La probabilidad de extinción de una especie amenazada : una ilustración

Le 9 juin 2020  - Ecrit par  Catherine Combelles
Le 25 août 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : La probabilité d’extinction d’une espèce menacée : une illustration Voir les commentaires
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Los artículos de Images des Maths son un interesante recurso para el profesor de secundaria. Pero un artículo de difusión incluso simple está lejos de ser una actividad para la clase.

El profesor siempre tiene necesidad de temas interesantes, pero está sometido a numerosas limitaciones : el programa, el nivel del curso, el número de alumnos, el tiempo disponible. Además, toda actividad está al servicio de uno o muchos objetivos bien precisos : introducir una noción, evaluar, hacer trabajar la lectura, la redacción, el cálculo, la matematización de una situación, etc.

Esta sección quiere abordar esta tarea y propone ejemplos de actividades para la clase, construidas a partir de algunos artículos de este sitio, como el trabajo acerca de la explosión continua del cual tomamos prestado el título.

Nos interesamos en el artículo de Nils Berglund ’’La probabilidad de extinción de una especie amenazada’’, publicada en Paisajes Matemáticos.

Los modelos de evolución de las poblaciones tienen una larga historia. Aquí el asunto será un modelo probabilístico, introducido en 1874 por Francis Galton y Henry William Watson para describir la extinción de los apellidos. Supongamos, por dar un ejemplo concreto, que cada individuo tiene a lo largo de su vida :

  • ningún hijo, con una probabilidad $\frac 18$,
  • un hijo, con una probabilidad $\frac 38$,
  • dos hijos, con una probabiliad $\frac 38$,
  • tres hijos, con una probabilidad $\frac 18$.
    Los números de hijos de individuos diferentes son supuestos independientes uno de otros.

Aquí hay un ejemplo de árbol genealógico obtenido mediante este procedimiento :

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El ancestro, en lo alto del árbol, tiene un hijo, que a su vez tiene dos, y así sucesivamente. Vamos a calcular la probabilidad de que la descendencia de este único ancestro se extinga.

Primera parte : cálculos de probabilidades

Partimos de un solo individuo. Estudiamos la población de sus descendientes. La probabilidad de que la población se extinga en la primera generación (sus hijos) es de $q_1=\frac 18$ : él no tiene hijos.

  1. Busquemos primero la probabilidad de que la población se extinga en la segunda generación (no hay hijos, o hay hijos pero ningún nieto).
    1. Si él tiene 2 hijos ¿cuál es la probabilidad de que no tenga ningún nieto ? ¿Y si tiene 3 hijos ?
    2. Calcular entonces la probabilidad de que la población se extinga en la segunda generación.
  2. Sea $q_n$ la probabilidad para que la descendencia de un individuo se extinga al cabo de $n$ generaciones. Expresar en función de $q_n$ la probabilidad $q_{n+1}$ de que la descendencia de un individuo se extinga al cabo de $n+1$ generaciones. Para calcular $q_{n+1}$ , se dirá que la descendencia de un individuo se extingue al cabo de $n+1$ generaciones si él no tiene hijos, o si las descendencias de sus hijos están todas extinguidas al cabo de $n$ generaciones.

Segunda parte : Estudio de la secuencia $(q_n)$

  1. Sea $f$ la función definida sobre el intervalo $[0; 1]$, tal que :
    $q_{n+1}=f(q_n)$.
    Se habrá mostrado en 2) que $f(x)=\frac 13 x^3+\frac 38 x^2+\frac 38 x+\frac 18$.
    1. Estudiar las variaciones de $f$ sobre el intervalo $[0; 1]$.
    2. Para comparar $q_n$ y $q_{n+1}=f(q_n )$, se va a estudiar el signo de la función $g$ definida sobre el intervalo $[0; 1]$ por $g(x)=f(x)-x$.
      Se subraya que $g$ se anula en 1 y que ese polinomio se factoriza entonces por $(x-1)$. Encontrar $a,b,c$ tales que $g(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)$.
      Deducir de ahí el signo de $g(x)$ sobre el intervalo $[0; 1]$.
  2. Estudiemos ahora la secuencia $(q_n)$.
    1. Con ayuda del gráfico adjunto, representar los primeros términos de la secuencia $(q_n)$. ¿Qué se puede predecir de su comportamiento ?
    2. Demostremos las conjeturas establecidas según el gráfico.
      Probar por recurrencia que para todo $n$ se tiene $0\leq q_n\leq \sqrt 5-2$.
      Probar que la secuencia $(q_n)$ es creciente.
    3. Probar que la secuencia $(q_n)$ es convergente. Encontrar su límite utilizando la definición : $q_{n+1}=f(q_n)$.

Conclusión : se ha probado así que la probabilidad de extinción de esta descendencia de un único ancestro es igual a $\sqrt 5-2$ es decir, cerca de 26,3%.

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Representación gráfica de la función $f$ y de la función $x\mapsto x$ en $[0,1]$.
Post-scriptum :

Gracias a los relectores cuyos seudónimos son toufou y projetmbc, que me permitieron mejorar este artículo. También se publicó una versión muy parecida en el Boletín 505° de la APMEP, que se complace de esta forma en cooperar con Paisajes Matemáticos.

Article original édité par Christian Mercat

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «La probabilidad de extinción de una especie amenazada : una ilustración» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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