada por cuatro mitades de estas circunferencias, una mitad para cada una de las cuatro circunferencias. La esfera que contiene a $C$ interseca al cubo en las seis circunferencias tangentes a los lados : las cuatro ya trazadas más las dos correspondientes a las caras inicialmente olvidadas.

Por supuesto, ¡esta construcción no produce una pelota redonda ! Sin embargo, provee una buena aproximación a la curva trazada sobre las pelotas de tenis. En comparación, es bastante mejor que la falsa curva presentada en el logo de este artículo.

Y las otras

Esta pequeña mirada a las pelotas y balones ha dejado de lado hermosos ejemplares, pese a que rebosan de simpáticas matemáticas. El balón de fútbol es sin duda el más conocido : puedes descubrir algunos representantes de la clase aquí y acá. El balón de rugby parece que no ha interesado mucho a los científicos por el momento, y las pelotas de quidditch todavía no han revelado sus misterios. Aviso a los aficionados, y felices vacaciones.

Post-scriptum :

La redacción de Images des Maths y el autor agradecen por su atenta relectura a los relectores cuyos seudónimos son fsalein y Aurélien Djament.

Article original édité par Serge Cantat

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «La pelota y la curva» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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