La poésie des nombres

26 août 2013  - Ecrit par  Antonio J. Durán Voir les commentaires (2)

Cet article a été écrit en partenariat avec L’Institut Henri Poincaré

Cet article a été écrit en partenariat avec RBA

L’Institut Henri Poincaré et Images des Mathématiques ont uni leurs efforts pour superviser la réédition de la collection Le monde est mathématique,
publiée par RBA en partenariat avec Le Monde. En 40 ouvrages, cette collection de qualité, issue
d’un projet collectif de mathématiciens espagnols, vise à présenter,
à travers une grande variété de points de vue, de multiples facettes
des sciences mathématiques, sous un aspect historique, humain, social,
technique, culturel ...

Reprise et améliorée au niveau de la forme, cette nouvelle édition a été
entièrement lue et corrigée par l’équipe d’Images des Mathématiques ;
des préfaces et listes bibliographiques ont été ajoutées. Le Monde consacre un cahier spécial au lancement de cette collection présentée par Cédric Villani, qui en a écrit la préface générale.

Chaque semaine, à l’occasion de la sortie d’un nouveau numéro de la série,
un extrait sélectionné sera présenté sur Images des Mathématiques, suivi du sommaire du livre.

Le rôle de la beauté en mathématiques

Préface d’Aurélien Alvarez, enseignant-chercheur à l’université d’Orléans

Certains ne se lassent jamais d’admirer, salle après salle, les peintures, les sculptures
et autres trésors des musées. Un seul coup d’œil suffit parfois pour apprécier
une œuvre ; d’autres fois, de longues minutes ne suffisent pas à satisfaire le plaisir
du visiteur qui n’hésitera pas à revenir la voir un peu plus tard. Ailleurs, d’autres
dévorent des livres à longueur de journée, rangeant soigneusement dans leurs
bibliothèques certains ouvrages qui seront lus et relus inlassablement des dizaines
de fois. D’autres encore n’hésitent pas à traverser les continents pour aller écouter
telle symphonie ou tel opéra même s’ils les connaissent déjà dans leurs moindres
variations. Toutes ces personnes ont-elles quelque motivation commune ? Probablement
plusieurs d’ailleurs, parmi lesquelles le plaisir, forcément, et un certain
sens du beau.

La musique est un langage véritablement universel : difficile de trouver un
peuple ou une ethnie sans musique, celle-ci pouvant parfois être fort complexe.
Il y a un autre langage qui est tout aussi universel : les mathématiques. Contrairement
aux langues que nous utilisons tous les jours, comme le français ou l’espagnol,
les mathématiques ont l’avantage d’exprimer des assertions de manière
univoque. Un mathématicien japonais n’aura aucune difficulté à comprendre les
travaux d’un mathématicien russe, alors qu’un traducteur allemand aura toutes
les difficultés du monde pour traduire vers l’anglais les textes philosophiques
d’Hegel ou de Shopenhauer par exemple. Ce à quoi certains ne manqueront
pas de répondre que la raison principale est que les mathématiques discutent de
vérités froides et figées, alors que la littérature est pleine de nuances, de subtilités
et de… poésie. Mais bien sûr, c’est là bien mal connaître les mathématiques et les
mathématiciens.

Le propos d’Antonio J. Durán dans cet ouvrage n’est pas de développer une
argumentation érudite sur le rôle de la beauté en mathématiques mais plutôt de
donner une multitude d’exemples, des idées d’Archimède aux équations diophantiennes,
des cercles d’Appolonius au nombre d’or, pour n’en citer que quelques-uns.
Pourquoi la beauté des mathématiques est-elle si difficile à apprécier ?
L’auteur nous répond : « Regardez ! Ça. Et ça. Et ici. Et encore là. » À la manière
de quelqu’un cherchant à savoir pourquoi la musique de Beethoven est belle et à
qui on aurait répondu : « Écoutez ! Ça. Et ça. Et ici. Et encore là. »

Si beaucoup de personnes ont du mal à percevoir quelque poésie que ce soit dans
les mathématiques, c’est aussi parce que trop souvent elles oublient une évidence : les
mathématiques sont pensées, sont écrites et sont transmises par des hommes et des
femmes. Un théorème est loin de se réduire à une assertion brute qui arriverait à la
suite d’une infaillible et longue série de déductions logiques ; il y a tout un contexte
qui vient avec le résultat, généralement de nombreux protagonistes, tout un environnement
social. Le théorème que l’on va lire dans un livre est souvent le résultat d’un
très long cheminement, il a été mûri et compris peut-être de nombreuses façons.

La musique de Beethoven est inéluctablement liée au personnage fougueux et
emporté du musicien, elle ne peut se réduire à une suite de notes sur un morceau de
papier. Il en est de même en mathématiques comme l’illustre Antonio J. Durán avec
le mathématicien Hausdorff. La pensée philosophique et mathématique de Felix
Hausdorff est étroitement liée au calvaire infligé par le régime nazi. Il y a d’un côté
le caractère très technique et abstrait d’un concept comme celui de la dimension
de Hausdorff par exemple. Et d’un autre côté, on aurait tort d’oublier que ce travail
intellectuel difficile a été produit dans un contexte historique fou jusqu’à l’absurde.
C’est là une belle leçon d’humanité.

Extrait du Chapitre 2 - Pourquoi la beauté des mathématiques est-elle difficile à apprécier ?

Cercles tangents, approximation rationnelle, équations diophantiennes et « La Ruche » de Cela

Parmi l’incommensurable ensemble de résultats qui fourmillent dans les différents
« quartiers » des mathématiques élémentaires, j’en choisirai trois, disons au hasard.
Ce seront les trois personnages de l’histoire que je me propose de raconter. Comme
dans le livre La Ruche, ces personnages semblent être aussi étrangers et éloignés les
uns des autres que le permet la diversité et l’immense étendue des mathématiques.
Pourtant, ce ne sera finalement qu’apparence.

Le premier personnage appartient au vieux « quartier » de la géométrie : il
s’agit de ces constructions géométriques si suggestives formées de cercles tangents.
Pour améliorer la compréhension, je vais baptiser chacun de ces trois personnages
et le lecteur ne s’étonnera pas si je choisis dans ce but des noms de personnages
du roman La Ruche. Par conséquent, j’appellerai mon premier personnage Doña
Rosa. Dans l’ouvrage de Cela, Doña Rosa est la propriétaire du café La Delicia, où
ont lieu un grand nombre de scènes du roman. « Pour Doña Rosa, le monde est
son café et, autour de lui, tout le reste », nous dit Cela. « D’aucuns prétendent que
lorsque le printemps arrive et que les jeunes filles commencent à sortir en manches
courtes, ses yeux se mettent à briller. Je crois que ce ne sont que commérages :
Doña Rosa n’aurait pour rien au monde lâché une pièce d’argent. Printemps ou
pas. Ce qu’aime Doña Rosa, c’est traîner ses kilos, ni plus ni moins, entre les tables
de son café. »

Le deuxième personnage de mon histoire vient des faubourgs ouvriers de
l’approximation : il s’agit ici de savoir comment l’on peut approcher par des fractions
un nombre quelconque, par exemple, pour être concret, le nombre $\sqrt{2}$ ou le
nombre $\pi$. Je donnerai le nom de Martin Marco à ce personnage. Dans le roman
de Cela, Marco est un poète, un idéaliste de gauche que la guerre civile espagnole a
mis hors-jeu : « C’est un petit homme chétif, pâle, malingre, au regard caché sous des
lunettes cerclées de fer. Il porte une veste râpée et un pantalon effiloché. » Martin
Marco vit tant bien que mal de la charité de ses amis et vieilles connaissances, des
œufs sur le plat que sa soeur Fifi lui fait en cachette de son mari, et de la chaleur qu’il trouve la nuit dans le lit des prostituées du bordel que tient l’une des vieilles
amies de sa mère.

Enfin, le troisième de mes personnages habite le « quartier » le plus chic et sélect
des mathématiques, la théorie des nombres, et il s’agit de l’équation diophantienne :
\[p^2 + q^2 + r^2 = 3 pqr\]
ou plus précisément, des différents nombres entiers naturels, solutions de cette équation.
Je nommerai ce personnage Julita, en référence à la jeune fille que Cela nous
dépeint comme un peu sans-gêne et tête-en-l’air : « Elle avait les cheveux teints
en blond. Lorsqu’elle lâchait sa chevelure bouclée, elle ressemblait à Jean Harlow. »
C’est la nièce de Doña Rosa et elle donne rendez-vous à son fiancé dans le meublé
de Doña Célia.

Le parallèle entre ces résultats mathématiques et les personnages de Cela
pourra paraître irrespectueux à certains puristes. Je ne nie pas qu’il n’y ait pas
certains risques à comparer la géométrie, ou une partie de la géométrie, à cette
maligne de Doña Rosa, cette grosse femme un peu sale et très égoïste, ou encore
l’approximation rationnelle de nombres irrationnels avec ce naïf et ce perdant de
Martin Marco, ou la fameuse équation diophantienne à cette écervelée de Julita
Moisés Leclerc. Mais ces comparaisons et les risques encourus sont à la base du
jeu que je propose au lecteur.

La biographie de chacun de nos personnages remonte au temps des Grecs et,
comme cette histoire de vies croisées finira par nous démontrer, ce ne sera pas
celle-ci la seule ni la plus importante des coïncidences entre nos personnages. Bien
sûr, comme dans les romans, ces coïncidences en mathématiques ne se produisent
pas par hasard.

[...]

PDF - 1.6 Mo
Sommaire du livre

Pour aller plus loin

Post-scriptum :

L’extrait proposé est choisi par le préfacier du livre : Aurélien Alvarez. Celui-ci répondra aux commentaires éventuels.

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Pour citer cet article :

Antonio J. Durán — «La poésie des nombres» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013

Commentaire sur l'article

  • La poésie des nombres

    le 29 août 2013 à 12:27, par Audibert

    Vous avez mis la couverture du N°22 PAR ERREUR

    Répondre à ce message
    • La poésie des nombres

      le 15 septembre 2013 à 14:20, par Carole Gaboriau

      Merci pour votre vigilance ! L’erreur est corrigée.

      Carole Gaboriau
      Secrétaire de rédaction

      Répondre à ce message

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