Comment une conjecture, a priori purement topologique, résiste 100 ans aux topologues pour se livrer aux géomètres. Le programme lancé par Richard Hamilton en 1982 et mené à son terme par Grigori Perelman en 2003, repose sur le flot de la courbure de Ricci, une équation d’évolution qui tend à homogénéiser la métrique.
La topologie des surfaces est bien comprise dès la fin du 19-ième siècle. Toute surface orientée et sans bord peut être décrite topologiquement comme le bord d’un bretzel. Le nombre de trous du bretzel est aussi le nombre maximal de courbes disjointes tracées sur la surface sans la séparer : ce nombre, appelé genre, suffit à classer les surfaces. Du point de vue topologique la surface la plus simple est donc la sphère \textbf {S}^2 \subset {{R}}^3 qui est le bord de la boule unité et sur laquelle toute courbe fermée sépare.
Une étude similaire pour les hypersurfaces (ou variétés) sans bord de dimension supérieure n’a vraiment commencé qu’avec le mémoire de Henri Poincaré sur l’Analysis Situs en 1895 ([Poin]), qui marque la naissance de la topologie algébrique moderne.
En 1904, dans le cinquième et dernier complément à l’Analysis Situs ([Poin]), Poincaré construit un exemple qui montre qu’en dimension trois on ne peut pas caractériser la sphère unité \textbf {S}^3 \subset \textbf {R}^4 par la propriété que toute surface plongée la sépare. Il faut faire appel à des notions topologiques plus fines. Pour distinguer l’espace tridimensionnel qu’il a construit de la sphère {{S}}^3 Poincaré utilise le groupe fondamental. C’est un invariant algébrique qu’il a introduit dans son premier mémoire sur l’Analysis Situs et qui prend en compte les chemins fermés (lacets) dans l’espace considéré qui ne peuvent pas être rétractés sur un point par une déformation continue (on dit alors que le lacet est essentiel). Si aucun lacet n’est essentiel, le groupe fondamental est trivial et l’espace est dit simplement connexe [1] . C’est le cas de toutes les sphères \textbf {S}^n de dimension n \geq 2. Poincaré montre que son exemple n’est pas simplement connexe.
A la fin de son article il pose la question suivante, désormais célèbre : « Est-il possible que le groupe fondamental d’une variété V de dimension 3 se réduise à la substitution identique, et que pourtant V ne soit pas la sphère ? » [2]. L’affirmation qu’une variété simplement connexe de dimension 3 est la sphère \textbf {S}^3 est connue sous le nom de Conjecture de Poincaré. Cette conjecture s’est révélée être un problème extrêmement difficile. Elle trouve une généralisation naturelle dans la Conjecture de Géométrisation formulée par William Thurston dans les années 70 pour décrire toutes les variétés de dimension 3.
Thurston ([Thu]) conjecture que huit géométries homogènes suffisent pour décrire les briques élémentaires permettant de construire toutes les variétés de dimension 3 (voir aussi ([Sco]). La conjecture de géométrisation a ainsi replacé la géométrie différentielle au cœur de l’étude des variétés de dimension 3.
Au début des années quatre-vingts Richard Hamilton a lancé un nouveau programme pour démontrer la conjecture de géométrisation et, en particulier, la conjecture de Poincaré. Son approche est basée sur le flot de Ricci : il s’agit d’analyser et de contrôler les solutions d’une équation différentielle, liée à la courbure (le flot de Ricci), sur l’espace des métriques riemanniennes de la variété considérée. Lorsque le flot évolue la métrique s’homogénéise, mais l’étalement de la courbure n’est pas uniforme : en temps fini elle peut s’accumuler et devenir infinie (nous dirons « exploser ») en certains points de la variété. Ce sont ces phénomènes, appelés singularités du flot de Ricci, que Hamilton n’a pas réussi à contrôler.
Récemment, Grigori Perelman a défini pour le flot de Ricci une quantité monotone, appelée entropie, qui lui a permis de décrire la manière dont apparaissent les singularités et de les classer. Avec cela il a réussi le tour de force de mener à son terme le programme de Hamilton. Il construit à partir du flot de Ricci un flot avec chirurgie permettant de se débarrasser des singularités. Nous décrivons maintenant la preuve de la conjecture de Poincaré proposée par Perelman.
On cherche un procédé évolutif qui produise une métrique riemannienne privilégiée sur une variété différentielle M donnée (voir encadré Définition 1). Le souhait est que celle-ci soit une métrique de courbure de Ricci constante ; une telle métrique est dite d’Einstein.
Le flot associé à la courbure de Ricci (voir encadré Définition 1) est une équation différentielle sur l’espace (de dimension infinie) {\mathcal M} des métriques riemanniennes sur la variété M. L’idéal serait que cette équation différentielle ordinaire soit donnée par l’opposé du gradient d’une fonction (de sorte que les trajectoires convergent vers les minima) ; le candidat naturel pour une telle fonction est celle que les physiciens appellent la fonctionnelle de Hilbert-Einstein ; il s’agit d’une intégrale de courbure (la courbure scalaire) dont les points critiques sont les métriques dites d’Einstein, c’est-à-dire les métriques telles que {\rm Ric}_g=\lambda g. Malheureusement un calcul simple montre que son gradient donne naissance à une équation qui n’admet pas de solutions en général. Par contre une modification de cette équation stérile convient. On appelle flot de Ricci, une famille g(t) de métriques riemanniennes sur M, définie sur un intervalle [0,T[ et qui vérifie l’équation d’évolution suivante (voir encadré Exemple 2) :
Définition 1
Une variété différentielle de dimension n est un espace localement modelé sur l’espace euclidien standard \textbf {R}^n : chaque point a un voisinage ouvert homéomorphe à \textbf {R}^n qu’on appelle une carte et le passage d’une carte à une autre s’opère par un difféomorphisme de classe C^\infty. En dimension 3 la structure différentielle est unique à difféomorphisme près alors qu’on peut munir \textbf {R}^4 d’une infinité de structures différentielles deux-à-deux non difféomorphes. Dans la suite toutes les variétés seront de classe C^\infty et orientables.
Pour faire de la géométrie dans M (par exemple calculer la longueur d’une courbe, des distances, des volumes, etc.) on a besoin d’une structure supplémentaire, appelée métrique riemannienne et notée g : c’est la donnée en chaque point x des cartes d’un produit scalaire g_i(x), variant de façon C^\infty avec x et compatibles avec les changements de cartes. Les courbures associées à une métrique mesurent l’écart infinitésimal à la métrique standard de \textbf {R}^n. Elles se calculent par des expressions polynomiales des coefficients de g, \partial g et \partial^2 g.
Par exemple, à chaque 2-plan P de l’espace tangent T_xM, on associe la courbure sectionnelle K(P), qu’on peut définir comme suit. On appelle C(r) le cercle de centre x, de rayon r tangent à P. Alors sa longueur satisfait la formule
\ell(C(r)) =2\pi r(1-\frac{K(P)}{6}r^2+o(r^2))\,,et K(P) mesure le défaut au périmètre euclidien. La courbure de Ricci (on dit aussi le tenseur de Ricci) est, en chaque point x de M, une forme bilinéaire symétrique sur T_xM (pas nécessairement définie positive). Sa valeur dans une direction v \in T_xM, qu’on note \rm Ric_g(v,v)_x, se calcule en prenant la somme des courbures sectionnelles des 2-plans engendrés par v et e_i où e_i parcourt une base orthonormée de l’orthogonal de v dans T_xM. Elle mesure un défaut dans l’aire de petites sphères. La courbure scalaire R(x) est une fonction sur M définie en chaque point x comme la trace de la courbure de Ricci \rm Ric_g(\cdot,\cdot)_x par rapport au produit scalaire g_x, c’est-à-dire la somme de ses valeurs propres. Elle mesure un défaut d’ « euclidianité » dans le volume des petites boules.
Le point de vue des équations différentielles, évoqué ci-dessus, est très difficile à mettre en œuvre sur l’espace de dimension infinie {\mathcal M}. On lui préfère l’approche plus efficace qui consiste à écrire \ref{1} en paramétrant M (par des coordonnées locales). Alors, \ref{1} devient une équation aux dérivées partielles parabolique du type réaction-diffusion.
Exemple 2
Sur la sphère ronde, le flot de Ricci a pour solution g(t)=(1-2\lambda t)g_0 sur l’intervalle [0,\frac{1}{2\lambda}[, si la courbure de Ricci de la métrique initiale est \rm Ric_{g_0}=\lambda g_0 avec \lambda >0.
Plus généralement le flot évolue par homothétie si la métrique initiale est d’Einstein. On peut résumer l’évolution en disant que les métriques de courbure négative enflent et celles de courbure positive se contractent.
Hamilton ([Ham-3]) a démontré l’existence d’une solution en temps petit pour toute donnée initiale lisse (voir [DeT] pour une preuve simple). De plus on peut prolonger le flot tant que les courbures sectionnelles (voir encadré Définition 1) restent bornées en valeur absolue. Pour contrôler les courbures, on écrit leurs équations d’évolution et on utilise des principes du maximum.
Commençons par la courbure scalaire, qui évolue selon l’équation parabolique :
où toutes les quantités dépendent de g(t). En un point x minimisant la courbure scalaire de g(t), le laplacien \Delta R est positif ou nul et donc \frac{\partial R}{\partial t}\geq 0. Heuristiquement, on peut penser que le minimum sur M de la courbure scalaire de g(t), qu’on note R_{min}(t), croît avec t. Un principe du maximum permet de montrer cela de manière rigoureuse. Mieux, si R_{min}(0)>0, on peut montrer que R_{min}(t) tend vers +\infty en temps fini (si le flot existe). Dans ce cas, on est sûr que le maximum des courbures sectionnelles tend vers +\infty en temps fini. Pour avoir plus d’informations, on utilise l’équation d’évolution du tenseur de Ricci, qui est de la forme :
où Q est une expression quadratique. Un principe du maximum vectoriel montre que si \rm Ric_{g_0}\geq 0 alors \rm Ric_{g(t)} \geq 0. Si de plus \rm Ric_{g_0} > 0, c’est vrai pour tout t et on a alors en tout point le pincement
où \alpha et \beta sont des constantes strictement positives. Ceci signifie que lorsque R(x,t) \rightarrow +\infty, l’écart relatif en x de \rm Ric_{g(t)} à sa moyenne \frac{R}{3}g(t) tend vers 0. À l’aide d’un contrôle du gradient de la courbure scalaire, Hamilton montre que, sous l’hypothèse de stricte positivité de la courbure de Ricci, celle-ci explose en temps fini partout à la même vitesse. Alors, quitte à la renormaliser pour la rendre de volume constant, g(t) converge vers une métrique de courbure sectionnelle constante strictement positive, d’où le
\quad
La situation est radicalement différente si la courbure de Ricci n’est pas strictement positive. Le résultat le plus général est que, pour toute donnée initiale, le flot existe sur un intervalle maximal [0,T[ et que si T <\infty le maximum des courbures sectionnelles au temps t tend vers +\infty quand t\rightarrow T. Dans le dernier cas, on dit que T est un temps singulier. En général la courbure explose sur une partie seulement de la variété, on dit que le flot rencontre une singularité. Cependant une variante des résultats précédents, le théorème dit de « pincement » de Hamilton-Ivey, montre que la partie négative de la courbure devient négligeable comparée à la courbure scalaire. En particulier, la courbure scalaire contrôle toutes les courbures. Disons maintenant quelques mots sur l’étude des singularités.
Cette technique, classique en analyse, a été mise en œuvre dans ce contexte par Hamilton dans ([Ham-sing]) et ([Ham-comp]). Un zoom consiste à dilater la métrique et ralentir l’écoulement du temps pour avoir une nouvelle solution du flot. On va considérer des suites de zooms et tenter de passer à la limite (voir encadré Dilatation parabolique). Si on peut montrer l’existence de flots limites et les classifier, on obtient des modèles pour les singularités. L’existence du flot limite a été un des points de blocage du programme d’Hamilton. Cette question vient d’être complètement résolue par Perelman.
En général on considère une suite de zooms sur des points (x_k,t_k) telle que Q_k:=R(x_k,t_k) \rightarrow +\infty et maximise la courbure scalaire sur M \times [0,t_k]. Alors la suite de dilatations paraboliques g_k(t) en (x_k,t_k) est de courbure bornée sur des intervalles [-t_k Q_k,0] convergeant vers ]-\infty,0]. Une condition adéquate pour assurer la convergence de la suite (ou d’une sous-suite) (M,g_k(t),x_k) — en un sens que nous ne préciserons pas — vers un flot (M_\infty,g_\infty(t),x_\infty) est une minoration du volume de la boule unité centrée en x_k (pour la métrique g_k(0)) par une constante strictement positive indépendante de k. Le premier apport frappant de Perelman ([Per1]) est d’établir que cette minoration est toujours satisfaite si l’explosion de la courbure a lieu en temps fini. Par construction, la limite obtenue est un flot sur ]-\infty,0] de courbure bornée et non nulle. De plus, le théorème de pincement de Hamilton-Ivey permet de montrer que la courbure sectionnelle est positive ou nulle sur le flot limite.
Dilatations paraboliques
L’idée du zoom est formalisée par la notion de dilatation parabolique. Étant donné un flot de Ricci g(t) sur M\times [0,T[, un point x_0 et un temps t_0, c’est la solution du flot donnée par la formule
g_0(t)=Q_0\cdot g\big (t_0 + \frac{t}{Q_0}\big )où Q_0=R(x_0,t_0). Elle est définie sur [-t_0 Q_0,(T-t_0)Q_0[. C’est une renormalisation telle que R_{g_0}(x_0,0) soit égale à 1.
Un résultat majeur du premier article de Perelman ([Per1]) est le théorème des voisinages canoniques, qui décrit la métrique g(t) aux points de grande courbure scalaire. Si la courbure est grande partout, on en déduit la classification de M. Dans ce cas on dit que le flot s’éteint. Sinon l’idée (qui remonte à Hamilton ([Ham-iso]) est de se débarrasser des morceaux de M de grande courbure en coupant la variété le long de sphères \textbf {S}^2 et en rebouchant les trous par des boules B^3. Bien entendu, il faut faire cela en contrôlant la topologie et la géométrie. Puis on relance le flot sur la nouvelle variété, peut-être non connexe, et on itère le processus. Éventuellement, certaines composantes connexes disparaissent lors des chirurgies, on dit aussi qu’elles s’éteignent. Perelman démontre dans [P2] qu’on peut poursuivre ce flot avec chirurgie indéfiniment, pour toute donnée initiale convenablement normalisée. Sur chaque intervalle de temps fini, on n’opère qu’un nombre fini de chirurgies. Si le flot s’éteint complètement en temps fini, on peut classer toutes ses composantes connexes et donc la variété de départ. C’est ce qui se passe dans la preuve de la conjecture de Poincaré. La classification en temps long est plus difficile et nous ne l’aborderons pas ici.
Le théorème des voisinages canoniques affirme essentiellement qu’aux points de grande courbure scalaire d’un flot de Ricci, la géométrie est canonique, c’est-à-dire presque isométrique à un nombre fini de modèles simples. Pour ne pas inclure trop de paramètres, par dilatation de la métrique initiale, on peut supposer que le flot vit sur [0,1] au moins et demander que les boules unités de la métrique initiale soient presque euclidiennes. On dira la donnée initiale normalisée. Alors,
On dira que g(t) satisfait l’hypothèse des voisinages canoniques à l’échelle r (voir fig. 1).
Par deux variétés \varepsilon-presque-isométriques nous entendons deux variétés difféomorphes et dont les métriques riemanniennes sont \varepsilon-proches ainsi que leurs dérivées d’ordre \leq 1/\epsilon. En particulier, les courbures sur ces voisinages sont comparables à la courbure scalaire R(x,t). La taille des voisinages correspondant à (i) et (ii) est comparable à R(x,t)^{-1/2}\times 2/\varepsilon. De plus les oscillations spatiales et temporelles de la courbure scalaire sont contrôlées par des constantes universelles.
Dans ce paragraphe, on suppose fixés \varepsilon>0 et une échelle r>0 pour laquelle g(t) satisfait l’hypothèse des voisinages canoniques. On décrit la métrique g(t) lorsque t \rightarrow T<\infty et T est un temps singulier. Notons \Omega l’ensemble des points où la courbure scalaire reste bornée, c’est-à-dire
Par hypothèse, il existe x \in M tel que R(x,t) \rightarrow +\infty donc \Omega est strictement plus petit que M.
Alors on peut montrer que M est une variété sphérique, un produit \textbf {S}^2 \times \textbf {S}^1 ou une somme connexe de projectifs notée {{P}}^3({{R}}){\#}{{P}}^3({{R}}). En effet, si la courbure explose partout, on peut trouver un temps t_0 proche du temps singulier T tel que (M,g(t_0)) est recouverte par un nombre fini de voisinages canoniques. S’il y a un voisinage de type iii) M est difféomorphe à une variété sphérique. Sinon on met bout à bout des gorges jusqu’à ce qu’elles se referment en un {{S}}^2 \times {{S}}^1 ou bien on les bouche par des capuchons pour obtenir \textbf {S}^3, {{P}}^3({{R}}) ou {{P}}^3({{R}}){\#}{{P}}^3({{R}}).
\quad
Les contrôles sur la courbure permettent de montrer que \Omega est un ouvert sur lequel la métrique g(t) converge vers une métrique régulière g(T). Essentiellement, g(T) satisfait l’hypothèse des voisinages canoniques par passage à la limite. Pour comprendre la structure de \Omega, on se donne une échelle de courbure \rho < r et on définit l’ensemble
L’ensemble \Omega\\Omega_\rho est recouvert par des gorges et des capuchons. L’examen des différentes combinaisons montre que tout point x\in \Omega\\Omega_\rho est dans un des ensembles suivants :
i) un \varepsilon-tube : un cylindre \textbf {S}^2\times I union d’un nombre fini de gorges et dont le bord est dans \Omega_\rho.
ii) Une \varepsilon-pointe, c’est-à-dire une réunion d’une infinité de gorges, difféomorphe à \textbf {S}^2\times {{R}}^+. Le bout \textbf {S}^2\times\{0\} est dans \Omega_\rho, tandis qu’à l’autre bout la courbure scalaire tend vers +\infty.
iii) Une réunion d’un nombre fini de gorges fermée par un capuchon reliée par le bord à \Omega_\rho.
iv) Des composantes connexes disjointes de \Omega_\rho : des doubles pointes difféomorphes à \textbf {S}^2\times {{R}}, réunion d’une infinité de gorges, et des capuchons pointés difféomorphes à {{R}}^3, réunion d’une infinité de gorges fermée par un capuchon (voir fig. 2).
On opère sur cet ensemble \Omega la chirurgie décrite comme suit :
1°) on élimine toutes les composantes connexes de \Omega disjointes de \Omega_\rho,
2°) on tronque les pointes (reliées à \Omega_\rho) et on les bouche par un capuchon difféomorphe à une boule (voir fig. 3).
On obtient ainsi une nouvelle variété différentielle,
éventuellement non connexe, que nous noterons M_1. En tout temps
t
Cette chirurgie doit se pratiquer de manière métrique, c’est-à-dire en contrôlant précisément les recollements effectués. Pour cela, on choisit de tronquer les pointes au milieu d’une \delta-gorge, pour un paramètre 0<\delta \ll \varepsilon. On définit ainsi une chirurgie avec paramètre (r,\delta), où r est l’échelle de courbure (dépendant de \varepsilon) à partir de laquelle on a des voisinages canoniques et le paramètre \rho est fixé en posant \rho=\delta r. On munit alors M_1 d’une métrique riemannienne bien choisie g_1(T) qui devient la donnée initiale de l’équation \ref{1} et on relance le flot simultanément sur les composantes connexes de M_1.
\quad
Le tour de force de Perelman dans [P2] est d’avoir réussi à itérer indéfiniment la construction ci-dessus : fixons un \varepsilon>0,
i) d’une suite discrète (t_k)_{0 \leq k \leq N\leq \infty} de [0,+\infty[, strictement croissante et pour chaque entier k,
ii) d’une variété compacte M_k, pouvant être non connexe ou vide,
iii) d’un flot de Ricci g_k(t) sur M_k \times [t_k,t_{k+1}[, singulier en t_{k+1}, satisfaisant l’hypothèse des voisinages canoniques à l’échelle r(t),
tels que (M_{k+1},g_{k+1}(t_{k+1})) est obtenu de (M_k,g_k(t)) par une chirurgie de paramètres (r,\delta) au temps t_{k+1}.
On dit qu’une variété riemannienne (M,g_{0}) est normalisée si les courbures sectionnelles sont bornées en valeur absolue par 1 et si le volume de toute boule unité est au moins la moitié du volume euclidien. Perelman démontre qu’il existe des fonctions strictement décroissantes (r(t),\delta(t)) universelles, telle que le flot avec chirurgie existe sur [0,\infty [ pour toute donnée initiale (M,g_0) normalisée.
En particulier, il n’y a qu’un nombre fini de chirurgies sur chaque intervalle fini. Si M_k est la variété obtenue après le k-ième temps singulier, en tenant compte des composantes qui s’éteignent, M s’obtient comme la somme connexe des composantes connexes de M_k avec un certain nombre de copies de \textbf {S}^2\times \textbf {S}^1 et de quotients finis de \textbf {S}^3. Si M_{k} est vide le flot s’éteint et M est difféomorphe à une somme connexe d’un nombre fini de \textbf {S}^2 \times \textbf {S}^1 et de quotients finis de \textbf {S}^3. En particulier si M est simplement connexe elle est difféomorphe à \textbf {S}^3.
L’existence d’un flot avec chirurgie en temps infini étant établie, la preuve de la conjecture de Poincaré consiste à montrer qu’il s’éteint en temps fini sur une sphère d’homotopie, c’est-à-dire sur une variété simplement connexe. D’après ce qui précède celle-ci est alors difféomorphe à \textbf {S}^3. Nous donnons maintenant plus de détails.
On se donne une variété M_{0} compacte, simplement connexe que l’on suppose irréductible (voir encadré Irréductibilité). On la munit d’une métrique normalisée g_{0}. Pour cette donnée initiale, on construit un flot avec chirurgie (M_k,g_k(t)) défini sur [0,\infty). On sait que chaque M_k (tant qu’il est non vide) contient une composante M_k^1, difféomorphe à M_0 et que les autres composantes sont des sphères. On peut donc considérer la restriction du flot avec chirurgie à cette seule composante. Pour montrer qu’il s’éteint en temps fini, nous esquissons l’argument de T. Colding et W. Minicozzi ([CM]), plus simple techniquement que celui de Perelman ([Per3]).
Irréductibilité
On dit qu’une variété orientable M est irréductible si toute sphère plongée \textbf {S}^2 \subset M borde une boule B^3. Cela implique que si M est somme connexe de deux variétés, l’une d’elles est difféomorphe à M et l’autre à \textbf {S}^3. Le théorème de Kneser affirme que toute variété orientable est somme connexe d’un nombre fini de variétés irréductibles et de copies de \textbf {S}^2\times \textbf {S}^1. En particulier, si M est simplement connexe elle est somme connexe d’un nombre fini de variétés simplement connexes irréductibles.
La largeur de (M_0,g(t)) est définie par minimax de l’énergie des sphères \textbf {S}^2 d’un balayage de M_0. C’est une quantité géométrique strictement positive lorsque le lacet définissant le balayage est essentiel dans l’espace \mathcal H des applications de \textbf {S}^2 dans (M_0,g(t)), continues et d’énergie bornée. L’existence d’un lacet essentiel dans \mathcal H est une conséquence de la simple connexité de M_0. On fixe alors une fois pour toute la classe d’homotopie \beta d’un lacet essentiel dans \mathcal H. On définit la largeur W([\beta],g(t)) de la variété riemannienne (M_0,g(t)) par :
où
est l’énergie de l’application f :\textbf {S}^2\rightarrow (M_0,g(t)).
La preuve de l’extinction en temps fini repose alors sur les deux faits suivants :
1°) Sur les parties lisses du flot la largeur W([\beta],g(t)) décroît assez vite le long du flot d’après l’inégalité suivante de Colding et Minicozzi ([CM]) :
(C est une constante calculable.) Cela assure l’extinction en temps fini si le flot reste lisse, puisque la largeur atteint 0 en temps fini et, par ailleurs, doit être strictement positive.
2°) Si t_{k+1} est un temps singulier pour le flot g_k(t) sur M_0, on a
Cela résulte de l’existence d’un difféomorphisme (1 + \xi(t))-lipschitzien entre (M_0,g_k(t)) et (M_0,g_{k+1}(t_{k+1})) avec \xi(t) \rightarrow 0 quand t\rightarrow t_{k+1}.
[B] L. Bessières, Conjecture de Poincaré : la preuve de R. Hamilton et G. Perelman, Gazette des Mathématiciens, 106 (2005), 7-35.
[Bes] G. Besson Preuve de la conjecture de Poincaré en déformant la métrique par la courbure de Ricci, d’après G. Perelman à paraître à Astérisque. Version modifiée du séminaire Bourbaki n° 947, (2004-2005), 57-ième année.
[CM] T. Colding et W. Minicozzi, Estimates for the extinction time for the Ricci flow on certain three-manifolds and a question of Perelman, J. of the A.M.S., 18 (2005), n° 3, 561-569.
[DeT] D. DeTurck, Deforming metrics in the direction of their Ricci tensor, J. Differential Geom., 18 (1983), 157-162.
[Ham-3] R. Hamilton, Three-manifolds with positive Ricci curvature, J. Differential Geom. 17 (1982), n° 2, 255-306.
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[Ham-sing] R. Hamilton, The formations of the singularities of the Ricci flow, In Surveys in Differential Geometry, volume II, 7-136, International press, Cambridge MA,1995
[Ham-comp] R. Hamilton, A compactness property for solutions of the Ricci flow, Amer. Jour. Math. 117 (1995), 545-572.
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[Per1] G. Perelman, The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications. ArXiv : math.DG/0211159.
[Per2] G. Perelman, Ricci flow with surgery on three-manifolds. ArXiv : math.DG/0303109.
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