La probabilité d’extinction d’une espèce menacée : une illustration

Piste rouge Le 12 décembre 2014  - Ecrit par  Catherine Combelles Voir les commentaires (3)

Les articles d’Images des maths sont une ressource intéressante pour le professeur du secondaire. Mais il y a loin d’un article de vulgarisation même simple à une activité pour la classe.

Le professeur a toujours besoin de sujets intéressants, mais il est soumis à de nombreuses contraintes : le programme, le niveau de la classe le nombre d’élèves, le temps dont il dispose. En outre, toute activité est au service d’un ou de plusieurs objectifs bien précis : introduire une notion, évaluer, faire travailler la lecture, la rédaction, le calcul, la mathématisation dune situation etc.

Cette rubrique veut s’attaquer à ce chantier et propose des exemples d’activités pour la classe, construites à partir de quelques articles de ce site, à l’image du travail sur l’explosion continue auquel nous empruntons le titre.

Nous nous intéressons à l’article de Nils Berglund
« La probabilité d’extinction d’une espèce menacée » publié sur IdM en février 2013.

Les modèles d’évolution de populations ont une longue histoire. Ici, il sera question d’un modèle probabiliste, introduit en 1874 par Francis Galton et Henry William Watson pour décrire l’extinction des noms de famille. Supposons, pour donner un exemple concret, que chaque individu a au cours de sa vie :

  • aucun enfant avec une probabilité $\frac 18$
  • un enfant avec une probabilité $\frac 38$
  • deux enfants avec une probabilité $\frac 38$
  • trois enfants avec probabilité $\frac 18$.
    Les nombres d’enfants d’individus différents sont de plus supposés indépendants les uns des autres.

Voici un exemple d’arbre généalogique obtenu par ce procédé :

PNG - 277.4 ko

L’ancêtre, en haut de l’arbre, a un enfant, qui en a lui-même deux, et ainsi de suite. Nous allons calculer la probabilité que la descendance de cet unique ancêtre s’éteigne.

Première partie : calculs de probabilités

Partons d’un seul individu. Nous étudions la population de ses descendants. La probabilité que la population s’éteigne à la première génération (ses enfants) est $q_1=\frac 18$ : il n’a pas d’enfant.

  1. Cherchons d’abord la probabilité que la population soit éteinte à la deuxième génération (il n’a pas d’enfant, ou il a des enfants mais aucun petit-enfant).
    1. S’il a 2 enfants, quelle est la probabilité qu’il n’ait aucun petit-enfant ? Et s’il en a 3 ?
    2. Calculer alors la probabilité que la population soit éteinte à la deuxième génération.
  2. Soit $q_n$ la probabilité pour que la descendance d’un individu soit éteinte au bout de $n$ générations. Exprimer en fonction de $q_n$ la probabilité $q_{n+1}$ que la descendance d’un individu soit éteinte au bout de $n+1$ générations. Pour calculer $q_{n+1}$ , on remarquera que la descendance d’un individu est éteinte au bout de $n+1$ générations s’il n’a pas d’enfant ou si les descendances de ses enfants sont toutes éteintes au bout de $n$ générations.

Deuxième partie : Étude de la suite $(q_n)$

  1. Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[0; 1]$, telle que :
    $q_{n+1}=f(q_n)$.
    On aura montré en 2) que $f(x)=\frac 13 x^3+\frac 38 x^2+\frac 38 x+\frac 18$.
    1. Étudier les variations de $f$ sur l’intervalle $[0; 1]$.
    2. Pour comparer $q_n$ et $q_{n+1}=f(q_n )$, on va étudier le signe de la fonction $g$ définie sur l’intervalle $[0; 1]$ par : $g(x)=f(x)-x$.
      On remarque que $g$ s’annule en 1 et que ce polynôme se factorise donc par $(x-1)$ : trouver $a,b,c$ tels que $g(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)$.
      En déduire le signe de $g(x)$ sur l’intervalle $[0; 1]$.
  2. Étudions à présent la suite $(q_n)$.
    1. À l’aide du graphique ci-joint, représenter les premiers termes de la suite $(q_n)$. Que peut-on prédire sur son comportement ?
    2. Démontrons les conjectures établies d’après le graphique :
      Prouver par récurrence que pour tout $n$ : $0\leq q_n\leq \sqrt 5-2$.
      Prouver que la suite $(q_n)$ est croissante.
    3. Prouver que la suite (q_n) est convergente. Trouver sa limite en utilisant la définition : $q_{n+1}=f(q_n)$.

Conclusion : on a ainsi prouvé que la probabilité d’extinction de cette descendance d’un unique ancêtre est égale à $\sqrt 5-2$ soit environ 26,3%.

PNG - 149.5 ko
Représentation graphique de la fonction $f$ et de la fonction $x\mapsto x$ sur $[0; 1]$.
Post-scriptum :

Merci aux relecteurs - dont les pseudonymes sont toufou et projetmbc - qui m’ont permis d’améliorer cet article. Il est aussi paru dans une version très proche dans le Bulletin n°505 de l’APMEP, qui se fait un plaisir de coopérer ainsi avec Images des Maths.

Article édité par Christian Mercat

Partager cet article

Pour citer cet article :

Catherine Combelles — «La probabilité d’extinction d’une espèce menacée : une illustration» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Commentaire sur l'article

  • La probabilité d’extinction d’une espèce menacée : une illustration

    le 12 décembre 2014 à 11:12, par Marc Monticelli

    Des expériences numériques interactives sur le sujet (et son article) sur le site Experimentarium Digitale : http://experiences.math.cnrs.fr/Processus-de-Bienayme-Galton.html

    Répondre à ce message
  • La probabilité d’extinction d’une espèce menacée : une illustration

    le 14 décembre 2014 à 20:26, par flandrin

    Superbe sujet qui est exploitable en classe.
    Merci beaucoup.

    Répondre à ce message
    • La probabilité d’extinction d’une espèce menacée : une illustration

      le 22 décembre 2014 à 19:59, par Catherine Combelles

      Je suis ravie que vous utilisiez cet article en classe : il est fait pour ça ; je n’ai fait que mettre sous forme « scolaire » l’article de Niels Berglund que j’ai trouvé très bien adapté au programme de Terminale S.

      Catherine Combelles

      Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Suivre IDM