La poursuite du lièvre par un chien

Piste bleue Le 28 mars 2015  - Ecrit par  Jacques Sesiano Voir les commentaires (1)

Beaucoup de problèmes considérés comme récréations mathématiques prennent leur origine dans des situations de la vie courante ; seulement, et c’est là qu’ils acquièrent leur qualification de récréation mathématique, les conditions imposées deviennent peu vraisemblables voire invraisemblables.

Ainsi en est-il du problème des deux courriers. Le premier se met en route, et un second, parti soit ultérieurement soit en même temps mais d’un lieu plus éloigné, doit le rejoindre. Le parcours journalier du second doit être supérieur à celui du premier, ou le devenir. Dans ce deuxième cas, on peut imposer, pour la commodité du calcul, que son avance journalière croisse uniformément selon une progression arithmétique —ce que le lecteur désirant se représenter cette situation dans la vie courante aura quelque peine à concevoir. On peut même imposer que cette croissance soit en progression géométrique, ce qui là paraîtra véritablement absurde. Bien évidemment, on peut encore appliquer ces conditions au premier courrier, la seule restriction étant qu’à la fin celui-ci soit rejoint par celui-là. [1]

De tels problèmes, avec ces trois types de conditions, sont courants au Moyen Âge, non seulement pour rendre les mathématiques plus plaisantes à l’étudiant, mais aussi pour l’exercer au calcul —dans le cas particulier des deux dernières conditions à la sommation des suites arithmétiques et géométriques. Que ces problèmes remontent à l’Antiquité est certain : quelques exemples en ont été transmis, qui réapparaissent soit dans les premiers siècles de l’Empire byzantin, soit dans des écrits en arabe des premiers siècles de l’hégire, soit dans le haut Moyen Âge. Mais le problème des poursuites prit aussi en Occident une autre forme, celle du chien poursuivant un lièvre, parfois aussi quelque autre animal. Nous traiterons les cas simples du problème de deux courriers, après quoi nous examinerons le cas du chien et du lièvre, que nous illustrerons par quelques exemples médiévaux ou du début du XV$^{\rm e}$ siècle [2].

I. Les deux courriers

1. Cas de vitesses constantes

Soit $d$ la distance initiale entre les deux courriers et
$a_1$, $a_2$ leurs avances journalières, avec naturellement $a_2>a_1$ pour que le second puisse rattraper le premier. Comme l’avance du premier se réduit chaque jour de $a_2-a_1$, le temps de la poursuite, donc le temps mis par le second pour rejoindre le premier, sera donné par
\[\displaystyle t=\frac{d}{a_2-a_1}\,.\]

Si on suppose que le second part $\tau$ jours après le premier, on transformera ce temps en une distance initiale ($d=\tau\cdot a_1$). Au temps $t$ trouvé on ajoutera $\tau$ si on désire aussi connaître la durée du cheminement du premier.

2. La vitesse du poursuivant est en progression arithmétique

Si $a_1$, $a_2$ désignent à nouveau leurs avances journalières au départ, mais avec celle du second au jour $j$ devenant $a_2^{(j)}=a_2+r(j-1)$, le temps $t$ de rencontre sera déterminé en égalant l’avance du premier après $t$ jours et celle du second après ce même temps, soit

\[t\cdot a_1=t\cdot a_2+r\,\frac{(t-1)t}{2},\]
d’où
\[t=\frac{2\,(a_1-a_2)+r}{r}\,.\]

3. La vitesse du poursuivant est en progression géométrique

Soient encore $a_1$, $a_2$ leurs avances journalières au départ, avec celle du second au jour $j$ valant cette fois $a_2^{(j)}=a_2\cdot r^{j-1}$. Le temps $t$ de rencontre sera ici aussi déterminé en égalant l’avance du premier après $t$ jours et celle du second après ce même temps, soit
\[t\cdot a_1=a_2\,\frac{r^t-1}{r-1}\]
d’où
\[a_2\cdot r^{t}=a_1\cdot t\,(r-1)+a_2\,.\]
Cette dernière relation, étant une équation exponentielle, n’est évidemment pas résolue exactement au Moyen Âge, où on se contente de calculer les avances après chaque journée et d’approcher la solution par une interpolation linéaire. À moins qu’on ne se contente du nombre entier de jours, comme dans ce manuscrit français du XV$^{\rm e}$ siècle :

Ung larron, après qu’il a commis sa larsin, pour evader les mains de justice s’en fuit, et chevauche ordinairement (= régulièrement) chascun jour 30 lieues. Le prevost aconpaignié de ses sergens le suit et ne chevauche le premier jour que une lieue, le second 2, le tiers quatre, le quart 8, et ainsi en aconsuivant (= poursuivant) et croissant chascun jour de la moytié. [3] Assavoir en quans jours et quantes lieues ledict prevost aura ataint ledict larron.

Le texte ajoute simplement :

Responce. Le 8$^{\it \, e}$ jour. Le larron en 8 jours chevauche 240 lieues, et ledict prevost aussi en 8 jours en chevauche 255. Ainsi appert (= apparaît) que ledict prevost prent ledict larron en chevant (= achevant) la 8$^{\it \, e}$ journee.

II. La poursuite du lièvre par le chien

Ce problème semblerait à première vue fort simple, car il s’agit, comme dans le premier cas, d’une poursuite où les deux vitesses sont constantes. C’est dans la mise en forme de l’équation que réside la difficulté, ce qui explique que la solution générale ne fut atteinte que tardivement. Tout d’abord, la distance initiale $d$ peut être exprimée avec les unités usuelles de longueur, mais aussi en quantité de sauts du lièvre, $d_l$, ou de sauts du chien, $d_c$ ; comme les longueurs des sauts du chien, $l_c$, et des sauts du lièvre, $l_l$, sont d’ordinaire différentes, nous aurons $d_l\not=d_c$ ($d=d_l\cdot l_l=d_c\cdot l_c$). Mais la fréquence des sauts, si elle est constante pour chaque animal, diffère entre eux : durant un intervalle de temps fixe $\tau$, le chien en fera $\nu_c$ cependant que le lièvre sautera $\nu_l$ fois. Ainsi, durant le temps $\tau$, le lièvre aura avancé de $a_l=\nu_l\cdot l_l$ cependant que le chien aura progressé de la quantité plus grande $a_c=\nu_c\cdot l_c$. De la sorte, comme dans notre cas des courriers se déplaçant à des vitesses constantes (où $\tau$ est la durée du jour), le temps $t$ entre le début de la poursuite et la jonction devra obéir à la proportion
\[\frac{t}{\tau}=\frac{d}{a_c-a_l}=\frac{d}{\nu_c\cdot l_c-\nu_l\cdot l_l}.\]
Si maintenant la distance initiale est exprimée en sauts du lièvre ou bien en sauts du chien, ceci prendra les formes
\[\frac{t}{\tau}=\frac{d_l\cdot l_l}{\nu_c\cdot l_c-\nu_l\cdot l_l},\qquad \frac{t}{\tau}=\frac{d_c\cdot l_c}{\nu_c\cdot l_c-\nu_l\cdot l_l}.\]
On peut en déduire les nombres des sauts du lièvre $n_l$ et du chien $n_c$ jusqu’à la rencontre grâce à \[\frac{t}{\tau}=\frac{n_l}{\nu_l}=\frac{n_c}{\nu_c}\,;\]
on trouve ainsi, respectivement,
\[n_l=\frac{\nu_l\cdot d}{\nu_c\cdot l_c-\nu_l\cdot l_l}=\frac{\nu_l\cdot d_l\cdot l_l}{\nu_c\cdot l_c-\nu_l\cdot l_l}=\frac{d_l}{\frac{\nu_c}{\nu_l}\cdot \frac{l_c}{l_l}-1},\qquad (1)\]
\[n_c=\frac{\nu_c\cdot d}{\nu_c\cdot l_c-\nu_l\cdot l_l}=\frac{\nu_c\cdot d_c\cdot l_c}{\nu_c\cdot l_c-\nu_l\cdot l_l}=\frac{d_c}{1-\frac{\nu_l}{\nu_c}\cdot \frac{l_l}{l_c}}.\qquad (2)\]
Remarque.

Les textes considèrent usuellement $l_c>l_l$, au plus —et rarement— $l_c=l_l$. Il est vrai qu’un lièvre sera difficilement rattrapé par un caniche.

III. Exemples

1. Les fréquences des sauts sont égales

Supposons que les fréquences des sauts soient égales durant un même temps, donc que $\nu_c=\nu_l$, et donc aussi, pour la durée de toute la poursuite, $n_c=n_l\equiv n$. Autrement dit, les sauts sont simultanés, avec, bien évidemment, $l_c>l_l$ pour que la jonction ait lieu. Nos formules (1) et (2) deviennent donc, si la distance initiale est donnée en mesures de longueur,
\[n=\frac{d}{l_c-l_l}.\]

Un manuscrit français du XV$^{\rm e}$ siècle rapporte un tel problème, qui est en fait la traduction d’un de ceux que contient le recueil d’Alcuin, écrit à la fin du VIII$^{\rm e}$ siècle, et qui repose sur des sources de la basse Antiquité.

Il y a un champ qui a 150 piez (= pieds) de long, et ou chief (= à la tête) du champ estoit un levrier, et en l’aultre estoit un lievre. Or se murent ensamble pour courir, le lievre pour fouir et le levrier pour le prendre ; le levrier à chascun sault sailloit (= sautait) 9 piez et le lievre à chascun sault ne sailloit que 7 piez. On demande quans piez coururent l’un et l’autre avant que le lievre fust prins (= pris).

Responce. La longueur du champ, si (= ainsi) comme dist est, est de 150 piez ; dez quielx (= desquels) prans la moitié, ce sont 75. Le chien doncques sailloit 9 piez à chascun sault ; multipliez 75 par 9, ce sont 675, et tant de piez courut le levrier avant qu’il print (= prît) le lievre. Et le lievre à chascun sault ne sailloit que 7 piez ; multipliez 75 par 7, ce sont 525 piez, et tant de piez courut le lievre avant qu’il fust pris.

Je le te monstre. Soustray 525 piez, qui est le cours (= parcours) du lievre, de 675 piez, qui est le cours du levrier ; y (= il) demeure la longueur du champ, qui est 150 piez.

Ici, $d=150$, $l_c=9$, $l_l=7$. L’auteur calcule donc que $n=75$, puis il détermine la distance ainsi couverte par l’un et l’autre animal, soit $75\cdot 9$ et $75\cdot 7$, dont la différence doit forcément égaler la distance initiale de séparation.

2. Les longueurs des sauts sont égales

Ici, $l_c=l_l\equiv l$ (et par suite $\nu_c>\nu_l$, ou $n_c>n_l$, pour que la rencontre ait lieu). Comme $d=d_l\cdot l=d_c\cdot l$, nous aurons $d_l=d_c=d_{cl}$, puisque la distance initiale est couverte en un même nombre de sauts, mais de fréquences différentes. Nos formules (1) et (2) peuvent alors s’écrire comme
\[\frac{n_l}{\nu_l}=\frac{d_{cl}}{\nu_c-\nu_l}=\frac{n_c}{\nu_c},\]
qui donne le nombre de fois que le lièvre effectue $\nu_l$ sauts et le chien $\nu_c$ sauts.

Nous en trouvons un exemple dans la Coss de Christoff Rudolff de 1525, que réédita, avec des commentaires, Michael Stifel en 1553 [4].

Un lièvre précède un chien de 90 sauts, et chaque fois que le lièvre accomplit 12 sauts, le chien en accomplit 15, et le lièvre saute uniformément aussi loin que le chien. La question est : combien de fois le chien doit-il effectuer 15 sauts pour qu’il atteigne le lièvre ?

Ici, $d_{cl}=90$, $\nu_c=15$, $\nu_l=12$, en sorte que le quotient ci-dessus égalera 30 ; effectivement, le chien devra effectuer $30\cdot 15=450$ sauts pour rejoindre le lièvre, qui dans le même temps en effectuera 360, perdant ainsi son avantage initial. Chez Rudolff, la résolution est algébrique, l’équation étant, dans notre écriture, $15x=12x+90$, où $x$ désigne le nombre de groupes de sauts cherché.

3. Cas général

La Coss présente un autre exemple de ce type, mais cette fois pour le cas général (et avec la poursuite d’un renard) :

Un chasseur poursuit un renard. Le renard a 60 sauts d’avance. Et chaque fois que le renard effectue 9 sauts le chien en effectue 6, néanmoins 3 sauts du chien font autant que 7 sauts du renard. La question est : combien de sauts le chien doit-il effectuer jusqu’à ce qu’il attrape le renard ?

Les données sont donc $d_l=60$, $\,\nu_l=9$, $\,\nu_c=6$, $3\cdot l_c=7\cdot l_l$. Les relations vues en II permettent de trouver la réponse :
\[\frac{n_l}{\nu_l}=\frac{n_c}{\nu_c}=\frac{d_l}{\nu_c\cdot \frac{l_c}{l_l}-\nu_l} =\frac{60}{6\cdot \frac{7}{3}-9}=\frac{60}{5}=12,\]
en sorte que les nombres de sauts durant la poursuite seront $\,12\cdot 6=72\,$ pour le chien et $\,12\cdot 9=108\,$ pour le renard.

Comme ceci résout le cas général, il vaut la peine de reproduire le raisonnement de l’auteur.
Puisque 6 sauts du chien valent, en distance, 14 de ceux du renard cependant que, à nouveau durant 6 sauts du chien, le renard en fait 9, c’est la différence en sauts du renard, 5, qui servira à combler le retard. Il y aura donc autant de fois 6 sauts du chien que vaut 60 divisé par 5, soit $12\cdot 6=72$, qui permettront au chien de rattraper les $\,12\cdot 9=108\,$ sauts de la course du renard plus les 60 de son avance initiale.

Stifel, qui réédite le traité de Rudolff, pense que, relativement aux problèmes véritablement `utiles’, les explications que demandent ces problèmes `ridicules’ sont disproportionnées ; il se sentait néanmoins tenu de conserver tous les problèmes de l’ouvrage originel. Il a sans doute raison sur la forme. Mais les problèmes récréatifs en général ont eu dans le développement des mathématiques un rôle insoupçonné : outre qu’ils aiguisaient la réflexion de l’étudiant et augmentaient son attrait pour les mathématiques, ils permettaient, du fait de leur détachement des situations vraisemblables, une plus grande liberté. Ainsi la première reconnaissance de la solution négative d’un problème, et donc d’un nombre négatif, apparaît-elle, dans la première moitié du XV$^{\rm e}$ siècle, lors de la résolution d’un problème récréatif [5].

Post-scriptum :

La rédaction d’Images des Mathématiques remercie les relecteurs richecoeur, Bruno Duchesne, Jérôme et Aline Parreau pour
leurs corrections et leurs commentaires judicieux.

Article édité par Marc Moyon

Notes

[1La notion de progression est sans doute connue des lecteurs. Rappelons toutefois que si a est le parcours au premier jour, le parcours dans chacun des jours suivants sera soit augmenté d’une quantité constante $r$ (progression arithmétique) soit multiplié par une constante $r$ (progression géométrique). La sommation de ces deux types de progressions était connue dans l’Antiquité.

[2Exemples que nous reprenons de notre ouvrage Récréations mathématiques au Moyen Âge (Lausanne 2014), pp. 104—112.

[3La distance couverte au jour $j-1$ est la moitié de celle qui sera couverte au jour $j$.

[4Il est notable que c’est avec cet ouvrage que, un peu plus d’un siècle et demi plus tard, le père de Leonard Euler inculqua à son fils les premiers éléments des mathématiques.

[5Voir notre Introduction à l’histoire de l’algèbre (Lausanne 1999), pp. 120—123 (pp. 115—118 de la traduction en anglais, Providence 2009).

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Pour citer cet article :

Jacques Sesiano — «La poursuite du lièvre par un chien» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Commentaire sur l'article

  • La poursuite du lièvre par un chien

    le 28 mars 2015 à 12:48, par Bastien_B

    Très bon article !
    J’adore ce type de problème et de raisonnement.
    Je tiens juste à signaler une petite faute :
    Au paragraphe III. Exemples 3. généralisation

    « Un chasseur poursuit un renard. »


    Ce n’est pas plutôt un chien qui poursuit un renard ? Appart si à l’époque on considérait chasseur comme chien ?

    Sinon très bon sujet. On pourrait étendre cela en parlant même d’angles..
    Après pourquoi pas même de poser des problème avec plusieurs personne se déplaçant dans un plan sur un cercle ? Qui ratrape qui ect..?

    Bastien.

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