La probabilité d’extinction d’une espèce menacée : une illustration
Piste rouge Le 9 juin 2020 Voir les commentaires (3)Lire l'article en


Les articles d’Images des maths sont une ressource intéressante pour le professeur du secondaire. Mais il y a loin d’un article de vulgarisation même simple à une activité pour la classe.
Le professeur a toujours besoin de sujets intéressants, mais il est soumis à de nombreuses contraintes : le programme, le niveau de la classe le nombre d’élèves, le temps dont il dispose. En outre, toute activité est au service d’un ou de plusieurs objectifs bien précis : introduire une notion, évaluer, faire travailler la lecture, la rédaction, le calcul, la mathématisation dune situation etc.
Cette rubrique veut s’attaquer à ce chantier et propose des exemples d’activités pour la classe, construites à partir de quelques articles de ce site, à l’image du travail sur l’explosion continue auquel nous empruntons le titre.
Nous nous intéressons à l’article de Nils Berglund
« La probabilité d’extinction d’une espèce menacée » publié sur IdM en février 2013.
Les modèles d’évolution de populations ont une longue histoire. Ici, il sera question d’un modèle probabiliste, introduit en 1874 par Francis Galton et Henry William Watson pour décrire l’extinction des noms de famille. Supposons, pour donner un exemple concret, que chaque individu a au cours de sa vie :
- aucun enfant avec une probabilité $\frac 18$
- un enfant avec une probabilité $\frac 38$
- deux enfants avec une probabilité $\frac 38$
- trois enfants avec probabilité $\frac 18$.
Les nombres d’enfants d’individus différents sont de plus supposés indépendants les uns des autres.
Voici un exemple d’arbre généalogique obtenu par ce procédé :
L’ancêtre, en haut de l’arbre, a un enfant, qui en a lui-même deux, et ainsi de suite. Nous allons calculer la probabilité que la descendance de cet unique ancêtre s’éteigne.
Première partie : calculs de probabilités
Partons d’un seul individu. Nous étudions la population de ses descendants. La probabilité que la population s’éteigne à la première génération (ses enfants) est $q_1=\frac 18$ : il n’a pas d’enfant.
- Cherchons d’abord la probabilité que la population soit éteinte à la deuxième génération (il n’a pas d’enfant, ou il a des enfants mais aucun petit-enfant).
- S’il a 2 enfants, quelle est la probabilité qu’il n’ait aucun petit-enfant ? Et s’il en a 3 ?
- Calculer alors la probabilité que la population soit éteinte à la deuxième génération.
- Soit $q_n$ la probabilité pour que la descendance d’un individu soit éteinte au bout de $n$ générations. Exprimer en fonction de $q_n$ la probabilité $q_{n+1}$ que la descendance d’un individu soit éteinte au bout de $n+1$ générations. Pour calculer $q_{n+1}$ , on remarquera que la descendance d’un individu est éteinte au bout de $n+1$ générations s’il n’a pas d’enfant ou si les descendances de ses enfants sont toutes éteintes au bout de $n$ générations.
Deuxième partie : Étude de la suite $(q_n)$
- Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[0; 1]$, telle que :
$q_{n+1}=f(q_n)$.
On aura montré en 2) que $f(x)=\frac 18 x^3+\frac 38 x^2+\frac 38 x+\frac 18$.- Étudier les variations de $f$ sur l’intervalle $[0; 1]$.
- Pour comparer $q_n$ et $q_{n+1}=f(q_n )$, on va étudier le signe de la fonction $g$ définie sur l’intervalle $[0; 1]$ par : $g(x)=f(x)-x$.
On remarque que $g$ s’annule en 1 et que ce polynôme se factorise donc par $(x-1)$ : trouver $a,b,c$ tels que $g(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)$.
En déduire le signe de $g(x)$ sur l’intervalle $[0; 1]$.
- Étudions à présent la suite $(q_n)$.
- À l’aide du graphique ci-joint, représenter les premiers termes de la suite $(q_n)$. Que peut-on prédire sur son comportement ?
- Démontrons les conjectures établies d’après le graphique :
Prouver par récurrence que pour tout $n$ : $0\leq q_n\leq \sqrt 5-2$.
Prouver que la suite $(q_n)$ est croissante. - Prouver que la suite $(q_n)$ est convergente. Trouver sa limite en utilisant la définition : $q_{n+1}=f(q_n)$.
Conclusion : on a ainsi prouvé que la probabilité d’extinction de cette descendance d’un unique ancêtre est égale à $\sqrt 5-2$ soit environ 26,3%.
Merci aux relecteurs - dont les pseudonymes sont toufou et projetmbc - qui m’ont permis d’améliorer cet article. Il est aussi paru dans une version très proche dans le Bulletin n°505 de l’APMEP, qui se fait un plaisir de coopérer ainsi avec Images des Maths.
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Pour citer cet article :
Catherine Combelles — «La probabilité d’extinction d’une espèce menacée : une illustration» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020
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